Квантовый гармонический осциллятор

Важная, хорошо понятная квантово-механическая модель

Некоторые траектории гармонического осциллятора согласно законам Ньютона классической механики (A–B) и согласно уравнению Шредингера квантовой механики (C–H). В A–B частица (представленная как шарик, прикрепленный к пружине ) колеблется вперед и назад. В C–H показаны некоторые решения уравнения Шредингера, где горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — это действительная часть (синяя) или мнимая часть (красная) волновой функции . C, D, E, F, но не G, H, являются собственными энергетическими состояниями . H — это когерентное состояние — квантовое состояние, которое аппроксимирует классическую траекторию.

Квантовый гармонический осциллятор является квантово-механическим аналогом классического гармонического осциллятора . Поскольку произвольный гладкий потенциал обычно может быть аппроксимирован как гармонический потенциал вблизи устойчивой точки равновесия , он является одной из важнейших модельных систем в квантовой механике. Более того, это одна из немногих квантово-механических систем, для которой известно точное аналитическое решение . ^{[1] [2] [3]}

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные энергетические состояния

Представления волновой функции для первых восьми связанных собственных состояний, n = 0–7. Горизонтальная ось показывает положение x .

Соответствующие плотности вероятности.

Гамильтониан частицы: где m — масса частицы, k — силовая постоянная, — угловая частота осциллятора, — оператор положения (задается x в базисе координат), а — оператор импульса (задается в базисе координат). Первый член в гамильтониане представляет кинетическую энергию частицы, а второй член представляет ее потенциальную энергию, как в законе Гука . ^[4] $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$ ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$

Не зависящее от времени уравнение Шредингера (TISE) имеет вид, где обозначает действительное число (которое необходимо определить), которое будет определять не зависящий от времени уровень энергии , или собственное значение , а решение обозначает собственное состояние энергии этого уровня . ^[5] $${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Затем решаем дифференциальное уравнение, представляющее эту задачу собственных значений в координатном базисе, для волновой функции , используя спектральный метод . Оказывается, что существует семейство решений. В этом базисе они равны функциям Эрмита , ^{[6] [7]} ${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

Функции H _n являются физическими полиномами Эрмита , $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

Соответствующие уровни энергии ^[8] Ожидаемые значения положения и импульса в сочетании с дисперсией каждой переменной могут быть выведены из волновой функции для понимания поведения собственных значений энергии. Показано, что они являются и благодаря симметрии задачи, тогда как: $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$ ${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$ ${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}}$

Наблюдается, что дисперсия как положения, так и импульса увеличивается для более высоких уровней энергии. Самый низкий уровень энергии имеет значение , которое является его минимальным значением из-за соотношения неопределенности и также соответствует гауссовой волновой функции. ^[9] ${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$

Этот энергетический спектр примечателен по трем причинам. Во-первых, энергии квантуются, что означает, что возможны только дискретные значения энергии (целые числа плюс половина кратных ħω ); это общая черта квантово-механических систем, когда частица ограничена. Во-вторых, эти дискретные уровни энергии равномерно распределены, в отличие от модели атома Бора или частицы в ящике . В-третьих, наименьшая достижимая энергия (энергия состояния n = 0 , называемая основным состоянием ) не равна минимуму потенциальной ямы, а на ħω /2 выше его; это называется нулевой энергией . Из-за нулевой энергии положение и импульс осциллятора в основном состоянии не фиксированы (как это было бы в классическом осцилляторе), а имеют небольшой диапазон дисперсии в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга .

Плотность вероятности основного состояния сосредоточена в начале координат, что означает, что частица проводит большую часть своего времени на дне потенциальной ямы, как и следовало бы ожидать для состояния с небольшой энергией. По мере увеличения энергии плотность вероятности достигает пика в классических «точках поворота», где энергия состояния совпадает с потенциальной энергией. (См. ниже обсуждение высоковозбужденных состояний.) Это согласуется с классическим гармоническим осциллятором, в котором частица проводит большую часть своего времени (и, следовательно, с большей вероятностью будет обнаружена) вблизи точек поворота, где она движется медленнее всего. Таким образом, выполняется принцип соответствия . Более того, специальные недисперсионные волновые пакеты с минимальной неопределенностью, называемые когерентными состояниями , колеблются очень похоже на классические объекты, как показано на рисунке; ​​они не являются собственными состояниями гамильтониана.

Метод оператора лестницы

Плотности вероятности | ψ _n ( x )| ² для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния ( n = 0) внизу и увеличиваясь по энергии кверху. Горизонтальная ось показывает положение x , а более яркие цвета представляют более высокие плотности вероятности.

Метод « лестничного оператора », разработанный Полем Дираком , позволяет извлекать собственные значения энергии без непосредственного решения дифференциального уравнения. ^[10] Он обобщается на более сложные задачи, в частности, в квантовой теории поля . Следуя этому подходу, мы определяем операторы a и его сопряженный a ^† , Отметим, что эти операторы классически являются в точности генераторами нормализованного вращения в фазовом пространстве и , т.е. они описывают прямую и обратную эволюцию во времени классического гармонического осциллятора. ^{[ необходимо разъяснение ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$

Эти операторы приводят к следующему представлению и , ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$$

Оператор a не является эрмитовым , поскольку он сам и его сопряженный a ^† не равны. Собственные энергетические состояния | n ⟩ при обработке этими лестничными операторами дают $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Из приведенных выше соотношений мы также можем определить числовой оператор N , обладающий следующим свойством: $${\displaystyle {\begin{aligned}N&=a^{\dagger }a\\N\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Следующие коммутаторы можно легко получить, подставив каноническое коммутационное соотношение : $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1,\qquad [N,a^{\dagger }]=a^{\dagger },\qquad [N,a]=-a,}$$

и оператор Гамильтона может быть выражен как $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right),}$$

поэтому собственные состояния N также являются собственными состояниями энергии. Чтобы увидеть это, мы можем применить к числовому состоянию : ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Используя свойство числового оператора : ${\displaystyle {\hat {N}}}$

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

мы получаем:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Таким образом, поскольку решает TISE для оператора Гамильтона , является также одним из его собственных состояний с соответствующим собственным значением: ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

Что и требовалось доказать.

Свойство коммутации дает $${\displaystyle {\begin{aligned}Na^{\dagger }|n\rangle &=\left(a^{\dagger }N+[N,a^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left(a^{\dagger }N+a^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1)a^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

и аналогично, $${\displaystyle Na|n\rangle =(n-1)a|n\rangle .}$$

Это означает, что a действует на | n ⟩ , производя, с точностью до мультипликативной константы, | n –1⟩ , а a ^† действует на | n ⟩, производя | n +1⟩ . По этой причине a называется оператором уничтожения («оператором понижения»), а a ^{† —} оператором создания («оператором повышения»). Вместе эти два оператора называются операторами лестницы .

При наличии любого собственного состояния энергии мы можем подействовать на него с помощью понижающего оператора a , чтобы получить другое собственное состояние с энергией ħω меньше. Повторным применением понижающего оператора, кажется, что мы можем получить собственные состояния энергии вплоть до E = −∞ . Однако, поскольку $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

наименьшее собственное значение числового оператора равно 0, а $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

В этом случае последующие применения понижающего оператора просто дадут ноль вместо дополнительных энергетических собственных состояний. Кроме того, выше мы показали, что $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

Наконец, действуя на |0⟩ с помощью повышающего оператора и умножая на подходящие нормировочные множители , мы можем получить бесконечный набор собственных состояний энергии $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

такой, который соответствует энергетическому спектру, приведенному в предыдущем разделе. $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$

Произвольные собственные состояния могут быть выражены через |0⟩, ^[11] $${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Аналитические вопросы

Предшествующий анализ является алгебраическим, использующим только коммутационные соотношения между повышающими и понижающими операторами. После завершения алгебраического анализа следует обратиться к аналитическим вопросам. Во-первых, следует найти основное состояние, то есть решение уравнения . В позиционном представлении это дифференциальное уравнение первого порядка , решение которого легко найти как гауссово ^{[nb 1]} Концептуально важно, чтобы было только одно решение этого уравнения; если бы было, скажем, два линейно независимых основных состояния, мы получили бы две независимые цепочки собственных векторов для гармонического осциллятора. После вычисления основного состояния можно показать индуктивно, что возбужденные состояния являются полиномами Эрмита, умноженными на гауссово основное состояние, используя явную форму повышающего оператора в позиционном представлении. Можно также доказать, что, как и ожидалось из уникальности основного состояния, собственные состояния энергии функций Эрмита, построенные методом лестницы, образуют полный ортонормированный набор функций. ^[12] ${\displaystyle a\psi _{0}=0}$ $${\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}=0,}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}.}$$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Явно связывая это с предыдущим разделом, основное состояние |0⟩ в позиционном представлении определяется как , следовательно , так что , и так далее. ${\displaystyle a|0\rangle =0}$ $${\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow }$$ $${\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)=\psi _{0}~,}$$ $${\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger }\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}$$ ${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle }$

Естественные шкалы длины и энергии

Квантовый гармонический осциллятор обладает естественными масштабами длины и энергии, которые можно использовать для упрощения задачи. Их можно найти с помощью безразмерности .

Результатом является то, что если энергия измеряется в единицах ħω , а расстояние в единицах √ ħ /( mω ) , то гамильтониан упрощается до , в то время как собственные функции энергии и собственные значения упрощаются до функций Эрмита и целых чисел, смещенных вдвое, где H _n ( x ) — полиномы Эрмита . $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}$$ $${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$

Чтобы избежать путаницы, эти «естественные единицы» в основном не будут приняты в этой статье. Однако они часто оказываются полезными при выполнении расчетов, обходя беспорядок.

Например, фундаментальное решение ( пропагатор ) H − i∂ _t , зависящий от времени оператор Шредингера для этого осциллятора, просто сводится к ядру Мелера , ^{[13] [14]} где K ( x , y ;0) = δ ( x − y ) . Наиболее общее решение для заданной начальной конфигурации ψ ( x ,0) тогда просто $${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,}$$ $${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

Когерентные состояния

Временная эволюция распределения вероятностей (и фазы, показанной цветом) когерентного состояния с | α |=3.

Когерентные состояния (также известные как состояния Глаубера) гармонического осциллятора являются особыми недисперсионными волновыми пакетами с минимальной неопределенностью σ _x σ _p = ℏ ⁄ 2 , чьи ожидаемые значения наблюдаемых эволюционируют подобно классической системе. Они являются собственными векторами оператора уничтожения, а не гамильтониана, и образуют сверхполный базис, который, следовательно, лишен ортогональности. ^[15]

Когерентные состояния индексируются и выражаются в базисе | n ⟩ как ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .}$$

Поскольку когерентные состояния не являются собственными энергетическими состояниями, их временная эволюция не является простым сдвигом фазы волновой функции. Однако, состояния, эволюционирующие во времени, также являются когерентными состояниями, но с параметром сдвига фазы α вместо этого: . ${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$ $${\displaystyle |\alpha (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle }$$

Поскольку и через тождество Кермака-МакКрэ последняя форма эквивалентна унитарному оператору смещения, действующему на основное состояние: . Вычисление ожидаемых значений: ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}|\alpha _{0}|\cos {(\omega t-\phi )}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}|\alpha _{0}|\sin {(\omega t-\phi )}}$

где - фаза, вносимая комплексом α . Эти уравнения подтверждают колебательное поведение частицы. ${\displaystyle \phi }$

Неопределенности, рассчитанные с использованием численного метода, следующие:

${\displaystyle \sigma _{x}(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(t)={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

что дает . Поскольку единственная волновая функция, которая может иметь наименьшую неопределенность положения-импульса, , является гауссовой волновой функцией, и поскольку волновая функция когерентного состояния имеет минимальную неопределенность положения-импульса, мы отмечаем, что общая гауссова волновая функция в квантовой механике имеет вид: Подстановка значений ожидания как функции времени дает требуемую изменяющуюся во времени волновую функцию. ${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$

Вероятность каждого собственного энергетического состояния можно рассчитать, чтобы найти распределение энергии волновой функции:

${\displaystyle P(E_{n})=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$

что соответствует распределению Пуассона .

Высоковозбужденные состояния

Волновая функция (вверху) и плотность вероятности (внизу) для возбужденного состояния квантового гармонического осциллятора n = 30. Вертикальные штриховые линии обозначают классические точки поворота, а пунктирная линия представляет классическую плотность вероятности.

Когда n велико, собственные состояния локализованы в классической разрешенной области, то есть в области, в которой может двигаться классическая частица с энергией E _n . Собственные состояния достигают пика вблизи точек поворота: точек на концах классически разрешенной области, где классическая частица меняет направление. Это явление можно проверить с помощью асимптотики полиномов Эрмита , а также с помощью приближения ВКБ .

Частота колебаний в точке x пропорциональна импульсу p ( x ) классической частицы с энергией E _n и положением x . Более того, квадрат амплитуды (определяющий плотность вероятности) обратно пропорционален p ( x ) , отражая продолжительность времени, которое классическая частица проводит вблизи x . Поведение системы в малой окрестности точки поворота не имеет простого классического объяснения, но может быть смоделировано с помощью функции Эйри . Используя свойства функции Эйри, можно оценить вероятность нахождения частицы вне классически разрешенной области, которая будет приблизительно Это также задается, асимптотически, интегралом $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

Решения фазового пространства

В формулировке фазового пространства квантовой механики собственные состояния квантового гармонического осциллятора в нескольких различных представлениях распределения квазивероятности могут быть записаны в замкнутой форме. Наиболее широко используемым из них является распределение квазивероятности Вигнера .

Распределение квазивероятности Вигнера для собственного состояния энергии | n ⟩ в натуральных единицах, описанных выше, ^{[ требуется ссылка ],} где L _n — полиномы Лагерра . Этот пример иллюстрирует, как полиномы Эрмита и Лагерра связаны через отображение Вигнера . $${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(2(x^{2}+p^{2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$

Между тем, функция Q Хусими собственных состояний гармонического осциллятора имеет еще более простую форму. Если мы работаем в натуральных единицах, описанных выше, то имеем Это утверждение можно проверить с помощью преобразования Сигала–Баргмана . В частности, поскольку повышающий оператор в представлении Сигала–Баргмана — это просто умножение на , а основное состояние — постоянная функция 1, нормализованные состояния гармонического осциллятора в этом представлении — это просто . На этом этапе мы можем обратиться к формуле для функции Q Хусими в терминах преобразования Сигала–Баргмана. $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$ ${\displaystyle z=x+ip}$ ${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$

Н-мерный изотропный гармонический осциллятор

Одномерный гармонический осциллятор легко обобщается на N измерений, где N = 1, 2, 3, … . В одном измерении положение частицы задавалось одной координатой x . В N измерениях это заменяется N координатами положения, которые мы обозначаем x ₁ , …, x _N . Каждой координате положения соответствует импульс; мы обозначаем их p ₁ , …, p _N . Канонические коммутационные соотношения между этими операторами следующие: $${\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}$$

Гамильтониан для этой системы: $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}$$

Как ясно из формы этого гамильтониана, N -мерный гармонический осциллятор в точности аналогичен N независимым одномерным гармоническим осцилляторам с той же массой и жесткостью пружины. В этом случае величины x ₁ , ..., x _N будут относиться к положениям каждой из N частиц. Это удобное свойство потенциала r ² , которое позволяет разделить потенциальную энергию на члены, зависящие от одной координаты каждый.

Это наблюдение делает решение простым. Для определенного набора квантовых чисел собственные функции энергии для N -мерного осциллятора выражаются через 1-мерные собственные функции следующим образом: ${\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }$$

В методе лестничных операторов мы определяем N наборов лестничных операторов,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}$$

Аналогично одномерному случаю мы можем показать, что каждый из операторов a _i и a ^† _i понижает и повышает энергию на ℏω соответственно. Гамильтониан равен Этот гамильтониан инвариантен относительно динамической группы симметрии U ( N ) (унитарная группа в N измерениях), определяемой как , где — элемент в определяющем матричном представлении U ( N ) . $${\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),}$$ ${\displaystyle U_{ji}}$

Уровни энергии системы: $${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}$$ $${\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}$$

Как и в одномерном случае, энергия квантуется. Энергия основного состояния в N раз больше энергии основного состояния, как и следовало ожидать, используя аналогию с N независимыми одномерными осцилляторами. Есть еще одно отличие: в одномерном случае каждый уровень энергии соответствует уникальному квантовому состоянию. В N -измерениях, за исключением основного состояния, уровни энергии вырождены , то есть существует несколько состояний с одинаковой энергией.

Вырождение можно вычислить относительно легко. В качестве примера рассмотрим 3-мерный случай: Определим n = n ₁ + n ₂ + n ₃ . Все состояния с одинаковым n будут иметь одинаковую энергию. Для заданного n мы выбираем конкретное n ₁ . Тогда n ₂ + n ₃ = n − n ₁ . Существует n − n ₁ + 1 возможных пар { n ₂ , n ₃ } . n ₂ может принимать значения от 0 до n − n ₁ , и для каждого n ₂ значение n ₃ фиксировано. Таким образом, степень вырождения такова: Формула для общих N и n [ g _n является размерностью симметричного неприводимого представления n -й степени унитарной группы U ( N ) ]: Частный случай N = 3, приведенный выше, непосредственно следует из этого общего уравнения. Однако это верно только для различимых частиц или одной частицы в N измерениях (поскольку измерения различимы). Для случая N бозонов в одномерной гармонической ловушке вырождение масштабируется как число способов разбиения целого числа n с использованием целых чисел , меньших или равных N. $${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ $${\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}}$$

$${\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}$$

Это возникает из-за ограничения помещения N квантов в кет-множитель состояния, где и , что является теми же ограничениями, что и в целочисленном разбиении. ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$

Пример: 3D изотропный гармонический осциллятор

Решения Шредингера для сферических гармонических орбиталей в виде 2D-графиков плотности; исходный код Mathematica , который использовался для построения графиков, находится вверху

Уравнение Шредингера для частицы в сферически-симметричном трехмерном гармоническом осцилляторе может быть решено явно путем разделения переменных. Эта процедура аналогична разделению, выполненному в задаче о водородоподобном атоме , но с другим сферически-симметричным потенциалом , где μ — масса частицы. Поскольку m будет использоваться ниже для магнитного квантового числа, масса обозначается как μ , а не m , как ранее в этой статье. $${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$

Решение уравнения: ^[16] где $${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$— константа нормировки; ; ${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

являются обобщенными полиномами Лагерра ; ​​Порядок k полинома — неотрицательное целое число;

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$— сферическая гармоническая функция ;
• ħ — приведенная постоянная Планка : ${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

Собственное значение энергии равно Энергия обычно описывается одним квантовым числом $${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

Поскольку k — неотрицательное целое число, для каждого четного n имеем ℓ = 0, 2, …, n − 2, n , а для каждого нечетного n имеем ℓ = 1, 3, …, n − 2, n . Магнитное квантовое число m — это целое число, удовлетворяющее − ℓ ≤ m ≤ ℓ , поэтому для каждого n и ℓ существует 2 ℓ  + 1 различных квантовых состояний , обозначенных m . Таким образом, вырождение на уровне n — это то, где сумма начинается с 0 или 1, в зависимости от того, четно или нечетно n . Этот результат соответствует приведенной выше формуле размерности и равен размерности симметричного представления SU(3) , ^[17] соответствующей группы вырождения. $${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$

Приложения

Решетка гармонических осцилляторов: фононы

Обозначение гармонического осциллятора можно распространить на одномерную решетку многих частиц. Рассмотрим одномерную квантово-механическую гармоническую цепочку из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, и мы увидим, как из нее возникают фононы . Формализм, который мы разработаем для этой модели, легко обобщается на два и три измерения.

Как и в предыдущем разделе, мы обозначаем положения масс как x ₁ , x ₂ , … , измеряемые от их положений равновесия (т.е. x _i = 0, если частица i находится в своем положении равновесия). В двух или более измерениях x _i являются векторными величинами. Гамильтониан для этой системы имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$где m — (предполагаемая однородная) масса каждого атома, а x _i и p _i — операторы положения и импульса для i -го атома, а сумма производится по ближайшим соседям (nn). Однако принято переписывать гамильтониан в терминах нормальных мод волнового вектора, а не в терминах координат частиц, чтобы можно было работать в более удобном пространстве Фурье .

Суперпозиция трех колеблющихся диполей - иллюстрирует распространение во времени общей волновой функции для различных n,l,m.

Затем мы вводим набор из N «нормальных координат» Q k , определяемых как дискретные преобразования Фурье x s , и _N « сопряженных импульсов » Π , определяемых как преобразования Фурье p s , $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$ $${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

Величина k _n окажется волновым числом фонона, т. е. 2 π деленным на длину волны . Она принимает квантованные значения, поскольку число атомов конечно.

Это сохраняет желаемые коммутационные соотношения как в реальном пространстве, так и в пространстве волновых векторов.

Другая иллюстрация распространения во времени общей волновой функции для трех различных атомов подчеркивает влияние углового момента на поведение распределения.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

Из общего результата легко показать, с помощью элементарной тригонометрии, что потенциальный энергетический член равен где $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}$$ $${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

Обратите внимание, что связи между переменными положения были преобразованы; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты мы накладываем периодические граничные условия, определяя ( N + 1) -й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует присоединению цепи на ее концах. Результирующее квантование имеет вид

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

Верхняя граница n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза больше шага решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω _k равны $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

Если игнорировать нулевую энергию , то уровни будут равномерно распределены $${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {7}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$$

Таким образом, точное количество энергии ħω должно быть передано решетке гармонического осциллятора, чтобы перевести ее на следующий энергетический уровень. По аналогии со случаем фотона , когда электромагнитное поле квантуется, квант колебательной энергии называется фононом .

Все квантовые системы демонстрируют волноподобные и корпускулярноподобные свойства. Корпускулярноподобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные техники, описанные в другом месте. ^[18]

В пределе континуума , a  → 0 , N  → ∞ , в то время как Na удерживается фиксированным. Канонические координаты Q _k переходят в несвязанные импульсные моды скалярного поля, , в то время как индекс местоположения i ( не динамическая переменная смещения ) становится параметром аргумента x скалярного поля, . ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$

Молекулярные колебания

• Вибрации двухатомной молекулы являются примером двухчастичной версии квантового гармонического осциллятора. В этом случае угловая частота определяется как , где — приведенная масса , а и — массы двух атомов. ^[19] $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$ ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$
• Атом Гука — это простая модель атома гелия , использующая квантовый гармонический осциллятор.
• Моделирование фононов, как обсуждалось выше.
• Заряд с массой в однородном магнитном поле является примером одномерного квантового гармонического осциллятора: квантование Ландау . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Смотрите также

• Квантовый маятник
• Квантовая машина  – созданное человеком устройство, коллективное движение которого подчиняется законам квантовой механики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Газ в гармонической ловушке  – Квантово-механическая модель
• Операторы создания и уничтожения  – Операторы, полезные в квантовой механике
• Когерентное состояние  – определенное квантовое состояние квантового гармонического осциллятора.
• Потенциал Морзе  – Модель потенциальной энергии двухатомной молекулы
• Теорема Бертрана  – Физическая теорема
• ядро Мелера
• Молекулярная вибрация  – периодическое движение атомов молекулы.

Примечания

1. Константа нормализации равна и удовлетворяет условию нормировки . ${\displaystyle C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1}/{4}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1}$

Ссылки

1. Гриффитс 2004.
2. Либофф 2002.
3. Рашид, Мунир А. (2006). «Амплитуда перехода для зависящего от времени линейного гармонического осциллятора с линейными зависящими от времени членами, добавленными к гамильтониану» (PDF) . MA Rashid – Центр высшей математики и физики . Национальный центр физики . Архивировано из оригинала ( PDF - Microsoft PowerPoint ) 3 марта 2016 года . Получено 19 октября 2010 года .
4. Цвибах (2022), стр. 233–234.
5. Цвибах (2022), стр. 234.
6. Цвибах (2022), стр. 241.
7. Gbur, Gregory J. (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Cambridge University Press. С. 631–633. ISBN 978-0-521-51610-5.
8. Цвибах (2022), стр. 240.
9. Цвибах (2022), стр. 249–250.
10. Цвибах (2022), стр. 246–249.
11. Цвибах (2022), стр. 248.
12. Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Теорема 11.4, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
13. Паули, В. (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics). ISBN 978-0486414621  ; Раздел 44. 
14. Кондон, Е.У. (1937). «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , 158–164. онлайн
15. Цвибах (2022), стр. 481–492.
16. Альберт Мессия , Квантовая механика , 1967, Северная Голландия, гл. XII, § 15, стр. 456.онлайн
17. Фрадкин, Д. М. (1965). «Трехмерный изотропный гармонический осциллятор и SU3». American Journal of Physics . 33 (3): 207–211. doi :10.1119/1.1971373.
18. Махан, ГД (1981). Физика многих частиц . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0306463389.
19. "Квантовый гармонический осциллятор". Hyperphysics . Получено 24 сентября 2009 г.

Библиография

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Эддисон–Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Цвибах, Бартон (2022). Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-04613-8.

Внешние ссылки

• Квантовый гармонический осциллятор
• Обоснование выбора операторов лестницы
• Графики интенсивности квантового гармонического осциллятора в реальном времени в формате 3D Архивировано 12 июля 2011 г. на Wayback Machine
• Возбуждаемый и затухающий квантовый гармонический осциллятор (конспект лекций по курсу «Квантовая оптика в электрических цепях»)