Синус и косинус

Основные тригонометрические функции

В математике синус и косинус являются тригонометрическими функциями угла . Синус и косинус острого угла определяются в контексте прямоугольного треугольника : для указанного угла его синус — это отношение длины стороны, противолежащей этому углу, к длине самой длинной стороны треугольника ( гипотенузы ) , а косинус — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы . Для угла функции синуса и косинуса обозначаются как и . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$

Определения синуса и косинуса были расширены до любого действительного значения в терминах длин определенных отрезков в единичной окружности . Более современные определения выражают синус и косинус как бесконечные ряды или как решения определенных дифференциальных уравнений , что позволяет их расширение до произвольных положительных и отрицательных значений и даже до комплексных чисел .

Функции синуса и косинуса обычно используются для моделирования периодических явлений, таких как звуковые и световые волны , положение и скорость гармонических осцилляторов, интенсивность солнечного света и продолжительность дня, а также средние колебания температуры в течение года. Их можно проследить до функций jyā и koṭi-jyā, используемых в индийской астрономии в период Гуптов .

Элементарные описания

Определение прямоугольного треугольника

Для угла α функция синуса дает отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Чтобы определить синус и косинус острого угла , начните с прямоугольного треугольника , который содержит угол меры ; на прилагаемом рисунке угол в прямоугольном треугольнике является углом интереса. Три стороны треугольника называются следующим образом: ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ABC}$

• Противоположная сторона — это сторона, противоположная углу интереса; в данном случае это . ${\displaystyle a}$
• Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу; в данном случае это . Гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. ${\displaystyle h}$
• Прилегающая сторона — это оставшаяся сторона; в данном случае это . Она образует сторону (и примыкает) как к интересующему углу, так и к прямому углу. ${\displaystyle b}$

После выбора такого треугольника синус угла равен длине противолежащего катета, деленной на длину гипотенузы, а косинус угла равен длине прилежащего катета, деленной на длину гипотенузы: ^[1] $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$$

Другие тригонометрические функции угла можно определить аналогичным образом; например, тангенс — это отношение между противолежащими и прилежащими катетами или, что эквивалентно, отношение между функциями синуса и косинуса. Обратная величина синусу — косеканс, который дает отношение длины гипотенузы к длине противолежащего катета. Аналогично, обратная величина косинуса — секанс, который дает отношение длины гипотенузы к длине прилежащего катета. Функция котангенса — это отношение между прилежащим и противолежащим катетами, обратная функции тангенса. Эти функции можно сформулировать следующим образом: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}}$$

Специальные угловые меры

Как указано, значения и , по-видимому, зависят от выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол меры . Однако это не так, поскольку все такие треугольники подобны , и поэтому соотношения для каждого из них одинаковы. Например, каждый катет прямоугольного треугольника 45-45-90 равен 1 единице, а его гипотенуза равна ; следовательно, . ^[2] В следующей таблице показано специальное значение каждого входного сигнала для синуса и косинуса с областью определения между . Входные данные в этой таблице содержат различные системы единиц, такие как градус, радиан и т. д. Углы, отличные от этих пяти, можно получить с помощью калькулятора. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

Законы

Иллюстрация закона синусов и косинусов

Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. ^[5] Учитывая, что треугольник со сторонами , , и , и углами, противолежащими этим сторонам , , и . Закон гласит, Это эквивалентно равенству первых трех выражений ниже: где - радиус описанной окружности треугольника . ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ ${\displaystyle R}$

Закон косинусов полезен для вычисления длины неизвестной стороны, если известны две другие стороны и угол. ^[5] Закон гласит: В случае, когда из которого , полученное уравнение становится теоремой Пифагора . ^[6] $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma =\pi /2}$ ${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

Определение вектора

Перекрестное произведение и скалярное произведение — это операции над двумя векторами в евклидовом векторном пространстве . Функции синуса и косинуса можно определить в терминах перекрестного произведения и скалярного произведения. Если и — векторы, а — угол между и , то синус и косинус можно определить как: ${\displaystyle \mathbb {a} }$ ${\displaystyle \mathbb {b} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {a} }$ ${\displaystyle \mathbb {b} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbb {a} \times \mathbb {b} |}{|a||b|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a||b|}}.\end{aligned}}}$$

Аналитические описания

Определение единичной окружности

Функции синуса и косинуса можно также определить более общим образом, используя единичную окружность , окружность радиуса один с центром в начале координат , сформулированную как уравнение в декартовой системе координат . Пусть прямая, проходящая через начало координат, пересекает единичную окружность, образуя угол с положительной половиной оси - . Координаты - и - этой точки пересечения равны и , соответственно; то есть, ^[7] ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

Это определение согласуется с определением синуса и косинуса для прямоугольного треугольника, когда, поскольку длина гипотенузы единичной окружности всегда равна 1; математически говоря, синус угла равен противолежащей стороне треугольника, которая является просто - координатой. Аналогичный аргумент можно привести для функции косинуса, чтобы показать, что косинус угла, когда , даже при новом определении с использованием единичной окружности. ^{[8] [9]} ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

График функции и его элементарные свойства

Анимация, демонстрирующая, как синусная функция (красный цвет) строится по координате y (красная точка) точки на единичной окружности (зеленый цвет) под углом θ . Косинус (синий цвет) - это координата x .

Использование определения единичной окружности имеет преимущество в построении графика функций синуса и косинуса. Это можно сделать, вращая против часовой стрелки точку вдоль окружности в зависимости от ввода . В функции синуса, если ввод равен , точка вращается против часовой стрелки и останавливается точно на оси - . Если , точка находится на полпути окружности. Если , точка возвращается в исходное положение. Это приводит к тому, что функции синуса и косинуса имеют диапазон между . ^[10] ${\displaystyle \theta >0}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

Расширяя угол до любой действительной области, точка непрерывно вращается против часовой стрелки. Это можно сделать аналогично и для функции косинуса, хотя точка изначально вращается из -координаты . Другими словами, обе функции синуса и косинуса являются периодическими , то есть любой угол, добавленный окружностью окружности, сам является углом. Математически, ^[11] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

Функция называется нечетной, если , и четной, если . Функция синуса нечетная, тогда как функция косинуса четная. ^[12] Функции синуса и косинуса подобны, причем их разность смещена на . Это означает, ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

Итерация с фиксированной точкой x _{n +1}  = cos( x _n ) с начальным значением x ₀  = −1 сходится к числу Дотти.

Ноль — единственная действительная неподвижная точка синусоидальной функции; другими словами, единственное пересечение синусоидальной функции и тождественной функции — . Единственная действительная неподвижная точка косинусоидальной функции называется числом Дотти . Число Дотти — это единственный действительный корень уравнения . Десятичное разложение числа Дотти приблизительно равно 0,739085. ^[14] ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$

Преемственность и дифференциация

Квадранты единичной окружности и sin( x ), используя декартову систему координат

Функции синуса и косинуса бесконечно дифференцируемы. ^[15] Производная синуса — косинус, а производная косинуса — отрицательный синус: ^[16] Продолжение процесса в производной более высокого порядка приводит к повторению тех же функций; четвертая производная синуса — это сам синус. ^[15] Эти производные можно применить к тесту первой производной , согласно которому монотонность функции можно определить как неравенство первой производной функции больше или меньше нуля. ^[17] Его также можно применить к тесту второй производной , согласно которому вогнутость функции можно определить, применив неравенство второй производной функции больше или меньше нуля. ^[18] Следующая таблица показывает, что функции синуса и косинуса обладают вогнутостью и монотонностью — положительный знак ( ) обозначает, что график возрастает (идет вверх), а отрицательный знак ( ) — убывает (идет вниз) — в определенных интервалах. ^[19] Эту информацию можно представить в виде декартовой системы координат, разделенной на четыре квадранта. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Функции синуса и косинуса можно определить с помощью дифференциальных уравнений. Пара является решением двумерной системы дифференциальных уравнений и с начальными условиями и . Можно интерпретировать единичную окружность в приведенных выше определениях как определение фазовой траектории дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Ее можно интерпретировать как фазовую траекторию системы дифференциальных уравнений и начиная с начальных условий и . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

Интеграл и его использование в измерении

Их площадь под кривой может быть получена с помощью интеграла с определенным ограниченным интервалом. Их первообразные таковы: где обозначает постоянную интегрирования . ^[20] Эти первообразные могут быть применены для вычисления свойств измерения кривых как синусоидальных, так и косинусоидальных функций с заданным интервалом. Например, длина дуги синусоидальной кривой между и равна , где — неполный эллиптический интеграл второго рода с модулем . Его нельзя выразить с помощью элементарных функций . ^[21] В случае полного периода его длина дуги равна , где — гамма-функция , а — постоянная лемнискаты . ^[22] $${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots }$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varpi }$

Обратные функции

Обычные главные значения функций arcsin( x ) и arccos( x ), построенные на декартовой плоскости

Обратная функция синуса — арксинус или обратный синус, обозначаемый как «arcsin», «asin» или . ^[23] Обратная функция косинуса — арккосинус, обозначаемый как «arccos», «acos» или . ^[a] Поскольку синус и косинус не являются инъективными , их обратные функции не являются точными обратными функциями, а частично обратными функциями. Например, , но также , , и так далее. Из этого следует, что функция арксинуса многозначна: , но также , , и так далее. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее главной ветвью . С этим ограничением для каждого в области выражение будет оцениваться только до одного значения, называемого его главным значением . Стандартный диапазон главных значений для arcsin составляет от до , а стандартный диапазон для arccos составляет от до . ^[24] ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$ ${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$

Обратная функция как синуса, так и косинуса определяется как: ^{[ нужна ссылка ]} где для некоторого целого числа , По определению обе функции удовлетворяют уравнениям: ^{[ нужна ссылка ]} и $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

Другие идентичности

Согласно теореме Пифагора , квадрат гипотенузы равен сумме двух квадратов катетов прямоугольного треугольника. Разделив формулу на обе стороны на квадрат гипотенузы, получаем тригонометрическое тождество Пифагора , сумма квадрата синуса и квадрата косинуса равна 1: ^{[25] [b]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

Синус и косинус удовлетворяют следующим формулам двойного угла: ^{[ необходима ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

Синусная функция показана синим цветом, квадратная функция синуса — красным. Ось x — в радианах.

Формула косинуса двойного угла подразумевает, что sin ² и cos ² сами по себе являются сдвинутыми и масштабированными синусоидальными волнами. В частности, ^[26] На графике показаны функции синуса и квадрата синуса, синус синим цветом, а квадрат синуса красным. Оба графика имеют одинаковую форму, но с разными диапазонами значений и разными периодами. Квадрат синуса имеет только положительные значения, но в два раза больше периодов. ^{[ необходима цитата ]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

Ряды и многочлены

На этой анимации показано, как включение все большего числа членов в частичную сумму ряда Тейлора приближается к синусоиде.

Функции синуса и косинуса можно определить с помощью ряда Тейлора , степенного ряда, включающего производные более высокого порядка. Как упоминалось в § Непрерывность и дифференцирование, производная синуса есть косинус, а производная косинуса есть отрицательная часть синуса. Это означает, что последовательные производные — это , , , , продолжая повторять эти четыре функции. Производная -го порядка, вычисленная в точке 0: где верхний индекс представляет собой повторное дифференцирование. Это подразумевает следующее разложение в ряд Тейлора в . Затем можно использовать теорию рядов Тейлора , чтобы показать, что следующие тождества справедливы для всех действительных чисел —где — угол в радианах. ^[27] В более общем смысле, для всех комплексных чисел : ^[28] Взятие производной каждого члена дает ряд Тейлора для косинуса: ^{[27] [28]} ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle -\sin(x)}$ ${\displaystyle -\cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle (4n+k)}$ $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Функции синуса и косинуса с несколькими углами могут появляться в виде их линейной комбинации , что приводит к полиному. Такой полином известен как тригонометрический полином . Широкие возможности применения тригонометрического полинома могут быть получены при его интерполяции и расширении периодической функции, известной как ряд Фурье . Пусть и будут любыми коэффициентами, тогда тригонометрический полином степени —обозначаемой как — определяется как: ^{[29] [30]} ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

Тригонометрический ряд можно определить аналогично тригонометрическому полиному, его бесконечному обращению. Пусть и будут любыми коэффициентами, тогда тригонометрический ряд можно определить как: ^[31] В случае ряда Фурье с заданной интегрируемой функцией коэффициенты тригонометрического ряда равны: ^[32] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

Соотношение комплексных чисел

Определения комплексной экспоненциальной функции

Синус и косинус можно расширить еще больше с помощью комплексного числа , набора чисел, состоящего из действительных и мнимых чисел . Для действительного числа определение функций синуса и косинуса можно расширить в комплексной плоскости в терминах экспоненциальной функции следующим образом: ^[33] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

В качестве альтернативы обе функции можно определить с помощью формулы Эйлера : ^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

При построении на комплексной плоскости функция для действительных значений вычерчивает единичную окружность на комплексной плоскости. Функции синуса и косинуса можно упростить до мнимой и действительной частей следующим образом: ^[34] ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

Когда для действительных значений и , где , обе функции синуса и косинуса могут быть выражены через действительные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

Полярные координаты

${\displaystyle \cos(\theta )}$и являются действительной и мнимой частями . ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

Синус и косинус используются для связи действительной и мнимой частей комплексного числа с его полярными координатами : а действительная и мнимая части находятся где и представляют величину и угол комплексного числа . ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

Для любого действительного числа формула Эйлера в полярных координатах записывается как . ${\displaystyle \theta }$ ${\textstyle z=re^{i\theta }}$

Сложные аргументы

Раскраска домена sin( z ) в комплексной плоскости. Яркость указывает абсолютную величину, оттенок представляет комплексный аргумент.

Визуализация векторного поля sin( z )

Применяя определение ряда синуса и косинуса к комплексному аргументу z , получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус . Это целые функции .

Иногда также полезно выразить комплексные функции синуса и косинуса через действительную и мнимую части их аргумента:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

Простейшие дроби и разложения произведений комплексного синуса

Используя технику разложения дробей в комплексном анализе , можно обнаружить, что бесконечные ряды сходятся и равны . Аналогично можно показать, что $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

Используя метод расширения продукта, можно получить $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

Использование комплексного синуса

sin( z ) находится в функциональном уравнении для гамма-функции ,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

которое в свою очередь находится в функциональном уравнении для дзета-функции Римана ,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

Как голоморфная функция , sin z является двумерным решением уравнения Лапласа :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

Функция комплексного синуса также связана с кривыми уровня маятников . ^{[ как? ] [35] [ необходим лучший источник ]}

Сложные графики

Фон

Этимология

Слово синус происходит косвенно от санскритского слова jyā 'тетива' или, точнее, его синонима jīvá (оба заимствованы из древнегреческого χορδή 'струна'), из-за визуального сходства между дугой окружности с соответствующей ей хордой и луком с его тетивой (см. jyā, koti-jyā и utkrama-jyā ). Это было транслитерировано на арабском языке как jība , что бессмысленно на этом языке и написано как jb ( جب ). Поскольку арабский язык пишется без кратких гласных, jb интерпретировался как омограф jayb ( جيب ), что означает 'грудь', 'карман' или 'складка'. ^{[36] [37]} Когда арабские тексты Аль-Баттани и Аль-Хорезми были переведены на средневековую латынь в XII веке Герардом Кремонским , он использовал латинский эквивалент sinus (который также означает «залив» или «складка», а точнее «свисающая складка тоги на груди»). ^{[38] [39] [40]} Герард, вероятно, не был первым ученым, использовавшим этот перевод; Роберт Честерский, по-видимому, предшествовал ему, и есть свидетельства еще более раннего использования. ^{[41] [42]} Английская форма sine была введена в 1590-х годах. ^[c]

Слово косинус происходит от сокращения латинского completi sinus «синус дополнительного угла » как cosinus в Canon triangulorum Эдмунда Гюнтера ( 1620), который также включает в себя похожее определение котангенса . ^[43]

История

Квадрант из Османской Турции 1840-х годов с осями для поиска синуса и версина углов.

Хотя раннее изучение тригонометрии можно проследить до античности, тригонометрические функции , которые используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Функция хорды была открыта Гиппархом Никейским (180–125 гг . до н. э.) и Птолемеем Римским Египтом (90–165 гг. н. э.). ^[44]

Функции синуса и косинуса можно проследить до функций джья и коти-джья, которые использовались в индийской астрономии в период Гуптов ( Арьябхатия и Сурья Сиддханта ), посредством перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латынь. ^[38]

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . ^[45] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), остальные пять современных тригонометрических функций были открыты арабскими математиками, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. ^[45] Аль-Хорезми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. ^{[46] [47]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) открыл функции, обратные секансу и косекансу, и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1° до 90°. ^[47]

Первое опубликованное использование сокращений sin , cos и tan принадлежит французскому математику XVI века Альберу Жирару ; в дальнейшем они были распространены Эйлером (см. ниже). Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса , ученика Коперника , был, вероятно, первым в Европе, в котором тригонометрические функции были определены непосредственно в терминах прямоугольных треугольников вместо окружностей, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Ото в 1596 году.

В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией x . [ 48 ] Роджер Коутс вычислил ^{производную} синуса в своей Harmonia Mensurarum (1722). ^{[49] Введение} Леонарда Эйлера в анализ infinitorum (1748) в основном способствовало установлению аналитической обработки тригонометрических функций в Европе, а также определило их как бесконечные ряды и представило « формулу Эйлера », а также почти современные сокращения sin. , cos. , tang. , cot. , sec. и cosec. ^[38]

Реализации программного обеспечения

Не существует стандартного алгоритма для вычисления синуса и косинуса. IEEE 754 , наиболее широко используемый стандарт для спецификации надежных вычислений с плавающей точкой, не рассматривает вычисление тригонометрических функций, таких как синус. Причина в том, что не известен эффективный алгоритм для вычисления синуса и косинуса с заданной точностью, особенно для больших входных данных. ^[50]

Алгоритмы вычисления синуса могут быть сбалансированы для таких ограничений, как скорость, точность, переносимость или диапазон принимаемых входных значений. Это может привести к разным результатам для разных алгоритмов, особенно для особых обстоятельств, таких как очень большие входные данные, например .sin(1022)

Распространенная оптимизация программирования, используемая особенно в 3D-графике, заключается в предварительном вычислении таблицы значений синуса, например, одно значение на градус, затем для значений между ними выбирается ближайшее предварительно вычисленное значение или выполняется линейная интерполяция между двумя ближайшими значениями для его аппроксимации. Это позволяет искать результаты в таблице, а не рассчитывать их в реальном времени. С современными архитектурами ЦП этот метод может не давать никаких преимуществ. ^{[ необходима цитата ]}

Алгоритм CORDIC обычно используется в научных калькуляторах.

Функции синуса и косинуса, а также другие тригонометрические функции широко доступны на всех языках программирования и платформах. В вычислительной технике они обычно сокращаются до sinи cos.

Некоторые архитектуры ЦП имеют встроенную инструкцию для синуса, включая процессоры Intel x87 FPU, начиная с 80387.

В языках программирования sinи cosобычно являются встроенными функциями или находятся в стандартной математической библиотеке языка. Например, стандартная библиотека C определяет функции синуса в math.h : , , и . Параметром каждой из них является значение с плавающей точкой , указывающее угол в радианах. Каждая функция возвращает тот же тип данных , который она принимает. Многие другие тригонометрические функции также определены в math.h , например, для косинуса, арксинуса и гиперболического синуса (sinh). Аналогично, Python определяет и во встроенном модуле. Функции комплексного синуса и косинуса также доступны в модуле , например . Математические функции CPython вызывают библиотеку C и используют формат с плавающей точкой двойной точности .sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

Пошаговые реализации

Некоторые библиотеки программного обеспечения предоставляют реализации синуса и косинуса с использованием входного угла в полуоборотах , где полуоборот - это угол в 180 градусов или радиан. Представление углов в поворотах или полуоборотах имеет преимущества точности и эффективности в некоторых случаях. ^{[51] [52]} В MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA и ARM эти функции называются и . ^{[51] [53] [52] [54] [55] [56]} Например, будет оцениваться как , где x выражается в полуоборотах, и, следовательно, окончательный вход для функции πx может быть интерпретирован в радианах как sin . ${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x) ${\displaystyle \sin(\pi x),}$

Преимущество точности вытекает из возможности идеального представления ключевых углов, таких как полный оборот, полуоборот и четверть оборота без потерь в двоичном формате с плавающей точкой или фиксированной точкой. Напротив, представление , , и в двоичном формате с плавающей точкой или в двоичном масштабированном формате с фиксированной точкой всегда влечет за собой потерю точности, поскольку иррациональные числа не могут быть представлены конечным числом двоичных цифр. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Повороты также имеют преимущество в точности и эффективности для вычисления по модулю одного периода. Вычисление поворота по модулю 1 или полуоборота по модулю 2 может быть вычислено без потерь и эффективно как в числах с плавающей точкой, так и в числах с фиксированной точкой. Например, вычисление по модулю 1 или по модулю 2 для двоичного значения с фиксированной точкой требует только сдвига битов или побитовой операции И. Напротив, вычисление по модулю включает неточности в представлении . ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Для приложений, включающих датчики угла, датчик обычно обеспечивает измерения угла в форме, напрямую совместимой с поворотами или полуповоротами. Например, датчик угла может подсчитывать от 0 до 4096 за один полный оборот. ^[57] Если в качестве единицы измерения угла используются полуобороты, то значение, предоставляемое датчиком, напрямую и без потерь отображается в тип данных с фиксированной точкой с 11 битами справа от двоичной точки. Напротив, если в качестве единицы хранения угла используются радианы, то возникнут неточности и затраты на умножение необработанного целого числа датчика на приближение . ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Формула приближения синуса Бхаскары I
• Дискретное синусоидальное преобразование
• Эллиптические функции Диксона
• Формула Эйлера
• Обобщенная тригонометрия
• Гиперболическая функция
• Лемнискатные эллиптические функции
• Закон синусов
• Список периодических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Серия Мадхава
• Таблица синусов Мадхавы
• Теорема оптического синуса
• Полярный синус — обобщение на углы при вершинах
• Доказательства тригонометрических тождеств
• Функция sinc
• Синусные и косинусные преобразования
• Интеграл синуса
• Синусоидальный квадрант
• Синусоидальная волна
• Уравнение синуса–Гордона
• Синусоидальная модель
• SOH-CAH-TOA
• Тригонометрические функции
• Тригонометрический интеграл

Ссылки

Сноски

1. Верхний индекс −1 в и обозначает обратную функцию, а не возведение в степень . ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$
2. Здесь означает функцию квадратного синуса . ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$
3. Англизированная форма впервые упоминается в 1593 году в труде Томаса Фейла « Horologiographia, the Art of Dialling» .

Цитаты

1. Young (2017), стр. 27.
2. Янг (2017), стр. 36.
3. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 42.
4. Янг (2017), стр. 37, 78.
5. Axler (2012), стр. 634.
6. Акслер (2012), стр. 632.
7. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 41.
8. Янг (2017), стр. 68.
9. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 47.
10. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 41–42.
11. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 41, 43.
12. Янг (2012), стр. 165.
13. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 42, 47.
14. "OEIS A003957". oeis.org . Получено 2019-05-26 .
15. Bourchtein & Bourchtein (2022), стр. 294.
16. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 115.
17. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 155.
18. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 157.
19. Варберг, Ригдон и Перселл (2007), с. 42. sfnp error: no target: CITEREFVarbergRigdonPurcell2007 (help)
20. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 199.
21. Винс (2023), стр. 162.
22. Адлай (2012).
23. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 366.
24. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), с. 365.
25. Янг (2017), стр. 99.
26. "Функция синуса-квадрата" . Получено 9 августа 2019 г.
27. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), стр. 491–492.
28. Абрамовиц и Стегун (1970), стр. 74.
29. Пауэлл (1981), стр. 150.
30. Рудин (1987), стр. 88.
31. Зигмунд (1968), стр. 1.
32. Зигмунд (1968), стр. 11.
33. Howie (2003), стр. 24.
34. Рудин (1987), стр. 2.
35. «Почему фазовый портрет простого плоского маятника и раскраска домена sin(z) так похожи?». math.stackexchange.com . Получено 12.08.2019 .
36. Плофкер (2009), стр. 257.
37. Маор (1998), стр. 35.
38. Мерцбах и Бойер (2011).
39. Маор (1998), стр. 35–36.
40. Кац (2008), стр. 253.
41. Смит (1958), стр. 202.
42. Различные источники приписывают первое использование синуса одному из
    • Перевод Астрономии Аль-Баттани Платона Тибуртина 1116 г.
    • Перевод «Алгебры» аль -Хорезми, выполненный Герардом Кремонским
    • Перевод таблиц аль-Хорезми Роберта Честерского 1145 года
    См. Merlet (2004). См. Maor (1998), Глава 3, для более ранней этимологии, приписывающей Gerard. См. Katz (2008), стр. 210.
43. Гюнтер (1620).
44. Брендан, Т. (февраль 1965 г.). «Как Птолемей построил таблицы тригонометрии». Учитель математики . 58 (2): 141–149. doi :10.5951/MT.58.2.0141. JSTOR  27967990.
45. Gingerich, Owen (1986). "Исламская астрономия". Scientific American . Том 254. стр. 74. Архивировано из оригинала 2013-10-19 . Получено 2010-07-13 .
46. Жак Сезиано, «Исламская математика», стр. 157, в Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
47. "тригонометрия". Энциклопедия Британника. 17 июня 2024 г.
48. Николас Бурбаки (1994). Элементы истории математики . Springer. ISBN 9783540647676.
49. "Почему синус имеет простую производную. Архивировано 20 июля 2011 г. на Wayback Machine ", в Исторических заметках для учителей исчисления. Архивировано 20 июля 2011 г. на Wayback Machine В. Фредериком Рики. Архивировано 20 июля 2011 г. на Wayback Machine
50. Циммерманн (2006).
51. "Документация MATLAB sinpi
52. "R Документация sinpi
53. "Документация OpenCL sinpi
54. "Julia Документация sinpi
55. "CUDA Документация sinpi
56. "Документация ARM sinpi
57. "ALLEGRO Angle Sensor Datasheet Архивировано 17.04.2019 на Wayback Machine

Цитируемые работы

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , Девятое издание
• Адлай, Семён (2012), «Красноречивая формула для периметра эллипса» (PDF) , Американское математическое общество , 59 (8): 1097
• Акслер, Шелдон (2012), Алгебра и тригонометрия, John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-58579-5
• Бурштейн, Людмила; Бурштейн, Андрей (2022), Теория бесконечных последовательностей и рядов, Springer, doi : 10.1007/978-3-030-79431-6, ISBN 978-3-030-79431-6
• Гюнтер, Эдмунд (1620), Canon triangulorum
• Хауи, Джон М. (2003), Комплексный анализ , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, doi :10.1007/978-1-4471-0027-0, ISBN 978-1-4471-0027-0
• Траупман, доктор философии, Джон К. (1966), Новый колледж латинского и английского словаря , Торонто: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
• Katz, Victor J. (2008), A History of Mathematics (PDF) (3-е изд.), Boston: Addison-Wesley, Английское слово «sine» происходит от ряда неправильных переводов санскритского jyā-ardha (хорда-половина). Арьябхата часто сокращал этот термин до jyā или его синонима jīvá . Когда некоторые индуистские труды позже были переведены на арабский язык, слово было просто фонетически транскрибировано в иначе бессмысленное арабское слово jiba . Но поскольку арабский язык пишется без гласных, более поздние авторы интерпретировали согласные jb как jaib , что означает лоно или грудь. В двенадцатом веке, когда арабская работа по тригонометрии была переведена на латынь, переводчик использовал эквивалентное латинское слово sinus , которое также означало лоно и, в более широком смысле, складку (как в тоге на груди) или залив или залив.
• Маор, Эли (1998), Тригонометрические наслаждения, Princeton University Press , ISBN 1-4008-4282-4
• Мерле, Жан-Пьер (2004), «Заметка об истории тригонометрических функций», в Чеккарелли, Марко (ред.), Международный симпозиум по истории машин и механизмов , Springer, doi :10.1007/1-4020-2204-2, ISBN 978-1-4020-2203-6
• Merzbach, Uta C. ; Boyer, Carl B. (2011), A History of Mathematics (3-е изд.), John Wiley & Sons , Именно перевод Роберта Честерского с арабского привел к появлению нашего слова «синус». Индусы дали название джива полухорде в тригонометрии, а арабы переняли это название как джиба. В арабском языке также есть слово джаиб, означающее «залив» или «вход». Когда Роберт Честерский пришел переводить техническое слово джиба, он, похоже, перепутал его со словом джаиб (возможно, потому что гласные были пропущены); поэтому он использовал слово синус, латинское слово, означающее «залив» или «вход».
• Плофкер (2009), Математика в Индии , Princeton University Press
• Пауэлл, Майкл Дж. Д. (1981), Теория и методы аппроксимации , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29514-7
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
• Смит, Д.Э. (1958) [1925], История математики , т. I, Dover Publications , ISBN 0-486-20429-4
• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007), Исчисление (9-е изд.), Пирсон Прентис Холл , ISBN 978-0131469686
• Винс, Джон (2023), Исчисление для компьютерной графики, Springer, doi :10.1007/978-3-031-28117-4, ISBN 978-3-031-28117-4
• Янг, Синтия (2012), Тригонометрия (3-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-32113-2
• ——— (2017), Тригонометрия (4-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-32113-2
• Циммерман, Пол (2006), «Можем ли мы доверять числам с плавающей точкой?», Великие проблемы информатики (PDF) , стр. 14/31
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрические ряды (2-е, переизданное издание), Cambridge University Press , MR  0236587

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с функцией синуса на Wikimedia Commons