Октаэдр

Многогранник с восемью треугольными гранями.

В геометрии октаэдр ( мн.: октаэдры или октаэдры ) — многогранник с восемью гранями. Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду. Когда все ребра квадратной бипирамиды имеют одинаковую длину, получается правильный октаэдр — платоново тело , состоящее из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых сходятся в каждой вершине. Это также пример дельтаэдра . Октаэдр — это трехмерный случай более общего понятия перекрестного многогранника .

В виде квадратной бипирамиды

Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду. Если ребра квадратной бипирамиды равны по длине, полученный многогранник является правильным октаэдром. Правильный октаэдр является двойником куба.

Октаэдр можно рассматривать как квадратную бипирамиду . ^[1] Квадратная бипирамида — это бипирамида , построенная путем соединения оснований двух прямоугольных квадратных пирамид. Эти пирамиды закрывают свои квадратные основания, поэтому образующийся многогранник имеет восемь треугольных граней. ^[2]

Правильный октаэдр

Если все ребра квадратной бипирамиды равны по длине, то квадратная бипирамида является правильным октаэдром . Это один из восьми выпуклых дельтаэдров, поскольку все грани представляют собой равносторонние треугольники . ^[2] Его можно построить аналогичным образом, соединив две равносторонние квадратные пирамиды . Его двойственный многогранник — куб , и они имеют одну и ту же трехмерную группу симметрии — октаэдрическую симметрию . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$

Метрические свойства и декартовы координаты

3D модель правильного октаэдра

Площадь поверхности правильного октаэдра можно определить, суммируя все его восемь равносторонних треугольников, тогда как его объем в два раза больше объема квадратной пирамиды; если длина ребра равна , ^[4] Радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах), радиус вписанной сферы (той, которая касается каждой из граней октаэдра) и радиус средней сферы (тот, который касается середины каждого края): ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{u}&={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0.707\cdot a,\\r_{i}&={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0.408\cdot a,\\r_{m}&={\frac {1}{2}}a=0.5\cdot a.\end{aligned}}}$$

Двугранный угол правильного октаэдра между двумя соседними треугольными гранями равен 109,47°. Это можно получить из двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды: ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями равен двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями, а ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями на ребре в к которому соединены две равносторонние квадратные пирамиды, в два раза больше двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды между ее треугольной гранью и квадратным основанием. ^[6]

Октаэдр с длиной ребра можно разместить так, чтобы его центр находился в начале координат, а вершины - на осях координат; декартовы координаты вершин: В трехмерном пространстве октаэдр с координатами центра и радиусом представляет собой набор всех точек таких, что . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle (\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).}$$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.}$$

Как платоново тело

Правильный октаэдр — одно из Платоновых тел , набор многогранников, грани которых представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники , и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. ^[7] Этот древний набор многогранников был назван в честь Платона , который в своем диалоге «Тимей» связал эти твердые тела с природой. Один из них, правильный октаэдр, олицетворял классический элемент ветра . ^[8]

После того, как Платон приписал его природе, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» нарисовал каждое из платоновых тел. ^[8] В своем «Mysterium Cosmographicum» Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, входящие в одно другое, и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самого внутреннего к самому внешнему: правильный октаэдр, правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб . ^[9]

График

График правильного октаэдра

Скелет правильного октаэдра можно представить в виде графа согласно теореме Стейница при условии, что граф плоский — его ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра, — и 3-связный граф — его ребра остаются соединенными всякий раз, когда два более трёх вершин графа удаляются. ^{[10] [11]} Его график называется октаэдрическим графом , платоновым графом . ^[7]

Октаэдрический граф можно рассматривать как полный трехдольный граф , граф, разделенный на три независимых множества, каждое из которых состоит из двух противоположных вершин. ^[12] В более общем смысле, это граф Турана . ${\displaystyle K_{2,2,2}}$ ${\displaystyle T_{6,3}}$

Октаэдрический граф является 4-связным , то есть для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — пятиугольная дипирамида , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[13]

Связанный рисунок

Октаэдр представляет собой центральное пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя часть соединения двух двойственных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое звездочкой-октангулой , является его первой и единственной звездчатостью . Соответственно, правильный октаэдр — это результат отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров вдвое меньшего линейного размера (т.е. спрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в середине ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим платоновым телам.

Можно также разделить ребра октаэдра в соотношении золотой середины , чтобы определить вершины правильного икосаэдра . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль ребер октаэдра так, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяем каждое ребро на золотую середину вдоль направления его вектора. Таким образом, пять октаэдров определяют любой данный икосаэдр, и вместе они определяют правильное соединение . Полученный таким образом правильный икосаэдр называется курносым октаэдром. ^[14]

Правильный октаэдр можно рассматривать как антипризму , многогранник , похожий на призму, в котором боковые грани заменены чередующимися равносторонними треугольниками. Ее еще называют тригональной антипризмой . ^[15] Следовательно, он обладает свойством квазиправильного многогранника, в котором две разные многоугольные грани чередуются и встречаются в вершине. ^[16]

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершину, ребро и однородную по граням мозаику пространства . Это и регулярная мозаика кубов — единственные такие однородные соты в трехмерном пространстве.

Однородный тетрагемигексаэдр представляет собой тетраэдрическую симметричную огранку правильного октаэдра, имеющую общее расположение ребер и вершин . У него четыре треугольные грани и три центральных квадрата.

Правильный октаэдр — это 3-шар в манхэттенской ( ℓ ₁ ) метрике .

Характеристическая ортосхема

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , имеющих одну и ту же форму, характерную для многогранника. Характеристическая ортосхема многогранника является фундаментальным свойством, поскольку многогранник порождается отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характеристической ортосхемой правильного многогранника является четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

Грани характерного тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии октаэдра . Октаэдр уникален среди платоновых тел тем, что в каждой вершине сходится четное количество граней. Следовательно, это единственный член этой группы, среди зеркальных плоскостей которого есть те, которые не проходят ни через одну из его граней. Группа симметрии октаэдра обозначается B 3 . Октаэдр и его двойственный многогранник куб имеют одну и ту же группу симметрии, но разные характеристики тетраэдров .

Характеристический тетраэдр правильного октаэдра можно найти каноническим разрезом ^[17] правильного октаэдракоторый подразделяет его на 48 характерных ортосхем.вокруг центра октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются на каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем вместе образуют трехпрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и вершиной с кубическими углами в центре. октаэдра. ^[18]

Если октаэдр имеет длину ребра 𝒍 = 2, шесть ребер его характерного тетраэдра имеют длину , , вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[a] плюс , , (ребра, которые характерные радиусы октаэдра). Путь с тремя ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , : сначала от вершины октаэдра до центра ребра октаэдра, затем поворот на 90° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разные грани прямоугольного треугольника. Внешняя грань представляет собой треугольник 90-60-30, который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани, внутренние по отношению к октаэдру: треугольник 45-90-45 с ребрами , , , прямоугольный треугольник с ребрами , , , и прямоугольный треугольник с ребрами , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$

Равномерные раскраски и симметрия

Есть три однородные раскраски октаэдра, названные по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Группа симметрии октаэдра — Oh _, порядка 48, трёхмерная гипероктаэдрическая группа . Подгруппы этой группы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16) — группа симметрии квадратной бипирамиды ; T _d (порядок 24) — группа симметрии выпрямленного тетраэдра. Эту симметрию можно подчеркнуть разной раскраской лиц.

Другие типы октаэдров

Выпуклый многогранник с правильными гранями — гиробифастигий .

Октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. В предыдущем примере правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер — минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[20] Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, исключая зеркальные изображения. Точнее, для октаэдров с 6–12 вершинами имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 соответственно. ^{[21] [22]} (Два многогранника «топологически различны», если они имеют существенно различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменяя длины ребер или углы между ребрами или гранями. .) Некоторые из многогранников действительно имеют восемь граней, не считая квадратных бипирамид в следующем:

• Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольника.
• Семиугольная пирамида : одна грань представляет собой семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней представляют собой треугольники (обычно равнобедренные). Все треугольные грани не могут быть равносторонними.
• Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усекаются, образуя правильные шестиугольники, и есть еще четыре равносторонних треугольных грани, где каждая вершина тетраэдра была усечена.
• Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней представляют собой конгруэнтные воздушные змеи .
• Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы , склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего края с другим треугольником (твердое тело Джонсона 26).
• Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдр Брикара с антипараллелограммом в качестве экватора. Ось симметрии проходит через плоскость антипараллелограмма.

Ниже приведены другие многогранники, комбинаторно эквивалентные правильному октаэдру. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые один к одному соответствуют его особенностям:

• Треугольные антипризмы : две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные. Правильный октаэдр — это особый случай, в котором шесть боковых треугольников также равносторонние.
• Тетрагональные бипирамиды , в которых хотя бы один из экваториальных четырёхугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр — это частный случай, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
• Многогранник Шенхардта — невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
• Октаэдр Брикара — невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Флюоритовый октаэдр.

• Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, представляющую собой заполняющие пространство тетраэдрически-октаэдрические соты .
• Пластины камаситового сплава в октаэдритовых метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
• Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
• Видманштеттеновые узоры в кристаллах никеля и железа

Октаэдры в искусстве и культуре

Две змейки Рубика одинаковой формы могут приближаться к октаэдру.

• Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
• Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 Ом , сопротивление между противоположными вершинами составит ⁠1/2⁠ ом, а это между соседними вершинами ⁠5/12⁠ ом. ^[23]
• Шесть музыкальных нот можно расположить по вершинам октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет собой двойку согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; см . гексани .

Ферма тетраэдрического октета

Пространственная рамка из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Его обычно считают самой прочной строительной конструкцией, способной противостоять консольным нагрузкам.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно превратить в тетраэдр , добавив четыре тетраэдра на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

Октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу.

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса , многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойника:

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше расположены на высотах r , ⁠.3/8⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠5/8⁠ и s , где r — любое число в диапазоне 0 < r ≤ ⁠1/4⁠ , а s — любое число из диапазона ⁠3/4⁠ ≤ s < 1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , идущих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики представляют собой конструкции Витхоффа в фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. ^{[24] [25]}

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.

Другие связанные многогранники

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадрата-бифрустума .

Октаэдр может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями экспоненты, установленными на 1.

Смотрите также

• Октаэдрическое число
• Центрированное октаэдрическое число
• Вращающийся октаэдр
• Стелла восьмиугольная
• Октаэдр Триакиса
• Шестигранный октаэдр
• Усеченный октаэдр
• Октаэдрическая молекулярная геометрия
• Октаэдрическая симметрия
• Октаэдрический граф
• Октаэдрическая сфера

Примечания

1. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Рекомендации

1. О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Дуврские публикации . п. 141. ИСБН 978-0-486-83654-6.
2. Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Журнал «Математика» . 51 (1): 55–57. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647.
3. Эриксон, Мартин (2011). Красивая математика. Математическая ассоциация Америки . п. 62. ИСБН 978-1-61444-509-8.
4. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8. МР  0290245.
5. Коксетер (1973) Таблица I (i), стр. 292–293. См. столбцы с пометками , и , обозначения Коксетера для радиуса описанной окружности, среднего радиуса и внутреннего радиуса соответственно, также отметив, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle 2\ell }$
6. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Збл  0132.14603.
7. Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Тейлор и Фрэнсис. п. 252. ИСБН 978-1-4665-5464-1.
8. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета. п. 55.
9. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 70–71. ISBN 0-7679-0816-3.
10. Грюнбаум, Бранко (2003), «13.1 Теорема Стейница», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244, ISBN. 0-387-40409-0
11. Циглер, Гюнтер М. (1995). «Глава 4: Теорема Стейница для 3-многогранников». Лекции о многогранниках . Тексты для аспирантов по математике . Том. 152. Шпрингер-Верлаг. стр. 103–126. ISBN 0-387-94365-Х.
12. Негами, С. (2016). «Точные вложения плоских графов на ориентируемые замкнутые поверхности». В Ширани, Йозеф; Джайкай, Роберт (ред.). Симметрии в графах, картах и ​​многогранниках: 5-й семинар SIGMAP, Вест-Малверн, Великобритания, июль 2014 г. Спрингер. п. 250. дои : 10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.
13. Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III». Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894–912. дои : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . МР  2602814.
14. Каппрафф, Джей (1991). Связи: Геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). Всемирная научная . п. 475.
15. О'Киф и Хайд (2020), с. 141.
16. Маэкава, июнь (2022). Искусство и наука геометрического оригами: создавайте эффектные бумажные многогранники, волны, спирали, фракталы и многое другое!. Таттл . п. 42.
17. Коксетер 1973, с. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».
18. Коксетер 1973, стр. 70–71, Характеристические тетраэдры; Рис. 4.7А.
19. Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».
20. «Перечисление многогранников». Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Проверено 2 мая 2006 г.
21. «Счет многогранников».
22. «Многогранники с 8 гранями и 6-8 вершинами». Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Проверено 14 августа 2016 г.
23. Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 30 сентября 2006 г.
24. Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Дувр. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа. ISBN 0-486-61480-8.
25. Хьюсон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Мутация двумерной симметрии

Внешние ссылки

• «Октаэдр»  . Британская энциклопедия . Том. 19 (11-е изд.). 1911.
• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o4o – окт».
• Редактируемая для печати сетка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Бумажная модель октаэдра
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
  • Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: dP4.