Мера общего значения один, обобщающая распределения вероятностей
В математике вероятностная мера — это вещественнозначная функция , определенная на множестве событий в σ-алгебре , которая удовлетворяет свойствам меры , таким как счетная аддитивность . [1] Разница между вероятностной мерой и более общим понятием меры (которое включает в себя такие понятия, как площадь или объем ) заключается в том, что вероятностная мера должна присваивать значение 1 всей σ-алгебре.
Интуитивно, свойство аддитивности говорит о том, что вероятность, приписываемая мере объединению двух непересекающихся (взаимоисключающих) событий, должна быть суммой вероятностей событий; например, значение, присвоенное результату «1 или 2» при броске игральной кости, должно быть суммой значений, присвоенных результатам «1» и «2».
Вероятностные меры находят применение в самых разных областях: от физики до финансов и биологии.
Например, даны три элемента 1, 2 и 3 с вероятностями и присвоенное им значение , как на диаграмме справа.
Условная вероятность , основанная на пересечении событий, определяется как:
[2][3]
Вероятностные меры отличаются от более общего понятия нечетких мер , в котором не требуется, чтобы нечеткие значения суммировались до, а аддитивное свойство заменяется отношением порядка, основанным на включении множества .
Примеры приложений
Рыночные меры , которые присваивают вероятности пространствам финансового рынка на основе фактических движений рынка, являются примерами вероятностных мер, представляющих интерес для математических финансов ; например, в ценообразовании производных финансовых инструментов . [6] Например, нейтральная к риску мера — это вероятностная мера, которая предполагает, что текущая стоимость активов — это ожидаемая стоимость будущих выплат, полученных по отношению к той же самой нейтральной к риску мере (т. е. рассчитанная с использованием соответствующей функции плотности нейтральной к риску). ) и дисконтированы по безрисковой ставке . Если существует уникальная вероятностная мера, которую необходимо использовать для оценки активов на рынке, то рынок называется полным рынком . [7]
Не все меры, которые интуитивно представляют случайность или вероятность, являются вероятностными мерами. Например, хотя фундаментальным понятием системы в статистической механике является пространство меры, такие меры не всегда являются вероятностными мерами. [4] В общем, в статистической физике, если мы рассматриваем предложения вида «вероятность того, что система S примет состояние A равно p», геометрия системы не всегда приводит к определению вероятностной меры при конгруэнтности , хотя это может произойти в случае систем всего с одной степенью свободы. [5]
Вероятностные меры также используются в математической биологии . [8] Например, при сравнительном анализе последовательностей мера вероятности может быть определена для вероятности того, что вариант может быть допустимым для аминокислоты в последовательности. [9]
Ультрафильтры можно понимать как -значные вероятностные меры, позволяющие проводить множество интуитивных доказательств, основанных на мерах. Например, теорема Хиндмана может быть доказана путем дальнейшего исследования этих мер и, в частности, их свертки .
Смотрите также
Борелевская мера - мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства.
Нечеткая мера - теория обобщенных мер, в которой аддитивное свойство заменено более слабым свойством монотонности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Мера Хаара - левоинвариантная (или правоинвариантная) мера на локально компактной топологической группе.