Аналитическая геометрия

Изучение геометрии с использованием системы координат

В математике аналитическая геометрия , также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , является изучением геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .

Аналитическая геометрия используется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космонавтике и космических полетах . Она является основой большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .

Обычно декартова система координат применяется для манипулирования уравнениями для плоскостей, прямых линий и окружностей, часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость (два измерения) и евклидово пространство. Как преподается в школьных учебниках, аналитическую геометрию можно объяснить проще: она занимается определением и представлением геометрических фигур числовым способом и извлечением числовой информации из числовых определений и представлений фигур. То, что алгебра действительных чисел может быть использована для получения результатов о линейном континууме геометрии, основано на аксиоме Кантора–Дедекинда .

История

Древняя Греция

Греческий математик Менехм решал задачи и доказывал теоремы , используя метод, очень похожий на использование координат, и иногда утверждалось, что он ввел аналитическую геометрию. ^[1]

Аполлоний Пергский в «О детерминированном сечении » рассматривал проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом нахождения точек на прямой, которые находятся в пропорции к другим. ^[2] Аполлоний в «Кониках» далее развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что его работа, как иногда думают, предвосхитила работу Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по сути ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные вдоль диаметра от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и отсекаемые между осью и кривой, являются ординатами. Он далее разработал соотношения между абсциссами и соответствующими ординатами, которые эквивалентны риторическим уравнениям (выраженным словами) кривых. Однако, хотя Аполлоний и приблизился к разработке аналитической геометрии, ему это не удалось, поскольку он не учитывал отрицательные величины и в каждом случае система координат накладывалась на заданную кривую a posteriori вместо a priori . То есть уравнения определялись кривыми, но кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации. ^[3]

Персия

Персидский математик XI века Омар Хайям увидел тесную связь между геометрией и алгеброй и двигался в правильном направлении, когда помог закрыть разрыв между числовой и геометрической алгеброй ^[4] своим геометрическим решением общих кубических уравнений , ^[5] но решающий шаг был сделан позже Декартом. ^[4] Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга «Трактат о доказательствах проблем алгебры» (1070), в которой были изложены принципы аналитической геометрии, является частью корпуса персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу. ^[6] Благодаря его основательному геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии. ^{[7] : 248}

Западная Европа

Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером де Ферма , ^{[8] [9]} хотя иногда Декарту приписывают исключительное право на изобретение. ^{[10] [11]} Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для обозначения аналитической геометрии, названа в честь Декарта.

Декарт добился значительного прогресса в методах в эссе под названием La Géométrie (Геометрия) , одном из трех сопровождающих эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его «Рассуждением о методе для верного направления разума и поиска истины в науках» , обычно называемом «Рассуждением о методе» . «La Geometrie» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы заложили основу для исчисления в Европе. Первоначально работа не была хорошо принята, отчасти из-за многочисленных пробелов в аргументах и ​​сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментариев ван Схоотена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание. ^[12]

Пьер де Ферма также был пионером в разработке аналитической геометрии. Хотя рукопись Ad locos planos et solidos isagoge (Введение в плоские и твердые места) не была опубликована при его жизни, она распространялась в Париже в 1637 году, как раз перед публикацией « Рассуждения Декарта» . ^{[13] [14] [15]} Четко написанное и хорошо принятое, « Введение» также заложило основу аналитической геометрии. Ключевое различие между трактовками Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. ^[12] Вследствие этого подхода Декарту приходилось иметь дело с более сложными уравнениями, и ему приходилось разрабатывать методы для работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер первым применил метод координат в систематическом изучении пространственных кривых и поверхностей.

Координаты

Иллюстрация декартовой координатной плоскости. Четыре точки отмечены и помечены их координатами: (2,3) зеленым цветом, (−3,1) красным цветом, (−1.5,−2.5) синим цветом и начало координат (0,0) фиолетовым цветом.

В аналитической геометрии плоскости задается система координат, в которой каждая точка имеет пару действительных числовых координат. Аналогично, евклидово пространство задается координатами, в которых каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Существует множество используемых систем координат, но наиболее распространенными являются следующие: ^[16]

Декартовы координаты (на плоскости или в пространстве)

Наиболее распространенной системой координат является декартова система координат , в которой каждая точка имеет x -координату, представляющую ее горизонтальное положение, и y -координату, представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются в виде упорядоченной пары ( x ,  y ). Эту систему также можно использовать для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представлена ​​упорядоченной тройкой координат ( x ,  y ,  z ).

Полярные координаты (на плоскости)

В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ​​своим расстоянием r от начала координат и своим углом θ , причем θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя эту нотацию, точки обычно записываются как упорядоченная пара ( r , θ ). Можно выполнять преобразования между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя эти формулы: Эту систему можно обобщить на трехмерное пространство с помощью цилиндрических или сферических координат. $${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

Цилиндрические координаты (в пространстве)

В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена ​​своей высотой z , своим радиусом r от оси z и углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует относительно горизонтальной оси.

Сферические координаты (в пространстве)

В сферических координатах каждая точка пространства представлена ​​своим расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует относительно горизонтальной оси, и углом φ , который она образует относительно оси z . Названия углов часто меняются местами в физике. ^[16]

Уравнения и кривые

В аналитической геометрии любое уравнение , включающее координаты, определяет подмножество плоскости, а именно множество решений для уравнения, или геометрическое место точек . Например, уравнение y  =  x соответствует множеству всех точек на плоскости, чьи координаты x и y равны. Эти точки образуют линию , и говорят, что y  =  x является уравнением этой линии. В общем случае линейные уравнения, включающие x и y, определяют линии, квадратные уравнения определяют конические сечения , а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры. ^[17]

Обычно одно уравнение соответствует кривой на плоскости. Это не всегда так: тривиальное уравнение x  =  x определяет всю плоскость, а уравнение x ²  +  y ²  = 0 определяет только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривая должна быть задана как пересечение двух поверхностей (см. ниже) или как система параметрических уравнений . ^[18] Уравнение x ²  +  y ²  =  r ² является уравнением для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.

Линии и плоскости

Линии в декартовой плоскости , или, более общо, в аффинных координатах , можно описать алгебраически линейными уравнениями. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме наклона-пересечения : где: $${\displaystyle y=mx+b}$$

• m — наклон или градиент линии.
• b — точка пересечения прямой с осью Y.
• x — независимая переменная функции y = f ( x ).

Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием точечно-наклонной формы для своих уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней (нормального вектора ) , для указания ее «наклона».

В частности, пусть будет вектором положения некоторой точки , и пусть будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из тех точек , с вектором положения , таким образом, что вектор, проведенный от к , перпендикулярен . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, следует, что искомая плоскость может быть описана как множество всех точек, таких что (Точка здесь означает скалярное произведение , а не скалярное умножение.) Развернутое это становится что является точечной нормальной формой уравнения плоскости. ^{[ необходима цитата ]} Это просто линейное уравнение : Наоборот, легко показать, что если a , b , c и d являются константами и a , b , и c не все равны нулю, то график уравнения представляет собой плоскость, имеющую вектор в качестве нормали. ^{[ необходима цитата ]} Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости. ^{[ 19 ]} ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$ $${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому их часто описывают параметрическими уравнениями : где: $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$ $${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$ $${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x , y и z являются функциями независимой переменной t, которая принимает значения в диапазоне действительных чисел.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
• a , b и c связаны с наклоном прямой, так что вектор ( a , b , c ) параллелен прямой.

Конические сечения

Гипербола и ее сопряженная гипербола

В декартовой системе координат график квадратного уравнения с двумя переменными всегда является коническим сечением – хотя оно может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид Поскольку масштабирование всех шести констант дает одно и то же геометрическое место нулей, можно рассматривать коники как точки в пятимерном проективном пространстве $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта ^[20]

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$Если коника невырожденная, то:

• если , то уравнение представляет собой эллипс ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • если и , то уравнение представляет собой окружность , которая является частным случаем эллипса; ${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• если , то уравнение представляет собой параболу ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• если , то уравнение представляет собой гиперболу ; ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • если у нас также есть , уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу . ${\displaystyle A+C=0}$

Квадрические поверхности

Квадрика или квадратичная поверхность — это 2 -мерная поверхность в 3-мерном пространстве, определяемая как геометрическое место нулей квадратичного многочлена . В координатах x 1 _, x 2 _, x 3 _общая квадрика определяется алгебраическим уравнением [ 21 ^]

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

Квадратичные поверхности включают эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .

Расстояние и угол

Формула расстояния на плоскости следует из теоремы Пифагора.

В аналитической геометрии геометрические понятия, такие как расстояние и мера угла , определяются с помощью формул . Эти определения разработаны так, чтобы соответствовать базовой евклидовой геометрии . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ ,  y ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ) определяется формулой , которую можно рассматривать как версию теоремы Пифагора . Аналогично, угол, который образует линия с горизонталью, можно определить с помощью формулы , где m — наклон линии. $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

В трех измерениях расстояние задается обобщением теоремы Пифагора: тогда как угол между двумя векторами задается скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется как ^[22], где θ — угол между A и B . $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

Трансформации

а) y = f(x) = |x|       б) y = f(x+3)      в) y = f(x)-3      г) y = 1/2 f(x)

Преобразования применяются к родительской функции, чтобы превратить ее в новую функцию с аналогичными характеристиками.

График изменяется стандартными преобразованиями следующим образом: ${\displaystyle R(x,y)}$

• Изменение на перемещает график в нужные единицы измерения. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• Изменение на перемещает график вверх на единицы. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• Изменение на растягивает график по горизонтали в . раз (представьте, что он расширяется) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• Изменение на растягивает график по вертикали. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• Изменение на и изменение на поворачивает график на угол . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, поскольку преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Наклон — пример преобразования, которое обычно не рассматривается. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье Википедии об аффинных преобразованиях .

Например, родительская функция имеет горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимает первый и третий квадранты, а все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем случае, если , то ее можно преобразовать в . В новой преобразованной функции — это фактор, который вертикально растягивает функцию, если она больше 1, или вертикально сжимает функцию, если она меньше 1, а для отрицательных значений функция отражается в -оси. Значение сжимает график функции горизонтально, если больше 1, и растягивает функцию горизонтально, если она меньше 1, и подобно , отражает функцию в -оси, когда она отрицательна. Значения и вводят переносы, , вертикальный и горизонтальный. Положительные значения и означают, что функция переносится в положительный конец своей оси, а отрицательные означают перенос в отрицательный конец. ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

Преобразования могут быть применены к любому геометрическому уравнению, независимо от того, представляет ли уравнение функцию. Преобразования могут рассматриваться как отдельные транзакции или в комбинациях.

Предположим, что — отношение на плоскости. Например, — отношение, описывающее единичную окружность. ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

Нахождение пересечений геометрических объектов

Для двух геометрических объектов P и Q, представленных отношениями , пересечение представляет собой совокупность всех точек , которые находятся в обоих отношениях. ^[23] ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Например, может быть окружностью с радиусом 1 и центром : и может быть окружностью с радиусом 1 и центром . Пересечение этих двух окружностей является набором точек, которые делают оба уравнения истинными. Делает ли точка оба уравнения истинными? Используя для , уравнение для становится или , которое является истинным, поэтому находится в отношении . С другой стороны, по-прежнему используя для , уравнение для становится или , которое является ложным. не находится в , поэтому он не находится в пересечении. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

Пересечение и можно найти, решив систему уравнений: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

Традиционные методы поиска пересечений включают замену и исключение.

Замена: Решите первое уравнение относительно и затем подставьте выражение для во второе уравнение: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

Затем подставляем это значение в другое уравнение и переходим к решению : ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$ $${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

Далее мы помещаем это значение в одно из исходных уравнений и решаем для : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Итак, наше пересечение имеет две точки: $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Исключение : Добавьте (или вычтите) кратное одного уравнения к другому уравнению, чтобы исключить одну из переменных. Для нашего текущего примера, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим . В первом уравнении вычитаем из во втором уравнении, не оставляя члена. Переменная исключена. Затем мы решаем оставшееся уравнение относительно , ​​таким же образом, как в методе подстановки: ${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

Затем мы помещаем это значение в одно из исходных уравнений и решаем для : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Итак, наше пересечение имеет две точки: $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Для конических сечений на пересечении может находиться до 4 точек.

Поиск перехватов

Одним из широко изучаемых типов пересечения является пересечение геометрического объекта с осями координат и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Пересечение геометрического объекта и -оси называется -отрезком объекта. Пересечение геометрического объекта и -оси называется -отрезком объекта. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Для линии параметр определяет точку пересечения линии с осью. В зависимости от контекста, либо точка, либо называется -intercept. ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

Геометрическая ось

Ось в геометрии — это перпендикулярная линия к любой линии, объекту или поверхности.

Также для этого может использоваться общепринятое обозначение: нормальная (перпендикулярная) линия, иначе в технике — осевая линия .

В геометрии нормаль — это объект, такой как линия или вектор, который перпендикулярен данному объекту. Например, в двумерном случае нормаль к кривой в данной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

В трехмерном случае нормаль поверхности , или просто нормаль , к поверхности в точке P — это вектор , перпендикулярный касательной плоскости к этой поверхности в точке P. Слово «нормаль» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , нормальный вектор и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности .

Сферические и нелинейные плоскости и их касательные

Касательная — это линейная аппроксимация сферической или другой изогнутой или скрученной линии функции.

Касательные линии и плоскости

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке — это прямая, которая «только касается» кривой в этой точке. Неформально, это линия, проходящая через пару бесконечно близких точек на кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если линия проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) , где f ' — производная f . Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n -мерном евклидовом пространстве .

Проходя через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания , касательная «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим прямолинейным приближением к кривой в этой точке.

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и было широко обобщено; см. Касательное пространство .

Смотрите также

• Прикладная геометрия
• Перекрестное произведение
• Вращение осей
• Перевод осей
• Вектор пространства

Примечания

1. Бойер, Карл Б. (1991). «Эпоха Платона и Аристотеля». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Менехм, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и другие. Поскольку этот материал имеет сильное сходство с использованием координат, как показано выше, иногда утверждалось, что Менехм имел аналитическую геометрию. Такое суждение оправдано лишь отчасти, поскольку Менехм, безусловно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общая концепция уравнения с неизвестными величинами была чужда греческой мысли. Именно недостатки в алгебраических обозначениях, больше всего остального, работали против греческого достижения полноценной координатной геометрии.
2. Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 142. ISBN 0-471-54397-7. Аполлоновский трактат «О детерминированном сечении» имел дело с тем, что можно было бы назвать аналитической геометрией одного измерения. Он рассматривал следующую общую задачу, используя типичный греческий алгебраический анализ в геометрической форме: даны четыре точки A, B, C, D на прямой линии; определить пятую точку P на ней так, чтобы прямоугольник на AP и CP находился в заданном отношении к прямоугольнику на BP и DP. Здесь также задача легко сводится к решению квадратного уравнения; и, как и в других случаях, Аполлоний исчерпывающе рассмотрел вопрос, включая пределы возможности и число решений.
3. Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 156. ISBN 0-471-54397-7. Метод Аполлония в «Кониках» во многих отношениях настолько похож на современный подход, что его работа иногда оценивается как аналитическая геометрия, предвосхитившая Декарта на 1800 лет. Применение линий отсчета вообще, и диаметра и касательной на его конце в частности, конечно, по сути не отличается от использования системы координат, будь то прямоугольной или, в более общем смысле, косой. Расстояния, измеренные вдоль диаметра от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и отсекаемые между осью и кривой, являются ординатами. Аполлоновское соотношение между этими абсциссами и соответствующими ординатами является не чем иным, как риторическими формами уравнений кривых. Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась a posteriori на заданную кривую для изучения ее свойств. Кажется, в древней геометрии не было случаев, когда система координат была бы установлена ​​априори для целей графического представления уравнения или отношения, будь то символически или риторически выраженного. О греческой геометрии мы можем сказать, что уравнения определяются кривыми, но не то, что кривые определяются уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, выведенными из конкретной геометрической ситуации; [...] То, что Аполлоний, величайший геометр древности, не смог разработать аналитическую геометрию, вероятно, было результатом скудности кривых, а не мысли. Общие методы не нужны, когда проблемы всегда касаются одного из ограниченного числа частных случаев.
4. Boyer (1991). "Арабская гегемония" . История математики . стр. 241–242. ISBN 9780471543978. Омар Хайям (ок. 1050–1123), «изготовитель палаток», написал « Алгебру» , которая превзошла алгебру аль-Хорезми и включила уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предоставил квадратным уравнениям как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений он считал (ошибочно, как позже показал шестнадцатый век), что арифметические решения невозможны; поэтому он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубических уравнений использовалась ранее Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям сделал похвальный шаг, обобщив метод для охвата всех уравнений третьей степени (имеющих положительные корни). Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не представлял себе подобных геометрических методов, поскольку пространство не содержит более трех измерений, ... Одним из самых плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция к сокращению разрыва между числовой и геометрической алгеброй. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декартом, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Тот, кто думает, что алгебра — это трюк для получения неизвестных, думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия различны по внешнему виду. Алгебры — это геометрические факты, которые доказаны».
5. Купер, Глен М. (2003). «Обзор: Омар Хайям, математик Р. Рашеда, Б. Вахабзаде». Журнал Американского восточного общества . 123 (1): 248–249. doi :10.2307/3217882. JSTOR  3217882.
6. Математические шедевры: Дальнейшие хроники исследователей, стр. 92
7. Купер, Г. (2003). Журнал Американского восточного общества, 123(1), 248-249.
8. Стиллвелл, Джон (2004). «Аналитическая геометрия». Математика и ее история (второе изд.). Springer Science + Business Media Inc. стр. 105. ISBN 0-387-95336-1Оба основателя аналитической геометрии, Ферма и Декарт, находились под сильным влиянием этих разработок .
9. Бойер 2004, стр. 74
10. Кук, Роджер (1997). "Исчисление". История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. стр. 326. ISBN 0-471-18082-3. Человеком, которого обычно считают первооткрывателем аналитической геометрии, был философ Рене Декарт (1596–1650), один из самых влиятельных мыслителей современности.
11. Бойер 2004, стр. 82
12. Katz 1998, стр. 442
13. Кац 1998, стр. 436
14. Пьер де Ферма, Varia Opera Mathematica d. Петри де Ферма, сенатор Толосани (Тулуза, Франция: Жан Пеш, 1679), «Ad locos planos et Solidos isagoge», стр. 91–103. Архивировано 4 августа 2015 г. в Wayback Machine.
15. «Eloge de Monsieur de Fermat». Архивировано 4 августа 2015 г. в Wayback Machine (Похваление г-на де Ферма), Le Journal des Scavans , 9 февраля 1665 г., стр. 69–72. Из стр. 70: «Введение в места, планы и твердые тела; то, что является аналитической чертой, касающейся решения проблем планов и твердых тел, должно избегать того, что M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet». (Введение в локусы, плоскости и твердое тело; это аналитический трактат, посвященный решению проблем плоскости и твердого тела, который был просмотрен до того, как г-н де Карт опубликовал что-либо по этому предмету.)
16. Stewart, James (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали , 6-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 
17. Перси Франклин Смит, Артур Салливан Гейл (1905) Введение в аналитическую геометрию , Athaeneum Press
18. Уильям Х. МакКри, Аналитическая геометрия трех измерений , Courier Dover Publications, 27 января 2012 г.
19. Вуйчич, Милан; Сандерсон, Джеффри (2008), Вуйчич, Милан; Сандерсон, Джеффри (ред.), «Тщательное объяснение линейной алгебры» , Springer, стр. 27, номер домена : 10.1007/978-3-540-74639-3, ISBN 978-3-540-74637-9
20. Фанчи, Джон Р. (2006), Освежение знаний по математике для ученых и инженеров, John Wiley and Sons, стр. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, Раздел 3.2, стр. 45
21. Квадрики Сильвио Леви Архивировано 18 июля 2018 г. на Wayback Machine в разделе «Формулы и факты геометрии», отрывок из 30-го издания CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , из Центра геометрии Миннесотского университета
22. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очерки Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
23. Хотя это обсуждение ограничено плоскостью xy, его можно легко распространить на более высокие измерения.

Ссылки

Книги

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
• Каджори, Флориан (1999), История математики , AMS, ISBN 978-0821821022
• Джон Кейси (1885) Аналитическая геометрия точки, прямой, окружности и конических сечений, ссылка из интернет-архива .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.), Чтение: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Михаил Постников (1982) Лекции по геометрии, семестр I, Аналитическая геометрия через интернет-архив
• Струик, DJ (1969), Справочник по математике, 1200-1800 , Издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0674823556

Статьи

• Бисселл, Кристофер К. (1987), «Декартова геометрия: голландский вклад», The Mathematical Intelligencer , 9 (4): 38–44, doi :10.1007/BF03023730
• Бойер, Карл Б. (1944), «Аналитическая геометрия: открытие Ферма и Декарта», Учитель математики , 37 (3): 99–105, doi :10.5951/MT.37.3.0099
• Бойер, Карл Б. (1965), «Иоганн Хадде и пространственные координаты», Учитель математики , 58 (1): 33–36, doi :10.5951/MT.58.1.0033
• Кулидж, Дж. Л. (1948), «Начала аналитической геометрии в трех измерениях», American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740, JSTOR  2305740
• Пекль, Дж., Ньютон и аналитическая геометрия

Внешние ссылки

• Темы по координатной геометрии с интерактивной анимацией