Куб

Твердый предмет с шестью равными квадратными гранями

В геометрии куб — ​​это трёхмерный твёрдый объект, ограниченный шестью квадратными гранями. Он имеет двенадцать рёбер и восемь вершин. Его можно представить как прямоугольный кубоид с шестью квадратными гранями или параллелепипед с равными рёбрами. Это пример многих типов твёрдых тел: Платоново тело , правильный многогранник , параллелоэдр , зоноэдр и плезиоэдр . Двойственным многогранником куба является правильный октаэдр .

Куб можно представить многими способами, одним из которых является граф, известный как кубический граф . Его можно построить, используя декартово произведение графов . Куб был открыт в древности. Он был связан с природой Земли Платоном , основателем Платоновых тел. Он использовался как часть Солнечной системы , предложенной Иоганном Кеплером . Его можно вывести по-разному , чтобы создать больше многогранников, и он имеет приложения для построения нового многогранника путем присоединения других. Его можно обобщить как тессеракт в четырехмерном пространстве.

Характеристики

Куб — это частный случай прямоугольного кубоида , в котором ребра равны по длине. ^[1] Как и в других кубоидах, каждая грань куба имеет четыре вершины, каждая из которых соединяется с тремя конгруэнтными линиями. Эти ребра образуют квадратные грани, делая двугранный угол куба между каждыми двумя соседними квадратами внутренним углом квадрата, 90°. Следовательно, куб имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. ^[2] Из-за таких свойств он классифицируется как одно из пяти Платоновых тел , многогранник , в котором все правильные многоугольники конгруэнтны и одинаковое количество граней сходится в каждой вершине. ^[3]

Измерение и другие метрические свойства

Учитывая, что куб с длиной ребра . Диагональ грани куба является диагональю квадрата , а пространственная диагональ куба является линией, соединяющей две вершины, которые не находятся на одной грани, сформулированной как . Обе формулы можно определить с помощью теоремы Пифагора . Площадь поверхности куба в шесть раз больше площади квадрата: ^[4] Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Поскольку все ребра куба имеют одинаковую длину, он равен: ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ $${\displaystyle V=a^{3}.}$$

Одним из особых случаев является единичный куб , названный так из-за измерения одной единицы длины вдоль каждого ребра. Из этого следует, что каждая грань является единичным квадратом , а вся фигура имеет объем 1 кубической единицы. ^{[5] [6]} Куб принца Руперта , названный в честь принца Руперта Рейнского , является самым большим кубом, который может пройти через отверстие, вырезанное в единичном кубе, несмотря на то, что его стороны примерно на 6% длиннее. ^[7] Говорят, что многогранник, который может пройти через свою копию того же размера или меньше, обладает свойством Руперта . ^[8]

Единичный куб и куб с удвоенным объемом

Геометрическая задача удвоения куба — также известная как Делосская задача — требует построения куба с объемом в два раза больше исходного, используя только циркуль и линейку . Древние математики не могли решить эту старую задачу, пока французский математик Пьер Ванцель в 1837 году не доказал, что это невозможно. ^[9]

Отношение к сферам

При длине ребра вписанная сфера куба — это сфера, касательная к граням куба в их центроидах, с радиусом . Средняя сфера куба — это сфера, касательная к ребрам куба, с радиусом . Описанная сфера куба — это сфера, касательная к вершинам куба, с радиусом . ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Для куба, описанная сфера которого имеет радиус , и для заданной точки в его трехмерном пространстве с расстояниями от восьми вершин куба, это: ^[11] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$$

Симметрия

Куб имеет октаэдрическую симметрию . Он состоит из симметрии отражения , симметрии путем разрезания на две половины плоскостью. Существует девять симметрий отражения: пять разрезают куб по серединам его ребер, а четыре разрезают по диагонали. Он также состоит из вращательной симметрии , симметрии путем вращения его вокруг оси, от которой внешний вид является взаимозаменяемым. Он имеет октаэдрическую вращательную симметрию : три оси проходят через центроид противоположных граней куба, шесть - через середины противоположных ребер куба и четыре - через противоположные вершины куба; каждая из этих осей является соответственно четырехкратной вращательной симметрией (0°, 90°, 180° и 270°), двукратной вращательной симметрией (0° и 180°) и трехкратной вращательной симметрией (0°, 120° и 240°). ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {O} }$

Двойственный многогранник куба — правильный октаэдр.

Двойственный многогранник может быть получен из каждой вершины многогранника, касательной к плоскости, с помощью процесса, известного как полярное возвратно-поступательное движение . ^[15] Одним из свойств двойственных многогранников обычно является то, что многогранник и его двойственный многогранник разделяют их трехмерную точечную группу симметрии . В этом случае двойственный многогранник куба является правильным октаэдром , и оба этих многогранника имеют одну и ту же симметрию, октаэдрическую симметрию. ^[16]

Куб является гране-транзитивным , что означает, что два его квадрата одинаковы и могут быть отображены вращением и отражением. ^[17] Он является вершинно-транзитивным , что означает, что все его вершины эквивалентны и могут быть отображены изометрически относительно его симметрии. ^[18] Он также является рёберно-транзитивным , что означает, что одинаковые виды граней окружают каждую из его вершин в том же или обратном порядке, все две смежные грани имеют одинаковый двугранный угол . Следовательно, куб является правильным многогранником, поскольку он требует этих свойств. ^[19]

Классификации

3D модель куба

Куб является особым случаем среди всех кубоидов . Как упоминалось выше, куб можно представить как прямоугольный кубоид с ребрами одинаковой длины, и все его грани являются квадратами. ^[1] Куб можно рассматривать как параллелепипед , в котором все его ребра являются равными ребрами. ^[20]

Куб — это плезиоэдр , особый вид заполняющего пространство многогранника, который можно определить как ячейку Вороного симметричного множества Делоне . ^[21] Плезиоэдры включают параллелоэдры , которые можно перемещать без вращения, чтобы заполнить пространство, называемое сотами , в котором каждая грань любой из ее копий прикреплена к подобной грани другой копии. Существует пять видов параллелоэдров, одним из которых является кубоид. ^[22] Каждый трехмерный параллелоэдр является зоноэдром , центрально-симметричным многогранником, грани которого являются центрально-симметричными многоугольниками , ^[23]

Строительство

Развертки куба

Элементарный способ построить куб — ​​использовать его сеть , расположение многоугольников, соединяющих ребра, образующих многогранник путем соединения по ребрам этих многоугольников. Здесь показано одиннадцать сетей для куба. ^[24]

В аналитической геометрии куб может быть построен с использованием декартовых систем координат . Для куба с центром в начале координат, ребрами, параллельными осям, и длиной ребра 2, декартовы координаты вершин равны . ^[25] Его внутренняя часть состоит из всех точек с для всех . Поверхность куба с центром и длиной ребра является геометрическим местом всех точек, таких что ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle -1<x_{i}<1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}$$

Куб является многогранником Ханнера , поскольку его можно построить с помощью декартова произведения трех отрезков. Его двойственный многогранник, правильный октаэдр, строится прямой суммой трех отрезков. ^[26]

Представление

В виде графика

Граф куба и его построение

Согласно теореме Штейница , граф можно представить как скелет многогранника; грубо говоря, каркас многогранника. Такой граф обладает двумя свойствами. Он является планарным , то есть ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра. Это также 3-связный граф , то есть всякий раз, когда граф с более чем тремя вершинами, и две из вершин удаляются, ребра остаются соединенными. ^{[27] [28]} Скелет куба можно представить как граф, и он называется кубическим графом , платоновым графом . Он имеет то же количество вершин и ребер, что и куб, двенадцать вершин и восемь ребер. ^[29]

Кубический граф является частным случаем гиперкубического графа или - куба - обозначаемого как - потому что он может быть построен с помощью операции, известной как декартово произведение графов . Если выразить это на простом языке, его построение включает в себя два графа, соединяющих пару вершин ребром для формирования нового графа. ^[30] В случае кубического графа это произведение двух ; грубо говоря, это граф, напоминающий квадрат. Другими словами, кубический граф строится путем соединения каждой вершины двух квадратов ребром. Условно кубический граф можно обозначить как . ^[31] Как часть гиперкубического графа, он также является примером графа единичных расстояний . ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{3}}$

Как и другие графы кубоидов, кубический граф также классифицируется как призматический граф . ^[33]

В ортогональной проекции

Объект, освещенный параллельными лучами света, отбрасывает тень на плоскость, перпендикулярную этим лучам, называемую ортогональной проекцией . Многогранник считается равнопроекционным , если для некоторого положения света его ортогональная проекция является правильным многоугольником. Куб равнопроекционен, потому что, если свет параллелен одной из четырех линий, соединяющих вершину с противоположной вершиной, его проекция является правильным шестиугольником . Условно куб является 6-равнопроекционным. ^[34]

Как матрица конфигурации

Куб можно представить в виде матрицы конфигурации . Матрица конфигурации — это матрица , в которой строки и столбцы соответствуют элементам многогранника, таким как вершины, ребра и грани. Диагональ матрицы обозначает количество каждого элемента, который появляется в многограннике, тогда как недиагональ матрицы обозначает количество элементов столбца, которые встречаются в элементе строки или рядом с ним. Как упоминалось выше, куб имеет восемь вершин, двенадцать ребер и шесть граней; каждый элемент в диагонали матрицы обозначается как 8, 12 и 6. Первый столбец средней строки указывает, что в каждом ребре (т. е. на его краях) есть две вершины, обозначенные как 2; средний столбец первой строки указывает, что в каждой вершине сходятся три ребра, обозначенные как 3. Следующая матрица: ^[35] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

Появления

В древности

Платоновы тела — это набор многогранников, известных с античности. Они были названы в честь Платона в его диалоге «Тимей», который приписывал эти тела природе. Одно из них, куб, представляло собой классический элемент земли из - за его устойчивости . [ ^{36] «} Начала » Евклида определили Платоновы тела, включая куб, и использовали эти тела в задаче, включающей нахождение отношения диаметра описанной сферы к длине ребра. ^[37]

После того, как Платон приписал его природе, Иоганн Кеплер в своей книге Harmonices Mundi набросал каждое из Платоновых тел, одно из них — куб, на котором Кеплер украсил дерево. ^[36] В своей книге Mysterium Cosmographicum Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, помещенные в другое и разделяющие их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самых внутренних к самым внешним: правильный октаэдр , правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб. ^[38]

Многогранник, соты и многогранники

Некоторые производные куба, звездчатого октаэдра и тетракисгексаэдра .

Куб может появляться в конструкции многогранника, и некоторые его типы могут быть получены по-разному следующим образом:

• При огранке куба, то есть удалении части многоугольных граней без создания новых вершин куба, полученный многогранник является звездчатым октаэдром . ^[39]
• Куб является несоставным многогранником , то есть это выпуклый многогранник, который нельзя разделить на два или более правильных многогранника. Поэтому куб можно применить для построения нового выпуклого многогранника путем присоединения другого несоставного многогранника. ^[40] Присоединение квадратной пирамиды к каждой квадратной грани куба создает его Kleetope , многогранник, известный как тетракисгексаэдр . ^[41] Предположим, что одна и две равносторонние квадратные пирамиды прикреплены к их квадратным граням. В этом случае они являются конструкцией вытянутой квадратной пирамиды и вытянутой квадратной бипирамиды соответственно, примерами Джонсона . ^[42]
• Каждая из вершин куба может быть усечена , и полученный многогранник является архимедовым телом , усеченным кубом . ^[43] Когда его ребра усечены, это ромбокубооктаэдр . ^[44] Соответственно, ромбокубооктаэдр также может быть построен путем разделения граней куба и последующего расширения, после чего добавления других треугольных и квадратных граней между ними; это известно как «расширенный куб». Он также может быть построен аналогичным образом с помощью двойственного кубу, правильного октаэдра. ^[45]
• Плосконосый куб — ​​это архимедово тело, которое можно построить, отделив грани куба-квадрата и заполнив их промежутки скрученными равносторонними треугольниками; этот процесс известен как плосконосый куб . ^[46]

Соты — это заполнение пространства или мозаика в трехмерном пространстве, то есть это объект, в котором построение начинается с присоединения любых многогранников к их граням без оставления зазора. Куб можно представить как ячейку , а примерами сот являются кубические соты , кубические соты порядка 5 , кубические соты порядка 6 и кубические соты порядка 7. ^[47] Куб можно построить из шести квадратных пирамид , замостив пространство путем присоединения их вершин. [ ^48]

Поликуб — ​​это многогранник, в котором грани многих кубов соединены. Аналогично, его можно интерпретировать как полимино в трехмерном пространстве. ^[49] Когда четыре куба сложены вертикально, а остальные четыре прикреплены ко второму сверху кубу в стопке, полученный поликуб — ​​это крест Дали , в честь Сальвадора Дали . Крест Дали — это многогранник из плиточного пространства, ^{[50] [51],} который можно представить как развертку тессеракта . Тессеракт — это куб, аналогичный четырехмерному пространству, ограниченному двадцатью четырьмя квадратами, и он ограничен восемью кубами, известными как его ячейки . ^[52]

Ссылки

1. Mills, Steve; Kolf, Hillary (1999). Maths Dictionary. Heinemann. стр. 16. ISBN 978-0-435-02474-1.
2. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.См. таблицу II, строка 3.
3. Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Тейлор и Фрэнсис. стр. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.
4. Khattar, Dinesh (2008). Руководство по объективной арифметике (2-е изд.). Pearson Education . стр. 377. ISBN 978-81-317-1682-3.
5. Болл, Кит (2010). «Высокоразмерная геометрия и ее вероятностные аналоги». В Gowers, Timothy (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 671. ISBN 9781400830398.
6. Геометрия: Переучивание мастеров . Холт Райнхарт и Уинстон. 2001. стр. 74. ISBN 9780030543289.
7. Шрираман, Бхарат (2009). «Математика и литература (продолжение): воображение как путь к передовым математическим идеям и философии». В Шрираман, Бхарат; Фрейман, Виктор; Лиретт-Питр, Николь (ред.). Междисциплинарность, творчество и обучение: математика с литературой, парадоксами, историей, технологией и моделированием . Энтузиаст математики Монтаны: серия монографий по математическому образованию. Том 7. Information Age Publishing, Inc. стр. 41–54. ISBN 9781607521013.
8. Джеррард, Ричард П.; Ветцель, Джон Э.; Юань, Липин (апрель 2017 г.). «Платонические отрывки». Mathematics Magazine . 90 (2). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 87–98. doi :10.4169/math.mag.90.2.87. S2CID  218542147.
9. Лютцен, Йеспер (2010). «Алгебра геометрической невозможности: Декарт и Монтакля о невозможности удвоения куба и трисекции угла». Centaurus . 52 (1): 4–37. doi :10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
10. Coxeter (1973) Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбцы , помеченные , и , обозначения Коксетера для описанной окружности, среднего радиуса и вписанного радиуса соответственно, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle 2\ell }$
11. Пу-Сунг, Пак, Пу-Сунг (2016). «Расстояния правильных многогранников» (PDF) . Forum Geometricorum . 16 : 227–232.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
12. Френч, Дуг (1988). «Размышления о кубе». Математика в школе . 17 (4): 30–33. JSTOR  30214515.
13. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press. стр. 309. ISBN 978-0-521-55432-9.
14. Каннингем, Гейб; Пеллисер, Дэниел (2024). «Конечные трехорбитальные многогранники в обычном пространстве, II». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana . 30 (32). дои : 10.1007/s40590-024-00600-z .См. стр. 276.
15. Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А. П. (1961). «3.2 Двойственность». Математические модели (2-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. С. 78–79. MR  0124167.
16. Эриксон, Мартин (2011). Прекрасная математика. Математическая ассоциация Америки . стр. 62. ISBN 978-1-61444-509-8.
17. Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». The Mathematical Gazette . 74 (469): 243–256. doi :10.2307/3619822. JSTOR  3619822. S2CID  195047512.См. стр. 247.
18. Грюнбаум, Бранко (1997). «Изогональные призматоиды». Дискретная и вычислительная геометрия . 18 (1): 13–52. дои : 10.1007/PL00009307.
19. Сенечал, Марджори (1989). «Краткое введение в мозаики». В Jarić, Marko (ред.). Введение в математику квазикристаллов . Academic Press . стр. 12.
20. Calter, Paul; Calter, Michael (2011). Техническая математика. John Wiley & Sons . стр. 197. ISBN 978-0-470-53492-2.
21. Эрдаль, Р. М. (1999). «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах». Европейский журнал комбинаторики . 20 (6): 527–549. doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR  1703597.. Вороной предположил, что все мозаики пространств более высокой размерности, полученные с помощью трансляций одного выпуклого многогранника, комбинаторно эквивалентны мозаикам Вороного, и Эрдаль доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех уже была доказана Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров по этим пяти типам см. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Tilings with congruent tiles". Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR  0585178.
22. Александров, АД (2005). "8.1 Параллелоэдры". Выпуклые многогранники . Springer. С. 349–359.
23. В более высоких измерениях, однако, существуют параллелопы, которые не являются зонотопами. См., например, Shephard, GC (1974). "Space-filling zonotopes". Mathematika . 21 (2): 261–269. doi :10.1112/S0025579300008652. MR  0365332.
24. Чон, Кёнсун (2009). «Математика прячется в сетях для КУБА». Обучение детей математике . 15 (7): 394–399. doi :10.5951/TCM.15.7.0394. JSTOR  41199313.
25. Смит, Джеймс (2000). Методы геометрии. John Wiley & Sons . стр. 392. ISBN 978-1-118-03103-2.
26. Козачок, Марина (2012). «Совершенные призматоиды и гипотеза о числах граней центрально-симметричных многогранников». Ярославская международная конференция «Дискретная геометрия», посвященная столетию со дня рождения А.Д.Александрова (Ярославль, 13–18 августа 2012 г.) (PDF) . Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Международная лаборатория им. Б.Н. Делоне. С. 46–49.
27. Грюнбаум, Бранко (2003). «13.1 Теорема Стейница». Выпуклые многогранники . Тексты для аспирантов по математике . Том. 221 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 235–244. ISBN 0-387-40409-0.
28. Циглер, Гюнтер М. (1995). "Глава 4: Теорема Штейница для 3-многогранников". Лекции по многогранникам . Выпускные тексты по математике . Том 152. Springer-Verlag. С. 103–126. ISBN 0-387-94365-X.
29. Рудольф, Майкл (2022). Математика конечных сетей: введение в теорию графов операторов. Cambridge University Press . стр. 25. doi :10.1007/9781316466919 (неактивен 2024-07-17). ISBN 9781316466919.{{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июль 2024 г. ( ссылка )
30. Harary, F. ; Hayes, JP; Wu, H.-J. (1988). «Обзор теории графов гиперкуба». Computers & Mathematics with Applications . 15 (4): 277–289. doi :10.1016/0898-1221(88)90213-1. hdl : 2027.42/27522 .
31. Chartrand, Gary; Zhang, Ping (2012). Первый курс теории графов. Dover Publications . стр. 25. ISBN 978-0-486-29730-9.
32. Хорват, Борис; Писански, Томаж (2010). «Продукты графов единичных расстояний». Дискретная математика . 310 (12): 1783–1792. doi : 10.1016/j.disc.2009.11.035 . MR  2610282.
33. Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. стр. 21. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
34. Хасан, Масуд; Хоссейн, Мохаммед М.; Лопес-Ортис, Алехандро; Нусрат, Сабрина; Квадер, Саад А.; Рахман, Набила (2010). «Некоторые новые эквипроективные многогранники». arXiv : 1009.2252 [cs.CG].
35. Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications . С. 122–123.См. §1.8 Конфигурации.
36. Cromwell (1997), стр. 55.
37. Хит, Томас Л. (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида (3-е изд.). Cambridge University Press . стр. 262, 478, 480.
38. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (1-е торговое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 147. ISBN 978-0-7679-0816-0.
39. Инчбальд, Гай (2006). «Facetting Diagrams». The Mathematical Gazette . 90 (518): 253–261. doi :10.1017/S0025557200179653. JSTOR  40378613.
40. Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483–512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
41. Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
42. Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
43. Кромвель (1997), стр. 81–82.
44. Linti, G. (2013). "Catenate Compounds - Group 13 [Al, Ga, In, Tl]". В Reedijk, J.; Poeppelmmeier, K. (ред.). Comprehensive Inorganic Chemistry II: From Elements to Applications. Newnes. стр. 41. ISBN 978-0-08-096529-1.
45. Виана, Вера; Ксавье, Жуан Педро; Айрес, Ана Паула; Кампос, Хелена (2019). "Интерактивное расширение ахиральных многогранников". В Коккьярелла, Луиджи (ред.). ICGG 2018 - Труды 18-й Международной конференции по геометрии и графике, 40-я годовщина - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. Достижения в области интеллектуальных систем и вычислений. Том 809. Springer. стр. 1123. doi :10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95587-2.См. рис. 6.
46. Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие. Springer . doi :10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14441-7.
47. Коксетер, Х. С. М. (1968). Красота геометрии: Двенадцать эссе. Dover Publications . стр. 167. ISBN 978-0-486-40919-1.См. таблицу III.
48. Барнс, Джон (2012). Жемчужины геометрии (2-е изд.). Спрингер. п. 82. дои : 10.1007/978-3-642-30964-9. ISBN 978-3-642-30964-9.
49. Ланнон, У. Ф. (1972). «Симметрия кубических и общих полимино». В Read, Ronald C. (ред.). Теория графов и вычисления. Нью-Йорк: Academic Press . С. 101–108. ISBN 978-1-48325-512-5.
50. Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф (2015). «Развертки гиперкуба, которые заполняют и ». arXiv : 1512.02086 [cs.CG]. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
51. Лангерман, Стефан ; Уинслоу, Эндрю (2016). «Развертки поликуба, удовлетворяющие критерию Конвея» (PDF) . 19-я Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (JCDCG^3 2016) .
52. Холл, Т. Проктор (1893). «Проекция четырехкратных фигур на трехмерную плоскость». American Journal of Mathematics . 15 (2): 179–189. doi :10.2307/2369565. JSTOR  2369565.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Куб». MathWorld .
• Куб: интерактивная модель многогранника*
• Объем куба, с интерактивной анимацией
• Куб (сайт Роберта Уэбба)