Последовательность

Конечный или бесконечный упорядоченный список элементов

Бесконечная последовательность действительных чисел (синего цвета). Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, ни сходящейся, ни Коши . Однако она ограничена.

В математике последовательность — это пронумерованная коллекция объектов , в которой допускаются повторения и порядок имеет значение. Как и множество , она содержит элементы (также называемые элементами или терминами ). Количество элементов (возможно, бесконечное ) называется длиной последовательности. В отличие от множества, одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях в последовательности, и в отличие от множества порядок имеет значение. Формально последовательность можно определить как функцию от натуральных чисел (позиций элементов в последовательности) к элементам в каждой позиции. Понятие последовательности можно обобщить до индексированного семейства , определяемого как функция от произвольного набора индексов.

Например, (M, A, R, Y) — это последовательность букв, в которой буква «M» первая, а «Y» последняя. Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть конечными , как в этих примерах, или бесконечными , например, последовательность всех четных положительных целых чисел (2, 4, 6, ...).

Позиция элемента в последовательности — это его ранг или индекс ; это натуральное число, для которого элемент является образом. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или определенного соглашения. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами в виде , и , где нижний индекс n относится к n -му элементу последовательности; например, n- й элемент последовательности Фибоначчи обычно обозначается как . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{n}}$

В вычислительной технике и информатике конечные последовательности обычно называются строками , словами или списками , причем конкретный технический термин выбирается в зависимости от типа объекта, который перечисляет последовательность, и различных способов представления последовательности в памяти компьютера . Бесконечные последовательности называются потоками .

Пустая последовательность ( ) включена в большинство понятий последовательности. Она может быть исключена в зависимости от контекста.

Примеры и обозначения

Последовательность можно рассматривать как список элементов с определенным порядком. ^{[1] [2]} Последовательности полезны в ряде математических дисциплин для изучения функций , пространств и других математических структур, использующих свойства сходимости последовательностей. В частности, последовательности являются основой для рядов , которые важны в дифференциальных уравнениях и анализе . Последовательности также представляют интерес сами по себе и могут изучаться как закономерности или головоломки, например, при изучении простых чисел .

Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более полезны для определенных типов последовательностей. Один из способов указания последовательности — перечисление всех ее элементов. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Эта нотация используется также для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, ...). Поскольку обозначение последовательностей с многоточием приводит к неоднозначности, перечисление наиболее полезно для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по их первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности обсуждаются после примеров.

Примеры

Плитка с квадратами , длины сторон которых представляют собой последовательные числа Фибоначчи.

Простые числа — это натуральные числа, большие 1, которые не имеют делителей, кроме 1 и самих себя. Взяв их в естественном порядке, получим последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математике , особенно в теории чисел , где существует множество результатов, связанных с ними.

Числа Фибоначчи представляют собой целочисленную последовательность, элементы которой являются суммой двух предыдущих элементов. Первые два элемента — это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность имеет вид (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). ^[1]

Другие примеры последовательностей включают в себя последовательности, состоящие из рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел . Последовательность (.9, .99, .999, .9999, ...), например, приближается к числу 1. Фактически, каждое действительное число можно записать как предел последовательности рациональных чисел (например, с помощью его десятичного разложения , также см. полноту действительных чисел ). В качестве другого примера, π является пределом последовательности (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...), которая увеличивается. Связанная последовательность — это последовательность десятичных цифр π , то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет какой-либо закономерности, которая легко различима при осмотре.

Другими примерами являются последовательности функций , элементами которых являются функции, а не числа.

Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей содержит большой список примеров целочисленных последовательностей. ^[3]

Индексация

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, шаблон которых не может быть легко угадан или для последовательностей, которые не имеют шаблона, таких как цифры числа π . Одно из таких обозначений — записать общую формулу для вычисления n- го члена как функции n , заключить ее в скобки и включить нижний индекс, указывающий набор значений, которые может принимать n . Например, в этой нотации последовательность четных чисел может быть записана как . Последовательность квадратов может быть записана как . Переменная n называется индексом , а набор значений, которые она может принимать, называется набором индексов . ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

Часто бывает полезно объединить эту нотацию с техникой обработки элементов последовательности как отдельных переменных. Это дает выражения типа , что обозначает последовательность, n -й элемент которой задан переменной . Например: ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например, может быть другой последовательностью, чем . Можно даже рассмотреть последовательность последовательностей: обозначает последовательность, m -й член которой является последовательностью . ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Альтернативой записи домена последовательности в нижнем индексе является указание диапазона значений, которые может принимать индекс, путем перечисления его наивысшего и наименьшего допустимых значений. Например, обозначение обозначает десятичленную последовательность квадратов . Пределы и допускаются, но они не представляют допустимые значения для индекса, а только супремум или инфимум таких значений соответственно. Например, последовательность такая же, как последовательность , и не содержит дополнительного члена «в бесконечности». Последовательность является би-бесконечной последовательностью , и также может быть записана как . ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$ ${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

В случаях, когда набор индексных чисел понятен, подстрочные и надстрочные индексы часто опускаются. То есть, просто пишут для произвольной последовательности. Часто индекс k понимается как пробегающий от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в ${\textstyle (a_{k})}$

${\displaystyle {(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

В некоторых случаях элементы последовательности естественным образом связаны с последовательностью целых чисел, шаблон которой можно легко вывести. В этих случаях набор индексов может подразумеваться перечислением первых нескольких абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетных чисел может быть обозначена любым из следующих способов.

• ${\displaystyle (1,9,25,\ldots )}$
• ${\displaystyle (a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}}$
• ${\displaystyle {\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }}$

Более того, нижние и верхние индексы можно было бы опустить в третьей, четвертой и пятой нотациях, если бы индексный набор понимался как натуральные числа . Во втором и третьем пунктах есть четко определенная последовательность , но она не совпадает с последовательностью, обозначенной выражением. ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

Определение последовательности с помощью рекурсии

Последовательности, элементы которых связаны с предыдущими элементами прямым образом, часто определяются с помощью рекурсии . Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.

Чтобы определить последовательность с помощью рекурсии, необходимо правило, называемое рекуррентным отношением , чтобы построить каждый элемент в терминах предшествующих ему. Кроме того, должно быть предоставлено достаточно начальных элементов, чтобы все последующие элементы последовательности могли быть вычислены путем последовательных применений рекуррентного отношения.

Последовательность Фибоначчи — это простой классический пример, определяемый рекуррентным соотношением

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

с начальными членами и . Отсюда простое вычисление показывает, что первые десять членов этой последовательности равны 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34. ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

Сложным примером последовательности, определяемой рекуррентным соотношением , является последовательность Рекамана ^[4] , определяемая рекуррентным соотношением

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

с первоначальным сроком ${\displaystyle a_{0}=0.}$

Линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами — это рекуррентное соотношение вида

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

где константы . Существует общий метод выражения общего члена такой последовательности как функции от n ; см. Линейная рекуррентность . В случае последовательности Фибоначчи имеем и результирующая функция от n задается формулой Бине . ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$

Голономная последовательность — это последовательность, определяемая рекуррентным соотношением вида

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

где — многочлены от n . Для большинства голономных последовательностей не существует явной формулы для выражения в виде функции от n . Тем не менее, голономные последовательности играют важную роль в различных областях математики. Например, многие специальные функции имеют ряд Тейлора , последовательность коэффициентов которого является голономной. Использование рекуррентного соотношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций. ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Не все последовательности могут быть заданы рекуррентным соотношением. Примером является последовательность простых чисел в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Формальное определение и основные свойства

В математике существует множество различных понятий последовательностей, некоторые из которых ( например , точная последовательность ) не охватываются определениями и обозначениями, представленными ниже.

Определение

В этой статье последовательность формально определяется как функция , областью определения которой является интервал целых чисел . Это определение охватывает несколько различных вариантов использования слова «последовательность», включая односторонние бесконечные последовательности, двусторонние бесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих видов последовательностей см. ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы областью определения последовательности было множество натуральных чисел . Это более узкое определение имеет тот недостаток, что оно исключает конечные последовательности и двусторонние бесконечные последовательности, которые обычно называются последовательностями в стандартной математической практике. Другим недостатком является то, что если удалить первые члены последовательности, необходимо переиндексировать оставшиеся члены для соответствия этому определению. В некоторых контекстах, чтобы сократить изложение, область определения последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы она была множеством R действительных чисел, ^[5] множеством C комплексных чисел, ^[6] или топологическим пространством . ^[7]

Хотя последовательности являются типом функции, они обычно отличаются нотацией от функций тем, что входные данные записываются как нижний индекс, а не в скобках, то есть, a _n вместо a ( n ) . Существуют также терминологические различия: значение последовательности на самом низком входе (часто 1) называется «первым элементом» последовательности, значение на втором наименьшем входе (часто 2) называется «вторым элементом» и т. д. Кроме того, в то время как функция, абстрагированная от ее входных данных, обычно обозначается одной буквой, например f , последовательность, абстрагированная от ее входных данных, обычно записывается с помощью нотации, такой как , или просто как Здесь A — домен или набор индексов последовательности. ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\textstyle (a_{n}).}$

Последовательности и их пределы (см. ниже) являются важными концепциями для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является концепция сетей . Сеть — это функция из (возможно, несчетного ) направленного множества в топологическое пространство. Соглашения об обозначениях для последовательностей обычно применяются и к сетям.

Конечное и бесконечное

Длина последовательности определяется как количество членов в последовательности .

Последовательность конечной длины n также называется n -кортежем . К конечным последовательностям относится пустая последовательность  ( ), не имеющая элементов.

Обычно термин бесконечная последовательность относится к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом — последовательность имеет первый элемент, но не имеет конечного элемента. Такая последовательность называется однократно бесконечной последовательностью или односторонней бесконечной последовательностью, когда необходимо устранить неоднозначность. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях — т. е. не имеет ни первого, ни конечного элемента — называется двунаправленной бесконечной последовательностью , двусторонней бесконечной последовательностью , или дважды бесконечной последовательностью . Функция из множества Z всех целых чисел в множество, такое как, например, последовательность всех четных целых чисел ( ... , −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ... ), является двунаправленной бесконечной. Эту последовательность можно обозначить . ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

Увеличение и уменьшение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый последующий член больше или равен предыдущему. Например, последовательность монотонно возрастает тогда и только тогда, когда для всех Если каждый последующий член строго больше (>) предыдущего, то последовательность называется строго монотонно возрастающей . Последовательность монотонно убывает , если каждый последующий член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывает, если каждый строго меньше предыдущего. Если последовательность либо возрастает, либо убывает, она называется монотонной последовательностью. Это частный случай более общего понятия монотонной функции . ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbf {N} .}$

Термины «неубывающий» и «невозрастающий» часто используются вместо «возрастающий» и «убывающий» , чтобы избежать возможной путаницы со «строго возрастающим» и «строго убывающим» соответственно.

Ограниченный

Если последовательность действительных чисел ( a _n ) такова, что все члены меньше некоторого действительного числа M , то говорят, что последовательность ограничена сверху . Другими словами, это означает, что существует M, такое что для всех n , a _n ≤ M. Любое такое M называется верхней границей . Аналогично, если для некоторого действительного m , a _n ≥ m для всех n, больших некоторого N , то последовательность ограничена снизу , и любое такое m называется нижней границей . Если последовательность одновременно ограничена сверху и ограничена снизу, то говорят, что последовательность ограничена .

Подпоследовательности

Подпоследовательность данной последовательности — это последовательность, образованная из данной последовательности путем удаления некоторых элементов без нарушения относительного положения оставшихся элементов. Например, последовательность положительных четных целых чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью положительных целых чисел (1, 2, 3, ...). Положения некоторых элементов изменяются при удалении других элементов. Однако относительное положение сохраняется.

Формально подпоследовательностью последовательности является любая последовательность вида , где — строго возрастающая последовательность положительных целых чисел. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

Другие типы последовательностей

Вот некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить:

• Целочисленная последовательность — это последовательность, члены которой являются целыми числами.
• Полиномиальная последовательность — это последовательность, члены которой являются полиномами.
• Положительная целочисленная последовательность иногда называется мультипликативной , если a _nm = a _n a _m для всех пар n , m таких, что n и m являются взаимно простыми . ^[8] В других случаях последовательности часто называют мультипликативными , если a _n = na ₁ для всех n . Более того, мультипликативная последовательность Фибоначчи ^[9] удовлетворяет рекурсивному соотношению a _n = a _{n −1} a _{n −2} .
• Двоичная последовательность — это последовательность, члены которой имеют одно из двух дискретных значений, например, значения по основанию 2 (0,1,1,0, ...), серия подбрасываний монеты (орёл/решка) H,T,H,H,T, ..., ответы на ряд вопросов типа «истина» или «ложь» (T, F, T, T, ...) и т. д.

Пределы и конвергенция

График сходящейся последовательности ( a _n ) показан синим цветом. Из графика видно, что последовательность сходится к предельному нулю по мере увеличения n .

Важным свойством последовательности является сходимость . Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел . Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она является сходящейся . Последовательность, которая не сходится, является расходящейся .

Неформально, последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению (называемому пределом последовательности), и они становятся и остаются произвольно близкими к , что означает, что при заданном действительном числе больше нуля все, кроме конечного числа элементов последовательности, находятся на расстоянии от менее . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$

Например, последовательность, показанная справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности (которая начинается с 1, 8, 27, ...) и (которая начинается с −1, 1, −1, 1, ...) являются расходящимися. ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ ${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$

Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности обычно обозначается . Если — расходящаяся последовательность, то выражение бессмысленно. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Формальное определение конвергенции

Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу , если для всех существует натуральное число такое, что для всех имеем ^[5] ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

Если — последовательность комплексных чисел, а не последовательность действительных чисел, то эта последняя формула все еще может быть использована для определения сходимости, при условии, что обозначает комплексный модуль, т.е. . Если — последовательность точек в метрическом пространстве , то формулу можно использовать для определения сходимости, если выражение заменить выражением , которое обозначает расстояние между и . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |a_{n}-L|}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle L}$

Приложения и важные результаты

Если и являются сходящимися последовательностями, то существуют следующие пределы, которые можно вычислить следующим образом: ^{[5] [10]} ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$для всех действительных чисел ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$, при условии, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$для всех и ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$

Более того:

• Если для всех больше, чем некоторые , то . ^[a] ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Теорема сжатия )
  Если — последовательность такая, что для всех и , то является сходящейся, и . ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$
  ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее подпоследовательности.

Последовательности Коши

График последовательности Коши ( X _n ), показанный синим цветом, как X _n против n . На графике последовательность, по-видимому, сходится к пределу, поскольку расстояние между последовательными членами в последовательности становится меньше с ростом n . В действительных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой становятся произвольно близкими друг к другу, когда n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов в реальном анализе является характеристика Коши сходимости последовательностей :

Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши.

Напротив, существуют последовательности Коши рациональных чисел , которые не сходятся в рациональных числах, например, последовательность, определяемая и является последовательностью Коши, но не имеет рационального предела (ср. Последовательность Коши § Непример: рациональные числа ). В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к иррациональному числу, является последовательностью Коши, но не сходится, если ее интерпретировать как последовательность в множестве рациональных чисел. ${\displaystyle x_{1}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$

Метрические пространства, удовлетворяющие характеристике Коши сходимости последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.

Бесконечные пределы

В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в том смысле, который обсуждался выше, но которые вместо этого становятся и остаются произвольно большими, или становятся и остаются произвольно отрицательными. Если становится произвольно большим как , мы пишем ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

В этом случае говорят, что последовательность расходится , или что она сходится к бесконечности . Примером такой последовательности является a _n = n .

Если становится произвольно отрицательным (т.е. отрицательным и большим по величине), то мы записываем ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

и сказать, что последовательность расходится или сходится к отрицательной бесконечности .

Ряд

Ряд , неформально говоря, является суммой членов последовательности. То есть это выражение вида или , где - последовательность действительных или комплексных чисел. Частичные суммы ряда - это выражения, полученные заменой символа бесконечности конечным числом, то есть N- я частичная сумма ряда - это число ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}$

Сами частичные суммы образуют последовательность , которая называется последовательностью частичных сумм ряда . Если последовательность частичных сумм сходится, то говорят, что ряд сходится , а предел называется значением ряда. Для обозначения ряда и его значения используются одни и те же обозначения, т.е. мы пишем . ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

Использование в других областях математики

Топология

Последовательности играют важную роль в топологии, особенно в изучении метрических пространств . Например:

• Метрическое пространство компактно в точности тогда, когда оно последовательно компактно .
• Функция из одного метрического пространства в другое метрическое пространство непрерывна ровно тогда, когда она переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности.
• Метрическое пространство является связным тогда и только тогда, когда при разбиении пространства на два множества одно из двух множеств содержит последовательность, сходящуюся к точке другого множества.
• Топологическое пространство отделимо именно тогда , когда существует плотная последовательность точек.

Последовательности могут быть обобщены до сетей или фильтров . Эти обобщения позволяют распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрик.

Топология продукта

Топологическое произведение последовательности топологических пространств — это декартово произведение этих пространств, снабженное естественной топологией, называемой топологией произведения .

Более формально, если задана последовательность пространств , то пространство произведений ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},}$

определяется как множество всех последовательностей таких, что для каждого i , является элементом . Канонические проекции — это отображения p _i  : X → X _{i ,} определяемые уравнением . Тогда топология произведения на X определяется как самая грубая топология (т. е. топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции p _i непрерывны . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова . ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}}$

Анализ

При обсуждении последовательностей в анализе обычно рассматриваются последовательности вида

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

то есть бесконечные последовательности элементов, индексированные натуральными числами .

Последовательность может начинаться с индекса, отличного от 1 или 0. Например, последовательность, определяемая как x _n = 1/ log ( n ), будет определена только для n ≥ 2. Когда речь идет о таких бесконечных последовательностях, обычно достаточно (и это не сильно меняет большинство соображений) предположить, что члены последовательности определены по крайней мере для всех достаточно больших индексов , то есть больших, чем некоторое заданное N .

Самый элементарный тип последовательностей — числовые, то есть последовательности действительных или комплексных чисел. Этот тип можно обобщить до последовательностей элементов некоторого векторного пространства . В анализе рассматриваемые векторные пространства часто являются функциональными пространствами . Еще более общо, можно изучать последовательности с элементами в некотором топологическом пространстве .

Последовательные пространства

Пространство последовательностей — это векторное пространство , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции из натурального ряда в поле K , где K — либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K , и может быть превращено в векторное пространство с помощью операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или , по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются пространства ℓ ^p , состоящие из последовательностей, суммируемых в p -степени, с p -нормой. Это особые случаи пространств L p для меры подсчета на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c ₀ , с sup нормой. Любое пространство последовательностей также может быть снабжено топологией поточечной сходимости , при которой оно становится особым видом пространства Фреше, называемым FK-пространством .

Линейная алгебра

Последовательности над полем также можно рассматривать как векторы в векторном пространстве . В частности, множество F -значных последовательностей (где F — поле) представляет собой функциональное пространство (фактически, пространство произведений ) F -значных функций над множеством натуральных чисел.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.

Свободный моноид

Если A — множество, то свободный моноид над A (обозначаемый A * , также называемый звездой Клини A ) — это моноид, содержащий все конечные последовательности (или строки) из нуля или более элементов A , ^с бинарной операцией конкатенации . Свободная полугруппа A + — это ^{подполугруппа} A * ^, содержащая все элементы, кроме пустой последовательности.

Точные последовательности

В контексте теории групп последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}}$

групп и групповых гомоморфизмов называется точным , если образ ( или область значений ) каждого гомоморфизма равен ядру следующего :

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть как конечной, так и бесконечной.

Аналогичное определение можно сделать и для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений , или модулей и модульных гомоморфизмов .

Спектральные последовательности

В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологии путем последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере  (1946) они стали важным инструментом исследования, особенно в теории гомотопии .

Теория множеств

Порядковая последовательность — это обобщение последовательности. Если α — предельный ординал , а X — множество, то α-индексированная последовательность элементов X — это функция от α до X. В этой терминологии ω-индексированная последовательность — это обычная последовательность.

Вычисления

В информатике конечные последовательности называются списками . Потенциально бесконечные последовательности называются потоками . Конечные последовательности символов или цифр называются строками .

Потоки

Бесконечные последовательности цифр (или символов ), взятые из конечного алфавита , представляют особый интерес в теоретической информатике . Их часто называют просто последовательностями или потоками , в отличие от конечных строк . Бесконечные двоичные последовательности, например, являются бесконечными последовательностями битов (символов, взятых из алфавита {0, 1}). Множество C = {0, 1} ^∞ всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют пространством Кантора .

Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (набор строк), устанавливая n-  й бит последовательности в 1 тогда и только тогда, когда n  -я строка (в порядке shortlex ) находится в языке. Это представление полезно в методе диагонализации для доказательств. ^[11]

Смотрите также

• Перечисление
• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей
• Рекуррентное соотношение
• Пространство последовательности

Операции

• продукт Коши

Примеры

• Дискретный сигнал времени
• последовательность Фэри
• Последовательность Фибоначчи
• Последовательность «Посмотри и скажи»
• Последовательность Туэ-Морса
• Список целочисленных последовательностей

Типы

• ±1-последовательность
• Арифметическая прогрессия
• Автоматическая последовательность
• Последовательность Коши
• Константно-рекурсивная последовательность
• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Голономная последовательность
• Регулярная последовательность
• Псевдослучайная бинарная последовательность
• Случайная последовательность

Связанные концепции

• Список (вычисления)
• Сеть (топология) (обобщение последовательностей)
• Порядково-индексированная последовательность
• Рекурсия (информатика)
• Множество (математика)
• Кортеж
• Перестановка

Примечания

1. Если неравенства заменить строгими неравенствами, то это неверно: существуют последовательности такие, что для всех , но . ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

Ссылки

1. "Sequences". www.mathsisfun.com . Архивировано из оригинала 2020-08-12 . Получено 2020-08-17 .
2. Weisstein, Eric W. "Sequence". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2020-07-25 . Получено 2020-08-17 .
3. Индекс OEIS Архивировано 2022-10-18 в Wayback Machine , Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей, 2020-12-03
4. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005132 (последовательность Рекамана)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation . Получено 26 января 2018 г. .
5. Гоган, Эдвард (2009). "1.1 Последовательности и конвергенция". Введение в анализ . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
6. Эдвард Б. Сафф и Артур Дэвид Снайдер (2003). "Глава 2.1". Основы комплексного анализа . Prentice Hall. ISBN 978-01-390-7874-3. Архивировано из оригинала 2023-03-23 ​​. Получено 2015-11-15 .
7. Джеймс Р. Манкрес (2000). "Главы 1 и 2". Топология . Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-01-318-1629-9. Архивировано из оригинала 2023-03-23 ​​. Получено 2015-11-15 .
8. Ландо, Сергей К. (2003-10-21). "7.4 Мультипликативные последовательности". Лекции по производящим функциям . AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
9. Фалькон, Серджио (2003). «Мультипликативная последовательность Фибоначчи». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 34 (2): 310–315. doi :10.1080/0020739031000158362. S2CID  121280842.
10. Dawikins, Paul. "Series and Sequences". Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) . Архивировано из оригинала 30 ноября 2012 г. . Получено 18 декабря 2012 г. .
11. Oflazer, Kemal. "FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY" (PDF) . cmu.edu . Carnegie-Mellon University. Архивировано (PDF) из оригинала 29 мая 2015 г. . Получено 24 апреля 2015 г. .

Внешние ссылки

• «Последовательность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей
• Журнал целочисленных последовательностей (бесплатно)