Общая топология

Раздел топологии

Синусоида тополога , полезный пример в топологии точек-множеств. Она связна, но не путевая связность.

В математике общая топология (или топология точечных множеств ) — это раздел топологии , который занимается основными теоретико-множественными определениями и конструкциями , используемыми в топологии. Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию , геометрическую топологию и алгебраическую топологию .

Основными понятиями топологии точечной топологии являются непрерывность , компактность и связность :

• Непрерывные функции интуитивно переносят соседние точки в соседние точки.
• Компактные множества — это такие множества, которые можно покрыть конечным числом множеств произвольно малого размера.
• Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга.

Термины «рядом», «произвольно мало» и «далеко друг от друга» можно уточнить, используя концепцию открытых множеств . Если мы изменим определение «открытого множества», мы изменим то, что такое непрерывные функции, компактные множества и связные множества. Каждый выбор определения для «открытого множества» называется топологией . Множество с топологией называется топологическим пространством .

Метрические пространства — важный класс топологических пространств, где действительное неотрицательное расстояние, также называемое метрикой , может быть определено на парах точек в наборе. Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее распространенных топологических пространств являются метрическими пространствами.

История

Общая топология возникла из ряда областей, наиболее важными из которых являются следующие:

• детальное изучение подмножеств действительной прямой (ранее известное как топология точечных множеств ; в настоящее время это название устарело)
• введение концепции многообразия
• изучение метрических пространств , особенно линейных нормированных пространств , на заре функционального анализа .

Общая топология приняла свою нынешнюю форму около 1940 года. Она охватывает, можно сказать, почти все в интуиции непрерывности в технически адекватной форме, которую можно применять в любой области математики.

Топология на множестве

Пусть X — множество, а τ — семейство подмножеств X. Тогда τ называется топологией на X , если : ^{[1] [2]}

1. И пустое множество , и X являются элементами τ
2. Любое объединение элементов τ является элементом τ
3. Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ

Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством . Обозначение X _τ может быть использовано для обозначения множества X, наделенного конкретной топологией τ .

Члены τ называются открытыми множествами в X. Подмножество X называется замкнутым , если его дополнение содержится в τ (т. е. его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, замкнутым, обоими ( clopen set ) или ни тем, ни другим. Пустое множество и само X всегда являются как замкнутыми, так и открытыми.

Основа топологии

База (или базис ) B для топологического пространства X с топологией T — это набор открытых множеств в T, такой что каждое открытое множество в T может быть записано как объединение элементов B. ^{[3] [4]} Мы говорим, что база порождает топологию T. Базисы полезны, потому что многие свойства топологий можно свести к утверждениям о базе, которая порождает эту топологию, и потому что многие топологии проще всего определить в терминах базы, которая их порождает.

Подпространство и частное

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств произведению можно задать топологию произведения , которая генерируется обратными образами открытых множеств факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях базис для топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все, кроме конечного числа его проекций, были всем пространством.

Фактор -пространство определяется следующим образом: если X — топологическое пространство, а Y — множество, и если f  : X → Y — сюръективная функция , то фактор-топология на Y — это совокупность подмножеств Y , которые имеют открытые прообразы относительно f . Другими словами, фактор-топология — это наилучшая топология на Y , для которой f непрерывна. Типичным примером фактор-топологии является ситуация, когда на топологическом пространстве X определено отношение эквивалентности . Тогда отображение f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности .

Примеры топологических пространств

У данного множества может быть много разных топологий. Если множеству дана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство.

Дискретные и тривиальные топологии

Любому множеству можно задать дискретную топологию , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном счете постоянны. Кроме того, любому множеству можно задать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, где предельные точки уникальны.

Коконечные и косчетные топологии

Любому множеству можно задать кофинитную топологию, в которой открытые множества являются пустым множеством и множествами, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T 1 на любом бесконечном множестве.

Любому множеству можно задать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Топологии на действительных и комплексных числах

Существует много способов определить топологию на R , множестве действительных чисел . Стандартная топология на R генерируется открытыми интервалами . Множество всех открытых интервалов образует базу или основу для топологии, что означает, что каждое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки множества. В более общем смысле, евклидовым пространствам R ⁿ можно задать топологию. В обычной топологии на R ⁿ основные открытые множества являются открытыми шарами . Аналогично, C , множество комплексных чисел , и C ⁿ имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.

Действительная прямая также может быть задана топологией нижнего предела . Здесь основные открытые множества являются полуоткрытыми интервалами [ a , b ). Эта топология на R строго тоньше, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что множество может иметь много различных топологий, определенных на нем.

Метрическая топология

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой базовые открытые множества являются открытыми шарами, определяемыми метрикой. Это стандартная топология на любом нормированном векторном пространстве . На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Дополнительные примеры

• Существует множество топологий на любом заданном конечном множестве . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров к предположениям о топологических пространствах в целом.
• Каждое многообразие имеет естественную топологию , поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от R ⁿ .
• Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . На R ⁿ или C ⁿ замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.
• Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .
• Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.
• Любое локальное поле имеет свойственную ему топологию, и ее можно распространить на векторные пространства над этим полем.
• Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Оно имеет важные связи с теорией вычислений и семантикой.
• Если Γ — порядковое число , то множество Γ = [0, Γ) можно наделить топологией порядка , порожденной интервалами ( a ,  b ), [0,  b ) и ( a , Γ), где a и b — элементы Γ.

Непрерывные функции

Непрерывность выражается в терминах окрестностей : f непрерывно в некоторой точке x  ∈  X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V множества f ( x ) существует окрестность U множества x такая, что f ( U ) ⊆  V . Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «малым» становится V , всегда существует U , содержащее x , которое отображается внутрь V и образ которого при f содержит f ( x ) . Это эквивалентно условию, что прообразы открытых (замкнутых) множеств в Y открыты (замкнуты) в X . В метрических пространствах это определение эквивалентно ε–δ-определению , которое часто используется в анализе.

Крайний пример: если множеству X задана дискретная топология , все функции

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

к любому топологическому пространству T непрерывны. С другой стороны, если X снабжено недискретной топологией и множество пространства T не меньше T 0 , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, область значений которой недискретна, непрерывна.

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры , и, следовательно, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение района

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность в терминах окрестностей : f непрерывна в некоторой точке x  ∈  X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V для f ( x ) существует окрестность U для x такая, что f ( U ) ⊆  V . Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «малым» становится V , всегда существует U , содержащее x , которое отображается внутрь V .

Если X и Y — метрические пространства, то эквивалентно рассматривать систему окрестностей открытых шаров с центрами в x и f ( x ) вместо всех окрестностей. Это возвращает вышеприведенное δ-ε определение непрерывности в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния.

Однако следует отметить, что если целевое пространство является Хаусдорфовым , то по-прежнему верно, что f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда предел f при приближении x к точке a равен f ( a ). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Последовательности и сети

В нескольких контекстах топология пространства удобно задается в терминах предельных точек . Во многих случаях это достигается указанием того, когда точка является пределом последовательности , но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленным набором , известных как сети . ^[5] Функция непрерывна, только если она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае сохранение пределов также достаточно; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но все еще не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

В частности, функция f : X → Y является последовательно непрерывной , если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) в X сходится к пределу x , последовательность ( f ( x _n )) сходится к f ( x ). ^[6] Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция является последовательно непрерывной. Если X является пространством с первой аксиомой счетности и счетный выбор выполняется, то обратное также выполняется: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, является непрерывной. В частности, если X является метрическим пространством, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не являющихся пространствами с первой аксиомой счетности, последовательная непрерывность может быть строго слабее непрерывности. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами .) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и на самом деле это свойство характеризует непрерывные функции.

Определение оператора закрытия

Вместо указания открытых подмножеств топологического пространства топология может быть также определена оператором замыкания (обозначаемым cl), который назначает любому подмножеству A ⊆ X его замыкание , или внутренним оператором (обозначаемым int), который назначает любому подмножеству A из X его внутренность . В этих терминах функция

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

между топологическими пространствами непрерывно в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда для всех подмножеств A из X

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

То есть, если задан любой элемент x из X , который находится в замыкании любого подмножества A , f ( x ) принадлежит замыканию f ( A ). Это эквивалентно требованию, что для всех подмножеств A ' из X '

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

Более того,

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

непрерывен тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

для любого подмножества A из X.

Характеристики

Если f : X → Y и g : Y → Z непрерывны, то таковой является и композиция g ∘ f : X → Z. Если f : X → Y непрерывна и

• X компактно , тогда f ( X ) компактно.
• X связен , тогда f ( X ) связен.
• X линейно связен , тогда f ( X ) линейно связен.
• X — Линделеф , тогда f ( X ) — Линделеф.
• X сепарабельно , тогда f ( X ) сепарабельно.

Возможные топологии на фиксированном множестве X частично упорядочены : топология τ ₁ называется более грубой , чем другая топология τ ₂ (обозначение: τ ₁ ⊆ τ ₂ ), если каждое открытое подмножество относительно τ ₁ также открыто относительно τ ₂ . Тогда тождественное отображение

идентификатор _Икс : ( Икс , τ ₂ ) → ( Икс , τ ₁ )

непрерывна тогда и только тогда, когда τ ₁ ⊆ τ ₂ (см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

остается непрерывным, если топология τ _Y заменяется более грубой топологией и/или τ _X заменяется более тонкой топологией .

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение , для которого образы открытых множеств открыты. Фактически, если открытое отображение f имеет обратную функцию , то эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию , то эта обратная функция открыта. Если задана биективная функция f между двумя топологическими пространствами, то обратная функция f ⁻¹ не обязана быть непрерывной. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Если непрерывная биекция имеет своей областью определения компактное пространство и ее область определения хаусдорфова , то она является гомеоморфизмом.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Дана функция

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,\,}$

где X — топологическое пространство, а S — множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется путем разрешения открытым множествам S быть теми подмножествами A из S, для которых f ⁻¹ ( A ) открыто в X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее финальной топологии на S . Таким образом, финальную топологию можно охарактеризовать как наилучшую топологию на S , которая делает f непрерывным. Если f сюръективно , эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией по отношению эквивалентности , определяемому f .

Двойственно, для функции f из множества S в топологическое пространство X исходная топология на S имеет базис открытых множеств, заданный теми множествами вида f^(-1) ( U ), где U открыто в X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология тоньше исходной топологии на S . Таким образом, исходную топологию можно охарактеризовать как самую грубую топологию на S , которая делает f непрерывной. Если f инъективна, эта топология канонически отождествляется с топологией подпространства S , рассматриваемой как подмножество X .

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций во все топологические пространства X. Двойственно , подобная идея может быть применена к отображениям ${\displaystyle S\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Компактные наборы

Формально топологическое пространство X называется компактным , если каждое из его открытых покрытий имеет конечное подпокрытие . В противном случае оно называется некомпактным . Явно это означает, что для любого произвольного набора

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

открытых подмножеств X таких, что

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

существует конечное подмножество J множества A такое, что

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , как правило, находящаяся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин квазикомпактный для общего понятия и резервируют термин компактный для топологических пространств, которые являются как хаусдорфовыми , так и квазикомпактными . Компактное множество иногда называют компактом , множественное число — compacta .

Каждый замкнутый интервал в R конечной длины компактен . Более того, верно: в R ⁿ множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. (См. теорему Гейне–Бореля ).

Всякое непрерывное изображение компактного пространства компактно.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Всякая непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово пространство обязательно является гомеоморфизмом .

Каждая последовательность точек в компактном метрическом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность.

Каждое компактное конечномерное многообразие может быть вложено в некоторое евклидово пространство R ⁿ .

Связанные множества

Топологическое пространство X называется несвязным, если оно является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств . В противном случае X называется связным . Подмножество топологического пространства называется связным, если оно связно относительно топологии своего подпространства . Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) из числа связных пространств, но эта статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

1. X подключен.
2. X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
3. Единственными подмножествами X , которые являются одновременно открытыми и замкнутыми ( открыто-замкнутые множества ), являются X и пустое множество.
4. Единственными подмножествами X с пустой границей являются X и пустое множество.
5. X не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств .
6. Единственные непрерывные функции от X до {0,1}, двухточечного пространства, наделенного дискретной топологией, являются постоянными.

Каждый интервал в R связен .

Непрерывный образ связанного пространства связан.

Подключенные компоненты

Максимальные связные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства называются связными компонентами пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X  : они не пересекаются , непусты, и их объединение — всё пространство. Каждый компонент является замкнутым подмножеством исходного пространства. Из этого следует, что в случае, когда их число конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел являются одноточечными множествами, которые не являются открытыми.

Пусть — связная компонента x в топологическом пространстве X , а — пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих x (называемое квазикомпонентой x ). Тогда равенство выполняется, если X компактно хаусдорфово или локально связно. ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}'}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

Разъединенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью несвязным . В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным , если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые окрестности U для x и V для y такие, что X является объединением U и V. Очевидно, что любое полностью разделенное пространство является полностью несвязным, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и отождествите их в каждой точке, кроме нуля. Полученное пространство с топологией фактора является полностью несвязным. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью разделенное. Фактически, оно даже не является хаусдорфовым , и условие полной разделенности строго сильнее условия хаусдорфовости.

Множества, связанные путем

Это подпространство R² является линейно связным, поскольку между любыми двумя точками пространства можно провести путь.

Путь из точки x в точку y в топологическом пространстве X — это непрерывная функция f из единичного интервала [0,1] до X с f (0) = x и f (1) = y . Компонента пути X — это класс эквивалентности X при отношении эквивалентности , которое делает x эквивалентным y , если существует путь из x в y . Пространство X называется путево - связным ( или путево - связным или 0 -связным ), если существует не более одной компоненты пути; то есть если существует путь, соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое линейно связное пространство связно. Обратное не всегда верно: примерами связных пространств, которые не являются линейно связными, являются расширенная длинная линия L * и синусоидальная кривая тополога .

Однако подмножества действительной прямой R связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны; эти подмножества являются интервалами R . Кроме того, открытые подмножества R ⁿ или C ⁿ связаны тогда и только тогда, когда они линейно связны. Кроме того, связность и линейно связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Продукты пространств

Дан X такой, что

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

является декартовым произведением топологических пространств X _i , индексированных , и канонических проекций p i _:  X → X i _, топология произведения на X определяется как грубейшая топология (т.е. топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой все проекции p _i непрерывны . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова . ${\displaystyle i\in I}$

Открытые множества в топологии произведения являются объединениями (конечными или бесконечными) множеств вида , где каждое U _i открыто в X _i и U _i  ≠  X _i только конечное число раз. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) произведение базисных элементов X i _дает базис для произведения . ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

Топология произведения на X — это топология, порожденная множествами вида p _i ⁻¹ ( U ), где i принадлежит I , а U — открытое подмножество X _i . Другими словами, множества { p _i ⁻¹ ( U )} образуют предбазу для топологии на X . Подмножество X открыто тогда и только тогда , когда оно является (возможно, бесконечным) объединением пересечений конечного числа множеств вида p _i ⁻¹ ( U ). Иногда p _i ⁻¹ ( U ) называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — цилиндрическими множествами .

В общем случае произведение топологий каждого X _i образует основу для так называемой топологии ящика на X. В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

С компактностью связана теорема Тихонова : (произвольное) произведение компактных пространств компактно.

Аксиомы разделения

Многие из этих названий имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как объясняется в Истории аксиом разделения ; например, значения «нормальный» и «T ₄ » иногда меняются местами, аналогично «регулярный» и «T ₃ » и т. д. Многие из концепций также имеют несколько названий; однако то, которое указано первым, всегда менее всего склонно быть двусмысленным.

Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же значением; определения, данные здесь, попадают в последовательную модель, которая связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .

• X есть T0 , или Колмогоров , если любые две различные точки в X топологически различимы . (Среди аксиом разделения распространена идея иметь одну версию аксиомы, которая требует T0 , _и одну версию, которая этого не требует.)
• X есть T 1 , или достижимо или пространство Фреше , если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X есть T ₁ тогда и только тогда, когда оно есть и T ₀ , и R ₀ . (Хотя вы можете говорить о таких вещах, как пространство T ₁ , топология Фреше и Предположим, что топологическое пространство X есть пространство Фреше , избегайте говорить пространство Фреше в этом контексте, поскольку в функциональном анализе есть совершенно иное понятие пространства Фреше .)
• X является хаусдорфовым , или T ₂ или разделенным , если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является одновременно T ₀ и R ₁ . Хаусдорфово пространство также должно быть T ₁ .
• X является T 2½ , или пространством Урысона , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. Пространство AT _2½ также должно быть хаусдорфовым.
• X является регулярным , или T ₃ , если оно является T ₀ и если заданы любая точка x и замкнутое множество F в X, такие, что x не принадлежит F , то они разделены окрестностями. (На самом деле, в регулярном пространстве любые такие x и F также разделены замкнутыми окрестностями.)
• X является тихоновским , или T _3½ , полностью T ₃ или полностью регулярным , если он является T ₀ и если f, для любой точки x и замкнутого множества F в X, таких что x не принадлежит F , они разделены непрерывной функцией.
• X является нормальным , или T ₄ , если оно хаусдорфово и если любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (На самом деле, пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией; это лемма Урысона .)
• X полностью нормально , или T ₅ или полностью T ₄ , если это T ₁ и если любые два разделенных множества разделены соседями. Полностью нормальное пространство также должно быть нормальным.
• X является совершенно нормальным , или T ₆ или совершенно T ₄ , если оно является T ₁ и если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство должно быть также совершенно нормальным хаусдорфовым.

Теорема о расширении Титце : в нормальном пространстве каждая непрерывная действительная функция, определенная на замкнутом подпространстве, может быть расширена до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

Аксиомы счетности

Аксиома счетности — свойство некоторых математических объектов (обычно в категории ), требующее существования счетного множества с определенными свойствами, в то время как без него такие множества могли бы не существовать.

Важные аксиомы счетности для топологических пространств :

• последовательное пространство : множество открыто, если каждая последовательность, сходящаяся к точке в множестве, в конечном итоге оказывается в этом множестве
• пространство с первой счетностью : каждая точка имеет счетную соседнюю базу (локальную базу)
• второе счетное пространство : топология имеет счетную базу
• сепарабельное пространство : существует счетное плотное подпространство
• Пространство Линделёфа : каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие
• σ-компактное пространство : существует счетное покрытие компактными пространствами

Отношения:

• Каждое первое счетное пространство является последовательным.
• Каждое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности, является сепарабельным и линделефовым.
• Каждое σ-компактное пространство является линделёфовым.
• Метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.
• Для метрических пространств свойства вторичной счетности, отделимости и свойства Линделёфа эквивалентны.

Метрические пространства

Метрическое пространство ^[7] — это упорядоченная пара , где — множество, а — метрика на , т. е. функция ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

такой, что для любого выполняется следующее: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     ( неотрицательный ),
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ если и только если     ( тождественность неразличимых ), ${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     ( симметрия ) и
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     ( неравенство треугольника ).

Функцию также называют функцией расстояния или просто расстоянием . Часто опускается и просто пишут для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

Каждое метрическое пространство паракомпактно и хаусдорфово , а значит , нормально .

Теоремы метризации предоставляют необходимые и достаточные условия для того, чтобы топология возникла из метрики.

Теорема Бэра о категории

Теорема Бэра о категории гласит: если X — полное метрическое пространство или локально компактное хаусдорфово пространство, то внутренность любого объединения счетного числа нигде не плотных множеств пуста. ^[8]

Любое открытое подпространство пространства Бэра само является пространством Бэра.

Основные направления исследований

Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является заполняющая пространство кривая. Кривая Пеано изучается в теории континуума , разделе общей топологии .

Теория континуума

Континуум (pl continua ) — непустое компактное связное метрическое пространство , или, реже, компактное связное хаусдорфово пространство . Теория континуума — раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто возникают почти во всех областях топологии и анализа , и их свойства достаточно сильны, чтобы давать множество «геометрических» особенностей.

Динамические системы

Топологическая динамика касается поведения пространства и его подпространств с течением времени, когда они подвергаются непрерывным изменениям. Многие примеры с приложениями к физике и другим областям математики включают динамику жидкости , бильярды и потоки на многообразиях. Топологические характеристики фракталов во фрактальной геометрии, множеств Жюлиа и множества Мандельброта, возникающих в сложной динамике , и аттракторов в дифференциальных уравнениях часто имеют решающее значение для понимания этих систем. ^{[ необходима цитата ]}

Бессмысленная топология

Бесточечная топология (также называемая топологией без точек или топологией без точек ) — это подход к топологии , который избегает упоминания точек. Название «топология без точек» дано Джоном фон Нейманом . ^[9] Идеи топологии без точек тесно связаны с мереотопологиями , в которых регионы (множества) рассматриваются как фундаментальные без явной ссылки на базовые точечные множества.

Теория размерности

Теория размерности — раздел общей топологии, изучающий размерные инварианты топологических пространств .

Топологические алгебры

Топологическая алгебра A над топологическим полем K — это топологическое векторное пространство вместе с непрерывным умножением

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

что делает ее алгеброй над K. Унитальная ассоциативная топологическая алгебра является топологическим кольцом .

Термин был придуман Давидом ван Данцигом и появился в названии его докторской диссертации (1931).

Теория метризуемости

В топологии и смежных областях математики метризуемое пространство — это топологическое пространство , гомеоморфное метрическому пространству . То есть топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика ${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

такой, что топология, индуцированная d, равна . Теоремы метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было метризуемым. ${\displaystyle \tau }$

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология — это предмет, который объединяет теорию множеств и общую топологию. Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC). Знаменитая проблема — вопрос о нормальном пространстве Мура , вопрос в общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на вопрос о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.

Смотрите также

• Список примеров по общей топологии
• Глоссарий общей топологии для подробных определений
• Список тем общей топологии для связанных статей
• Категория топологических пространств

Ссылки

1. Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том 2. Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall, 2000.
2. Адамс, Колин Конрад и Роберт Дэвид Франзоса. Введение в топологию: чистую и прикладную. Pearson Prentice Hall, 2008.
3. Меррифилд, Ричард Э.; Симмонс, Говард Э. (1989). Топологические методы в химии . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. С. 16. ISBN 0-471-83817-9. Получено 27 июля 2012 г. . Определение. Набор B подмножеств топологического пространства (X,T) называется базисом для T, если каждое открытое множество может быть выражено как объединение членов B .
4. Армстронг, MA (1983). Базовая топология. Springer. стр. 30. ISBN 0-387-90839-0. Получено 13 июня 2013 г. . Предположим, что у нас есть топология на множестве X и набор открытых множеств, такой, что каждое открытое множество является объединением элементов . Тогда называется базой топологии... ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$
5. Мур, Э. Х.; Смит , Х. Л. (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики . 44 (2): 102–121. doi :10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
6. Гейне, Э. (1872). «Элементы функционирования». Журнал для королевы и математики . 74 : 172–188.
7. Морис Фреше представил метрические пространства в своей работе Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel , Rendic. Цирк. Мат. Палермо 22 (1906) 1–74.
8. Р. Бэр. Доступны функции переменных. Энн. ди Мат., 3:1–123, 1899.
9. Гаррет Биркгоф, ФОН НЕЙМАН И ТЕОРИЯ РЕШЕТОК , Джон фон Нейман 1903-1957 , Дж. К. Окстоли, Б. Дж. Петтис, Американское математическое общество, 1958, стр. 50-5

Дальнейшее чтение

Некоторые стандартные книги по общей топологии включают в себя:

• Бурбаки , Topologie Générale ( Общая топология ), ISBN 0-387-19374-X . 
• Джон Л. Келли (1955) Общая топология, ссылка из Архива Интернета , первоначально опубликовано компанией David Van Nostrand .
• Стивен Уиллард , Общая топология , ISBN 0-486-43479-6 . 
• Джеймс Манкрес , Топология , ISBN 0-13-181629-2 . 
• Джордж Ф. Симмонс , Введение в топологию и современный анализ , ISBN 1-575-24238-9 . 
• Пол Л. Шик, Топология: точечно-множественная и геометрическая , ISBN 0-470-09605-5 . 
• Рышард Энгелькинг , Общая топология , ISBN 3-88538-006-4 . 
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, В.М. Харламов и Н.Ю. Нецветаев, Элементарная топология: Учебник задач, ISBN 978-0-8218-4506-6 . 

Код темы arXiv — math.GN.

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Общая топология на Wikimedia Commons