Математическое описание электромагнитного поля

Формулировки электромагнетизма

Существуют различные математические описания электромагнитного поля , которые используются при изучении электромагнетизма , одного из четырех фундаментальных взаимодействий природы. В этой статье обсуждаются несколько подходов, хотя уравнения, вообще говоря, даны в терминах электрических и магнитных полей, потенциалов и зарядов с токами.

Подход векторного поля

Наиболее распространенное описание электромагнитного поля использует два трехмерных векторных поля, называемых электрическим полем и магнитным полем . Каждое из этих векторных полей имеет значение, определенное в каждой точке пространства и времени, и поэтому часто рассматривается как функция координат пространства и времени. Таким образом, их часто записывают как E ( x , y , z , t ) (электрическое поле) и B ( x , y , z , t ) (магнитное поле).

Если только электрическое поле ( E ) отлично от нуля и постоянно во времени, то поле называется электростатическим . Аналогично, если только магнитное поле ( B ) отлично от нуля и постоянно во времени, то поле называется магнитостатическим . Однако, если либо электрическое, либо магнитное поле зависит от времени, то оба поля должны рассматриваться вместе как связанное электромагнитное поле с использованием уравнений Максвелла .

Уравнения Максвелла в подходе векторного поля

Поведение электрических и магнитных полей, будь то в случаях электростатики, магнитостатики или электродинамики (электромагнитных полей), регулируется уравнениями Максвелла-Хевисайда :

где ρ — плотность заряда , которая может (и часто зависит) от времени и положения, ε ₀ — электрическая постоянная , μ ₀ — магнитная постоянная , а J — ток на единицу площади , также являющийся функцией времени и положения. Уравнения принимают эту форму с помощью Международной системы величин .

При работе только с недисперсионными изотропными линейными материалами уравнения Максвелла часто модифицируются для игнорирования связанных зарядов путем замены проницаемости и диэлектрической проницаемости свободного пространства на проницаемость и диэлектрическую проницаемость рассматриваемого линейного материала. Для некоторых материалов, которые имеют более сложные реакции на электромагнитные поля, эти свойства могут быть представлены тензорами с зависимостью от времени, связанной со способностью материала реагировать на быстрые изменения поля ( дисперсия (оптика) , соотношения Грина-Кубо ), и, возможно, также полевыми зависимостями, представляющими нелинейные и/или нелокальные реакции материала на поля большой амплитуды ( нелинейная оптика ).

Подход потенциального поля

Много раз при использовании и расчете электрических и магнитных полей, используемый подход сначала вычисляет связанный потенциал: электрический потенциал , , для электрического поля и магнитный векторный потенциал , A , для магнитного поля. Электрический потенциал является скалярным полем, в то время как магнитный потенциал является векторным полем. Вот почему иногда электрический потенциал называют скалярным потенциалом, а магнитный потенциал называют векторным потенциалом. Эти потенциалы можно использовать для нахождения связанных с ними полей следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке

Эти соотношения можно подставить в уравнения Максвелла, чтобы выразить последние в терминах потенциалов. Закон Фарадея и закон Гаусса для магнетизма (однородные уравнения) оказываются тождественно верными для любых потенциалов. Это происходит из-за способа, которым поля выражаются как градиенты и роторы скалярного и векторного потенциалов. Однородные уравнения в терминах этих потенциалов включают в себя дивергенцию ротора и ротора градиента , которые всегда равны нулю. Другие два уравнения Максвелла (неоднородные уравнения) описывают динамику в потенциальной формулировке. ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }$

Уравнения Максвелла ( потенциальная формулировка )

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Эти уравнения, взятые вместе, столь же мощны и полны, как уравнения Максвелла. Более того, проблема была несколько упрощена, поскольку электрические и магнитные поля вместе имели шесть компонентов для решения. ^[1] В потенциальной формулировке есть только четыре компонента: электрический потенциал и три компонента векторного потенциала. Однако уравнения более запутанны, чем уравнения Максвелла, использующие электрические и магнитные поля.

Свобода измерения

Эти уравнения можно упростить, воспользовавшись тем фактом, что электрические и магнитные поля являются физически значимыми величинами, которые можно измерить; потенциалы — нет. Существует свобода ограничивать форму потенциалов при условии, что это не влияет на результирующие электрические и магнитные поля, называемая калибровочной свободой . В частности, для этих уравнений, для любого выбора дважды дифференцируемой скалярной функции положения и времени λ , если ( φ , A ) является решением для данной системы, то таким же является и другой потенциал ( φ ′, A ′), заданный как: $${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Эту свободу можно использовать для упрощения потенциальной формулировки. Обычно выбирается одна из двух таких скалярных функций: калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Кулона

Калибровка Кулона выбирается таким образом, что , что соответствует случаю магнитостатики. В терминах λ это означает, что она должна удовлетворять уравнению ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .}$$

Такой выбор функции приводит к следующей формулировке уравнений Максвелла: $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}$$

Несколько особенностей уравнений Максвелла в калибровке Кулона следующие. Во-первых, решение для электрического потенциала очень простое, так как уравнение является версией уравнения Пуассона . Во-вторых, решение для магнитного векторного потенциала особенно сложное. Это большой недостаток этой калибровки. Третье, что следует отметить, и что не сразу очевидно, заключается в том, что электрический потенциал мгновенно изменяется везде в ответ на изменение условий в одной местности.

Например, если заряд перемещается в Нью-Йорке в 13:00 по местному времени, то гипотетический наблюдатель в Австралии, который мог бы измерить электрический потенциал напрямую, измерил бы изменение потенциала в 13:00 по нью-йоркскому времени. Это, по-видимому, нарушает причинность в специальной теории относительности , то есть невозможность информации, сигналов или чего-либо, движущегося быстрее скорости света. Решение этой кажущейся проблемы заключается в том, что, как было сказано ранее, ни один наблюдатель не может измерить потенциалы; они измеряют электрические и магнитные поля. Таким образом, комбинация ∇ φ и ∂ A /∂ t, используемая при определении электрического поля, восстанавливает ограничение скорости, налагаемое специальной теорией относительности для электрического поля, делая все наблюдаемые величины согласующимися с теорией относительности.

условие калибровки Лоренца

Калибровкой, которая часто используется, является условие калибровки Лоренца . В этом случае скалярная функция λ выбирается таким образом, что означает, что λ должна удовлетворять уравнению $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}$$

Калибровка Лоренца приводит к следующей форме уравнений Максвелла: $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Оператор называется даламбертианом (некоторые авторы обозначают его только квадратом ). Эти уравнения являются неоднородными версиями волнового уравнения , причем члены в правой части уравнения служат исходными функциями для волны. Как и любое волновое уравнение, эти уравнения приводят к двум типам решений: опережающим потенциалам (которые связаны с конфигурацией источников в будущих точках времени) и запаздывающим потенциалам (которые связаны с прошлыми конфигурациями источников); первые обычно игнорируются, когда поле анализируется с точки зрения причинности. ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Как указывалось выше, калибровка Лоренца не более верна, чем любая другая калибровка, поскольку потенциалы не могут быть измерены напрямую, однако калибровка Лоренца имеет преимущество, поскольку уравнения являются инвариантными относительно Лоренца .

Расширение квантовой электродинамики

Каноническое квантование электромагнитных полей осуществляется путем возвышения скалярных и векторных потенциалов; φ ( x ), A ( x ), от полей до операторов поля . Подстановка 1/ c ² = ε ₀ μ ₀ в предыдущие калибровочные уравнения Лоренца дает:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Здесь J и ρ — плотность тока и заряда поля материи . Если поле материи рассматривается так, чтобы описывать взаимодействие электромагнитных полей с электроном Дирака , заданным четырехкомпонентным спинорным полем Дирака ψ , то плотности тока и заряда имеют вид: ^[2] где α — первые три матрицы Дирака . Используя это, мы можем переписать уравнения Максвелла как: $${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$$

Уравнения Максвелла ( КЭД )

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi }$

которая является формой, используемой в квантовой электродинамике .

Формулировки геометрической алгебры

Аналогично тензорной формулировке вводятся два объекта: один для электромагнитного поля и один для плотности тока . В геометрической алгебре (ГА) это мультивекторы , которые иногда следуют исчислению Риччи .

Алгебра физического пространства

В алгебре физического пространства (APS), также известной как алгебра Клиффорда , поле и ток представлены мультивекторами. ${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$

Мультивектор поля, известный как вектор Римана–Зильберштейна , есть и мультивектор четырех токов есть, использующий ортонормированный базис . Аналогично, единичный псевдоскаляр есть , из-за того, что используемый базис является ортонормированным. Эти базисные векторы разделяют алгебру матриц Паули , но обычно не приравниваются к ним, поскольку они являются разными объектами с разными интерпретациями. $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},}$$ $${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$$ ${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

После определения производной $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению ^[3]

Уравнения Максвелла (формулировка APS)

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).}$

В трех измерениях производная имеет особую структуру, позволяющую ввести перекрестное произведение: из которого легко видеть, что закон Гаусса является скалярной частью, закон Ампера–Максвелла — векторной частью, закон Фарадея — псевдовекторной частью, а закон Гаусса для магнетизма — псевдоскалярной частью уравнения. После расширения и перестановки это можно записать как $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$$ $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$$

Алгебра пространства-времени

Мы можем определить APS как подалгебру алгебры пространства-времени (STA) , определяющую и . S имеют те же алгебраические свойства гамма -матриц, но их матричное представление не требуется. Производная теперь ${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ $${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$$

Римана-Зильберштейна становится бивектором , а заряд и плотность тока становятся вектором $${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$$ $${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$$

В связи с идентичностью $${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению

Уравнения Максвелла (формулировка СТА)

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ.}$

Подход дифференциальных форм

В дальнейшем используются единицы СГС-Гаусса , а не единицы СИ . (Чтобы преобразовать в СИ, см. здесь .) Используя обозначения Эйнштейна , мы неявно берем сумму по всем значениям индексов, которые могут изменяться в пределах измерения.

Поле 2-форма

В свободном пространстве , где ε = ε 0 и μ = μ 0 постоянны всюду, уравнения Максвелла значительно упрощаются, как только используется язык дифференциальной геометрии и дифференциальных форм . Электрические и магнитные поля теперь совместно описываются 2-формой F в 4-мерном пространственно-временном многообразии. Тензор Фарадея ( электромагнитный тензор ) может быть записан как 2-форма в пространстве Минковского с метрической сигнатурой (− + + +), как которая является внешней производной электромагнитного 4-потенциала ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} :}$ $${\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$$

Уравнения без источника могут быть записаны действием внешней производной на эту 2-форму. Но для уравнений с исходными членами ( закон Гаусса и уравнение Ампера-Максвелла ) необходим дуальный по Ходжу оператор этой 2-формы. Оператор звезды Ходжа переводит p -форму в ( n − p )-форму, где n — число измерений. Здесь он переводит 2-форму ( F ) и дает другую 2-форму (в четырех измерениях, n − p = 4 − 2 = 2 ). Для базисных котангенсных векторов дуальный по Ходжу оператор задается как (см. Оператор звезды Ходжа § Четыре измерения ) и так далее. Используя эти соотношения, дуальный по Ходжу оператор 2-формы является тензором Максвелла, $${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$$ $${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

Ток 3-й формы, двойной ток 1-й формы

Здесь 3-форма J называется формой электрического тока или 3-формой тока : $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$$

То, что F является замкнутой формой , а внешняя производная ее дуальной формы Ходжа является текущей 3-формой, выражается уравнениями Максвелла: ^[4]

Уравнения Максвелла

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

Здесь d обозначает внешнюю производную – естественный независимый от координат и метрики дифференциальный оператор, действующий на формы, а (дуальный) оператор звезды Ходжа – это линейное преобразование из пространства 2-форм в пространство (4 − 2)-форм, определяемое метрикой в ​​пространстве Минковского (в четырех измерениях даже любой метрикой, конформной этой метрике). Поля находятся в естественных единицах , где 1/(4 πε ₀ ) = 1 . ${\displaystyle {\star }}$

Поскольку d ² = 0, 3-форма J удовлетворяет условию сохранения тока ( уравнению непрерывности ): 3-форма тока может быть проинтегрирована по 3-мерной области пространства-времени. Физическая интерпретация этого интеграла — заряд в этой области, если она пространственноподобна, или количество заряда, протекающего через поверхность за определенное время, если эта область является пространственноподобной поверхностью, пересекающей времениподобный интервал. Поскольку внешняя производная определена на любом многообразии , версия дифференциальной формы тождества Бианки имеет смысл для любого 4-мерного многообразия, тогда как исходное уравнение определено, если многообразие ориентировано и имеет метрику Лоренца. В частности, версия дифференциальной формы уравнений Максвелла является удобной и интуитивно понятной формулировкой уравнений Максвелла в общей теории относительности. $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$$

Примечание: В большинстве литературы обозначения и меняются местами, так что это 1-форма, называемая током, и это 3-форма, называемая дуальным током. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$

Линейное макроскопическое влияние материи

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается посредством более общего линейного преобразования в пространстве 2-форм. Мы называем его конститутивным преобразованием. Роль этого преобразования сопоставима с преобразованием дуальности Ходжа. Уравнения Максвелла в присутствии материи тогда становятся: где текущая 3-форма J по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности d J = 0 . $${\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$$

Когда поля выражаются как линейные комбинации ( внешних произведений ) базисных форм θ ⁱ , конститутивное соотношение принимает вид , где функции коэффициентов поля и конститутивные коэффициенты являются антикоммутативными для обмена индексами каждого из них. В частности, оператор звезды Ходжа , который использовался в приведенном выше случае, получается путем взятия в терминах индексной записи тензора относительно базиса (не обязательно ортонормированного) в касательном пространстве и его дуального базиса в , имеющего матрицу грамма -метрики и ее обратную матрицу , и является символом Леви-Чивиты с . С точностью до масштабирования это единственный инвариантный тензор этого типа, который может быть определен с помощью метрики. $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.}$$ $${\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$$ $${\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$$ ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{abpq}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1234}=1}$

В этой формулировке электромагнетизм немедленно обобщается на любое 4-мерное ориентированное многообразие или, с небольшими адаптациями, на любое многообразие.

Альтернативная метрическая сигнатура

В соглашении о знаках физики элементарных частиц для метрической сигнатуры (+ − − −) потенциальная 1-форма имеет вид $${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}$$

Формы кривизны Фарадея 2 становятся , а тензор Максвелла становится $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}$$

Текущая 3-форма J — это и соответствующая ей дуальная 1-форма — это $${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$ $${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}$$

Текущая норма теперь положительна и равна канонической форме объема . $${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)}$$ ${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

Искривленное пространство-время

Традиционная формула

Материя и энергия порождают кривизну пространства-времени . Это предмет общей теории относительности . Кривизна пространства-времени влияет на электродинамику. Электромагнитное поле, имеющее энергию и импульс, также порождает кривизну в пространстве-времени. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени ковариантными производными . (Является ли это подходящим обобщением, требует отдельного исследования.) Уравнения с источником и без источника становятся ( cgs-гауссовы единицы ): и $${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$$ $${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$$

Здесь — символ Кристоффеля , характеризующий кривизну пространства-времени, а ∇ _α — ковариантная производная. $${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }}$$

Формулировка в терминах дифференциальных форм

Формулировка уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм может быть использована без изменения в общей теории относительности. Эквивалентность более традиционной общей релятивистской формулировки с использованием ковариантной производной с формулировкой в ​​дифференциальной форме можно увидеть следующим образом. Выберем локальные координаты x ^α , которые дают базис 1-форм d x ^α в каждой точке открытого множества, где определены координаты. Используя этот базис и cgs-гауссовские единицы, мы определяем

• Антисимметричный тензор поля F _αβ , соответствующий 2-форме поля F $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$$
• Токовекторная инфинитезимальная 3-форма J $${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$$

Тензор эпсилон, свёрнутый с дифференциальной 3-формой, даёт в 6 раз больше требуемых членов.

Здесь g , как обычно, является детерминантом матрицы, представляющей метрический тензор , g _αβ . Небольшое вычисление, использующее симметрию символов Кристоффеля (т.е. отсутствие кручения связности Леви-Чивиты ) и ковариантную константность оператора звезды Ходжа , затем показывает, что в этой координатной окрестности мы имеем:

• идентичность Бьянки $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$$
• исходное уравнение $${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}$$
• уравнение непрерывности $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$$

Классическая электродинамика как кривизна линейного пучка

Элегантный и интуитивно понятный способ сформулировать уравнения Максвелла — использовать комплексные линейные расслоения или главное U(1)-расслоение , на волокнах которого U(1) действует регулярно . Главное U(1) -связность ∇ на линейном расслоении имеет кривизну F = ∇ ² , которая является двумерной формой, которая автоматически удовлетворяет d F = 0 и может быть интерпретирована как напряженность поля. Если линейное расслоение тривиально с плоской опорной связностью d, мы можем записать ∇ = d + A и F = d A , где A — 1 -форма, состоящая из электрического потенциала и магнитного векторного потенциала .

В квантовой механике сама связь используется для определения динамики системы. Эта формулировка позволяет естественным образом описать эффект Ааронова–Бома . В этом эксперименте статическое магнитное поле проходит через длинный магнитный провод (например, железный провод, намагниченный продольно). За пределами этого провода магнитная индукция равна нулю, в отличие от векторного потенциала, который по сути зависит от магнитного потока через поперечное сечение провода и не обращается в нуль снаружи. Поскольку электрического поля также нет, тензор Максвелла F = 0 во всей области пространства-времени за пределами трубки во время эксперимента. Это означает по определению, что связь ∇ там плоская.

Однако в упомянутом эффекте Ааронова–Бома связь зависит от магнитного поля через трубку, поскольку голономия вдоль несокращающейся кривой, охватывающей трубку, является магнитным потоком через трубку в соответствующих единицах. Это можно обнаружить квантово-механически с помощью эксперимента по двухщелевой дифракции электронов на электронной волне, движущейся вокруг трубки. Голономия соответствует дополнительному фазовому сдвигу, который приводит к сдвигу в дифракционной картине. ^{[6] [7]}

Обсуждение и другие подходы

Ниже приведены причины использования каждой из таких формул.

Потенциальная формулировка

В продвинутой классической механике часто бывает полезно, а в квантовой механике часто необходимо, выразить уравнения Максвелла в потенциальной формулировке, включающей электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) φ и магнитный потенциал ( векторный потенциал ) A . Например, анализ радиоантенн в полной мере использует векторные и скалярные потенциалы Максвелла для разделения переменных, что является распространенным методом, используемым при формулировании решений дифференциальных уравнений. Потенциалы можно ввести, используя лемму Пуанкаре об однородных уравнениях, чтобы решить их универсальным способом (это предполагает, что мы рассматриваем топологически простое, например, стягиваемое пространство ). Потенциалы определяются, как в таблице выше. В качестве альтернативы, эти уравнения определяют E и B в терминах электрических и магнитных потенциалов, которые затем удовлетворяют однородным уравнениям для E и B как тождества. Подстановка дает неоднородные уравнения Максвелла в потенциальной форме.

Многие различные варианты выбора A и φ согласуются с заданными наблюдаемыми электрическими и магнитными полями E и B , поэтому потенциалы, по-видимому, содержат больше ( классически ) ненаблюдаемой информации. Однако неоднозначность потенциалов хорошо понятна. Для каждой скалярной функции положения и времени λ ( x , t ) потенциалы могут быть изменены калибровочным преобразованием как без изменения электрического и магнитного поля. Две пары калибровочно преобразованных потенциалов ( φ , A ) и ( φ ′, A ′ ) называются калибровочно эквивалентными , а свобода выбора любой пары потенциалов в ее классе калибровочной эквивалентности называется калибровочной свободой . Опять же по лемме Пуанкаре (и при ее предположениях) калибровочная свобода является единственным источником неопределенности, поэтому формулировка поля эквивалентна формулировке потенциала, если мы рассматриваем уравнения потенциала как уравнения для классов калибровочной эквивалентности. $${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Уравнения потенциала можно упростить с помощью процедуры, называемой калибровочной фиксацией . Поскольку потенциалы определены только с точностью до калибровочной эквивалентности, мы можем свободно налагать дополнительные уравнения на потенциалы, пока для каждой пары потенциалов существует калибровочно-эквивалентная пара, которая удовлетворяет дополнительным уравнениям (т. е. если уравнения калибровки определяют срез калибровочного действия). Калибровочно-фиксированные потенциалы по-прежнему имеют калибровочную свободу при всех калибровочных преобразованиях, которые оставляют калибровочные фиксирующие уравнения инвариантными. Рассмотрение уравнений потенциала предлагает два естественных выбора. В кулоновской калибровке мы налагаем ∇ ⋅ A = 0 , что в основном используется в случае магнитостатики, когда мы можем пренебречь членом c ⁻² ∂ ² A /∂ t ² . В калибровке Лоренца (названной в честь датчанина Людвига Лоренца ) мы накладываем Условие калибровки Лоренца имеет то преимущество, что оно инвариантно относительно Лоренца и приводит к инвариантным относительно Лоренца уравнениям для потенциалов. $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$$

Явно ковариантный (тензорный) подход

Уравнения Максвелла в точности согласуются со специальной теорией относительности — то есть, если они справедливы в одной инерциальной системе отсчета, то они автоматически справедливы в любой другой инерциальной системе отсчета. Фактически, уравнения Максвелла сыграли решающую роль в историческом развитии специальной теории относительности. Однако в обычной формулировке уравнений Максвелла их согласованность со специальной теорией относительности неочевидна; ее можно доказать только с помощью трудоемкого расчета.

Например, рассмотрим проводник, движущийся в поле магнита . ^[8] В системе магнита этот проводник испытывает магнитную силу. Но в системе проводника, движущегося относительно магнита, проводник испытывает силу, вызванную электрическим полем. Движение в точности согласуется в этих двух различных системах отсчета, но математически оно возникает совершенно разными способами.

По этой и другим причинам часто бывает полезно переписать уравнения Максвелла таким образом, чтобы они были « явно ковариантными » — т.е. явно согласующимися со специальной теорией относительности, даже при беглом взгляде на уравнения — используя ковариантные и контравариантные 4-векторы и тензоры . Это можно сделать , используя тензор ЭМ F или 4-потенциал A с 4-током J.

Подход дифференциальных форм

Закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея–Максвелла можно сгруппировать вместе, поскольку уравнения однородны, и рассматривать как геометрические тождества, выражающие поле F (2-форма), которое можно вывести из 4-потенциала A. Закон Гаусса для электричества и закон Ампера–Максвелла можно рассматривать как динамические уравнения движения полей, полученные с помощью принципа наименьшего действия Лагранжа , из «члена взаимодействия» AJ (введенного через калибровочно- ковариантные производные ), связывающего поле с материей. Для полевой формулировки уравнений Максвелла в терминах принципа экстремального действия см. электромагнитный тензор .

Часто производная по времени в уравнении Фарадея–Максвелла мотивирует называть это уравнение «динамическим», что несколько вводит в заблуждение в смысле предыдущего анализа. Это скорее артефакт нарушения релятивистской ковариации путем выбора предпочтительного направления времени. Чтобы физические степени свободы распространялись этими уравнениями поля, необходимо включить кинетический член F ⋆ F для A и учесть нефизические степени свободы, которые могут быть удалены калибровочным преобразованием A ↦ A − d α . См. также фиксация калибровки и призраки Фаддеева–Попова .

Геометрический подход к исчислению

Эта формулировка использует алгебру, которую пространство-время генерирует посредством введения дистрибутивного, ассоциативного (но не коммутативного) произведения, называемого геометрическим произведением . Элементы и операции алгебры в общем случае могут быть связаны с геометрическим значением. Члены алгебры могут быть разложены по степени (как в формализме дифференциальных форм), а (геометрическое) произведение вектора с k -вектором разлагается на ( k − 1) -вектор и ( k + 1) -вектор. Компонент ( k − 1) -вектора может быть отождествлен со внутренним произведением, а компонент ( k + 1) -вектора — с внешним произведением. Для алгебраического удобства геометрическое произведение обратимо, в то время как внутреннее и внешнее произведения — нет. Таким образом, можно использовать мощные методы, такие как функции Грина . Производные, которые появляются в уравнениях Максвелла, являются векторами , а электромагнитные поля представлены бивектором Фарадея F. Эта формулировка является такой же общей, как и формула дифференциальных форм для многообразий с метрическим тензором, поскольку тогда они естественным образом отождествляются с r -формами и существуют соответствующие операции. Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению в этом формализме. Это уравнение может быть разделено на части, как это сделано выше, по сравнительным причинам.

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Уравнение электромагнитной волны
• Скорость света
• Электрическая постоянная
• Магнитная постоянная
• Свободное место
• Ближняя и дальняя зона
• Электромагнитное поле
• Электромагнитное излучение
• Квантовая электродинамика
• Список уравнений электромагнетизма

Примечания

1. Введение в электродинамику Гриффитса
2. Квантовая электродинамика, Mathworld
3. Лекция на соискание медали Эрстеда Дэвида Хестенса «Реформирование математического языка физики» (Am. J. Phys. 71 (2), февраль 2003 г., стр. 104–121) стр. 26
4. Харли Фландерс (1963) Дифференциальные формы и их применение в физических науках , страницы 44–46, Academic Press
5. Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . WH Freeman. стр. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.
6. М. Мюррей (5 сентября 2008 г.). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF) . Университет Аделаиды . Получено 19 ноября 2010 г.
7. Р. Ботт (1985). «О некоторых недавних взаимодействиях между математикой и физикой». Канадский математический вестник . 28 (2): 129–164. doi : 10.4153/CMB-1985-016-3 .
8. Альберт Эйнштейн (1905) Об электродинамике движущихся тел.

Ссылки

• Варник, Карл; Рассер, Питер (2014). «Дифференциальные формы и теория электромагнитного поля» (PDF) . Прогресс в исследованиях электромагнетизма . 148 : 83–112. doi : 10.2528/PIER14063009 .
• Рассер, Питер (2006). Электромагнетизм, микроволновые цепи и проектирование антенн для инженерии связи (2-е изд.). Artech House. ISBN 978-1-58053-907-4.(с решенными проблемами в Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9 ) 
• Хель, Фридрих; Обухов, Юрий (2003). Основы классической электродинамики. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-71595-9.