В геометрии символ Шлефли — обозначение формы , определяющей правильные многогранники и мозаики .
Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика XIX века Людвига Шлефли , [1] : 143 , который обобщил евклидову геометрию на более чем три измерения и открыл все ее выпуклые правильные многогранники, включая шесть, встречающиеся в четырех измерениях.
Символ Шлефли представляет собой рекурсивное описание [1] : 129 , начинающееся с { p } для p -стороннего правильного многоугольника , который является выпуклым . Например, {3} — равносторонний треугольник , {4} — квадрат , {5} — выпуклый правильный пятиугольник и т. д.
Правильные звездчатые многоугольники не являются выпуклыми, а их символы Шлефли { p / q } содержат неприводимые дроби p / q , где p — количество вершин, а q — их число поворотов . Эквивалентно, { p / q } создается из вершин { p }, соединенных каждым q . Например, { 5/2 } — пентаграмма ; { 5 ⁄ 1 } — пятиугольник .
Правильный многогранник , у которого есть q граней правильного p -стороннего многоугольника вокруг каждой вершины , обозначается { p , q }. Например, куб имеет три квадрата вокруг каждой вершины и обозначается {4,3}.
Правильный 4-мерный многогранник с r { p , q } правильными многогранными ячейками вокруг каждого ребра обозначается { p , q , r }. Например, тессеракт {4,3,3} имеет 3 куба {4,3} по краю.
В общем, правильный многогранник { p , q , r ,..., y , z } имеет z { p , q , r ,..., y } граней вокруг каждой вершины , где вершина - это вершина в многограннике. , ребро в 4-многограннике, грань в 5-многограннике и ( n -3)-грань в n -многограннике.
Правильный многогранник имеет правильную вершинную фигуру . Вершинная фигура правильного многогранника { p , q , r ,..., y , z } равна { q , r ,..., y , z }.
Правильные многогранники могут иметь элементы звездчатого многоугольника , такие как пентаграмма с символом { 5 ⁄ 2 }, представленная вершинами пятиугольника, но соединенными попеременно.
Символ Шлефли может представлять собой конечный выпуклый многогранник , бесконечную мозаику евклидова пространства или бесконечную мозаику гиперболического пространства , в зависимости от углового дефекта конструкции. Дефект положительного угла позволяет вершинной фигуре сворачиваться в более высокое измерение и возвращаться в себя как многогранник. Дефект с нулевым углом замощает пространство того же размера, что и грани. Дефект отрицательного угла не может существовать в обычном пространстве, но может быть построен в гиперболическом пространстве.
Обычно фасет или вершинная фигура считается конечным многогранником, но иногда сама по себе может считаться мозаикой.
Правильный многогранник также имеет двойственный многогранник, представленный элементами символа Шлефли в обратном порядке. Самодуальный правильный многогранник будет иметь симметричный символ Шлефли.
Помимо описания евклидовых многогранников, символы Шлефли можно использовать для описания сферических многогранников или сферических сот. [1] : 138
Работа Шлефли была почти неизвестна при его жизни, а его обозначения для описания многогранников были независимо заново открыты несколькими другими. В частности, Торольд Госсет заново открыл символ Шлефли, который он написал как | р | д | р | ... | г | а не скобками и запятыми, как это сделал Шлефли. [1] : 144
Форма Госсета имеет большую симметрию, поэтому количество измерений равно количеству вертикальных полос, а символ точно включает подсимволы для фасетной и вершинной фигуры. Госсет считает | p как оператор, который можно применить к | д | ... | г | создать многогранник с p -угольными гранями, фигура вершины которого равна | д | ... | г |.
Символы Шлефли тесно связаны с (конечными) группами симметрии отражения , которые точно соответствуют конечным группам Кокстера и задаются теми же индексами, но вместо них используются квадратные скобки [ p , q , r ,...]. Такие группы часто называют по образу правильных многогранников, которые они порождают. Например, [3,3] — это группа Коксетера для отражающей тетраэдрической симметрии , [3,4] — для отражающей октаэдрической симметрии , а [3,5] — для отражающей икосаэдрической симметрии .
Символ Шлефли выпуклого правильного многоугольника с p ребрами — { p }. Например, правильный пятиугольник обозначается {5}.
Для невыпуклых звездчатых многоугольников используется конструктивное обозначение { p ⁄ q }, где p — количество вершин, а q −1 — количество вершин, пропущенных при рисовании каждого ребра звезды. Например, { 5 ⁄ 2 } представляет пентаграмму .
Символом Шлефли правильного многогранника является { p , q }, если его грани являются p -угольниками, а каждая вершина окружена q гранями ( фигура вершины - q -угольник).
Например, {5,3} — правильный додекаэдр . Он имеет пятиугольные (5 ребер) грани и по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины.
См. 5 выпуклых Платоновых тел , 4 невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо .
Топологически правильную двумерную мозаику можно рассматривать как подобную (3-мерному) многограннику, но такую, что угловой дефект равен нулю. Таким образом, символы Шлефли также могут быть определены для правильных мозаик евклидова или гиперболического пространства аналогично тому, как это делается для многогранников . Аналогия справедлива и для более высоких измерений.
Например, шестиугольная мозаика представлена {6,3}.
Символ Шлефли правильного 4-многогранника имеет вид { p , q , r }. Его (двумерные) грани представляют собой правильные p -угольники ({ p }), ячейки — правильные многогранники типа { p , q }, фигуры вершин — правильные многогранники типа { q , r }, а реберные фигуры — правильные r -угольники (типа { r }).
См. шесть выпуклых правильных и 10 правильных звездчатых 4-многогранников .
Например, 120-ячейка представлена {5,3,3}. Он состоит из ячеек додекаэдра {5,3} и имеет по 3 ячейки вокруг каждого края.
Существует одна правильная мозаика евклидова трехмерного пространства: кубические соты с символом Шлефли {4,3,4}, состоящие из кубических ячеек и четырех кубов по каждому краю.
Есть также 4 регулярных компактных гиперболических мозаики, включая {5,3,4}, небольшие гиперболические соты додекаэдра , которые заполняют пространство ячейками додекаэдра .
Если символ 4-многогранника является палиндромным (например, {3,3,3} или {3,4,3}), его битовое усечение будет иметь только усеченные формы вершинной фигуры в виде ячеек.
Для правильных многогранников более высокой размерности символ Шлефли определяется рекурсивно как { p 1 , p 2 ,..., p n - 1 }, если грани имеют символ Шлефли { p 1 , p 2 ,..., p n - 2 } и вершинные фигуры имеют символ Шлефли { p 2 , p 3 ,..., p n − 1 }.
Фигура вершины грани многогранника и грань вершины фигуры того же многогранника одинаковы: { p 2 , p 3 ,..., p n − 2 }.
Есть только 3 правильных многогранника в 5 измерениях и выше: симплекс , {3,3,3,...,3}; перекрестный многогранник , {3,3, ..., 3,4}; и гиперкуб , {4,3,3,...,3}. Невыпуклых правильных многогранников выше 4 измерений не существует.
Если многогранник размерности n ≥ 2 имеет символ Шлефли { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 }, то его двойственный многогранник имеет символ Шлефли { p n − 1 , ..., p 2 , p 1 }.
Если последовательность палиндромна , то есть одинакова вперед и назад, многогранник самодвойственный . Каждый правильный двумерный многогранник (многоугольник) самодуален.
Однородные призматические многогранники можно определить и назвать как декартово произведение (с оператором «×») правильных многогранников меньшей размерности.
. Его симметрия [ ].
. Его симметрия [2].
. Его симметрия равна [2, p ].
. Его симметрия равна [2, p , q ].. Его симметрия — [ p ,2, q ].Призматические двойники или бипирамиды могут быть представлены в виде составных символов, но с оператором сложения «+».
. Его симметрия [2].. Его симметрия равна [2, p ].. Его симметрия — [ p , q ].. Его симметрия — [ p ,2, q ].Пирамидальные многогранники, содержащие ортогонально смещенные вершины, можно представить с помощью оператора соединения «∨». Каждая пара вершин между соединенными фигурами соединена ребрами.
В 2D равнобедренный треугольник можно представить как ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
В 3D:
В 4D:
При смешивании операторов порядок операций от высшего к низшему равен ×, +, ∨.
Осевые многогранники, содержащие вершины на параллельных гиперплоскостях смещения, могут быть представлены как || оператор. Однородная призма – это { n }||{ n } и антипризма { n }|| р { н }.
Усеченный правильный многоугольник сдвоился по сторонам. Правильный многоугольник с четными сторонами можно разделить пополам. Измененный четносторонний правильный 2n-угольник образует соединение звездной фигуры 2{n}.
Коксетер расширил использование символа Шлефли до квазиправильных многогранников , добавив к символу вертикальное измерение. Это была отправная точка на пути к более общей диаграмме Кокстера . Норман Джонсон упростил обозначение вертикальных символов с помощью префикса r . Т-обозначение является наиболее общим и напрямую соответствует кольцам диаграммы Кокстера. Символы имеют соответствующее чередование : кольца заменяются отверстиями на диаграмме Коксетера, а префикс h обозначает половину . Конструкция ограничена требованием, чтобы соседние ветви были четными, и сокращает порядок симметрии вдвое. Связанный оператор a для измененного показан с двумя вложенными отверстиями и представляет собой составные многогранники с обеими чередующимися половинами, сохраняя исходную полную симметрию. Курносый — это половинная форма усечения, а голоснос — обе половины попеременного усечения .
Чередования имеют половину симметрии групп Кокстера и представлены незаполненными кольцами. Возможны два варианта, при которых будет взята половина вершин, но символ не указывает, какой из них. Четвертные формы показаны здесь со знаком + внутри полого кольца, что означает, что это два независимых чередования.
Измененные и голосубые формы обладают полной симметрией группы Кокстера и представлены двойными незаполненными кольцами, но могут быть представлены и в виде соединений.
Обычный
Полурегулярный
Правильные многогранники.
