Леонард Эйлер

Швейцарский математик (1707–1783)

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ; ^[b] немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ^ⓘ ,швейцарский стандартный немецкий:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) былшвейцарскимматематиком,физиком,астрономом,географом,логикомиинженером, который основал исследованиятеории графовитопологиии сделал пионерские и влиятельные открытия во многих других разделах математики, таких каканалитическая теория чисел,комплексный анализиисчисление бесконечно малых. Он ввел большую часть современной математической терминологии иобозначений, включая понятиематематической функции.^[6]Он также известен своими работами в областимеханики,гидродинамики,оптики,астрономииитеории музыки.^[7]

Эйлер считается одним из величайших, самых плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, которые создали свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, как показывают цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он учитель для всех нас». ^{[8] [c]} Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не может заменить его». ^{[9] [d]} Его 866 публикаций, а также его переписка собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . ^{[11] [12] [13]} Он провел большую часть своей взрослой жизни в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы (строчной пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также первое использование обозначения для значения функции, буквы для выражения мнимой единицы , греческой буквы (заглавной сигмы ) для выражения сумм , греческой буквы (заглавной дельты ) для обозначения конечных разностей и строчных букв для обозначения сторон треугольника, а также представление углов заглавными буквами. ^[14] Он дал современное определение константы , основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . ^[15] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle e}$

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи мостов Кёнигсберга , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, предоставлением решения нескольких нерешенных проблем в теории чисел и анализе, включая знаменитую Базельскую проблему . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма чисел вершин и граней за вычетом числа ребер многогранника равна 2, числу, теперь общеизвестному как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер переформулировал законы физики Ньютона в новые законы в своем двухтомном труде Mechanica, чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес значительный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранний период жизни

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора Реформатской церкви Павла III Эйлера и Маргариты (урожденной Брукер), среди предков которой было много известных ученых-классиков. ^[16] Он был старшим из четырех детей, у него было две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат, Иоганн Генрих. ^{[17] [16]} Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риен , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви, и Леонард провел большую часть своего детства. ^[16]

С юных лет Эйлер обучался математике у своего отца, который несколько лет назад посещал курсы Якоба Бернулли в Базельском университете . Примерно в возрасте восьми лет Эйлера отправили жить в дом его бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное обучение у Иоганнеса Буркхардта, молодого теолога с живым интересом к математике. ^[16]

В 1720 году, в возрасте тринадцати лет, Эйлер поступил в Базельский университет . ^[7] Посещение университета в столь юном возрасте не было необычным в то время. ^[16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (который учил отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер так описал Бернулли в своей автобиографии: ^[18]

«знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] счел для себя особым удовольствием помогать мне в математических науках. Однако от частных уроков он отказался из-за своего плотного графика. Однако он дал мне гораздо более полезный совет, который заключался в том, чтобы я раздобыл несколько наиболее трудных математических книг и работал над ними с большим усердием, и если бы я столкнулся с какими-либо возражениями или трудностями, он предоставил бы мне свободный доступ к нему каждую субботу после обеда, и он был настолько любезен, что прокомментировал собранные трудности, что было сделано с таким желаемым преимуществом, что, когда он разрешил одно из моих возражений, десять других сразу исчезли, что, безусловно, является лучшим методом для успешного продвижения в математических науках».

Именно в это время Эйлер, при поддержке Бернулли, получил согласие отца стать математиком, а не пастором. ^{[19] [20]}

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии , защитив диссертацию, в которой сравнил философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . ^[16] После этого он поступил на теологический факультет Базельского университета. ^[20]

В 1726 году Эйлер завершил диссертацию о распространении звука под названием De Sono ^{[21] [22],} с которой он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. ^[23] В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на премию Парижской академии (ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года) ^{[24] . Задача, поставленная в том году, состояла в том, чтобы найти наилучший способ размещения} мачт на корабле. Пьер Бугер , который стал известен как «отец корабельной архитектуры», победил, а Эйлер занял второе место. ^[25] За эти годы Эйлер участвовал в этом конкурсе 15 раз, ^[24] выиграв 12 из них. ^[25]

Карьера

Санкт-Петербург

Почтовая марка Советского Союза 1957 года, посвященная 250-летию со дня рождения Эйлера. Текст гласит: 250 лет со дня рождения великого математика, академика Леонарда Эйлера.

Двое сыновей Иоганна Бернулли, Даниил и Николай , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру заверение, что они порекомендуют его на должность, когда таковая появится. ^[23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. ^{[26] [27]} Когда Даниил занял должность своего брата в отделении математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность по физиологии занял его друг Эйлер. ^[23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, пока безуспешно подавал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. ^[23]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. ^{[23] [20]} Он был повышен с должности младшего специалиста в медицинском отделении академии до должности в математическом отделении. Он поселился у Даниила Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. ^[28] Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу в качестве врача в российском флоте . ^[29]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. ^[25] Благодетельница академии, Екатерина I , которая продолжила прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла до прибытия Эйлера в Санкт-Петербург. ^[30] Затем русское консервативное дворянство получило власть после восхождения на престол двенадцатилетнего Петра II . ^[30] Дворянство, подозрительно относящееся к иностранным ученым академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег и предотвратило поступление иностранных и неаристократических студентов в гимназию и университеты. ^[30]

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находившаяся под влиянием Германии Анна Российская . ^[31] Эйлер быстро продвигался по служебной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики . ^[31] Он также покинул российский флот, отказавшись от повышения до лейтенанта . ^[31] Два года спустя Даниил Бернулли, устав от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер стал его преемником на посту главы математического факультета. ^[32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля . ^[33] Фридрих II предпринял попытку завербовать Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер изначально предпочел остаться в Санкт-Петербурге. ^[34] Но после смерти императрицы Анны и согласия Фридриха II выплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России) он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, утверждая, что ему нужен более мягкий климат для его зрения. ^[34] Российская академия дала свое согласие и стала выплачивать ему 200 рублей в год как одному из ее действительных членов. ^[34]

Берлин

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер покинул Санкт-Петербург в июне 1741 года, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий из Пруссии . ^[35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. ^[20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием Introductio in analysin infinitorum , а в 1755 году был опубликован текст о дифференциальном исчислении под названием Institutiones calculi differentis . ^{[36] [37]} В 1755 году он был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук ^[38] и Французской академии наук . ^[39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. ^{[40] [41]} В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. ^[20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. ^{[42] [43]}

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. Он написал ей более 200 писем в начале 1760-х годов, которые позже были собраны в том под названием « Письма Эйлера о различных предметах натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . ^[44] Эта работа содержала изложение Эйлером различных предметов, относящихся к физике и математике, и предлагала ценные сведения о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в Соединенных Штатах и ​​стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность «Писем» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного исследователю ученого. ^[37]

Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что он был выдвинут в качестве кандидата на пост президента Жаном Лероном Д'Аламбером , Фридрих II назвал себя ее президентом. ^[43] У прусского короля был большой круг интеллектуалов при дворе, и он нашел математика неискушенным и плохо информированным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, искренне религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые верования. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , который пользовался высоким престижем при дворе Фридриха. Эйлер не был искусным спорщиком и часто считал обязательным обсуждать темы, в которых он мало что знал, что делало его частой мишенью для острот Вольтера. ^[37] Фридрих также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Я хотел иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в резервуар, откуда она должна была падать обратно по каналам, наконец, вырываясь в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к резервуару. Суета сует! Суета геометрии! ^[45]

Однако разочарование было почти наверняка необоснованным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, скорее всего, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть дисфункциональным. ^[46]

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесную связь с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 работ в России. ^[47] Он также помогал студентам из Санкт-Петербургской академии и время от времени размещал русских студентов в своем доме в Берлине. ^[47] В 1760 году, когда бушевала Семилетняя война , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. ^[42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, нанесенный имению Эйлера, а императрица Елизавета Петровна позже добавила еще 4000 рублей — непомерную сумму по тем временам. ^[48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. ^[49]

В берлинские годы (1741–1766) Эйлер был на пике своей продуктивности. Он написал 380 работ, 275 из которых были опубликованы. ^[50] Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Introductio in Analysin Infinitorum Эйлера было опубликовано в двух частях в 1748 году. В дополнение к собственным исследованиям Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом и публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. ^[51] Он даже принимал участие в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. ^[52]

Вернуться в Россию

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Санкт-Петербургскую академию. Его условия были весьма непомерными — 3000 рублей годового жалования, пенсия для жены и обещание высоких должностей для его сыновей. В университете ему помогал его ученик Андерс Иоганн Лекселл . ^[53] Когда он жил в Санкт-Петербурге, пожар в 1771 году уничтожил его дом. ^[54]

Личная жизнь

7 января 1734 года он женился на Катарине Гзелль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника из Академической гимназии в Санкт-Петербурге. ^[33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из их тринадцати детей только пятеро пережили детство ^[55] , трое сыновей и две дочери ^[56] . Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах ^[56] .

Через три года после смерти жены в 1773 году ^[54] Эйлер женился на ее единокровной сестре Саломее Абигайль Гзелль (1723–1794). ^[57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Санкт-Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. ^[34]

Ухудшение зрения

Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он почти умер от лихорадки, ^[58] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер обвинил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Санкт-Петербургской академии, ^[59] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. ^{[60] [61]} Зрение Эйлера на этом глазу ухудшалось на протяжении всего его пребывания в Германии, до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер заметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». ^[59] В 1766 году у него обнаружили катаракту на левом глазу. Хотя удаление катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге сделали его почти полностью слепым и на левый глаз. ^[39] Однако его состояние, по-видимому, мало повлияло на его производительность. С помощью его писцов производительность Эйлера во многих областях исследований возросла; ^[62] а в 1775 году он выпускал в среднем одну математическую работу каждую неделю. ^[39]

Смерть

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Юханом Лекселлем, когда он упал и умер от кровоизлияния в мозг . ^[60] Якоб фон Штелин  [de] написал краткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николя Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробную панегирик, ^[55] который он произнес на мемориальном собрании. В своей панегирике Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе написал:

Могила Эйлера в Александро-Невской лавре

il cessa de Calculer et de vivre — … он перестал считать и жить. ^[63]

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро-Невской лавры . [ ^64]

Вклад в математику и физику

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он является основополагающей фигурой в истории математики; если бы его работы были напечатаны, многие из которых представляют фундаментальный интерес, заняли бы от 60 до 80 томов кварто. ^[39] Имя Эйлера связано с большим количеством тем . Работы Эйлера в среднем составляют 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Было подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти объединенных результатов по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. ^[14]

Математическая нотация

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений с помощью своих многочисленных и широко распространенных учебников. В частности, он ввел понятие функции [ ^6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f, примененной к аргументу x . Он также ввел современную нотацию для тригонометрических функций , букву e для основания натурального логарифма (теперь также известную как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . ^[65] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно возникло благодаря валлийскому математику Уильяму Джонсу . ^[66]

Анализ

Развитие исчисления бесконечно малых было на переднем крае математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение исчисления стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости ^[67] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим великим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов , выражения функций в виде сумм бесконечного числа членов, ^[68] таких как $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить Базельскую проблему , найдя сумму обратных квадратов каждого натурального числа в 1735 году (он представил более подробное обоснование в 1741 году). Базельская проблема была первоначально поставлена ​​Пьетро Менголи в 1644 году, и к 1730-м годам стала известной открытой проблемой, популяризированной Якобом Бернулли и безуспешно атакованной многими ведущими математиками того времени. Эйлер обнаружил, что: ^{[69] [70] [67]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Эйлер ввел константу, теперь известную как константа Эйлера или константа Эйлера-Маскерони, и изучил ее связь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана . ^[71] $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Эйлер ввел использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математических приложений логарифмов. ^[65] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и открыл ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (принятого в радианах) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

которую Ричард П. Фейнман назвал «самой замечательной формулой в математике» . ^[72]

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера . $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию ^{[73] [74]} и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . ^[75] Он нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, предвосхитив развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа для сведения задач оптимизации в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. Тем самым он объединил две разрозненные ветви математики и ввел новую область изучения — аналитическую теорию чисел . Прокладывая путь для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя расходимость гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределены простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к разработке теоремы о простых числах . ^[76]

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно проследить под влиянием Христиана Гольдбаха ^[77], его друга по Санкт-Петербургской академии. ^[58] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, такие как его гипотеза о том, что все числа вида ( числа Ферма ) являются простыми. ^[78] ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$

Эйлер связал природу распределения простых чисел с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных величин простых чисел расходится . При этом он открыл связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . ^[79]

Эйлер изобрел функцию тотиента φ( n ), число положительных целых чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . ^[80] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая увлекала математиков со времен Евклида . Он доказал, что показанная связь между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он доказал ранее) была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида–Эйлера . ^[81] Эйлер также выдвинул гипотезу о законе квадратичной взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работы Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . ^[82] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 ³¹  − 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. ^[83]

Эйлер также внес значительный вклад в теорию разбиений целого числа . ^[84]

Теория графов

Карта Кёнигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , выделяя реку Прегель и мосты.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кёнигсберга» . ^[85] Город Кёнигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, возможно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: не существует эйлерова контура . Это решение считается первой теоремой теории графов . ^[85]

Эйлер также открыл формулу, связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника ^[86] и , следовательно, планарного графа . Константа в этой формуле теперь известна как характеристика Эйлера для графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта ^[87] . Изучение и обобщение этой формулы, в частности, Коши ^[88] и Люилье ^[89] лежит в основе топологии ^[86] . ${\displaystyle V-E+F=2}$

Физика, астрономия и инженерия

Некоторые из величайших успехов Эйлера были в аналитическом решении реальных проблем и в описании многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, которые упростили применение исчисления к физическим проблемам. Он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что сейчас известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера ^[90] и формула Эйлера–Маклорена . ^{[91] [92] [93]}

Эйлер помог разработать уравнение Эйлера-Бернулли для пучка , которое стало краеугольным камнем инженерии. ^[94] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к проблемам классической механики , Эйлер применял эти методы к небесным проблемам. Его работа в астрономии была отмечена многочисленными премиями Парижской академии на протяжении всей его карьеры. Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и вычисление параллакса Солнца . Его вычисления способствовали разработке точных таблиц долготы . ^[95]

Эйлер внес важный вклад в оптику . ^{[96] Он не соглашался с} корпускулярной теорией света Ньютона , ^[97] которая была господствующей теорией того времени. Его работы 1740-х годов по оптике помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере до разработки квантовой теории света . ^[98]

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19 века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его связанной работы по эффективности турбин . ^[99] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого потока в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . ^[100]

Эйлер хорошо известен в строительной инженерии своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . ^[101]

Логика

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . ^[102]

Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их взаимосвязей. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно окружностей) на плоскости, которые изображают множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры или формы кривых не важны; значение диаграммы заключается в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни то, ни другое), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет множество элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, которая полностью содержится во внутренней зоне другой, представляет ее подмножество .

Диаграммы Эйлера (и их уточнение до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. ^[103] С тех пор они стали широко использоваться как способ визуализации комбинаций характеристик. ^[104]

Музыка

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( Попытка новой теории музыки ), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию в математику. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. ^[105] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический, ^[106] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. ^[107] Его труды о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц из его общего объема около тридцати тысяч страниц), но они отражают раннюю озабоченность, которая оставалась с ним на протяжении всей его жизни. ^[106]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», т. е. возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 ^m A, где A — «показатель» жанра (т. е. сумма показателей 3 и 5), а 2 ^m (где «m — неопределенное число, малое или большое, при условии, что звуки воспринимаются» ^[108] ), выражает, что отношение сохраняется независимо от количества соответствующих октав. Первый жанр, с A = 1, — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 ^m .3, — это октава, деленная на квинту (квинта + кварта, C–G–C); третий жанр — 2 ^m .5, большая терция + малая секста (C–E–C); четвертый - 2 ^m .3 ² , две четверти и тон (C–F–B ♭ –C); пятый - 2 ^m .3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанры 12 (2 ^m .3 ³ .5), 13 (2 ^m .3 ² .5 ² ) и 14 (2 ^m .3.5 ³ ) являются исправленными версиями диатонического , хроматического и энгармонического , соответственно, Древних. Жанр 18 (2 ^m .3 ³ .5 ² ) является «диатонико-хроматическим», «используемым в целом во всех композициях», ^[109] и который оказывается идентичным с системой, описанной Иоганном Маттезоном . ^[110] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. ^[111]

Эйлер разработал специальный график, Speculum musicum , ^{[112] [113]} для иллюстрации диатонико-хроматического жанра и обсудил пути в этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше). Устройство привлекло новый интерес как Tonnetz в неоримановой теории (см. также Lattice (music) ). ^[114]

Эйлер далее использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени мягкости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – следует иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. ^[115] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме, где p _i – простые числа, а k _{i –} их показатели степеней. ^[116] $${\displaystyle ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}$$

Личная философия и религиозные убеждения

Эйлер был религиозным человеком на протяжении всей своей жизни. ^[20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Писем к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( Защита Божественного Откровения от Возражений Свободомыслящих ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который верил, что Библия вдохновлена; « Rettung» был в первую очередь аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . ^{[117] [118]}

Эйлер выступал против концепций монадизма Лейбница и философии Христиана Вольфа . ^[119] Эйлер настаивал на том, что знание основано частично на основе точных количественных законов, чего монадизм и вольфианская наука не могли предоставить. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». ^[120]

Существует известная легенда ^[121], вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами о религии, которая происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма оказали влияние на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили встретиться с французом. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть доказательство, как оно было представлено в суде. Эйлер появился, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности объявил этот non sequitur :

«Сэр, следовательно, Бог существует – ответьте!» ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$

Дидро, для которого (как гласит история) вся математика была тарабарщиной, стоял онемевший, когда со двора раздался взрыв смеха. Смущенный, он попросил разрешения покинуть Россию, и императрица любезно удовлетворила его просьбу. Как бы забавен ни был этот анекдот, он апокрифический, учитывая, что сам Дидро занимался исследованиями в области математики. ^[122] Легенда, по-видимому, была впервые рассказана Дьедонне Тиебо с приукрашиванием Августа де Моргана . ^[121]

Поминки

Портрет Эйлера на шестой серии банкноты достоинством 10 франков

Портрет Эйлера на седьмой серии банкноты достоинством 10 франков

Эйлер был изображен на шестой ^[123] и седьмой ^[124] серии швейцарской 10- франковой банкноты и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В 1782 году он был избран иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук . ^[125] Астероид 2002 Эйлер был назван в его честь. ^[126]

Избранная библиография

У Эйлера обширная библиография . Среди его книг:

• Механика (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio jobatis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (1744) ^[127] ( Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решения изопериметрических задач в самом широком принятом смысле ) ^[128]
• Introductio in analysin infinitorum (1748) ^{[129] [130]} ( Введение в анализ бесконечности ) ^[131]
• Institutiones Calculi Differentialis (1755) ^{[130] [132]} ( Основы дифференциального исчисления )
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) ^[130] ( Элементы алгебры )
• Institutiones Calculi Integralis (1768–1770) ^[130] ( Основы интегрального исчисления )
• Письма к немецкой принцессе (1768–1772) ^[37]
• Dioptrica , изданная в трех томах, начиная с 1769 года ^[96]

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была индивидуально опубликована ^[133] , а дополнительная партия из 61 неопубликованной работы была обнаружена Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фуса ) и опубликована в виде сборника в 1862 году. ^{[133] [134]} Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестрёмом и публиковался с 1910 по 1913 год. ^[135] Каталог, известный как индекс Энестрёма , нумерует работы Эйлера от E1 до E866. ^[136] Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже ^[137], а затем переехал в Математическую ассоциацию Америки ^[138] и совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году. ^[139]

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в 19 веке ^[133] первый том Opera Omnia был опубликован в 1911 году. ^[140] Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера неуклонно продвигалась вперед, и к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. ^{[141] [12] [14]} Эти тома организованы в четыре серии. Первая серия объединяет работы по анализу, алгебре и теории чисел; она состоит из 29 томов и чисел объемом более 14 000 страниц. 31 том Серии II, общий объем которых составляет 10 660 страниц, содержит работы по механике, астрономии и инженерии. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, которая содержит огромное количество переписки Эйлера, неопубликованных рукописей и заметок, начала собираться только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов Серии IV, в 2022 году проект решил опубликовать оставшиеся запланированные тома Серии IV только в онлайн-формате. ^{[12] [140] [14]}

• 
  Иллюстрация из «Решения проблем... а». Предложения 1743 г. опубликованы в Acta Eruditorum , 1744 г.
• 
  Титульный лист книги Эйлера Methodus inveniendi lineas curvas.
• 
  Карта мира Эйлера 1760 года
• 
  Карта Африки Эйлера 1753 года

Примечания

1. Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент научного руководителя Лагранжа. ^[1]
2. Произношение / ˈ juː l ər / YOO -lər считается неправильным. ^{[2] [3] [4] [5]}
3. Цитата появилась в обзоре Гульемо Либри недавно опубликованного сборника переписки математиков восемнадцатого века: « ... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche: «Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous». " [...напомним, что сам Лаплас... не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: "Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем".] ^{[ 142]}
4. Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: ^[10] « Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, [...] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird » [Специальная публикация небольших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для ученых. различные математические области, которые невозможно заменить ничем другим.]

Ссылки

1. Леонард Эйлер в проекте «Генеалогия математики». Получено 2 июля 2021 г.; Архивировано
2. "Эйлер". Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Oxford University Press . 1989.
3. "Euler". Онлайн-словарь Merriam–Webster . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009. Получено 5 июня 2009 .
4. "Эйлер, Леонард". Американский словарь наследия английского языка (5-е изд.). Бостон: Houghton Mifflin Company . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Получено 30 мая 2013 года .
5. Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Oxford University Press . стр. 43. ISBN 978-0-19-921842-4.
6. Dunham 1999, стр. 17.
7. Debnath, Lokenath (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань уважения трехсотлетию. Лондон: Imperial College Press. стр. vii. ISBN 978-1-84816-525-0.
8. Данэм 1999, стр. xiii «Лисез Эйлер, Лисез Эйлер, c'est notre maître à tous».
9. Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). "Эйлер, Леонард (1707–1783)". Энциклопедия математического образования . Routledge . стр. 235. ISBN 978-0-415-76368-4.
10. Фусс, Пол Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 года».
11. "Leonhardi Euleri Opera Omnia (LEOO)". Bernoulli Euler Center . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Получено 11 сентября 2022 года .
12. "The works". Bernoulli-Euler Society . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Получено 11 сентября 2022 года .
13. Гаучи 2008, стр. 3.
14. Ассад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: краткая оценка». Networks . 49 (3): 190–198. doi :10.1002/net.20158. S2CID  11298706.
15. Boyer, Carl B (1 июня 2021 г.). "Леонард Эйлер". Encyclopedia Britannica . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 г. . Получено 27 мая 2021 г. .
16. Гаучи 2008, стр. 4.
17. Калинджер 2016, стр. 11.
18. Гаучи 2008, стр. 5.
19. Калинджер 1996, стр. 124.
20. Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). Zum Werk Леонард Эйлерс: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1. ISBN 978-3-0348-7122-8.
21. Калинджер 2016, стр. 32.
22. Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: E. и JR Thurnisiorum. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 г. Получено 6 июня 2021 г. – через архив Эйлера.
    Перевод на английский язык: Bruce, Ian. "Euler's Dissertation De Sono: E002" (PDF) . Некоторые математические работы XVII и XVIII веков, включая Newton's Principia, Euler's Mechanica, Introductio in Analysin и т. д., переведенные в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 г. Получено 12 июня 2021 г.
    
23. Calinger 1996, стр. 125.
24. "The Paris Academy". Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 г. Получено 29 июля 2021 г.
25. Calinger 1996, стр. 156.
26. Калинджер 1996, стр. 121–166.
27. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Николаус (II) Бернулли". Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .Получено 2 июля 2021 г.
28. Кэлинджер 1996, стр. 126–127.
29. Калинджер 1996, стр. 127.
30. Calinger 1996, стр. 126.
31. Calinger 1996, стр. 128.
32. Кэлинджер 1996, стр. 128–129.
33. Gekker & Euler 2007, с. 402.
34. Calinger 1996, стр. 157–158.
35. Гаучи 2008, стр. 7.
36. Эйлер, Леонард (1787). «Institutiones Calculi Differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 1 . Петри Галеатии: 1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
37. Dunham 1999, стр. xxiv–xxv.
38. Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические мероприятия в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Вита Математика. Том. 17. Биркхойзер . стр. 119–135. дои : 10.1007/978-3-319-00618-5_7. ISBN 978-3-319-00617-8.См., в частности, сноску 37, стр. 131.
39. Финкель, Б. Ф. (1897). «Биография – Леонард Эйлер». The American Mathematical Monthly . 4 (12): 297–302. doi :10.2307/2968971. JSTOR  2968971. MR  1514436.
40. Trimble, Virginia ; Williams, Thomas; Bracher, Katherine; Jarrell, Richard; Marché, Jordan D.; Ragep, F. Jamil, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . стр. 992. ISBN 978-0-387-30400-7.Доступно на Archive.org
41. Кларк, Уильям; Голински, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе. Издательство Чикагского университета . стр. 395. ISBN 978-0-226-10940-4. Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 г. . Получено 15 июня 2021 г. .
42. Кноблох, Эберхард (2007). «Леонхард Эйлер 1707–1783. Zum 300. Geburtstag eines langjährigen Wahlberliners». Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID  122271644.
43. Gautschi 2008, стр. 8–9.
44. Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли.Архивировано через интернет-архивы
45. Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, Письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Brentano's .
46. Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и неудавшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал совет гения математики и физики». Irish Times . Получено 26 декабря 2023 г.
47. Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре». Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. doi :10.2307/2708192. ISSN  0022-5037. JSTOR  2708192. Архивировано из оригинала 3 августа 2021 г. Получено 3 августа 2021 г. – через JSTOR .
48. Gindikin, Simon (2007). "Леонард Эйлер". Рассказы о математиках и физиках . Springer Publishing . С. 171–212. doi :10.1007/978-0-387-48811-0_7. ISBN 978-0-387-48811-0.См. в частности стр. 182 Архивировано 10 июня 2021 г. на Wayback Machine .
49. Гаучи 2008, стр. 9.
50. Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». Ин Бегер, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1. ISBN 978-3-7643-5943-0.
51. Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Springer Publishing . С. 81–140. doi :10.1007/0-387-28272-6_6. ISBN 978-0-387-25284-1.
52. Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. doi :10.1007/s004070200054. ISSN  0003-9519. S2CID  121790508.
53. Maehara, Hiroshi; Martini, Horst (2017). «On Lexell's Theorem». The American Mathematical Monthly . 124 (4): 337–344. doi :10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. S2CID  125175471. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 г. . Получено 16 июня 2021 г. .
54. Thiele, Rüdiger (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера». В Kinyon, Michael; van Brummelen, Glen (ред.). Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures . Springer Publishing . стр. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1.
55. Fuss, Nicolas (1783). "Éloge de M. Léonhard Euler" [Похвальное слово Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 г. Получено 19 мая 2018 г. – через Bioheritage Diversity Library.Перевод на английский язык как «Похвальное слово Леонарду Эйлеру Николаса Фусса». Архив истории математики MacTutor . Перевод Glaus, John SD University of St Andrews . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Получено 30 августа 2006 года .
56. Calinger 1996, стр. 129.
57. Геккер и Эйлер 2007, с. 405.
58. Gautschi 2008, стр. 6.
59. Eves, Howard W. (1969). «Слепота Эйлера». В Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes, Quadrants III and IV . Prindle, Weber, & Schmidt. стр. 48. OCLC  260534353.Также цитируется Richeson (2012), стр. 17 Архивировано 16 июня 2021 г. в Wayback Machine , цитируется по Eves.
60. Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные заболевания . 57 (1): 158–159. doi :10.1093/cid/cit170. PMID  23487386.
61. Буллок, Джон Д.; Уорвар, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. doi :10.1080/26375451.2022.2052493. S2CID  247868159.
62. Гаучи 2008, стр. 9–10.
63. Маркиз де Кондорсе . «Похвала Эйлеру – Кондорсе». Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Получено 30 августа 2006 года .
64. Кэлинджер 2016, стр. 530–536.
65. Boyer, Carl B. ; Merzbach, Uta C. (1991). История математики. John Wiley & Sons . стр. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
66. Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4. Архивировано из оригинала 17 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
67. Wanner, Gerhard ; Hairer, Ernst (2005). Анализ по его истории (1-е изд.). Springer Publishing . стр. 63. ISBN 978-0-387-77036-9.
68. Ферраро 2008, стр. 155.
69. Моррис, Имоджен И. (24 октября 2023 г.). Механизация использования Эйлером бесконечно малых в доказательстве Базельской проблемы (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). Эдинбургский университет. doi : 10.7488/ERA/3835.
70. Данэм 1999.
71. Lagarias, Jeffrey C. (октябрь 2013 г.). "Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки". Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. MR  3090422. S2CID  119612431.
72. Фейнман, Ричард (1970). "Глава 22: Алгебра". Лекции Фейнмана по физике . Т. I. С. 10.
73. Ферраро 2008, стр. 159.
74. Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». The American Mathematical Monthly . 66 : 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. MR  0106810.
75. Nickalls, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: раскрыты инварианты и решение Эйлера». The Mathematical Gazette . 93 (526): 66–75. doi :10.1017/S0025557200184190. JSTOR  40378672. S2CID  16741834.
76. Данхэм 1999, Гл. 3, Гл. 4.
77. Калинджер 1996, стр. 130.
78. Данхэм 1999, стр. 7.
79. Паттерсон, С. Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 14. Cambridge: Cambridge University Press . p. 1. doi : 10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR  0933558. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 г. . Получено 6 июня 2021 г. .
80. Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». The Mathematical Gazette . 91 (522): 453–461. doi :10.1017/S0025557200182099. JSTOR  40378418. S2CID  125064003.
81. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история. Бакалаврские тексты по математике . Springer. стр. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. Архивировано из оригинала 27 июля 2021 г. . Получено 6 июня 2021 г. ..
82. Данхэм 1999, Гл. 1, Гл. 4.
83. Колдуэлл, Крис . «Наибольшее известное простое число по годам». PrimePages . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 г. Получено 9 июня 2021 г.
84. Хопкинс, Брайан; Уилсон, Робин (2007). «Наука Эйлера о сочетаниях». Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Stud. Hist. Philos. Math. Vol. 5. Amsterdam: Elsevier. pp. 395–408. MR  3890500.
85. Alexanderson, Gerald (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кёнигсберга: исторический взгляд». Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
86. Richeson 2012.
87. Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов. Cambridge University Press . стр. 72. ISBN 978-0-521-28881-1. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 . Получено 12 ноября 2015 .
88. Коши, AL (1813). «Recherche sur les polyèdres – главные воспоминания». Журнал политехнической школы (на французском языке). 9 (Каир 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
89. L'Huillier, S.-A.-J. (1812–1813). «Мемуар о полиэдрометрии». Анналы чистой и прикладной математики . 3 : 169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
90. Бутчер, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: John Wiley & Sons . стр. 45. ISBN 978-0-471-96758-3. Архивировано из оригинала 19 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
91. Калинджер 2016, стр. 96, 137.
92. Ferraro 2008, стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера–Маклорена.
93. Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера–Маклорена». Архив для History of Exact Sciences . 33 (1–3): 1–13. doi :10.1007/BF00328047. MR  0795457. S2CID  122119093.
94. Охальво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории стержней». Журнал структурной инженерии . 133 (12): 1686–1689. doi :10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686).
95. Youschkevitch, AP (1971). "Эйлер, Леонард". В Gillispie, Charles Coulston (ред.). Словарь научной биографии . Том 4: Richard Dedekind – Firmicus Maternus. Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons . стр. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4.
96. Davidson, Michael W. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малус». Microscopy Today . 19 (2): 52–54. doi : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID  122853454.
97. Кэлинджер 1996, стр. 152–153.
98. Home, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Annals of Science . 45 (5): 521–533. doi :10.1080/00033798800200371. MR  0962700.
99. Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Маленькие пузырьки бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»». Интерфейс Фокус . 5 (5). Королевское общество : 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020. PMC 4549846. PMID  26442144 . 
100. Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости». Королевская академия наук и изящной словесности Берлина, Mémoires (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г.Перевод на английский язык: Фриш, Уриэль (2008). «Перевод книги Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [nlin.CD].
101. Гаучи 2008, стр. 22.
102. Барон, Маргарет Э. (май 1969). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». The Mathematical Gazette . 53 (383): 113–125. doi :10.2307/3614533. JSTOR  3614533. S2CID  125364002.
103. Лемански, Йенс (2016). «Средства или цель? Об оценке логических схем». Логико-философские исследования . 14 : 98–122.
104. Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. doi :10.1016/j.jvlc.2013.08.006. S2CID  2571971. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 г. . Получено 23 июля 2021 г. .
105. Кэлинджер 1996, стр. 144–145.
106. Pesic, Peter (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету». Музыка и создание современной науки . MIT Press . стр. 133–160. ISBN 978-0-262-02727-4. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 г. . Получено 10 июня 2021 г. .
107. Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы». Лондонская энциклопедия; или Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний, том 4. стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 г. Получено 13 июня 2021 г.
108. Эйлер 1739, стр. 115.
109. Эмери, Эрик (2000). Времена и музыка . Лозанна: L'Age d'homme. стр. 344–345.
110. Маттесон, Йоханнес (1731). Grosse General-Baß-Schule. Том. Я. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК  30006387.Упоминается Эйлером. Также: Маттесон, Йоханнес (1719). Образцовый органистен-зонд. Гамбург. стр. 57–59.
111. См.:
     • Перре, Вилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: W. Heffer & Sons. стр. 60–62. OCLC  3212114.
     • "Что такое род Эйлера-Фоккера?". Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 г. . Получено 12 июня 2015 г. .
112. Эйлер 1739, стр. 147.
113. Эйлер, Леонард (1774). «De Harmoniae Veris Principiis Per Speculum Musicum Repraesentatis». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 18 . Индекс Энестрема 457: 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.
114. Speculum Musicum Эйлера ". В Klouche, T.; Noll, Th. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007 Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., пересмотренные избранные статьи . Коммуникации в области компьютерных и информационных наук. Том 37. Springer. стр. 406–411. doi :10.1007/978-3-642-04579-0_40. ISBN 978-3-642-04578-3.
115. Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход. Бонн: Verlag für Systematische Musikwissenschaft. стр. 234–239. ISBN 9783922626664. OCLC  27789639.См. также Nolan, Catherine (2002). «Теория музыки и математика». В Christensen, Th. (ред.). Кембриджская история западной теории музыки . Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 278–279. ISBN 9781139053471. OCLC  828741887.
116. Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Традиционная математическая музыка: Леонард Эйлер». Коммуникация в коллоквиуме Центра Франсуа Вьета, «Проблемы перевода в XVIII веке», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
117. Эйлер, Леонард (1747). Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister [ Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев ] (на немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
118. Маркиз де Кондорсе (1805). Сравнение последнего издания писем Эйлера, опубликованных де Кондорсе, с оригинальным изданием: защита откровения против возражений вольнодумцев г-на Эйлера, сопровождаемая мыслями автора о религии, опущенными из последнего издания его писем к принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Получено 26 июля 2021 г.
119. Калинджер 1996, стр. 123.
120. Кэлинджер 1996, стр. 153–154.
121. См.:
     • Браун, Б. Х. (май 1942 г.). «Анекдот Эйлера–Дидро». The American Mathematical Monthly . 49 (5): 302–303. doi :10.2307/2303096. JSTOR  2303096.
     • Gillings, RJ (февраль 1954 г.). «Так называемый инцидент Эйлера–Дидро». The American Mathematical Monthly . 61 (2): 77–80. doi :10.2307/2307789. JSTOR  2307789.
     • Struik, Dirk J. (1967). Краткая история математики (3-е исправленное издание). Dover Books . стр. 129. ISBN 978-0-486-60255-4.
122. Марти, Жак (1988). «Quelquesspectes des travaux de Diderot en «mathématiques mixtes»» [Некоторые аспекты работ Дидро по общей математике]. Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.
123. "Швейцарский национальный банк (SNB) - Sechste Banknotenserie (1976)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
124. "Швейцарский национальный банк (SNB) - Siebte Banknotenserie (1984)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
125. "E" (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 . Получено 17 февраля 2019 .Запись об Эйлере находится на стр. 177.
126. Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . п. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7.
127. Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера 1744 года о вариационном исчислении. Elsevier. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 168–180
128. Эйлер, Леонард (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti [ Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком принятом смысле ] (на латыни). Боскет. Архивировано из оригинала 8 июня 2021 г. Получено 8 июня 2021 г. – через архив Эйлера.
129. Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ. Elsevier. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 181–190.
130. Ferraro, Giovanni (2007). «Трактаты Эйлера по анализу бесконечно малых: Introductio in analysin infinitorum, institutees calculi Differentis, instituteum calculi Integralis ». В Baker, Roger (ред.). Euler Reconsidered: Tercentenary Essays (PDF) . Heber City, UT: Kendrick Press. стр. 39–101. MR  2384378. Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 г.
131. Обзоры Введения в Анализ Бесконечного :
     • Эйтон, Э. Дж. "Введение в анализ бесконечности. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)". zbMATH . Zbl  0657.01013.
     • Shiu, P. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечности (книга II)» Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». The Mathematical Gazette . 74 (470): 392–393. doi :10.2307/3618156. JSTOR  3618156.
     • Штефэнеску, Дору. "Эйлер, Леонард Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латинского и с введением Джона Д. Блэнтона". Mathematical Reviews . MR  1025504.
132. Демидов, С.С. (2005). Трактат о дифференциальном исчислении. Elsevier. ISBN 978-0080457444. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 . Получено 12 ноября 2015 .В Grattan-Guinness 2005, стр. 191–198.
133. Kleinert, Andreas (2015). "Leonhardi Euleri Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера". Prace Komisji Historii Nauki PAU . 14. Ягеллонский университет : 13–35. doi : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
134. Эйлер, Леонард; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Opera postuma mathematica et physica anno 1844 Deteta Quae Academiae scientiarum Petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss . Императорская академия наук (Россия) . ОКЛК  9094558695.
135. Calinger 2016, стр. ix–x.
136. "The Eneström Index". Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 г. Получено 27 мая 2021 г.
137. Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторических математиков». Vox of Dartmouth . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 г.
138. Клайв, Доминик (июнь–июль 2011 г.). «Архив Эйлера перемещается на веб-сайт MAA». MAA FOCUS . Математическая ассоциация Америки . Получено 9 января 2020 г.
139. "Архив Эйлера". Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 г.
140. Plüss, Matthias. "Der Goethe der Mathematik". Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 г. Получено 16 июня 2021 г.
141. Варадараджан, ВС (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7. OCLC  803144928.
142. Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, ...» [Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров восемнадцатого века, ...]. Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

Источники

• Калингер, Рональд (1996). "Леонард Эйлер: Первые годы в Санкт-Петербурге (1727–1741)". Historia Mathematica . 23 (2): 121–166. doi : 10.1006/hmat.1996.0015 .
• Калингер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11927-4. Архивировано из оригинала 13 июля 2017 . Получено 4 января 2017 .
• Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Мастер всех нас. Dolciani Mathematical Expositions. Том 22. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-328-3. Архивировано из оригинала 13 июня 2021 . Получено 12 ноября 2015 .
• Эйлер, Леонард (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ Опыт новой теории музыки, изложенной во всей ясности, по основополагающим принципам гармонии ] (на лат. яз.). Санкт-Петербург: Императорская Академия наук . Архивировано из оригинала 12 июня 2021 г. Получено 12 июня 2021 г. – через архив Эйлера.
• Ферраро, Джованни (2008). Расцвет и развитие теории рядов до начала 1820-х годов. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-73467-5. Архивировано из оригинала 29 мая 2021 г. . Получено 27 мая 2021 г. .
• Геккер, ИР; Эйлер, АА (2007). «Семья и потомки Леонарда Эйлера». В Боголюбов, Николай Николаевич ; Михайлов, ГК; Юшкевич, Адольф Павлович (ред.). Эйлер и современная наука. Перевод Роберта Бернса. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-564-5. Архивировано из оригинала 18 мая 2016 . Получено 12 ноября 2015 .
• Гаучи, Вальтер (2008). «Леонард Эйлер: его жизнь, человек и его труды». SIAM Review . 50 (1): 3–33. Bibcode : 2008SIAMR..50....3G. CiteSeerX  10.1.1.177.8766 . doi : 10.1137/070702710. ISSN  0036-1445. JSTOR  20454060.
• Grattan-Guinness, Ivor , ред. (2005). Знаковые труды по западной математике 1640–1940. Elsevier. ISBN 978-0-08-045744-4.
• Ричесон, Дэвид С. (2012). Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Princeton University Press . стр. 17. ISBN 978-1-4008-3856-1.

Дальнейшее чтение

• Брэдли, Роберт Э.; Д'Антонио, Лоуренс А.; Сэндифер, Чарльз Эдвард (2007). Эйлеру 300: Оценка. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-565-2.
• Брэдли, Роберт Э.; Сэндифер, Чарльз Эдвард, ред. (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие. Исследования по истории и философии математики. Том 5. Elsevier. ISBN 978-0-444-52728-8. Архивировано из оригинала 19 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
• Данэм, Уильям (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-558-4.
• Хашер, Ксавьер; Пападопулос, Атанас, ред. (2015). Леонард Эйлер: математика, физик и теория музыки (на французском языке). Париж: издания CNRS. ISBN 978-2-271-08331-9. Архивировано из оригинала 8 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
• Сэндифер, К. Эдвард (2007). Ранняя математика Леонарда Эйлера. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-559-1.
• Сэндифер, К. Эдвард (2007). Как это сделал Эйлер. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-563-8.
• Сэндифер, К. Эдвард (2015). Как Эйлер сделал даже больше. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-584-3. Архивировано из оригинала 16 июня 2021 г. . Получено 8 июня 2021 г. .
• Schattschneider, Doris , ред. (ноябрь 1983 г.). «Посвящение Леонарду Эйлеру 1707–1783 (специальный выпуск)». Mathematics Magazine . 56 (5). JSTOR  i326726.

Внешние ссылки

• Леонард Эйлер в проекте «Генеалогия математики»
• Архив Эйлера: Сочинения Эйлера с переводами на английский язык
• Opera-Bernoulli-Euler (собрание трудов Эйлера, семьи Бернулли и современных ему пэров)
• Трёхсотлетие Эйлера 2007
• Общество Эйлера
• Эйлериана в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук
• Генеалогическое древо Эйлера
• Переписка Эйлера с Фридрихом Великим, королём Пруссии
• Работы Леонарда Эйлера в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Леонард Эйлер». Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .
• Данэм, Уильям (24 сентября 2009 г.). «Вечер с Леонардом Эйлером». YouTube . Muhlenberg College : philoctetesctr (опубликовано 9 ноября 2009 г.).(выступление Уильяма Данхэма в )
• Данэм, Уильям (14 октября 2008 г.). «Дань уважения Эйлеру – Уильям Данэм». YouTube . Muhlenberg College: PoincareDuality (опубликовано 23 ноября 2011 г.).