Специальная унитарная группа

Группа унитарных матриц с определителем 1

В математике специальная унитарная группа степени n , обозначаемая SU( n ) , представляет собой группу Ли унитарных матриц размера n × n с определителем 1.

Матрицы более общей унитарной группы могут иметь комплексные определители с абсолютным значением 1, а не действительной 1 в частном случае.

Групповая операция — матричное умножение . Специальная унитарная группа — это нормальная подгруппа унитарной группы U( n ) , состоящая из всех унитарных матриц n × n . Как компактная классическая группа , U( n ) — это группа, которая сохраняет стандартное скалярное произведение на . ^[a] Она сама является подгруппой общей линейной группы , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Группы SU( n ) находят широкое применение в Стандартной модели физики элементарных частиц , особенно SU(2) в электрослабом взаимодействии и SU(3) в квантовой хромодинамике . ^[1]

Простейший случай, SU(1) , является тривиальной группой , имеющей только один элемент. Группа SU(2) изоморфна группе кватернионов нормы 1 и, таким образом, диффеоморфна 3-сфере . Поскольку единичные кватернионы могут быть использованы для представления вращений в 3-мерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU(2) в группу вращений SO(3), ядром которой является {+ I , − I } . ^[b] Поскольку кватернионы можно идентифицировать как четную подалгебру алгебры Клиффорда Cl(3) , SU(2) фактически идентична одной из групп симметрии спиноров , Spin (3), что позволяет осуществлять спинорное представление вращений.

Характеристики

Специальная унитарная группа SU( n ) является строго вещественной группой Ли (по сравнению с более общей комплексной группой Ли ). Ее размерность как вещественного многообразия равна n ² − 1 . Топологически она компактна и односвязна . ^[2] Алгебраически это простая группа Ли (что означает, что ее алгебра Ли проста; см. ниже). ^[3]

Центр SU ( n ) изоморфен циклической группе и состоит из диагональных матриц ζ I , где ζ — корень n -й степени из единицы, и I — единичная матрица размера n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Его внешняя группа автоморфизмов при n ≥ 3 равна , тогда как внешняя группа автоморфизмов SU(2) является тривиальной группой . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

Максимальный тор ранга n − 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1. Группа Вейля SU ( n ) — это симметрическая группа S _n , представленная знаковыми матрицами перестановок ( знаки необходимы для того, чтобы определитель был равен 1 ).

Алгебра Ли SU ( n ) , обозначаемая как , может быть идентифицирована с множеством бесследовых антиэрмитовых n × n комплексных матриц с регулярным коммутатором в качестве скобки Ли. Физики, изучающие элементарные частицы , часто используют другое, эквивалентное представление: множество бесследовых эрмитовых n × n комплексных матриц со скобкой Ли, заданной как − i, умноженной на коммутатор. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

алгебра Ли

Алгебра Ли состоит из n × n косоэрмитовых матриц со следом нулевым. ^[4] Эта (действительная) алгебра Ли имеет размерность n ² − 1 . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в § Структура алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

Фундаментальное представление

В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц со следом ноль. То есть, алгебра Ли физиков отличается от алгебры Ли математиков на фактор. При таком соглашении можно выбрать генераторы T _{a ,} которые являются эрмитовыми комплексными матрицами n × n без следа , где: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$

где f — структурные константы , антисимметричные по всем индексам, тогда как d -коэффициенты симметричны по всем индексам.

В результате коммутатор имеет вид:

${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$

и соответствующий антикоммутатор:

${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$

Множитель i в коммутационном соотношении возникает из-за физических соглашений и отсутствует при использовании математических соглашений.

Обычное условие нормализации:

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$

Генераторы удовлетворяют тождеству Якоби: ^[5]

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$

По соглашению, в физической литературе генераторы определяются как бесследовые эрмитовы комплексные матрицы с префактором: для группы генераторы выбираются как где — матрицы Паули , в то время как для случая определяется где — матрицы Гелл-Манна . ^[6] При таких определениях генераторы удовлетворяют следующему условию нормировки: ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle SU(3)}$ ${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}}$

${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$

Сопряженное представление

В ( n ² − 1) -мерном сопряженном представлении генераторы представлены матрицами ( n ² − 1) × ( n ² − 1) , элементы которых определяются самими структурными константами:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

Группа SU(2)

Используя матричное умножение для бинарной операции, SU(2) образует группу, ^[7]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

где верхняя черта обозначает комплексное сопряжение .

Диффеоморфизм с 3-сферойС3

Если мы рассмотрим пару в , где и , то уравнение примет вид ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ ${\displaystyle \beta =c+di}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Это уравнение 3-сферы S ³ . Это также можно увидеть с помощью вложения: отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где обозначает множество комплексных матриц 2 на 2, является инъективным вещественным линейным отображением (рассматривая диффеоморфные и диффеоморфные ). Следовательно, ограничение φ на 3 - сферу ( поскольку модуль равен 1 ), обозначаемое S ³ , является вложением 3-сферы на компактное подмногообразие , а именно φ ( S ³ ) = SU(2) . ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Следовательно, как многообразие, S ³ диффеоморфно SU(2) , что показывает, что SU (2) односвязно и что S ³ можно наделить структурой компактной связной группы Ли .

Изоморфизм с группой версоров

Кватернионы нормы 1 называются версорами , поскольку они порождают группу вращения SO(3) : Матрица SU(2) :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

может быть отображено в кватернион

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

Это отображение на самом деле является групповым изоморфизмом . Кроме того, определитель матрицы является квадратом нормы соответствующего кватерниона. Очевидно, что любая матрица в SU(2) имеет этот вид, и поскольку ее определитель равен  1 , соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU(2) изоморфна группе версоров. ^[8]

Отношение к пространственным вращениям

Каждый версор естественным образом связан с пространственным вращением в 3 измерениях, а произведение версоров связано с композицией связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает ровно из двух версоров таким образом. Короче говоря: существует сюръективный гомоморфизм 2:1 из SU(2) в SO(3) ; следовательно, SO(3) изоморфна фактор-группе SU(2)/{±I} , многообразие, лежащее в основе SO(3), получается путем идентификации антиподальных точек 3-сферы S ³ , а SU(2) является универсальным покрытием SO(3) .

алгебра Ли

Алгебра Ли SU (2) состоит из 2 × 2 косоэрмитовых матриц со следом нулевым. ^[9] Явно это означает, что

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Алгебра Ли затем генерируется следующими матрицами:

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

которые имеют форму общего элемента, указанного выше.

Это также можно записать с использованием матриц Паули . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

Они удовлетворяют кватернионным соотношениям и поэтому скобка коммутатора определяется как ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Вышеуказанные генераторы связаны с матрицами Паули соотношением и Это представление обычно используется в квантовой механике для представления спина фундаментальных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших 3 пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации . Они также соответствуют вентилям Паули X, Y и Z , которые являются стандартными генераторами для вентилей с одним кубитом, соответствующих 3d вращениям вокруг осей сферы Блоха . ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Алгебра Ли служит для разработки представлений SU(2) .

СУ(3)

Группа SU(3) представляет собой 8-мерную простую группу Ли, состоящую из всех унитарных матриц размера 3 × 3 с определителем 1.

Топология

Группа SU(3) является односвязной компактной группой Ли. ^[10] Ее топологическую структуру можно понять, заметив, что SU(3) действует транзитивно на единичной сфере в . Стабилизатор произвольной точки сферы изоморфен SU(2) , которая топологически является 3-сферой. Тогда следует, что SU(3) является расслоением над базой S ⁵ со слоем S ³ . Поскольку слои и база односвязны, односвязность SU(3) следует из стандартного топологического результата ( длинная точная последовательность гомотопических групп для расслоений). ^[11] ${\displaystyle S^{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

Расслоения SU (2) над S ⁵ классифицируются по , поскольку любое такое расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полусферах и рассматривая функцию перехода на их пересечении, которая является копией S ⁴ , поэтому ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$

Затем все такие функции перехода классифицируются по гомотопическим классам отображений

${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$

и как , а не , SU(3) не может быть тривиальным расслоением SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ , и поэтому должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах. ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Теория представления

Теория представлений SU(3) хорошо изучена. ^[12] Описания этих представлений с точки зрения ее комплексифицированной алгебры Ли можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша–Гордана для SU(3) . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

алгебра Ли

Генераторы T алгебры Ли SU (3) в определяющем (физика элементарных частиц, эрмитовом) представлении имеют вид ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

где λ _a , матрицы Гелл-Манна , являются аналогами SU(3) матриц Паули для SU(2) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эти λ _a охватывают все бесследовые эрмитовы матрицы H алгебры Ли , как и требовалось. Обратите внимание, что λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$

f — структурные константы алгебры Ли, определяемые формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

в то время как все остальные f _abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем случае они исчезают, если только не содержат нечетное число индексов из набора {2, 5, 7} . ^[c]

Симметричные коэффициенты d принимают значения

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Они исчезают, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетно.

Элемент группы SU(3) общего вида , сгенерированный бесследовой эрмитовой матрицей H размером 3×3 , нормализованной как tr( H ² ) = 2 , может быть выражен как матричный полином второго порядка по H : ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Структура алгебры Ли

Как отмечено выше, алгебра Ли SU ( n ) состоит из n × n косоэрмитовых матриц со следом ноль. ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Комплексификация алгебры Ли — это пространство всех n × n комплексных матриц со следом ноль. ^[15] Подалгебра Картана тогда состоит из диагональных матриц со следом ноль, ^[16] которые мы отождествляем с векторами, в которых сумма элементов равна нулю. Корни тогда состоят из всех n ( n − 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Выбор простых корней

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Итак, SU( n ) имеет ранг n − 1 , а его диаграмма Дынкина задается как A _{n −1} , цепочка из n − 1 узлов:.... ^[17] Его матрица Картана

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Его группа Вейля или группа Кокстера — это симметрическая группа S _n , группа симметрии ( n − 1) - симплекса .

Обобщенная специальная унитарная группа

Для поля F обобщенная специальная унитарная группа над F , SU( p , q ; F ) , является группой всех линейных преобразований определителя 1 векторного пространства ранга n = p + q над F , которые оставляют инвариантной невырожденную эрмитову форму сигнатуры ( p , q ) . Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры p q над F . Поле F можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируем эрмитову матрицу A сигнатуры p q в , тогда все ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$

удовлетворять

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

Часто можно увидеть обозначение SU( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае кольцо или поле, о котором идет речь, есть и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для A , когда есть ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

Однако для некоторых размерностей могут быть лучшие варианты для A , которые демонстрируют лучшее поведение при ограничении подколец . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пример

Важным примером такого типа группы является модулярная группа Пикара , которая действует (проективно) на комплексном гиперболическом пространстве степени два, таким же образом, как действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Францикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область для действия этой группы на HC ² . ^[18] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Еще одним примером является , который изоморфен . ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

Важные подгруппы

В физике специальная унитарная группа используется для представления фермионных симметрий. В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU( n ), которые важны в физике GUT , для p > 1, n − p > 1 ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

где × обозначает прямое произведение , а U(1) , известная как группа круга , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением  1.

Для полноты картины существуют также ортогональная и симплектическая подгруппы,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Поскольку ранг SU ( n ) равен n − 1 , а U(1) равен 1, полезной проверкой является то, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU( n ) является подгруппой различных других групп Ли,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$

См. Спиновую группу и Простую группу Ли для E ₆ , E ₇ и G ₂ .

Существуют также случайные изоморфизмы : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , ^[d] и U(1) = Spin(2) = SO(2) .

Наконец, можно упомянуть, что SU(2) является двойной охватывающей группой SO (3) , отношения, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноров в нерелятивистской квантовой механике .

СУ(1, 1)

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$где обозначает комплексно сопряженное число комплексного числа u . ${\displaystyle ~u^{*}~}$

Эта группа изоморфна SL(2,ℝ) и Spin(2,1) ^[19] , где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы, сохраняемой группой. Выражение в определении SU(1,1) является эрмитовой формой , которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v расширяются с их действительными компонентами. ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

Раннее появление этой группы было в виде «единичной сферы» кокватернионов , введенной Джеймсом Коклем в 1852 году. Пусть

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

Тогда матрица тождественности 2×2, и и элементы i, j и k все антикоммутируют , как в кватернионах . Также все еще является квадратным корнем из − I ₂ (отрицательно единичной матрицы), тогда как не являются, в отличие от кватернионов. Для обоих кватернионов и кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I ₂ и обозначаются как 1 . ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$ ${\displaystyle ~k\,i=j~,}$ ${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

Кокватернион со скаляром w имеет сопряжение, подобное кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма имеет вид ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ ${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Обратите внимание, что 2-полостный гиперболоид соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любая точка p на этом гиперболоиде может быть использована в качестве полюса синусоидальной волны согласно формуле Эйлера . ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

Гиперболоид стабилен относительно SU(1, 1) , что иллюстрирует изоморфизм со Spin(2, 1) . Изменчивость полюса волны, как отмечено в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом . ${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ Модель сферы Пуанкаре, используемая с 1892 года, была сравнена с моделью 2-слойного гиперболоида ^[20] , и была введена практика интерферометрии SU(1, 1) .

Когда элемент SU(1, 1) интерпретируется как преобразование Мёбиуса , он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре гиперболической плоской геометрии. Действительно, для точки [ z, 1 ] на комплексной проективной прямой действие SU(1,1) задается как

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

так как в проективных координатах ${\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.}$

Написание арифметических шоу с комплексными числами ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$

где Следовательно, так что их отношение лежит в открытом диске. ^[21] ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$ ${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Унитарная группа
• Проективная специальная унитарная группа , PSU( n )
• Ортогональная группа
• Обобщения матриц Паули
• Теория представлений SU(2)

Сноски

1. Для характеристики U( n ) и, следовательно, SU( n ) с точки зрения сохранения стандартного скалярного произведения на см. Классическая группа . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. Для явного описания гомоморфизма SU(2) → SO(3) см. Связь между SO(3) и SU(2) .
3. Таким образом, менее 1 ⁄ 6 всех f _abc являются неисчезающими.
4. Sp( n ) — компактная вещественная форма . Иногда обозначается как USp( 2n ) . Размерность Sp( n ) -матриц составляет 2 n × 2 n . ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$

Цитаты

1. Халзен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
2. Холл 2015, Предложение 13.11
3. Wybourne, BG (1974). Классические группы для физиков . Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.
4. Холл 2015 Предложение 3.24
5. Джорджи, Ховард (2018-05-04). Алгебры Ли в физике частиц: от изоспина до единых теорий (1-е изд.). Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0.
6. Джорджи, Ховард (2018-05-04). Алгебры Ли в физике частиц: от изоспина до единых теорий (1-е изд.). Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0.
7. Холл 2015 Упражнение 1.5
8. Сэвидж, Алистер. «Группы Ли» (PDF) . Примечания к MATH 4144.
9. Холл 2015 Предложение 3.24
10. Холл 2015 Предложение 13.11
11. Холл 2015 Раздел 13.2
12. Холл 2015 Глава 6
13. Розен, СП (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU(3)». Журнал математической физики . 12 (4): 673–681. Bibcode : 1971JMP....12..673R. doi : 10.1063/1.1665634.; Curtright, TL; Zachos, CK (2015). "Элементарные результаты для фундаментального представления SU(3)". Reports on Mathematical Physics . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Bibcode :2015RpMP...76..401C. doi :10.1016/S0034-4877(15)30040-9. S2CID  119679825.
14. Холл 2015 Предложение 3.24
15. Холл 2015 Раздел 3.6
16. Холл 2015 Раздел 7.7.1
17. Холл 2015 Раздел 8.10.1
18. Francsics, Gabor; Lax, Peter D. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область для модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv : math/0509708 .
19. Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . John Wiley & Sons . стр. 52, 201−205. MR  1275599.
20. Мота, РД; Охеда-Гильен, Д.; Саласар-Рамирес, М.; Гранадос, В.Д. (2016). «SU(1,1)-подход к параметрам Стокса и теории поляризации света». Журнал Оптического общества Америки Б. 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . Бибкод : 2016JOSAB..33.1696M. дои : 10.1364/JOSAB.33.001696. S2CID  119146980.
21. Siegel, CL (1971). Topics in Complex Function Theory . Vol. 2. Перевод Шенитцера, А.; Треткоффа, М. Wiley-Interscience. стр. 13–15. ISBN 0-471-79080 X.

Ссылки

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и их приложения , Lecture Notes in Physics, т. 708, Springer, ISBN 3540362363