Дзета-функция Римана

Аналитическая функция в математике

Дзета-функция Римана ζ ( z ), построенная с раскраской области . ^[1]

Полюс в и два нуля на критической линии. ${\displaystyle z=1}$

Дзета -функция Римана или дзета-функция Эйлера–Римана , обозначаемая греческой буквой ζ ( дзета ), представляет собой математическую функцию комплексной переменной, определяемой как

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$

ианалитическое продолжение^[2] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Дзета-функция Римана играет ключевую роль в аналитической теории чисел и имеет приложения в физике , теории вероятностей и прикладной статистике .

Леонард Эйлер впервые ввел и изучил функцию над действительными числами в первой половине восемнадцатого века. Статья Бернхарда Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » распространила определение Эйлера на комплексную переменную, доказала ее мероморфное продолжение и функциональное уравнение , а также установила связь между ее нулями и распределением простых чисел . Эта статья также содержала гипотезу Римана , гипотезу о распределении комплексных нулей дзета-функции Римана, которую многие математики считают наиболее важной нерешенной проблемой чистой математики . ^[3]

Значения дзета-функции Римана в четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первый из них, ζ (2) , дает решение Базельской проблемы . В 1979 году Роджер Апери доказал иррациональность ζ (3) . Значения в отрицательных целочисленных точках, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм . Известны многие обобщения дзета-функции Римана, такие как ряды Дирихле , L -функции Дирихле и L -функции .

Определение

Статья Бернхарда Римана О количестве простых чисел ниже заданной величины

Дзета-функция Римана ζ ( s ) — это функция комплексной переменной s = σ + it , где σ и t — действительные числа. (Обозначения s , σ и t традиционно используются при изучении дзета-функции вслед за Риманом.) Когда Re( s ) = σ > 1 , функцию можно записать в виде сходящегося суммирования или в виде интеграла:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

где

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

это гамма-функция . Дзета-функция Римана определяется для других комплексных значений посредством аналитического продолжения функции, определенной для σ > 1 .

Леонард Эйлер рассмотрел приведенный выше ряд в 1740 году для целых положительных значений s , а позже Чебышев расширил определение до ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Вышеуказанный ряд представляет собой прототип ряда Дирихле , который абсолютно сходится к аналитической функции для такого s , что σ > 1 , и расходится для всех остальных значений s . Риман показал, что функция, определяемая рядом на полуплоскости сходимости, может быть аналитически продолжена до всех комплексных значений s ≠ 1 . Для s = 1 эта серия является гармонической серией , которая расходится к +∞ , и

$${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

мероморфной функциейголоморфнапростого полюсаs = 1вычетом 1

Формула произведения Эйлера

В 1737 году связь между дзета-функцией и простыми числами открыл Эйлер, доказав тождество

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

где по определению левая часть равна ζ ( s ) , а бесконечное произведение в правой части распространяется на все простые числа p (такие выражения называются произведениями Эйлера ):

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Обе части формулы произведения Эйлера сходятся при Re( s ) > 1 . Доказательство тождества Эйлера использует только формулу геометрической прогрессии и основную теорему арифметики . Поскольку гармонический ряд , полученный при s = 1 , расходится, формула Эйлера (которая становится Π _p п/п - 1) подразумевает, что существует бесконечно много простых чисел . ^[5] Поскольку логарифмп/п - 1примерно1/пформулу также можно использовать для доказательства более сильного результата о том, что сумма обратных простых чисел бесконечна. С другой стороны, объединение этого с решетом Эратосфена показывает, что плотность множества простых чисел внутри множества натуральных чисел равна нулю.

Формулу произведения Эйлера можно использовать для вычисления асимптотической вероятности того , что случайно выбранные целые числа являются взаимно простыми . Интуитивно понятно, что вероятность того, что любое отдельное число делится на простое (или любое целое) p , равна1/п. Следовательно, вероятность того, что все s чисел делятся на это простое число, равна1/п ^с, и вероятность того, что хотя бы один из них нет, равна 1 —1/п ^с. Теперь, для различных простых чисел, эти события делимости взаимно независимы, потому что кандидаты на делители являются взаимно простыми (число делится на взаимно простые делители n и m тогда и только тогда, когда оно делится на  nm , событие, которое происходит с вероятностью 1/нм). Таким образом, асимптотическая вероятность того, что числа s взаимно просты, определяется произведением всех простых чисел:

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Функциональное уравнение Римана

Эта дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),}$$

Γ( s )гамма-функциякомплексной плоскостиs1 − sζ ( s )s = −2 nтривиальные нули( s )ssin(πс/2)Γ(1 − s )Γ(1 − s )полюс

Доказательство функционального уравнения Римана

Доказательство 1

Доказательство функционального уравнения проводится следующим образом. Заметим, что если , то ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}$$

В результате, если тогда ${\displaystyle \sigma >1}$

$${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,}$$

с обращением предельных процессов, оправданным абсолютной сходимостью (отсюда ужесточение требований к ). ${\displaystyle \sigma }$

Для удобства пусть

$${\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}$$

что является частным случаем тэта-функции . Затем

$${\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.}$$

По формуле суммирования Пуассона имеем

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}},}$$

так что

$${\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.}$$

Следовательно

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}$$

Это эквивалентно

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx}$$

или

$${\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.}$$

Так

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx}$$

которое сходится для всех s , поэтому оно справедливо в силу аналитического продолжения. Более того, правая шкала не изменится, если s изменить на 1 -  s . Следовательно

$${\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)}$$

что является функциональным уравнением.ЕС Титчмарш (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд : Оксфордские научные публикации. стр. 21–22. ISBN 0-19-853369-1.Приписывается Бернхарду Риману .

Функциональное уравнение было установлено Риманом в его статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » и в первую очередь использовалось для построения аналитического продолжения. Эквивалентное соотношение было предположено Эйлером более ста лет назад, в 1749 году, для эта-функции Дирихле (перемежающаяся дзета-функция):

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta (s).}$$

Кстати, это соотношение дает уравнение для расчета ζ ( s ) в области 0 < Re( s ) < 1, т.е.

$${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-{2^{1-s}}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}$$

ηсходитсяне абсолютноs > 0^{[6] [7]}

Риман также нашел симметричную версию функционального уравнения, применимого к xi-функции:

$${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),}$$

$${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).}$$

( Исходное значение ξ ( t ) Римана было немного другим.)

Этот фактор не был хорошо понят во времена Римана, пока не появилась диссертация Джона Тейта (1950) , в которой было показано, что этот так называемый «гамма-фактор» на самом деле является локальным L-фактором, соответствующим архимедову месту . , другими факторами разложения произведения Эйлера являются локальные L-факторы неархимедовых мест. ${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

Нули, критическая линия и гипотеза Римана

Дзета-функция Римана не имеет нулей справа от σ = 1 или (кроме тривиальных нулей) слева от σ = 0 (при этом нули не могут лежать слишком близко к этим линиям). При этом нетривиальные нули симметричны относительно вещественной оси и прямой σ =1/2и, согласно гипотезе Римана , все они лежат на прямой σ =1/2.

На этом изображении показан график дзета-функции Римана вдоль критической линии для реальных значений t от 0 до 34. Первые пять нулей на критической полосе ясно видны как место, где спирали проходят через начало координат.

Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Функциональное уравнение показывает, что дзета-функция Римана имеет нули в точках −2, −4,... . Они называются тривиальными нулями . Они тривиальны в том смысле, что их существование сравнительно легко доказать, например, от грехаπ с/2равен 0 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, потому что их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их исследование дает важные результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов теории чисел. Известно, что любой нетривиальный нуль лежит в открытой полосе , называемой критической полосой . Множество называется критической линией . Гипотеза Римана , считающаяся одной из величайших нерешённых проблем математики, утверждает, что все нетривиальные нули находятся на критической прямой. В 1989 году Конри доказал, что более 40% нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии. ^[8] ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}}$ ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}}$

О дзета-функции Римана на критической линии см. Z -функцию .

Количество нулей в критической полосе

Пусть – число нулей в критической полосе , мнимые части которой лежат в интервале . Труджиан доказал, что если , то ^[11] ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Im} (s)<T}$ ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Гипотезы Харди – Литтлвуда

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что ζ (1/2+ it ) имеет бесконечно много вещественных нулей. ^[12]

Харди и Джон Эденсор Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями ζ (1/2+ it ) на интервалах больших положительных действительных чисел. Далее N ( T ) — общее количество действительных нулей, а N ₀ ( T ) — общее количество нулей нечетного порядка функции ζ (1/2+ it ) , лежащие в интервале (0, T ] .

1. Для любого ε > 0 существует T ₀ ( ε ) > 0 такое, что при

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },}$

   интервал ( T , T + H ] содержит нуль нечетного порядка.
2. Для любого ε > 0 существуют T ₀ ( ε ) > 0 и c _ε > 0 такие, что выполняется неравенство

   ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H}$

   держится, когда

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.

Безнулевая область

Расположение нулей дзета-функции Римана имеет большое значение в теории чисел. Теорема о простых числах эквивалентна тому, что на прямой Re( s ) = 1 нет нулей дзета-функции . ^[13] Более точный результат ^[14] , который следует из эффективной формы теоремы Виноградова о среднем значении, состоит в том, что ζ ( σ + it ) ≠ 0 всякий раз, когда и | т | ≥ 3 . ${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}}$

В 2015 году Мосингхофф и Трудджиан доказали ^[15] , что дзета не имеет нулей в области

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

для | т | ≥ 2 . Это самая большая известная область без нуля в критической полосе для . ${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

Самый сильный результат такого рода, на который можно надеяться, — это истинность гипотезы Римана, которая будет иметь множество глубоких последствий в теории чисел.

Другие результаты

Известно, что на критической прямой имеется бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность ( γ _n ) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

Теорема о критической линии утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической линии. (Гипотеза Римана предполагает, что эта пропорция равна 1.)

В критической полосе ноль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен1/2+ 14.13472514... я ( OEIS : A058303 ). Дело в том, что

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

для всех комплексных s ≠ 1 означает, что нули дзета-функции Римана симметричны относительно вещественной оси. Кроме того, объединяя эту симметрию с функциональным уравнением, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re( s ) =1/2.

Также известно, что на строке с вещественной частью 1 нули не лежат.

Конкретные значения

Для любого положительного четного целого числа 2 n ,

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

B _{2 n} — 2 nчисло БернуллиKСпециальные значения L -функций

Для неположительных целых чисел имеется

$${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

n ≥ 0B ₁ = −1/2ζB _m = 0m

Путем аналитического продолжения можно показать, что

$${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯суммирование Рамануджанатеория струн^[16]

$${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Значение

$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

^{[17] [18]}

Хотя

$${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$

главное значение Коши

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

константе Эйлера–Машерони γ = 0,5772...^[19]

Демонстрация особой ценности

$${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Базельская проблемакакова вероятность того, что два случайно выбранных числа окажутся относительно простыми ? ^[20]

$${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

постоянная Апери

Принимая предел через действительные числа, получаем . Но на комплексной бесконечности на сфере Римана дзета-функция имеет существенную особенность . ^[2] ${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \zeta (+\infty )=1}$

Различные свойства

О суммах, включающих дзета-функцию в целых и полуцелых значениях, см. рациональный дзета-ряд .

Взаимный

Обратная величина дзета-функции может быть выражена в виде ряда Дирихле по функции Мёбиуса µ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Существует ряд подобных отношений, включающих различные известные мультипликативные функции ; они приведены в статье о серии Дирихле .

Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что это выражение справедливо, когда действительная часть s больше, чем1/2.

Универсальность

Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности . Эта универсальность дзета-функции утверждает, что существует некоторое место на критической полосе, которое сколь угодно хорошо аппроксимирует любую голоморфную функцию . Поскольку голоморфные функции очень общие, это свойство весьма примечательно. Первое доказательство универсальности было предоставлено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. ^[21] Более поздние работы включали эффективные версии теоремы Воронина ^[22] и ее распространение на L-функции Дирихле . ^{[23] [24]}

Оценки максимума модуля дзета-функции

Пусть функции F ( T ; H ) и G ( s ₀ ;Δ) определены равенствами

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Здесь T — достаточно большое положительное число, ₀ < H _≪ log log T , s0 = σ0 + iT ,1/2≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 < Δ <1/3. Оценка значений F и G снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения ζ ( s ) могут принимать на коротких интервалах критической линии или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

Случай H ≫ log log T изучал Канаканахалли Рамачандра ; случай ∆ > c , где c — достаточно большая константа, тривиален.

Анатолий Карацуба доказал, в частности, ^{[25] [26]} , что если значения H и ∆ превосходят некоторые достаточно малые константы, то оценки

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

где c ₁ и c ₂ — некоторые абсолютные константы.

Аргумент дзета-функции Римана

Функция

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

называется аргументом дзета-функции Римана. Здесь arg ζ (1/2+ it ) — приращение произвольной непрерывной ветви arg ζ ( s ) вдоль ломаной, соединяющей точки 2 , 2 + it и1/2+ это .

Имеются некоторые теоремы о свойствах функции S ( t ) . Среди этих результатов ^{[27] [28]} - теоремы о среднем значении для S ( t ) и его первого интеграла

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

об интервалах вещественной прямой, а также теорема, утверждающая, что каждый интервал ( T , T + H ] для

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

содержит как минимум

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

точки, в которых функция S ( t ) меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Представительства

Серия Дирихле

Расширение области сходимости можно получить, переставляя исходный ряд. ^[29] Сериал

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

сходится при Re( s ) > 0 , а

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

сходится даже при Re( s ) > −1 . Таким образом, область сходимости может быть расширена до Re( s ) > − k для любого отрицательного целого числа − k .

Интегралы типа Меллина

Преобразование Меллина функции f ( x ) определяется как ^[30]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

в области определения интеграла. Существуют различные выражения для дзета-функции в виде интегралов, подобных преобразованию Меллина. Если действительная часть s больше единицы, мы имеем

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$и , ${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x}$

где Γ обозначает гамма-функцию . Модифицируя контур , Риман показал, что

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

для всех s (где H обозначает контур Ганкеля ).

Мы также можем найти выражения, относящиеся к простым числам и теореме о простых числах . Если π ( x ) — функция, считающая простые числа , то

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

для значений с Re( s ) > 1 .

Аналогичное преобразование Меллина включает функцию Римана J ( x ) ^, которая считает степени простых чисел pn с весом1/н, так что

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Сейчас

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Эти выражения можно использовать для доказательства теоремы о простых числах с помощью обратного преобразования Меллина. С функцией подсчета простых чисел Римана легче работать, и π ( x ) можно восстановить из нее путем обращения Мёбиуса .

Тета-функции

Дзета-функция Римана может быть задана преобразованием Меллина ^[31]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

в терминах тета-функции Якоби

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Однако этот интеграл сходится только в том случае, если действительная часть s больше 1, но его можно регуляризовать. Это дает следующее выражение для дзета-функции, которое четко определено для всех s , кроме 0 и 1:

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

Лоран серии

Дзета-функция Римана мероморфна с единственным полюсом первого порядка при s = 1 . Поэтому его можно разложить в ряд Лорана относительно s = 1 ; тогда развитие серии ^[32]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Константы γ _n здесь называются константами Стилтьеса и могут быть определены пределом

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

Постоянный член γ ₀ представляет собой постоянную Эйлера–Машерони .

интеграл

Для всех s ∈ C , s ≠ 1 , интегральное соотношение (ср. формулу Абеля–Планы )

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}}\,\mathrm {d} t}$

верно, что можно использовать для числовой оценки дзета-функции.

Восходящий факториал

Другое развитие ряда с использованием возрастающего факториала, действительного для всей комплексной плоскости, - это ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Это можно использовать рекурсивно для расширения определения ряда Дирихле на все комплексные числа.

Дзета-функция Римана также появляется в форме, аналогичной преобразованию Меллина в интеграле по оператору Гаусса – Кузмина – Вирсинга , действующего на x ^{s - 1} ; этот контекст приводит к расширению ряда с точки зрения падающего факториала . ^[33]

Произведение Адамара

На основе факторизационной теоремы Вейерштрасса Адамар дал разложение по бесконечному произведению .

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

где произведение находится по нетривиальным нулям ρ функции ζ , а буква γ снова обозначает константу Эйлера – Маскерони . Более простое бесконечное расширение продукта :

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Эта форма ясно отображает простой полюс в точке s = 1 , тривиальные нули в точках −2, −4, ... из-за члена гамма-функции в знаменателе и нетривиальные нули в точке s = ρ . (Чтобы обеспечить сходимость в последней формуле, произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ следует объединить.)

Глобально конвергентный ряд

Глобально сходящийся ряд для дзета-функции, действительный для всех комплексных чисел s, кроме s = 1 +2π я/пер. 2n для некоторого целого числа n была высказана Конрадом Кноппом в 1926 году ^[34] и доказана Гельмутом Хассе в 1930 году ^[35] (см. суммирование Эйлера ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

Эта серия появилась в приложении к статье Хассе и была опубликована во второй раз Джонатаном Сондоу в 1994 году. ^[36]

Хассе также доказал глобально сходящийся ряд

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

в том же издании. ^[35] Исследования Ярослава Благоушина ^{[37] [34]} показали, что аналогичная эквивалентная серия была опубликована Джозефом Сером в 1926 году ^{. [38]}

В 1997 году К. Масланка дал еще один глобально сходящийся (кроме s = 1 ) ряд для дзета-функции Римана:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

где действительные коэффициенты определяются выражением: ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

Вот числа Бернулли и обозначает символ Похгаммера. ^{[39] [40]} ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (x)_{k}}$

Обратите внимание, что это представление дзета-функции по сути представляет собой интерполяцию с узлами, где узлами являются точки , то есть именно те, где значения дзета точно известны, как показал Эйлер. Элегантное и очень краткое доказательство этого представления дзета-функции, основанное на теореме Карлсона, было представлено Филиппом Флажоле в 2006 году. ^[41] ${\displaystyle s=2,4,6,\ldots }$

Асимптотическое поведение коэффициентов весьма любопытно: при растущих значениях мы наблюдаем регулярные колебания с почти экспоненциально убывающей амплитудой и медленно убывающей частотой (примерно как ). Используя метод перевала, мы можем показать, что ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

где означает: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

(подробности см. в ^[42] ).

На основе этого представления в 2003 году Луис Баес-Дуарте предложил новый критерий гипотезы Римана. ^{[43] [44] [45]} А именно, если мы определим коэффициенты как ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

тогда гипотеза Римана эквивалентна

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

Быстро сходящийся ряд

Питер Борвейн разработал алгоритм, который применяет полиномы Чебышева к эта-функции Дирихле для получения очень быстро сходящегося ряда, подходящего для высокоточных численных расчетов . ^[46]

Представление ряда в положительных целых числах через первоначальный код

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Здесь p _n # — исходная последовательность, а J _k — тотент-функция Жордана . ^[47]

Представление ряда неполными поличислами Бернулли.

Функция ζ при Re( s ) > 1 может быть представлена ​​бесконечным рядом

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

где k ∈ {−1, 0} , W _k — k - я ветвь W -функции Ламберта , а B^{( µ )}
_{п , ≥2}— неполное полибернуллиевское число. ^[48]

Преобразование Меллина карты Энгеля

Функция повторяется для поиска коэффициентов, входящих в разложения Энгеля . ^[49] ${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

Преобразование Меллина отображения связано с дзета-функцией Римана формулой ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

Последовательность Туэ-Морса

Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ-Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022 ^[50] ). Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

где – член последовательности Туэ-Морса. Фактически, для всех с действительной частью больше , мы имеем ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

Численные алгоритмы

Классический алгоритм, использовавшийся примерно до 1930 года, основан на применении формулы Эйлера-Маклорена для получения для n и m положительных целых чисел:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

где, обозначив указанное число Бернулли , ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

и ошибка удовлетворяет

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

с σ = Re( s ). ^[51]

Современный численный алгоритм — алгоритм Одлыцко–Шенхаге .

Приложения

Дзета-функция встречается в прикладной статистике (см. закон Ципфа и закон Ципфа – Мандельброта ).

Регуляризация дзета-функции используется как один из возможных способов регуляризации расходящихся рядов и расходящихся интегралов в квантовой теории поля . В одном примечательном примере дзета-функция Римана явно проявляется в одном методе расчета эффекта Казимира . Дзета-функция также полезна для анализа динамических систем . ^[52]

Музыкальный тюнинг

В теории музыкальных строев дзета-функция может использоваться для нахождения равных долей октавы (EDO), которые точно приближаются к интервалам гармонического ряда . При увеличении значений , значение ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

пики вблизи целых чисел, соответствующих таким EDO. ^[53] Примеры включают популярные варианты, такие как 12, 19 и 53. ^[54]

Бесконечная серия

Дзета-функция, вычисляемая как равноотстоящие положительные целые числа, появляется в представлениях бесконечной серии ряда констант. ^[55]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

Фактически четные и нечетные члены дают две суммы

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Параметризованные версии вышеуказанных сумм имеют вид

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

где и – полигамма -функция и константа Эйлера соответственно, а также ${\displaystyle |t|<2}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

все из которых непрерывны в . Другие суммы включают ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\operatorname {Im} {\bigl (}(1+i)^{n}-(1+i)^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

где Im обозначает мнимую часть комплексного числа.

Еще больше формул есть в статье «Гармоническое число».

Обобщения

Существует ряд связанных дзета-функций , которые можно рассматривать как обобщения дзета-функции Римана. К ним относится дзета-функция Гурвица.

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

(представление сходящимся рядом было дано Гельмутом Хассе в 1930 году, ^[35] ср. дзета-функция Гурвица ), которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (нижний предел суммирования в дзета-функции Гурвица равен 0, а не 1 ), L -функции Дирихле и дзета-функция Дедекинда . Другие связанные функции см. в статьях дзета-функция и L -функция .

Полилогарифм определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 . Функция Клаузена Cl _s ( θ ) может быть выбрана как действительная или мнимая часть Li _s ( e ^iθ ) .

Трансцендент Лерха задается формулой

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (нижний предел суммирования в трансценденте Лерха равен 0, а не 1).

Множественные дзета-функции определяются формулой

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

Эти функции можно аналитически продолжить в n -мерное комплексное пространство. Специальные значения, принимаемые этими функциями при целочисленных положительных аргументах, теоретики чисел называют кратными дзета-значениями и связаны со многими различными разделами математики и физики.

Смотрите также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Арифметическая дзета-функция
• Обобщенная гипотеза Римана
• Пара Лемера
• Простая дзета-функция
• Функция Римана Си
• Перенормировка
• Тета-функция Римана – Зигеля
• ЗетаГрид

Примечания

1. "Программа просмотра блокнотов Jupyter" . Nbviewer.ipython.org . Проверено 4 января 2017 г.
2. Штойдинг, Йорн; Суриаджайя, Аде Ирма (1 ноября 2020 г.). «Распределение значений дзета-функции Римана вдоль ее линий Юлиа». Вычислительные методы и теория функций . 20 (3): 389–401. дои : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724. S2CID  216323223. Из теоремы 2 следует, что ζ имеет существенную особенность на бесконечности.
3. Бомбьери, Энрико. «Гипотеза Римана – официальное описание проблемы» (PDF) . Математический институт Клея . Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2015 года . Проверено 8 августа 2014 г.
4. Девлин, Кейт (2002). «Задачи тысячелетия: семь величайших нерешённых математических загадок нашего времени ». Нью-Йорк: Barnes & Noble. стр. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
5. Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки. п. 193. ИСБН 978-0-88385-563-8.
6. Благоушин, IV (1 марта 2018 г.). История функционального уравнения дзета-функции. Семинар по истории математики. Санкт-Петербург, RU: Математический институт им. Стеклова; «онлайн PDF». Архивировано из оригинала 2 мая 2018 года . Проверено 2 мая 2018 г.
7. Благоушин, IV (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Журнал Рамануджана . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
   Благоушин, IV (2017). «Дополнение». Журнал Рамануджана . 42 : 777–781. doi : 10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685. Архивировано из оригинала 2 мая 2018 года . Проверено 2 мая 2018 г.
8. Конри, Дж. Б. (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1989 (399): 1–26. дои : 10.1515/crll.1989.399.1. МР  1004130. S2CID  115910600.
9. Эрик Вайсштейн . «Нули дзета-функции Римана» . Проверено 24 апреля 2021 г.
10. База данных L-функций и модульных форм. «Нули ζ(s)».
11. Трудджиан, Тимоти С. (2014). «Улучшенная верхняя оценка аргумента дзета-функции Римана на критической линии II». Дж. Теория чисел . 134 : 280–292. arXiv : 1208.5846 . дои : 10.1016/j.jnt.2013.07.017.
12. Харди, GH; Фекете, М.; Литтлвуд, Дж. Э. (1 сентября 1921 г.). «Нули дзета-функции Римана на критической линии». Журнал Лондонского математического общества . с1-1 : 15–19. дои : 10.1112/jlms/s1-1.1.15.
13. Даймонд, Гарольд Г. (1982). «Элементарные методы исследования распределения простых чисел». Бюллетень Американского математического общества . 7 (3): 553–89. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . МР  0670132.
14. Форд, К. (2002). «Интеграл Виноградова и оценки дзета-функции Римана». Учеб. Лондонская математика. Соц . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . дои : 10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
15. Моссингхофф, Майкл Дж.; Трудджиан, Тимоти С. (2015). «Неотрицательные тригонометрические полиномы и область без нуля для дзета-функции Римана». Дж. Теория чисел . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . дои : 10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
16. Полчински, Джозеф (1998). Введение в бозонную струну . Струнная теория. Том. I. Издательство Кембриджского университета. п. 22. ISBN 978-0-521-63303-1.
17. Кайнц, AJ; Титулаер, UM (1992). «Точный метод двухпотоковых моментов для решения кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (7): 1855–1874. Бибкод : 1992JPhA...25.1855K. дои : 10.1088/0305-4470/25/7/026.
18. Дополнительные цифры и ссылки на эту константу доступны в OEIS : A059750 .
19. Сондоу, Джонатан (1998). «Антисимметричная формула для постоянной Эйлера». Журнал «Математика» . 71 (3): 219–220. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996638. Архивировано из оригинала 4 июня 2011 года . Проверено 29 мая 2006 г.
20. Огилви, CS ; Андерсон, Дж. Т. (1988). Экскурсии по теории чисел . Дуврские публикации. стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
21. Воронин, С.М. (1975). «Теорема об универсальности дзета-функции Римана». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Матем . 39 : 475–486.Перепечатано в Math. СССР Изв. (1975) 9 : 443–445.
22. Рамунас Гарункштис; Антанас Лауринчикас; Коджи Мацумото; Йорн Штойдинг; Раса Стейдинг (2010). «Эффективное равномерное приближение дзета-функцией Римана». Публикации Matemàtiques . 54 (1): 209–219. дои : 10.5565/PUBLMAT_54110_12. JSTOR  43736941.
23. Бхаскар Багчи (1982). «Совместная теорема универсальности для L-функций Дирихле». Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319–334. дои : 10.1007/bf01161980. ISSN  0025-5874. S2CID  120930513.
24. Стейдинг, Йорн (2007). Распределение значений L-функций . Конспект лекций по математике. Том. 1877. Берлин: Шпрингер. п. 19. arXiv : 1711.06671 . дои : 10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9.
25. Карацуба, А.А. (2001). «Нижние оценки максимального модуля ζ ( s ) в малых областях критической полосы». Мат. Заметки . 70 (5): 796–798.
26. Карацуба, А.А. (2004). «Нижние оценки максимального модуля дзета-функции Римана на коротких отрезках критической линии». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат . 68 (8): 99–104. Бибкод :2004ИзМат..68.1157К. doi : 10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID  250796539.
27. Карацуба, А.А. (1996). «Теорема о плотности и поведение аргумента дзета-функции Римана». Мат. Заметки (60): 448–449.
28. Карацуба, А.А. (1996). «О функции S ( t ) ». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат . 60 (5): 27–56.
29. Кнопп, Конрад (1947). Теория функций, часть вторая. Нью-Йорк, издания Дувра. стр. 51–55.
30. Риман, Бернхард (1859). « О числе простых чисел меньше заданной величины ». Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .переведен и переиздан в Эдвардсе, HM (1974). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-232750-0. Збл  0315.10035.
31. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Спрингер. п. 422. ИСБН 3-540-65399-6.
32. Хасимото, Ясуфуми; Иидзима, Ясуюки; Курокава, Нобусигэ; Вакаяма, Масато (2004). «Константы Эйлера для дзета-функций Сельберга и Дедекинда». Бюллетень Бельгийского математического общества, Саймон Стевин . 11 (4): 493–516. дои : 10.36045/bbms/1102689119 . МР  2115723.
33. «Рядное представление дзеты Римана, полученное из оператора Гаусса-Кузьмина-Вирсинга» (PDF) . Linas.org . Проверено 4 января 2017 г.
34. Благоушин, Ярослав В. (2018). «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций». ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18А : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Бибкод : 2016arXiv160602044B.
35. Хассе, Гельмут (1930). «Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe» [Метод суммирования для ζ-ряда Римана]. Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 32 (1): 458–464. дои : 10.1007/BF01194645. S2CID  120392534.
36. Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера» (PDF) . Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
37. Благоушин, Ярослав В. (2016). «Разложение обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π ⁻² и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами». Журнал теории чисел . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . дои : 10.1016/j.jnt.2015.06.012.
38. Сер, Джозеф (1926). «Sur une выражение de la fonction ζ(s) де Римана» [По выражению для ζ-функции Римана]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 182 : 1075–1077.
39. Масланка, Кшиштоф (1997). «Красота небытия». Акта Космологика . XXIII – I: 13–17.
40. Баес-Дуарте, Луис (2010). «О представлении Масланки для дзета-функции Римана». Международный журнал математики и математических наук . 2010 : 1–9. arXiv : math/0307214 . дои : 10.1155/2010/714147 .
41. Флажоле, Филипп; Вепстас, Линас (2008). «О различиях дзета-значений». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1–2 октября): 58–73. arXiv : math/0611332 . Бибкод : 2008JCoAM.220...58F. дои : 10.1016/j.cam.2007.07.040.
42. Масланка, Кшиштоф; Колежинский, Анджей (2022). «Высокоточный численный расчет констант Стилтьеса. Простой и быстрый алгоритм». Вычислительные методы в науке и технике . 28 (2): 47–59. arXiv : 2210.04609 . doi : 10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID  252780397.
43. Баес-Дуарте, Луис (2003). «Новое необходимое и достаточное условие гипотезы Римана». Теория чисел . arXiv : math/0307215 . Бибкод : 2003math......7215B.
44. Масланка, Кшиштоф (2006). «Критерий Баэса-Дуарте для гипотезы Римана и интегралы Райса». Теория чисел . arXiv : math/0603713v2 . Бибкод : 2006math......3713M.
45. Вольф, Марек (2014). «Некоторые замечания о критерии Баэса-Дуарте для гипотезы Римана». Вычислительные методы в науке и технике . 20 (2): 39–47. дои : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
46. Борвейн, Питер (2000). «Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана» (PDF) . В Тере, Мишель А. (ред.). Конструктивный, экспериментальный и нелинейный анализ . Материалы конференции Канадского математического общества. Том. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , от имени Канадского математического общества . стр. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 года . Проверено 25 ноября 2017 г.
47. Мезё, Иштван (2013). «Первоначальная и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник . 120 (4): 321.
48. Комацу, Такао; Мезё, Иштван (2016). «Неполные числа полибернулли, связанные с неполными числами Стирлинга». Публикации Mathematicae Дебрецен . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . дои : 10.5486/pmd.2016.7361. S2CID  55741906.
49. "A220335 - OEIS" . oeis.org . Проверено 17 апреля 2019 г.
50. Тот, Ласло (2022). «Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса». Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .
51. Одлыжко, AM ; Шенхаге, А. (1988). «Быстрые алгоритмы многократного вычисления дзета-функции Римана». Пер. амер. Математика. Соц . 309 (2): 797–809. дои : 10.2307/2000939 . JSTOR  2000939. МР  0961614..
52. "Работа А. Кнауфа над спин-цепями и др.". Empslocal.ex.ac.uk . Проверено 4 января 2017 г.
53. Джин Уорд Смит. «Ближайшее целое число к местам все более больших пиков abs(zeta(0,5 + i*2*Pi/log(2)*t)) для увеличения реального t». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Проверено 4 марта 2022 г.
54. Уильям А. Сетарес (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Спрингер-Верлаг Лондон. п. 74. ...есть много разных способов оценить добротность, разумность, пригодность или качество весов... По некоторым показателям 12-тет является победителем, по другим - 19-тет кажется лучшим, часто 53-тет. оказывается среди победителей...
55. Большинство формул в этом разделе взяты из § 4 книги JM Borwein et al. (2000)

Рекомендации

• Апостол, ТМ (2010). «Дзета и родственные функции». В Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19225-5. МР  2723248..
• Борвейн, Джонатан ; Брэдли, Дэвид М.; Крэндалл, Ричард (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 121 (1–2): 247–296. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B. дои : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 года.
• Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (2002). «Интегральные представления дзета-функции Римана для нечетно-целых аргументов». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 142 (2): 435–439. Бибкод : 2002JCoAM.142..435C. дои : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . МР  1906742.
• Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (1997). «Разложения в непрерывные дроби для дзета-функции Римана и полилогарифмов». Учеб. амер. Математика. Соц . 125 (9): 2543–2550. дои : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Академическая пресса. ISBN 0-486-41740-9.Имеет английский перевод статьи Римана.
• Адамар, Жак (1896). «О распределении нулей функции ζ (s) и ее арифметических последствиях». Бюллетень математического общества Франции . 14 : 199–220. дои : 10.24033/bsmf.545 .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Хассе, Гельмут (1930). «Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe». Математика. З. _ 32 : 458–464. дои : 10.1007/BF01194645. MR  1545177. S2CID  120392534.(Выражение глобально сходящегося ряда.)
• Ивич, А. (1985). Дзета-функция Римана . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-80634-Х.
• Мотохаси, Ю. (1997). Спектральная теория дзета-функции Римана . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521445205.
• Карацуба, А.А. ; Воронин, С.М. (1992). Дзета-функция Римана . Берлин: В. де Грюйтер.
• Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005. HDL : 2437/90539 . МР  2564902. S2CID  122707401.
• Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. Ч. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 177. Шпрингер-Верлаг. Ч. 6. ISBN 0-387-98308-2.
• Рао, Го (1996). «Распределение логарифмической производной дзета-функции Римана». Труды Лондонского математического общества . с3–72: 1–27. дои : 10.1112/plms/s3-72.1.1.
• Риман, Бернхард (1859). «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse». Monatsberichte der Berliner Akademie .. В Gesammelte Werke , Тойбнер, Лейпциг (1892 г.), перепечатано Дувром, Нью-Йорк (1953 г.).
• Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 120 (2): 421–424. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
• Титчмарш, ЕС (1986). Хит-Браун (ред.). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Ч. 13.
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение нескольких дзета-функций». Учеб. амер. Математика. Соц . 128 (5): 1275–1283. дои : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . МР  1670846.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дзета-функцией Римана, на Викискладе?
• «Дзета-функция». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Дзета-функция Римана в Wolfram Mathworld - объяснение с более математическим подходом
• Таблицы выбранных нулей. Архивировано 17 мая 2009 г. на Wayback Machine.
• Простые числа запутываются Общее, нетехническое описание значения дзета-функции по отношению к простым числам.
• Рентгеновский снимок дзета-функции Визуально ориентированное исследование того, где дзета реальна, а где чисто воображаема.
• Формулы и тождества для дзета-функции Римана function.wolfram.com
• Дзета-функция Римана и другие суммы обратных степеней, раздел 23.2 Абрамовица и Стегуна
• Френкель, Эдвард . «Математическая задача на миллион долларов» (видео) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года . Проверено 11 марта 2014 г.
• Преобразование Меллина и функциональное уравнение дзета-функции Римана. Вычислительные примеры методов преобразования Меллина, включающих дзета-функцию Римана.
• Визуализация дзета-функции Римана и аналитическое продолжение видео от 3Blue1Brown