Логистическая функция

S-образная кривая

Логистическая функция или логистическая кривая — это обычная S-образная кривая ( сигмоидальная кривая ) с уравнением

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$

где

${\displaystyle L}$- грузоподъемность , супремум значений функции;

${\displaystyle k}$- логистическая скорость роста, крутизна кривой; и

${\displaystyle x_{0}}$— значение средней точки функции. ^[1] ${\displaystyle x}$

Логистическая функция имеет область определения действительные числа , предел при равен 0 и предел при равен . ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle L}$

Стандартная логистическая функция, где . ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

Стандартная логистическая функция , изображенная справа, где , имеет уравнение ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

и иногда просто называется сигмоидой . ^[2] Иногда ее также называют экспитом , поскольку она является обратной функцией логита . [ ^{3] [4]}

Логистическая функция находит применение в различных областях, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , вероятность , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Существуют различные обобщения, в зависимости от области.

История

Оригинальное изображение логистической кривой, контрастирующее с тем, что Ферхюльст называл «логарифмической кривой» (в современной терминологии — «экспоненциальной кривой»).

Логистическая функция была введена в серии из трех статей Пьера Франсуа Ферхюльста между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . ^[5] Ферхюльст впервые разработал функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, ^[1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 году (опубликовано в 1845 году); ^{[a] [6]} в третьей статье был скорректирован поправочный член в его модели роста населения Бельгии. ^[7]

Начальная стадия роста приблизительно экспоненциальна (геометрична); затем, по мере насыщения, рост замедляется до линейного (арифметического), а в зрелости рост приближается к пределу с экспоненциально затухающим разрывом, как на начальной стадии наоборот.

Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (фр. logistique ), но, по-видимому, он противопоставляется логарифмической кривой, ^{[8] [b]} и по аналогии с арифметикой и геометрией. Его модель роста предшествует обсуждению арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой , вместо современного термина экспоненциальная кривая ), и, таким образом, «логистический рост» предположительно назван по аналогии, логистический происходит от древнегреческого : λογῐστῐκός , романизированного :  logistikós , традиционного раздела греческой математики . ^[c]

Как слово, произошедшее от древнегреческих математических терминов, ^[9] название этой функции не связано с военным и управленческим термином «логистика» , который, напротив, происходит от французского : logis «жилье», ^[10] хотя некоторые полагают, что греческий термин также оказал влияние на логистику ; ^[9] подробности см . в разделе «Логистика» § «Происхождение» .

Математические свойства

TheСтандартная логистическая функция — это логистическая функция с параметрами,,, которая дает ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.}$$

На практике, в силу природы экспоненциальной функции , часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для небольшого диапазона действительных чисел, например, диапазона, содержащегося в [−6, +6], поскольку она быстро сходится очень близко к своим значениям насыщения 0 и 1. ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$

Симметрии

Логистическая функция обладает свойством симметрии, которое заключается в том, что

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

Это отражает тот факт, что рост от 0 при малом значении симметричен уменьшению зазора до предела (1) при большом значении. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Далее, — нечетная функция . ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси равна ${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

Логистическая функция, таким образом, вращательно симметрична относительно точки (0, 1/2). ^[11]

Обратная функция

Логистическая функция является обратной натуральной логарифмической функцией.

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1}$

и таким образом преобразует логарифм шансов в вероятность . Преобразование из логарифма отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Гиперболический тангенс

Логистическая функция представляет собой смещенную и масштабированную функцию гиперболического тангенса : или $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$ $${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

Это следует из $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

Соотношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .

Геометрически, функция гиперболического тангенса является гиперболическим углом на единичной гиперболе , который факторизуется как , и, таким образом, имеет асимптоты прямых, проходящих через начало координат с наклоном ⁠ ⁠ и с наклоном ⁠ ⁠ , и вершиной в ⁠ ⁠ , соответствующей диапазону и средней точке ( ⁠ ⁠ ) tanh. Аналогично, логистическую функцию можно рассматривать как гиперболический угол на гиперболе , который факторизуется как , и, таким образом, имеет асимптоты прямых, проходящих через начало координат с наклоном ⁠ ⁠ и с наклоном ⁠ ⁠ , и вершиной в ⁠ ⁠ , соответствующей диапазону и средней точке ( ⁠ ⁠ ) логистической функции. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle (x+y)(x-y)=1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle xy-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y(x-y)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

Параметрически гиперболический косинус и гиперболический синус дают координаты на единичной гиперболе: ^[d] , с частным гиперболическим тангенсом. Аналогично, параметризует гиперболу , с частным логистической функцией. Они соответствуют линейным преобразованиям (и изменению масштаба параметризации) гиперболы , с параметризацией : параметризация гиперболы для логистической функции соответствует и линейному преобразованию , в то время как параметризация единичной гиперболы (для гиперболического тангенса) соответствует линейному преобразованию . ${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$ ${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$ ${\displaystyle xy-y^{2}=1}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$ ${\displaystyle t/2}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

Производный

Логистическая функция и ее первые 3 производные

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная известна как плотность логистического распределения :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$из которого все высшие производные могут быть получены алгебраически. Например, . ${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$

Логистическое распределение — это семейство местоположения–масштаба , которое соответствует параметрам логистической функции. Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle L=1}$ фиксировано, то средняя точка ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ — это местоположение, а наклон ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ — это масштаб.

Интеграл

Наоборот, ее первообразную можно вычислить путем подстановки , поскольку ${\displaystyle u=1+e^{x}}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

Итак (опуская постоянную интегрирования )

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

В искусственных нейронных сетях это известно как функция softplus и (с масштабированием) является плавной аппроксимацией функции рампы , так же как логистическая функция (с масштабированием) является плавной аппроксимацией ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Логистическое дифференциальное уравнение

Уникальная стандартная логистическая функция является решением простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

с граничным условием . Это уравнение является непрерывной версией логистического отображения . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. ^[12] ${\displaystyle f(0)=1/2}$

Качественное поведение легко понять в терминах фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для значений между 0 и 1 и отрицательна для значений выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции, как правило, не согласуются с физической моделью). Это дает неустойчивое равновесие при 0 и устойчивое равновесие при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

Выбор константы интегрирования дает другую известную форму определения логистической кривой: ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

Более количественно, как видно из аналитического решения, логистическая кривая демонстрирует ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который достигает линейного роста с наклоном 1/4 для аргумента, близкого к 0, а затем приближается к 1 с экспоненциально затухающим разрывом.

Выведенное выше дифференциальное уравнение является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмоидальную функцию для . Во многих приложениях моделирования может быть желательной более общая форма ^[13] . Ее решением является смещенная и масштабированная сигмоидальная функция . ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}}$$ ${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$

Вероятностная интерпретация

Когда емкость , значение логистической функции находится в диапазоне ⁠ ⁠ и может быть интерпретировано как вероятность p . ^[e] Более подробно, p можно интерпретировать как вероятность одной из двух альтернатив (параметр распределения Бернулли ); ^[f] две альтернативы являются дополнительными, поэтому вероятность другой альтернативы равна и . Две альтернативы кодируются как 1 и 0, что соответствует предельным значениям как . ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle p+q=1}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$

В этой интерпретации вход x — это логарифм шансов для первой альтернативы (относительно другой альтернативы), измеренный в «логистических единицах» (или логитах ), ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{x}}$ — это шансы для первого события (относительно второго), и, вспоминая, что заданные шансы для ( ⁠ ⁠ против 1 ), вероятность — это отношение для к (за плюс против), , мы видим, что — это вероятность первой альтернативы. И наоборот, x — это логарифм шансов против второй альтернативы, ⁠ ⁠ — это логарифм шансов для второй альтернативы, — это шансы для второй альтернативы, — это вероятность второй альтернативы. ${\displaystyle O=O:1}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O/(O+1)}$ ${\displaystyle e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q}$

Это можно сформулировать более симметрично в терминах двух входов, ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}}$ , что затем естественным образом обобщается на более чем две альтернативы. При наличии двух действительных числовых входов, ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}}$ , интерпретируемых как логиты, их разность является логарифмом шансов для варианта 1 (логарифмом шансов против варианта 0), является шансом, является вероятностью варианта 1, и аналогично является вероятностью варианта 0. ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ ${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}}$ ${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$ ${\displaystyle e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$

Эта форма немедленно обобщается на большее количество альтернатив, таких как функция softmax , которая является векторной функцией, i -я координата которой равна . ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$

Более тонко, симметричная форма подчеркивает интерпретацию входных данных x как и, таким образом, относительно некоторой точки отсчета, неявно к . Примечательно, что функция softmax инвариантна при добавлении константы ко всем логитам , что соответствует разнице, являющейся логарифмическими шансами для варианта j против варианта i , но отдельные логиты не являются логарифмическими шансами сами по себе. Часто один из вариантов используется в качестве ссылки («опорный»), и его значение фиксируется как 0 , поэтому другие логиты интерпретируются как шансы относительно этого ссылки. Это обычно делается с первой альтернативой, отсюда и выбор нумерации: , а затем — логарифмические шансы для варианта i против варианта 0 . Поскольку , это дает член во многих выражениях для логистической функции и обобщений. ^[g] ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i}-x_{0}}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$ ${\displaystyle +1}$

Обобщения

В моделировании роста существует множество обобщений, включая обобщенную логистическую кривую , функцию Гомперца , кумулятивную функцию распределения смещенного распределения Гомперца и гиперболическую функцию типа I.

В статистике, где логистическая функция интерпретируется как вероятность одной из двух альтернатив, обобщением на три или более альтернатив является функция softmax , которая является векторной, поскольку она дает вероятность каждой альтернативы.

Приложения

В экологии: моделирование роста населения

Пьер-Франсуа Ферхюльст (1804–1849)

Типичным применением логистического уравнения является общая модель роста популяции (см. также динамика популяции ), первоначально предложенная Пьером-Франсуа Ферхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующей популяции, так и количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал работу Томаса Мальтуса « Очерк о принципе народонаселения» , в которой описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение для описания самоограничивающегося роста биологической популяции . Уравнение было заново открыто в 1911 году А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров. ^[14] Уравнение также иногда называют уравнением Ферхюльста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джонса Хопкинса . ^[15] Другой ученый, Альфред Дж. Лотка, снова вывел уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .

Если представить численность популяции ( в экологии часто используется вместо этого), а представить время, то эта модель формализуется дифференциальным уравнением : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

где константа определяет скорость роста , а — грузоподъемность . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$

В уравнении ранняя, беспрепятственная скорость роста моделируется первым членом . Значение скорости представляет собой пропорциональное увеличение популяции за единицу времени. Позже, по мере роста популяции, модуль второго члена (который при умножении равен ) становится почти таким же большим, как и первый, поскольку некоторые члены популяции мешают друг другу, конкурируя за некоторые критические ресурсы, такие как еда или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется бутылочным горлышком и моделируется значением параметра . Конкуренция уменьшает совокупную скорость роста, пока значение не перестанет расти (это называется зрелостью популяции). Решение уравнения (при этом исходная популяция) имеет вид ${\displaystyle +rP}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -rP^{2}/K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

где

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

где — предельное значение , наибольшее значение, которого популяция может достичь за бесконечное время (или приблизиться к достижению за конечное время). Пропускная способность асимптотически достигается независимо от начального значения , а также в случае, когда . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(0)>K}$

В экологии виды иногда называют -стратегами или -стратегами в зависимости от селективных процессов, которые сформировали их стратегии жизненного цикла . Выбор переменных измерений таким образом, чтобы измерять популяцию в единицах пропускной способности, а измерять время в единицах , дает безразмерное дифференциальное уравнение ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

Интеграл

Первообразную экологической формы логистической функции можно вычислить путем подстановки , поскольку ${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$ ${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

Изменяющаяся во времени грузоподъемность

Поскольку условия окружающей среды влияют на грузоподъемность, она может изменяться со временем, что приводит к следующей математической модели: ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

Особенно важным случаем является случай, когда грузоподъемность периодически меняется с течением времени : ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

Можно показать ^[16], что в таком случае, независимо от начального значения , будет стремиться к единственному периодическому решению , период которого равен . ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P_{*}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Типичное значение составляет один год: в таком случае может отражаться периодические изменения погодных условий. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(t)}$

Другое интересное обобщение заключается в том, чтобы считать, что пропускная способность является функцией популяции в более раннее время, фиксируя задержку в том, как популяция изменяет свою среду. Это приводит к логистическому уравнению задержки ^[17] , которое имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (т. е. множественными S-образными формами), прерывистым ростом или чередованием до стационарного уровня, колебательным приближением к стационарному уровню, устойчивыми колебаниями, конечными временными сингулярностями, а также конечной временной смертью. ${\displaystyle K(t)}$

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в статистике в нескольких ролях. Например, они являются кумулятивной функцией распределения логистического семейства распределений , и они, немного упрощенно, используются для моделирования шансов шахматиста победить своего противника в рейтинговой системе Эло . Далее следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как вероятность события может зависеть от одной или нескольких объясняющих переменных : примером может служить модель ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

где — объясняющая переменная, — параметры модели, подлежащие подгонке, — стандартная логистическая функция. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$

Логистическая регрессия и другие логлинейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на множественные входы является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .

Другое применение логистической функции — модель Раша , используемая в теории ответов на вопросы . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположений объектов или лиц на континууме , основанную на наборах категориальных данных , например, способностей лиц на континууме, основанных на ответах, которые были классифицированы как правильные и неправильные.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в искусственных нейронных сетях для введения нелинейности в модель или для фиксации сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации к результату; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .

Обычный выбор для функций активации или «сжатия», используемых для ограничения больших величин с целью ограничения реакции нейронной сети, ^[18 ]

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые являются антисимметричными относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением . ^[19]

Логистическая функция сама по себе является производной от другой предложенной функции активации — softplus .

В медицине: моделирование роста опухолей.

Другое применение логистической кривой — медицина, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это применение можно считать расширением вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. также Обобщенную логистическую кривую , допускающую больше параметров). Обозначая с размером опухоли в момент времени , ее динамика регулируется ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

который относится к типу

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

где - скорость пролиферации опухоли. ${\displaystyle F(X)}$

Если химиотерапия начинается с логарифмического эффекта гибели, уравнение можно пересмотреть следующим образом:

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

где - смертность, вызванная терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии можно смоделировать как периодическую функцию (периода ) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и получается, что ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

т.е. если средний уровень смертности, вызванный терапией, превышает базовый уровень пролиферации, то происходит искоренение заболевания. Конечно, это слишком упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не учитывает феномен клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно распространяется экспоненциально на ранних стадиях, в то время как запас восприимчивых людей обилен. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, продемонстрировал экспоненциальный рост на ранних стадиях инфекции в нескольких странах в начале 2020 года. ^[20] Факторы, включая отсутствие восприимчивых хозяев (через продолжающееся распространение инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог коллективного иммунитета ) или снижение доступности потенциальных хозяев из-за мер физического дистанцирования, могут привести к экспоненциально выглядящим эпидемическим кривым, которые сначала линеаризуются (воспроизводя переход от «логарифмического» к «логистическому», впервые отмеченный Пьером-Франсуа Верхюльстом , как отмечено выше), а затем достигают максимального предела. ^[21]

Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомпертца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для окончательного выравнивания пандемии по мере того, как население вырабатывает коллективный иммунитет. Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, частота контактов, время инкубации, социальное дистанцирование и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение. ^{[22] [23] [24]}

Моделирование ранних случаев COVID-19

Обобщенная логистическая функция (кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

Обобщенная логистическая функция , также называемая кривой роста Ричардса, была применена для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 . ^[25] Авторы подгоняют обобщенную логистическую функцию под совокупное число инфицированных случаев, здесь называемое траекторией инфекции . В литературе существуют различные параметризации обобщенной логистической функции . Одной из часто используемых форм является

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}$$

где — действительные числа, а — положительное действительное число. Гибкость кривой обусловлена ​​параметром : (i) если , то кривая сводится к логистической функции, и (ii) по мере приближения к нулю кривая сходится к функции Гомпертца . В эпидемиологическом моделировании , , и представляют собой окончательный размер эпидемии, уровень заражения и лаг-фазу соответственно. На правой панели показан пример траектории заражения, когда установлено значение . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ ${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

Экстраполированные траектории распространения инфекции в 40 странах, серьезно пострадавших от COVID-19, и общая (населенная) средняя численность по состоянию на 14 мая

Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция , в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в многоуровневой структуре модели , где информация из разных географических регионов может быть объединена.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов в автокаталитических реакциях подчиняется логистической функции. Деградация катализатора реакции восстановления кислорода (ORR) без металлов платиновой группы (без МПГ) в катодах топливных элементов подчиняется логистической функции распада, ^[26] что предполагает механизм автокаталитической деградации.

В физике: распределение Ферми–Дирака

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми–Дирака .

В оптике: мираж

Логистическая функция также находит применение в оптике, в частности, при моделировании таких явлений, как миражи . При определенных условиях, таких как наличие градиента температуры или концентрации из-за диффузии и балансировки с гравитацией, может возникнуть поведение логистической кривой. ^{[27] [28]}

Мираж, возникающий из-за градиента температуры, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала на расстоянии, можно смоделировать с помощью жидкости с градиентом показателя преломления, обусловленным градиентом концентрации. Этот механизм можно приравнять к модели предельного роста популяции, где концентрированная область пытается диффундировать в область с более низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, тем самым получая кривую логистической функции. ^[27]

В материаловедении: Фазовые диаграммы

См. Диффузионная сварка .

В лингвистике: изменение языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования языковых изменений : ^[29] инновация, которая поначалу является незначительной, со временем начинает распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как она становится более общепринятой.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическая S-образная кривая может быть использована для моделирования реакции урожая на изменения факторов роста. Существует два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность урожая может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или уменьшаться с увеличением значений фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует перевернутой S-образной кривой.

В экономике и социологии: распространение инноваций

Логистическую функцию можно использовать для иллюстрации процесса распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через подражательные цепи. В частности, Тард выделяет три основные стадии, через которые распространяются инновации: первая соответствует трудному началу, в течение которого идея должна бороться во враждебной среде, полной противостоящих привычек и верований; вторая соответствует собственно экспоненциальному взлету идеи, с ; наконец, третья стадия является логарифмической, с , и соответствует времени, когда импульс идеи постепенно замедляется, в то время как одновременно появляются новые идеи-оппоненты. Последующая ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, который приближается к асимптоте. ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

В суверенном государстве субнациональные единицы (государства-члены или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым правилам, а также ограничениям дефицита экономики , особенно ресурсам, которые банки могут ссужать (из-за их собственных или базельских лимитов). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным натиском в экономической конкуренции за деньги, создают диффузию государственных финансов кредитных требований, а совокупный национальный ответ представляет собой сигмоидальную кривую . ^[32]

Исторически сложилось так, что при появлении новых продуктов проводится интенсивное количество исследований и разработок , что приводит к резкому улучшению качества и снижению стоимости. Это приводит к периоду быстрого роста отрасли. Вот некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и авиаперевозки. В конце концов, возможности резкого улучшения и снижения стоимости исчерпываются, продукт или процесс широко используются, а потенциальных новых клиентов остается мало, и рынки становятся насыщенными.

Логистический анализ использовался в работах нескольких исследователей Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти работы посвящены распространению различных инноваций, инфраструктур и замене источников энергии, а также роли труда в экономике и длительному экономическому циклу. Длительные экономические циклы исследовал Роберт Айрес (1989). ^[33] Чезаре Маркетти опубликовал работы о длительных экономических циклах и распространении инноваций. ^{[34] [35]} В книге Арнульфа Грюблера (1990) дается подробный отчет о распространении инфраструктур, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывающий, что их распространение следовало логистическим кривым. ^[36]

Карлота Перес использовала логистическую кривую для иллюстрации длинного ( кондратьевского ) делового цикла со следующими обозначениями: начало технологической эры как вторжение , подъем как безумие , быстрое наращивание как синергия и завершение как зрелость . ^[37]

Последовательный анализ

Линк ^[38] создал расширение теории последовательного анализа Вальда до свободного от распределения накопления случайных величин до тех пор, пока положительная или отрицательная граница не будет впервые равна или превышена. Линк ^[39] выводит вероятность первого равенства или превышения положительной границы как , логистическую функцию. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в своей основе стохастический процесс. Линк ^[40] приводит столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно выведенную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах. ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$

Смотрите также

• Перекрестная жидкость
• Гиперболический рост
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Уравнение Хилла (биохимия)
• кривая Хабберта
• Список математических функций
• модель ЗВЕЗДА
• Кинетика Михаэлиса–Ментена
• теория отбора р / К
• Выпрямитель (нейронные сети)
• Смещенное распределение Гомпертца
• Переломный момент (социология)

Примечания

1. Статья была представлена ​​в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 novembre 1844)». «(Прочитано на заседании 30 ноября 1844 года)», стр. 1.
2. Ферхюльст сначала ссылается на арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию , а также называет геометрическую кривую роста логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин — экспоненциальная кривая, которая является обратным). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке в своей статье.
3. В Древней Греции λογῐστῐκός относилось к практическим вычислениям и бухгалтерскому учету, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретического или философского изучения чисел. Сбивает с толку то, что в английском языке arithmetic относится к практическим вычислениям, хотя оно происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., например, Louis Charles Karpinski , Nicomachus of Gerasa: Introduction to Arithmetic (1926) p. 3: «Арифметика в основном ассоциируется современными читателями, особенно учеными и математиками, с искусством вычислений. Однако для древних греков после Пифагора арифметика была прежде всего философским изучением, не имеющим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дали отдельное название арифметике бизнеса, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика]... В целом философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства рассматривать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарного обучения детей».
4. Используя ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ для параметра и ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y)}$ для координат.
5. Это можно распространить на расширенную действительную числовую линию , установив и , сопоставив предельные значения. ${\displaystyle f(-\infty )=0}$ ${\displaystyle f(+\infty )=1}$
6. Фактически, логистическая функция является обратным отображением натурального параметра распределения Бернулли, а именно логит-функции , и в этом смысле она является «естественной параметризацией» двоичной вероятности.
7. Например, функция softplus (интеграл логистической функции) является гладкой версией , в то время как относительная форма является гладкой формой , в частности LogSumExp . Таким образом, Softplus обобщается как (обратите внимание на 0 и соответствующую 1 для ссылочного класса) ${\displaystyle \max(0,x)}$ ${\displaystyle \max(x_{0},x_{1})}$ ${\displaystyle \operatorname {LSE_{0}} ^{+}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\operatorname {LSE} (0,x_{1},\dots ,x_{n})=\ln(1+e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}).}$

Ссылки

1. Верхюльст, Пьер-Франсуа (1838). «Обратите внимание на то, что население стремится к росту сына» (PDF) . Переписка по математике и физике . 10 : 113–121 . Проверено 3 декабря 2014 г.
2. «Сигмоид — документация PyTorch 1.10.1».
3. Расширенная документация для пакета R clusterPower.
4. "Scipy.special.expit — Руководство SciPy v1.7.1".
5. Крамер 2002, стр. 3–5.
6. Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1845). «Математические исследования закона роста населения». Новые мемуары Королевской академии наук и изящной словесности Брюсселя . 18 :8 . Проверено 18 февраля 2013 г. Nous donnerons le nom de logistic à la courbe [Мы дадим кривой логистическое название ]
7. Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1847). «Вторая память о законах развития населения». Мемуары Королевской академии наук, литературы и изящных искусств Бельгии . 20 : 1–32. дои :10.3406/marb.1847.3457 . Проверено 18 февраля 2013 г.
8. Шульман, Бонни (1998). «Живая математика! используя оригинальные источники для обучения математике в социальном контексте». PRIMUS . 8 (март): 1–14. doi :10.1080/10511979808965879. Диаграмма решила для меня этот вопрос: две кривые, обозначенные как «Логистическая» и «Логарифмическая», нарисованы на одних и тех же осях, и можно увидеть, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся. Я пришел к выводу, что намерением Верхюльста при названии кривой было действительно предложить это сравнение, и что «логистическая» предназначалось для передачи «логарифмического» качества кривой.
   
9. Tepic, J.; Tanackov, I.; Stojić, Gordan (2011). «Древняя логистика – историческая хронология и этимология» (PDF) . Technical Gazette . 18 (3). S2CID  42097070. Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2019 г.
10. Барон де Жомини (1830). Аналитическая таблица основных комбинаций De La Guerre, Et De Leurs Rapports Avec La Politique Des États: Pour Servir D'Introduction Au Traité Des Grandes Operations Militaires . п. 74.
11. Рауль Рохас. Нейронные сети – систематическое введение (PDF) . Получено 15 октября 2016 г.
12. Коциан, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Инкроччи, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Прогнозирование временных рядов байесовского сигмоидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур». Датчики . 20 (11): 3246. Бибкод : 2020Senso..20.3246K. дои : 10.3390/s20113246 . ПМК 7309099 . ПМИД  32517314. 
13. Кюркчиев, Николай и Святослав Марков. «Сигмоидальные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». LAP LAMBERT Academic Publishing, Саарбрюккен (2015).
14. AG McKendricka; M. Kesava Paia1 (январь 1912 г.). "XLV.—Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование". Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. doi :10.1017/S0370164600025426.{{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
15. Рэймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения Соединенных Штатов» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Т. 6, № 6. стр. 275.
16. Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям (2009). «Линейные и нелинейные волны». Scholarpedia . 4 (7): 4308. Bibcode : 2009SchpJ...4.4308G. doi : 10.4249/scholarpedia.4308 . ISSN  1941-6016.
17. Юкалов, ВИ; Юкалова, ЕП; Сорнетт, Д. (2009). «Пунктуированная эволюция из-за отложенной несущей способности». Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Bibcode : 2009PhyD..238.1752Y. doi : 10.1016/j.physd.2009.05.011. S2CID  14456352.
18. Гершенфельд 1999, стр. 150.
19. LeCun, Y.; Bottou, L.; Orr, G.; Muller, K. (1998). "Efficient BackProp" (PDF) . В Orr, G.; Muller, K. (ред.). Neural Networks: Tricks of the trade . Springer. ISBN 3-540-65311-2.
20. Worldometer: ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА COVID-19
21. Виллалобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования численности населения, инфицированного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [q-bio.PE].
22. Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19 «на обороте конверта»: дает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?». Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. Bibcode : 2020CSF...13509841P. doi : 10.1016/j.chaos.2020.109841. PMC 7252058. PMID 32501369  . 
23. Сайто, Такеси (июнь 2020 г.). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертности от COVID-19 в Японии». medRxiv 10.1101/2020.06.25.20139865v2 . 
24. Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [q-bio.PE].
25. Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и заимствованной информации». PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Bibcode : 2020PLoSO..1536860L. doi : 10.1371/journal.pone.0236860 . PMC 7390340. PMID  32726361 . 
26. Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). «Кинетические модели механизмов деградации катализаторов ORR без PGM». ECS Transactions . 85 (13): 1239–1250. doi :10.1149/08513.1239ecst. OSTI  1471365. S2CID  103125742.
27. Tanalikhit, Pattarapon; Worakitthamrong, Thanabodi; Chaidet, Nattanon; Kanchanapusakit, Wittaya (24–25 мая 2021 г.). «Измерение градиента показателя преломления раствора сахара». Journal of Physics: Conference Series . 2145 (1): 012072. Bibcode :2021JPhCS2145a2072T. doi : 10.1088/1742-6596/2145/1/012072 . S2CID  245811843.
28. Лопес-Ариас, Т; Кальса, Г; Граттон, Л.М.; Осс, С (2009). «Миражи в бутылке». Физическое образование . 44 (6): 582. Bibcode : 2009PhyEd..44..582L. doi : 10.1088/0031-9120/44/6/002. S2CID  59380632.
29. Бод, Хэй, Дженнеди (ред.) 2003, стр. 147–156.
30. Сборник данных по урожайности и глубине залегания грунтовых вод в почве разных авторов. Он-лайн: [1]
31. Сборник данных по урожайности и засолению почв разных авторов. Онлайн: [2]
32. Rocha, Leno S.; Rocha, Frederico SA; Souza, Thársis TP (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны заемщиком диффузии? Эмпирические данные из Бразилии». PLOS ONE . ​​12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode :2017PLoSO..1285257R. doi : 10.1371/journal.pone.0185257 . ISSN  1932-6203. PMC 5628819 . PMID  28981532. 
33. Ayres, Robert (февраль 1989). "Технологические трансформации и длинные волны" (PDF) . Международный институт прикладного системного анализа . Архивировано из оригинала (PDF) 1 марта 2012 года . Получено 6 ноября 2010 года .
34. Маркетти, Чезаре (1996). «Всепроникающие длинные волны: циклотимично ли общество» (PDF) . Aspen Global Change INstitute . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2012 г.
35. Маркетти, Чезаре (1988). «Кондратьев снова — после одного цикла» (PDF) . Чезаре Маркетти . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2012 года . Получено 6 ноября 2010 года .
36. Грюблер, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктур: динамика эволюции и технологических изменений в транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.
37. Перес, Карлота (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотых веков . Великобритания: Edward Elgar Publishing Limited. ISBN 1-84376-331-1.
38. Линк, SW; Хит, RA (1975). «Последовательная теория психологической дискриминации». Психометрика . 40 (1): 77–105. doi :10.1007/BF02291481.
39. Линк, SW (1978). «Теория относительного суждения психометрической функции». Внимание и производительность VII . Тейлор и Фрэнсис. стр. 619–630. ISBN 9781003310228.
40. SW Link, Волновая теория различия и сходства (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992

• Крамер, Дж. С. (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). Том 119. Институт Тинбергена. С. 167–178. doi :10.2139/ssrn.360300.
  • Опубликовано как: Cramer, JS (2004). "Ранние истоки модели логита". Исследования по истории и философии науки Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук . 35 (4): 613–626. doi :10.1016/j.shpsc.2004.09.003.
• Джанеди, Стефани; Бод, Ренс; Хей, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
• Кингсленд, Шарон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды в истории популяционной экологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-43728-0.
• Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение». MathWorld .

Внешние ссылки

• LJ Linacre, Почему логистическая оживала, а не автокаталитическая кривая?, дата обращения 12.09.2009.
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/reгрессия/Logistic.html
• Вайсштейн, Эрик В. «Сигмоидальная функция». MathWorld .
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Эссы повсюду.
• Видеть во всем s-образную кривую.
• Ограниченный логарифмический рост с инъекцией