Четырехградиентный

В дифференциальной геометрии четырёхградиент (или 4 - градиент ) является четырёхвекторным аналогом градиента из векторного исчисления . ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

В специальной теории относительности и квантовой механике четырёхградиент используется для определения свойств и отношений между различными физическими четырёхвекторами и тензорами .

Обозначения

В этой статье используется метрическая сигнатура (+ − − −) .

СР и ОТО — это аббревиатуры специальной теории относительности и общей теории относительности соответственно.

${\displaystyle c}$указывает скорость света в вакууме.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$— плоская метрика пространства-времени SR.

В физике существуют альтернативные способы записи четырехвекторных выражений:

• Можно использовать стиль четырех векторов: , который обычно более компактен и может использовать векторную нотацию (например, «точку» внутреннего продукта), всегда используя жирный верхний регистр для обозначения четырех векторов и жирный нижний регистр для обозначения 3- пространственные векторы, например . Большинство правил трехмерных векторов имеют аналоги в четырехвекторной математике. ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• Можно использовать стиль исчисления Риччи : , который использует обозначение тензорного индекса и полезен для более сложных выражений, особенно тех, которые включают тензоры с более чем одним индексом, например . ${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

Индекс латинского тензора находится в диапазоне {1, 2, 3} и представляет собой трехмерный вектор, например . ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

Индекс греческого тензора находится в диапазоне {0, 1, 2, 3} и представляет собой 4-вектор, например . ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

В физике СТО обычно используется краткая смесь, например , где представляет временной компонент и представляет пространственный 3-компонент. ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle a^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Тензоры в SR обычно представляют собой 4D -тензоры с верхними и нижними индексами, причем 4D указывает на 4 измерения = количество значений, которые может принимать каждый индекс. ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Тензорное сжатие, используемое в метрике Минковского, может идти в любую сторону (см. обозначения Эйнштейна ): ^{[1] : 56, 151–152, 158–161.}

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

Определение

4-градиентные ковариантные компоненты, компактно записанные в четырехвекторных обозначениях и обозначениях исчисления Риччи : ^{[2] [3] : 16}

$${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

Запятая в последней части выше подразумевает частичное дифференцирование по 4-й позиции . ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

Контравариантные компоненты: ^{[2] [3] : 16}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

Альтернативные символы для — и D (хотя могут также обозначать оператор Даламбера ). ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

В ОТО необходимо использовать более общий метрический тензор и тензорную ковариантную производную (не путать с векторным 3-градиентом ). ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Ковариантная производная включает в себя эффекты 4-градиента плюс кривизны пространства-времени через символы Кристоффеля. ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

Сильный принцип эквивалентности можно сформулировать так: ^{[4] : 184}

«Любой физический закон, который может быть выражен в тензорной записи в СТО, имеет точно такую ​​же форму в локально инерциальной системе отсчета искривленного пространства-времени». Запятые с 4 градиентами (,) в SR просто заменяются на ковариантные производные точки с запятой (;) в GR, причем связь между ними осуществляется с помощью символов Кристоффеля . В физике относительности это известно как «правило от запятой до точки с запятой».

Так, например, если в СР, то и в ОТО. ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

На (1,0)-тензоре или 4-векторе это будет: ^{[4] : ​​136–139.}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

На (2,0)-тензоре это будет:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

Применение

4-градиент используется в специальной теории относительности (СТО) по-разному :

В этой статье все формулы верны для плоских координат Минковского СТО, но их необходимо изменить для более общих координат искривленного пространства общей теории относительности (ОТО).

Как 4-дивергенция и источник законов сохранения

Дивергенция — это векторный оператор , который создает скалярное поле со знаком, указывающее количество источника векторного поля в каждой точке. Обратите внимание, что в этой метрической сигнатуре [+,−,−,−] 4-градиент имеет отрицательный пространственный компонент. Он отменяется при скалярном произведении 4D, поскольку метрика Минковского является диагональной [+1,−1,−1,−1].

4-расхождение 4-позиции дает размерность пространства -времени : ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

4-дивергенция 4-плотности тока

$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$

закон сохранениясохранение заряда^{[1] : 103–107}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

Это означает, что скорость изменения плотности заряда во времени должна равняться отрицательной пространственной дивергенции плотности тока . ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

Другими словами, заряд внутри ящика не может произвольно меняться, он должен входить в ящик и выходить из него посредством тока. Это уравнение непрерывности .

4-дивергенция 4-значного потока (4-пыль) используется при сохранении частиц: ^{[4] : 90–110} ${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

Это закон сохранения плотности числа частиц, обычно что-то вроде плотности барионов.

4-дивергенция электромагнитного 4-потенциала используется в калибровочном условии Лоренца : ^{[1] : 105–107} ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

Это эквивалент закона сохранения ЭМ 4-потенциала.

4-дивергенция поперечного бесследового 4D (2,0)-тензора, представляющего гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника). ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Поперечное состояние

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

4-дивергенция тензора энергии-импульса как сохраняющегося нётеровского тока , связанного с перемещениями пространства-времени , дает четыре закона сохранения в СТО: ^{[4] : ​​101–106} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Сохранение энергии (временное направление) и сохранение импульса (3 отдельных пространственных направления).

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

Часто пишут так:

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$

${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Когда сохранение тензора энергии-импульса ( ) ${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$ для идеальной жидкости сочетается с сохранением плотности числа частиц ( ), оба используют 4-градиент, можно вывести релятивистские уравнения Эйлера , которые в механике жидкости и астрофизике являются обобщение уравнений Эйлера , учитывающее эффекты специальной теории относительности . Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если скорость жидкости в трехмерном пространстве намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а в последней доминирует плотность массы покоя. ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент ( релятивистский угловой момент ) также сохраняется:

$${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

Как матрица Якобиана для метрического тензора С.Р. Минковского

Матрица Якобиана — это матрица всех частных производных первого порядка вектор -функции .

4-градиент , действующий на 4-позицию, дает метрику пространства С.Р. Минковского : ^{[3] : 16} ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

Для метрики Минковского компоненты ( не суммируются), причем все недиагональные компоненты равны нулю. ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ ${\displaystyle \mu }$

Для декартовой метрики Минковского это дает . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

Вообще, где находится 4D дельта Кронекера . ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$ ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

Как способ определения преобразований Лоренца

Преобразование Лоренца записывается в тензорной форме как ^{[4] : ​​69}

$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

$${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Таким образом, по определению 4-градиента

$${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Эта идентичность является фундаментальной. Компоненты 4-градиента преобразуются согласно инверсии компонентов 4-векторов. Таким образом, 4-градиент — это «архетипическая» форма.

Как часть полной производной по собственному времени

Скалярное произведение 4-скорости на 4-градиент дает полную производную по собственному времени : ^{[1] : 58–59} ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

Тот факт, что это скалярный инвариант Лоренца, показывает, что полная производная по собственному времени также является скалярным инвариантом Лоренца. ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Так, например, 4-скорость является производной 4-положения по собственному времени: ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

Другой пример: 4-ускорение является производной 4-скорости по собственному времени : ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

Как способ определения электромагнитного тензора Фарадея и вывода уравнений Максвелла

Электромагнитный тензор Фарадея — математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени физической системы. ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4} ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

Применяя 4-градиент для создания антисимметричного тензора, получаем:

$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• Электромагнитный 4-потенциал , не путать с 4-ускорением. ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• Электрический скалярный потенциал _ ${\displaystyle \phi }$
• Магнитный векторный потенциал в трехмерном пространстве равен ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Снова применив 4-градиент и определив плотность 4-тока , можно получить тензорную форму уравнений Максвелла : ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

тождества Бьянкитождества Якоби

Как способ определения 4-волнового вектора

Волновой вектор — это вектор , который помогает описать волну . Как и любой вектор, он имеет величину и направление , оба из которых важны: его величина — это либо волновое число , либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление обычно является направлением распространения волны .

4-волновой вектор — это 4-градиент отрицательной фазы (или отрицательный 4-градиент фазы) волны в пространстве Минковского: ^{[6] : 387} ${\displaystyle K^{\mu }}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

Это математически эквивалентно определению фазы волны ( или , точнее, плоской волны ):

$${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

где 4-позиция – временная угловая частота, – пространственный трехмерный волновой вектор и – скалярно-инвариантная фаза Лоренца. ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$

${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

Явный вид плоской волны СИ можно записать как: ^{[7] : 9} ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$

комплексная ${\displaystyle A_{n}}$

Общая волна будет представлять собой суперпозицию нескольких плоских волн: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

Снова используя 4-градиент,

$${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

комплексных плоских волн

Как оператор Даламбера

В специальной теории относительности, электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера, также называемый даламберианом или волновым оператором, является оператором Лапласа пространства Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Рона Даламбера.

Квадрат — это 4- лапласиан , который называется оператором Даламбера : ^{[5] : 300  [3] : 17–18  [6] : 41  [7] : 4} ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

Поскольку даламбериан представляет собой скалярное произведение двух 4-векторов, он является лоренц-инвариантным скаляром.

Иногда, по аналогии с трехмерными обозначениями, символы и используются для обозначения 4-градиента и даламбериана соответственно. Однако чаще этот символ используется для Даламбера. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Ниже приведены некоторые примеры 4-градиента, используемого в даламбериане:

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна-Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ):

$${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

В волновом уравнении электромагнитного поля (с использованием калибровки Лоренца ): ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• В вакууме:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• С 4-х токовым источником, не считая эффектов вращения:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• С источником квантовой электродинамики , включая эффекты спина:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

где:

• Электромагнитный 4-потенциал - это электромагнитный векторный потенциал. ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4-плотность тока — это плотность электромагнитного тока. ${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• Гамма-матрицы Дирака обеспечивают эффекты вращения. ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

В волновом уравнении гравитационной волны (с использованием аналогичной лоренцевской калибровки ) ^{[6] : 274–322} ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Дополнительные условия : ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• Чисто пространственный:
  $${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• Бесследно:
  $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• Поперечное:
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

В 4-мерной версии функции Грина :

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$

Delta

$${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

Как компонент 4D-теоремы Гаусса/теоремы Стокса/теоремы о дивергенции

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского, является результатом, который связывает поток (то есть поток ) векторного поля через поверхность с поведением векторного поля внутри поверхности. Точнее, теорема о дивергенции утверждает, что внешний поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции по области внутри поверхности. Интуитивно понятно, что сумма всех источников минус сумма всех поглотителей дает чистый поток из региона . В векторном исчислении и, в более общем смысле, в дифференциальной геометрии, теорема Стокса (также называемая обобщенной теоремой Стокса) представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем векторного исчисления.

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$представляет собой 4-векторное поле, определенное в ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$это 4-дивергенция ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$является компонентом вдоль направления ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$представляет собой четырехмерную односвязную область пространства-времени Минковского.
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$это его трехмерная граница с собственным элементом трехмерного объема ${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$это норма, направленная наружу
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$— элемент дифференциального объема 4D

Как компонента уравнения С.Р. Гамильтона–Якоби в релятивистской аналитической механике.

Уравнение Гамильтона -Якоби (HJE) представляет собой формулировку классической механики, эквивалентную другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и механика Гамильтона . Уравнение Гамильтона-Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможно, даже если сама механическая проблема не может быть решена полностью. ГЭЭ также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы можно представить в виде волны. В этом смысле HJE выполнил давнюю цель теоретической физики (по крайней мере, Иоганна Бернулли в 18 веке) найти аналогию между распространением света и движением частицы.

Обобщенный релятивистский импульс частицы можно записать как ^{[1] : 93–96} ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$

$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

По сути, это 4-полный импульс системы; пробная частица в поле с использованием правила минимальной связи . Существует собственный импульс частицы плюс импульс, обусловленный взаимодействием с ЭМ 4-векторным потенциалом через заряд частицы . ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle q}$

Релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби получается, если положить полный импульс равным отрицательному 4-градиенту действия . ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

где гамильтониан. ${\displaystyle H}$

На самом деле это связано с тем, что 4-волновой вектор равен отрицательному 4-градиенту фазы сверху. ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

Чтобы получить HJE, сначала используется правило скалярного инварианта Лоренца для 4-импульса:

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

Но из правила минимальной связи :

$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

Так:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Разбивка на временную и пространственную составляющие:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

где финалом является релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби .

Как компонент соотношений Шредингера в квантовой механике.

4-градиент связан с квантовой механикой .

Связь между 4-импульсом и 4-градиентом дает КМ-соотношения Шредингера . ^{[7] : 3–5} ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

На самом деле это может состоять из двух отдельных этапов.

Первый: ^{[1] : 82–84.}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$

(Временная компонента) Отношение Планка – Эйнштейна ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

Волновое соотношение материи де Бройля (пространственные компоненты) ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Второй: ^{[5] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

уравнениякомплексных плоских волн

Временная составляющая дает: ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

Как компонента ковариантной формы квантового коммутационного соотношения

В квантовой механике (физике) каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые связаны по определению так, что одно является преобразованием Фурье другого).

• По данным: ^{[7] : 4}
  $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• Беря пространственные компоненты,
  $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• С , ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$
  $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• С , ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$
  $${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• А перемаркировка индексов дает обычные правила квантовой коммутации:
  $${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

Как компонент волновых уравнений и токов вероятности в релятивистской квантовой механике.

4-градиент является компонентом нескольких релятивистских волновых уравнений: ^{[5] : 300–309  [3] : 25, 30–31, 55–69.}

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна-Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ): ^{[7] : 5}

$${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

В релятивистском квантовом волновом уравнении Дирака для частиц со спином 1/2 (например, электронов ): ^{[7] : 130}

$${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

где – гамма-матрицы Дирака , – релятивистская волновая функция . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$является скаляром Лоренца для уравнения Клейна – Гордона и спинором для уравнения Дирака.

Приятно, что сами гамма-матрицы отсылают к фундаментальному аспекту СТО — метрике Минковского: ^{[7] : 130}

$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

Сохранение плотности тока с 4-вероятностью следует из уравнения неразрывности: ^{[7] : 6}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

Плотность тока с 4-вероятностью имеет релятивистско-ковариантное выражение: ^{[7] : 6}

$${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Плотность тока 4-х зарядов равна заряду ( q ), умноженному на плотность тока 4-вероятности: ^{[7] : 8}

$${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Как ключевой компонент в выводе квантовой механики и релятивистских квантовых волновых уравнений из специальной теории относительности.

Релятивистские волновые уравнения используют 4-векторы, чтобы быть ковариантными. ^{[3] [7]}

Начните со стандартных SR 4-векторов: ^[1]

• 4-позиционный ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• 4-скоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• 4-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4-волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-градиент ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

Обратите внимание на следующие простые соотношения из предыдущих разделов, где каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

• 4-скорость , где находится собственное время ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$
• 4-импульс , где масса покоя ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$ ${\displaystyle m_{0}}$
• 4-волновой вектор , который представляет собой 4-векторную версию соотношения Планка-Эйнштейна и волнового соотношения материи де Бройля. ${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$
• 4-gradient , который является 4-градиентной версией комплексных плоских волн. ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Последнее уравнение (с 4-градиентным скалярным произведением) представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.

Применительно к скалярному полю Лоренца получается уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений : ^{[7] : 5–8.} ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

Уравнение Шредингера представляет собой предельный случай малых скоростей ( | v | ≪ c ) уравнения Клейна – Гордона . ^{[7] : 7–8}

Если квантовое соотношение применить к 4-векторному полю вместо скалярного поля Лоренца , то получится уравнение Прока : ^{[7] : 361} ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла :

$${\displaystyle [{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Более сложные формы и взаимодействия можно получить, используя правило минимальной связи :

Как компонент ковариантной производной RQM (внутренние пространства частиц)

В современной физике элементарных частиц можно определить калибровочную ковариантную производную , которая использует дополнительные поля RQM (внутренние пространства частиц), которые, как теперь известно, существуют.

Версия, известная из классической ЭМ (в натуральных единицах): ^{[3] : 39.}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$$

Полная ковариантная производная фундаментальных взаимодействий Стандартной модели , о которой мы сейчас знаем (в натуральных единицах ): ^{[3] : 35–53.}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{2}}\tau _{i}\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{2}}\lambda _{a}\cdot G_{a}^{\mu }}$$

$${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\partial }}-ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}_{i}\cdot \mathbf {W} _{i}-ig_{3}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\lambda }}_{a}\cdot \mathbf {G} _{a}}$$

где суммирование скалярных произведений ( ) здесь относится к внутренним пространствам, а не к индексам тензора: ${\displaystyle \cdot }$

• ${\displaystyle B^{\mu }}$соответствует U(1) инвариантности = (1) ЭМ силовой калибровочный бозон
• ${\displaystyle W_{i}^{\mu }}$соответствует SU(2) -инвариантности = (3) слабые силовые калибровочные бозоны ( i = 1, …, 3)
• ${\displaystyle G_{a}^{\mu }}$соответствует SU(3) -инвариантности = (8) цветовые силовые калибровочные бозоны ( a = 1, …, 8)

Константы связи — это произвольные числа, которые необходимо обнаружить экспериментально. Стоит подчеркнуть, что для неабелевых преобразований, если они фиксированы для одного представления, они известны для всех представлений. ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle g_{i}}$

Эти внутренние пространства частиц были обнаружены эмпирически. ^{[3] : 47}

Вывод

В трех измерениях оператор градиента отображает скалярное поле в векторное поле так, что линейный интеграл между любыми двумя точками векторного поля равен разнице между скалярным полем в этих двух точках. Исходя из этого, может показаться неправильным , что естественное расширение градиента до 4 измерений должно быть:

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }{\overset {?}{=}}\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right),}$$

неверно

Однако линейный интеграл предполагает применение векторного скалярного произведения, и когда оно распространяется на 4-мерное пространство-время, вносится изменение знака либо к пространственным координатам, либо к временной координате, в зависимости от используемого соглашения. Это связано с неевклидовой природой пространства-времени. В этой статье мы ставим отрицательный знак пространственным координатам (соглашение о положительной по времени метрике ). Коэффициент (1/ c ) предназначен для сохранения правильной единичной размерности [длина] ⁻¹ для всех компонентов 4-вектора, а коэффициент (−1) предназначен для сохранения лоренц-коварианта 4-градиента . Добавление этих двух поправок к приведенному выше выражению дает правильное определение 4-градиента: ^{[1] : 55–56  [3] : 16} ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

Смотрите также

• Четырехвекторный
• Четырехпозиционный
• Четырехскоростной
• Четырехскоростной
• Четырехимпульсный
• Четыре силы
• Четырехточечный
• Четырехпотенциальный
• Четырехчастотный
• Четырехволновой вектор
• Четырехспиновый
• исчисление Риччи
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Обозначение Эйнштейна
• Повышение и понижение индексов
• Обозначение абстрактного индекса
• Ковариантность и контравариантность векторов

Рекомендации

Примечание о ссылках

Что касается использования скаляров, 4-векторов и тензоров в физике, разные авторы используют несколько разные обозначения для одних и тех же уравнений. Например, некоторые используют инвариантную массу покоя, другие используют инвариантную массу покоя и используют релятивистскую массу. Многие авторы устанавливают коэффициенты и и безразмерной единицы. Другие показывают некоторые или все константы. Некоторые авторы используют скорость, другие — . Некоторые используют в качестве 4-волнового вектора (на произвольном примере). Другие используют или или или или или и т. д. Некоторые пишут 4-волновой вектор как , некоторые как или или или или или . Некоторые будут следить за тем, чтобы единицы измерения совпадали по всему 4-вектору, другие — нет. Некоторые ссылаются на временную составляющую в названии 4-вектора, другие — на пространственную составляющую в имени 4-вектора. Некоторые смешивают их на протяжении всей книги, иногда используя одно, а затем другое. Некоторые используют метрику (+ − − −) , другие используют метрику (− + + +) . Некоторые не используют 4-векторы, а делают все как в старом стиле E и 3-мерный вектор p . Дело в том, что все это всего лишь стили обозначений, некоторые из которых более ясны и кратки, чем другие. Физика та же самая, если на протяжении всего вывода используется единый стиль. ^{[7] : 2–4} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }}$ ${\displaystyle K^{\nu }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)}$ ${\displaystyle \left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\right)}$

1. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. ISBN 0-19-853952-5.
2. Кембриджский справочник физических формул, Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 
3. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (обновленное издание). ISBN издательства Addison-Wesley Publishing Co. 0-201-62460-5.
4. Shultz, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27703-5.
5. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: Очерк для математиков (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27765-5.
6. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). ISBN издательства Addison-Wesley Publishing Co. 0-8053-8732-3.
7. Грейнер, Уолтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-67457-8.

дальнейшее чтение

• С. Хильдебрандт, «Анализ II» (Исчисление II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003 г. 
• Л. К. Эванс, «Уравнения в частных производных», AMSociety, Grad.Studies Vol.19, 1988 г.
• Дж. Д. Джексон, «Классическая электродинамика», глава 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X