Герман Клаус Гуго Вейль , ForMemRS [1] ( нем. [vaɪl] ; 9 ноября 1885 г. — 8 декабря 1955 г.) был немецким математиком , физиком-теоретиком , логиком и философом . Хотя большую часть своей трудовой жизни он провел в Цюрихе , Швейцария , а затем в Принстоне , штат Нью-Джерси , он связан с традицией математики Геттингенского университета , представленной Карлом Фридрихом Гауссом , Давидом Гильбертом и Германом Минковским .
Его исследования имели большое значение для теоретической физики , а также для чисто математических дисциплин, таких как теория чисел . Он был одним из самых влиятельных математиков двадцатого века и важным членом Института перспективных исследований в его ранние годы. [4] [5]
Вейль внес вклад в исключительно [6] широкий спектр областей, включая работы по пространству , времени , материи , философии , логике , симметрии и истории математики . Он был одним из первых, кто задумал объединить общую теорию относительности с законами электромагнетизма . Фримен Дайсон писал, что только Вейль мог сравниться с «последними великими универсальными математиками девятнадцатого века», Пуанкаре и Гильбертом . [6] Майкл Атья , в частности, заметил, что всякий раз, когда он исследовал математическую тему, он обнаруживал, что Вейль опередил его. [7]
Герман Вайль родился в Эльмсхорне , небольшом городке недалеко от Гамбурга , в Германии , и посещал гимназию Христианеум в Альтоне . [8] Его отец, Людвиг Вайль, был банкиром; тогда как его мать, Анна Вайль (урожденная Дик), происходила из богатой семьи. [9]
С 1904 по 1908 год он изучал математику и физику в Гёттингене и Мюнхене . Его докторская степень была присуждена в Гёттингенском университете под руководством Давида Гильберта , которым он очень восхищался.
В сентябре 1913 года в Гёттингене Вейль женился на Фридерике Берте Элен Йозеф (30 марта 1893 [10] — 5 сентября 1948 [11] ), которая носила имя Элен (прозвище «Хелла»). Элен была дочерью доктора Бруно Йозефа (13 декабря 1861 — 10 июня 1934), врача, занимавшего должность Sanitätsrat в Рибниц-Дамгартене , Германия. Элен была философом (она была ученицей феноменолога Эдмунда Гуссерля ) и переводчиком испанской литературы на немецкий и английский языки (особенно трудов испанского философа Хосе Ортеги-и-Гассета ). [12] Именно благодаря тесной связи Элен с Гуссерлем Герман познакомился с его мыслями (и испытал на себе их сильное влияние). У Германа и Элен было двое сыновей, Фриц Иоахим Вайль (19 февраля 1915 г. — 20 июля 1977 г.) и Михаэль Вайль (15 сентября 1917 г. — 19 марта 2011 г.), [13] оба родились в Цюрихе, Швейцария. Элен умерла в Принстоне, штат Нью-Джерси, 5 сентября 1948 г. Панихида в ее честь состоялась в Принстоне 9 сентября 1948 г. На панихиде выступили ее сын Фриц Иоахим Вайль и математики Освальд Веблен и Рихард Курант . [14] В 1950 году Герман женился на скульпторе Эллен Бар (урожденной Лонштейн) (17 апреля 1902 – 14 июля 1988), [15] которая была вдовой профессора Рихарда Йозефа Бара (11 сентября 1892 – 15 декабря 1940) [16] из Цюриха.
Проработав несколько лет преподавателем, Вейль в 1913 году уехал из Гёттингена в Цюрих, чтобы занять кафедру математики [17] в ETH Zürich , где он был коллегой Альберта Эйнштейна , который разрабатывал детали общей теории относительности . Эйнштейн оказал длительное влияние на Вейля, который увлекся математической физикой. В 1921 году Вейль познакомился с Эрвином Шрёдингером , физиком-теоретиком, который в то время был профессором Цюрихского университета . Со временем они стали близкими друзьями. У Вейля был какой-то бездетный роман с женой Шрёдингера Аннемари (Энни) Шредингер (урожденной Бертель), в то время как Энни помогала воспитывать внебрачную дочь Эрвина по имени Рут Джорджи Эрика Марч, которая родилась в 1934 году в Оксфорде , Англия. [18] [19]
Вейль был пленарным докладчиком Международного конгресса математиков (ICM) в 1928 году в Болонье [20] и приглашенным докладчиком ICM в 1936 году в Осло . Он был избран членом Американского физического общества в 1928 году, [21] членом Американской академии искусств и наук в 1929 году, [22] членом Американского философского общества в 1935 году, [23] и членом Национальной академии наук в 1940 году. [24] В течение учебного года 1928–1929 он был приглашенным профессором в Принстонском университете , [25] где он написал статью «О проблеме в теории групп, возникающей в основаниях бесконечно малой геометрии», совместно с Говардом П. Робертсоном . [26]
В 1930 году Вайль покинул Цюрих, чтобы стать преемником Гильберта в Геттингене, и уехал, когда нацисты пришли к власти в 1933 году, особенно потому, что его жена была еврейкой. Ему предложили одну из первых должностей преподавателя в новом Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси , но он отказался, потому что не хотел покидать родину. Поскольку политическая ситуация в Германии ухудшалась, он передумал и принял предложение, когда ему снова предложили эту должность. Он оставался там до выхода на пенсию в 1951 году. Вместе со своей второй женой Эллен он проводил время в Принстоне и Цюрихе и умер от сердечного приступа 8 декабря 1955 года, живя в Цюрихе.
Вейль был кремирован в Цюрихе 12 декабря 1955 года. [27] Его прах оставался в частных руках [ ненадежный источник? ] до 1999 года, после чего был захоронен в открытом хранилище колумбария на Принстонском кладбище . [28] Останки сына Германа Михаэля Вейля (1917–2011) захоронены рядом с прахом Германа в том же хранилище колумбария.
Вейль был пантеистом . [29]
В 1911 году Вейль опубликовал работу Über die asymptoticische Verteilung der Eigenwerte ( Об асимптотическом распределении собственных значений ) , в которой доказал, что собственные значения лапласиана в компактной области распределены в соответствии с так называемым законом Вейля . В 1912 году он предложил новое доказательство, основанное на вариационных принципах. Вейль возвращался к этой теме несколько раз, рассматривал систему упругости и сформулировал гипотезу Вейля . Эти работы положили начало важной области — асимптотическому распределению собственных значений — современного анализа.
В 1913 году Вейль опубликовал работу «Die Idee der Riemannschen Fläche» ( «Концепция римановой поверхности »), в которой была дана единая трактовка римановых поверхностей . В ней Вейль использовал топологию точечных множеств , чтобы сделать теорию римановых поверхностей более строгой, модель, которой он следовал в более поздних работах по многообразиям . Для этой цели он использовал ранние работы Л. Э. Брауэра по топологии.
Вейль, как крупная фигура в Геттингенской школе, был полностью осведомлен о работе Эйнштейна с самых ранних дней. Он отслеживал развитие физики относительности в своей работе Raum, Zeit, Materie ( Пространство, время, материя ) с 1918 года, достигнув 4-го издания в 1922 году. В 1918 году он ввел понятие калибровки и дал первый пример того, что сейчас известно как калибровочная теория . Калибровочная теория Вейля была неудачной попыткой смоделировать электромагнитное поле и гравитационное поле как геометрические свойства пространства-времени . Тензор Вейля в римановой геометрии имеет большое значение для понимания природы конформной геометрии .
Его общий подход в физике основывался на феноменологической философии Эдмунда Гуссерля , в частности на работе Гуссерля 1913 года «Идеи чистой феноменологии и феноменологическая философия». Первая книга: Общее введение. Гуссерль резко отреагировал на критику Готлобом Фреге его первой работы по философии арифметики и исследовал смысл математических и других структур, которые Фреге отличал от эмпирической ссылки. [ необходима цитата ]
С 1923 по 1938 год Вейль развивал теорию компактных групп в терминах матричных представлений . В случае компактной группы Ли он доказал фундаментальную формулу характера .
Эти результаты являются основополагающими в понимании структуры симметрии квантовой механики , которую он положил на теоретико-групповую основу. Это включало спиноры . Вместе с математической формулировкой квантовой механики , в значительной степени благодаря Джону фон Нейману , это дало трактовку, известную примерно с 1930 года. Некомпактные группы и их представления, в частности группа Гейзенберга , также были упрощены в этом конкретном контексте в его квантовании Вейля 1927 года , лучшем сохранившемся мосте между классической и квантовой физикой на сегодняшний день. С этого времени, и, безусловно, во многом благодаря изложениям Вейля, группы Ли и алгебры Ли стали основной частью как чистой математики , так и теоретической физики .
Его книга «Классические группы» переосмыслила теорию инвариантов . Она охватывала симметрические группы , общие линейные группы , ортогональные группы и симплектические группы , а также результаты по их инвариантам и представлениям .
Вейль также показал, как использовать показательные суммы в диофантовом приближении , с его критерием равномерного распределения mod 1 , что было фундаментальным шагом в аналитической теории чисел . Эта работа применялась к дзета-функции Римана , а также к аддитивной теории чисел . Она была развита многими другими.
В «Континууме» Вейль разработал логику предикативного анализа , используя нижние уровни разветвленной теории типов Бертрана Рассела . Он смог разработать большую часть классического исчисления , не используя при этом ни аксиому выбора , ни доказательство от противного и избегая бесконечных множеств Георга Кантора . Вейль апеллировал [ требуется разъяснение ] в этот период к радикальному конструктивизму немецкого романтика, субъективного идеалиста Фихте .
Вскоре после публикации «Континуума» Вейль ненадолго изменил свою позицию полностью в сторону интуиционизма Брауэра. В «Континууме» конструируемые точки существуют как дискретные сущности. Вейль хотел континуум , который не был бы совокупностью точек. Он написал спорную статью, провозгласив, для себя и Л.Э. Дж. Брауэра, «революцию». [30] Эта статья оказала гораздо большее влияние на распространение интуиционистских взглядов, чем оригинальные работы самого Брауэра.
Джордж Пойя и Вейль во время встречи математиков в Цюрихе (9 февраля 1918 г.) заключили пари относительно будущего направления математики. Вейль предсказал, что в последующие 20 лет математики придут к пониманию полной неопределенности таких понятий, как действительные числа , множества и счетность , и, более того, что вопрос об истинности или ложности свойства наименьшей верхней границы действительных чисел столь же значим, как и вопрос об истинности основных утверждений Гегеля о философии природы. [31] Любой ответ на такой вопрос был бы непроверяемым, не связанным с опытом и, следовательно, бессмысленным.
Однако через несколько лет Вейль решил, что интуиционизм Брауэра накладывает слишком большие ограничения на математику, как всегда говорили критики. Статья «Кризис» обеспокоила формалистического учителя Вейля Гильберта, но позднее, в 1920-х годах, Вейль частично примирил свою позицию с позицией Гильберта.
Примерно после 1928 года Вейль, по-видимому, решил, что математический интуиционизм несовместим с его энтузиазмом по поводу феноменологической философии Гуссерля , как он, по-видимому, думал ранее. В последние десятилетия своей жизни Вейль подчеркивал математику как «символическое построение» и перешел на позицию, более близкую не только к Гильберту, но и к позиции Эрнста Кассирера . Однако Вейль редко ссылается на Кассирера и писал только краткие статьи и отрывки, артикулирующие эту позицию.
К 1949 году Вейль окончательно разочаровался в высшей ценности интуиционизма и писал: «Математика у Брауэра обретает высочайшую интуитивную ясность. Ему удается естественным образом развивать начала анализа, все время сохраняя связь с интуицией гораздо более тесную, чем это делалось раньше. Однако нельзя отрицать, что при продвижении к более высоким и общим теориям неприменимость простых законов классической логики в конечном итоге приводит к почти невыносимой неловкости. И математик с болью наблюдает, как большая часть его возвышающегося здания, которое он считал построенным из бетонных блоков, растворяется в тумане у него на глазах». Как выразился Джон Л. Белл: «Мне кажется очень жаль, что Вейль не дожил до появления в 1970-х годах гладкого бесконечно малого анализа, математической структуры, в рамках которой реализуется его видение истинного континуума, а не «синтезированного» из дискретных элементов. Хотя базовая логика гладкого бесконечно малого анализа является интуиционистской — закон исключенного третьего, как правило, не утверждается — математика, развиваемая в его рамках, избегает «невыносимой неловкости», о которой Вейль говорит выше».
В 1929 году Вейль предложил уравнение, известное как уравнение Вейля , для использования в качестве замены уравнению Дирака . Это уравнение описывает безмассовые фермионы . Обычный фермион Дирака может быть разделен на два фермиона Вейля или образован из двух фермионов Вейля. Нейтрино когда-то считались фермионами Вейля, но теперь известно, что они имеют массу. Фермионы Вейля востребованы для электронных приложений. Квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, были обнаружены в 2015 году в форме кристаллов, известных как полуметаллы Вейля , тип топологического материала. [32] [33] [34]
Вейль интересовался философией с юности, когда он прочитал «Критику чистого разума» Иммануила Канта с пространством и временем как априорными концепциями знания (даже если позже ему не нравилась слишком тесная связь Канта с евклидовой геометрией). С 1912 года на него сильное влияние оказал Эдмунд Гуссерль и его феноменология, что также нашло отражение в некоторых отрывках его книги «Пространство, время, материя». В 1927 году его вклад «Философия математики и естественных наук» в «Справочник по философии» был опубликован издательством Oldenbourg Verlag, который позже был издан отдельно и переработан как книга. В попытке реконструировать истоки философии Германа Вейля и интегрировать их в основные течения философии Норман Сирока [35] [36] [37] указал на интенсивные, длительные дискуссии между Вейлем и его коллегой-философом из Цюриха Фрицем Медикусом, специалистом по Иоганну Готлибу Фихте. Наукоучение и философия Фихте, согласно которым «бытие» возникает в результате взаимодействия «абсолютного Я» с его материальной окрестностью (Umgebung), также оказали большое влияние на Вейля и нашли отражение в использовании Вейлем понятия топологии соседства (континуума) и в концепции Вейля общей теории относительности, наряду с влиянием феноменологии Эдмунда Гуссерля, известной непосредственно из трудов Вейля. По словам Сироки, Вейль также находит влияние теории материи Готфрида Вильгельма Лейбница (теория монад и т. д.) и немецкого идеализма (диалектика Фихте) в философской интерпретации Вейлем физического понятия материи в контексте квантовой теории и общей теории относительности, а также в философии математики Вейля (спор между формализмом и интуиционизмом под влиянием Брауэра) относительно взаимодействия символа с его окружением. Он понимает внутриматематический спор об интуиционизме и формализме в русле спора между феноменологией Гуссерля и конструктивизмом Фихте. В 1920-х годах, до развития квантовой механики и вдохновленный статистической природой квантовой теории, которая становилась все более очевидной в то время, Вейль отошел от полевого теоретико-описанного описания материи в сторону теории активной (agens) материи, что было достигнуто путем включения пространственной среды в выраженное полевое теоретико-описание. Ранее он описал общую теорию относительности и свои собственные ее расширения, которые привели к возникновению сегодняшней концепции калибровочных теорий поля, используя дифференциально-геометрические методы. Под влиянием квантовой теории он отошел от этой «геометрической теории поля». По словам Сироки,Фихте и Эрнст Кассирер также оказали большое влияние на позднюю философию Вейля (наука как «символическая конструкция»). Участие Вейля вМартин Хайдеггер был менее известен. Хотя Вейль не соглашался с мнением Хайдеггера о смерти, его концепция соседства (Umgebung) находилась под влиянием экзистенциализма Хайдеггера.
Он один мог выдержать сравнение с последними великими универсальными математиками девятнадцатого века, Гильбертом и Пуанкаре. ... Теперь он умер, контакт прерван, и наши надежды на постижение физической вселенной путем прямого использования творческого математического воображения на время закончились.
Используя меткую фразу его сына Михаэля, «Открытый мир» (1932) содержит «диалоги Германа с Богом», поскольку здесь математик сталкивается со своими конечными интересами. Они не попадают в традиционные религиозные традиции, но гораздо ближе по духу к рациональному анализу Спинозы того, что он называл «Богом или природой», столь важному и для Эйнштейна. ...В конце концов, Вейль приходит к выводу, что этот Бог «не может и не будет постигнут» человеческим разумом, хотя «разум есть свобода в пределах ограничений существования; он открыт к бесконечности». Тем не менее, «ни Бог не может проникнуть в человека посредством откровения, ни человек не может проникнуть в него посредством мистического восприятия».
