Дэвид Гильберт ( / ˈ h ɪ l b ər t / ; [3] немецкий: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик и один из самых влиятельных математиков 19 и начала 20 веков. Гильберт открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей, включая теорию инвариантов , вариационное исчисление , коммутативную алгебру , теорию алгебраических чисел , основы геометрии , спектральную теорию операторов и ее применение к интегральным уравнениям , математическую физику и основы математики. (особенно теория доказательств ).
Гильберт принял и защитил теорию множеств Георга Кантора и трансфинитные числа . В 1900 году он представил сборник задач , задавших курс математическим исследованиям XX века. [4] [5]
Гильберт и его ученики внесли свой вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Гильберт был одним из основателей теории доказательств и математической логики . [6]
Гильберт, первый из двух детей и единственный сын Отто и Марии Терезы (Эрдтманн) Гильберт, родился в провинции Пруссия , Королевство Пруссия , либо в Кенигсберге (по собственному заявлению Гильберта), либо в Велау (известном с 1946 года как Знаменск ) под Кенигсбергом, где на момент его рождения работал его отец. [7]
В конце 1872 года Гильберт поступил в гимназию Фридрихсколлег ( Collegium fridericianum , ту же школу, которую 140 лет назад посещал Иммануил Кант ); но после неудачного периода он перешел (конец 1879 г.) и окончил (начало 1880 г.) более наукоориентированную гимназию Вильгельма. [8] По окончании учебы, осенью 1880 года, Гильберт поступил в Кенигсбергский университет «Альбертина». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта и тоже уроженец Кенигсберга, но уехавший на три семестра в Берлин) [9] вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на всю жизнь подружился с застенчивым и одаренным Минковским. [10] [11]
В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Геттингена в качестве экстраординара (т. е. доцента). Между этими троими начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и Минковский и Гильберт особенно оказывали взаимное влияние друг на друга в разные периоды своей научной карьеры. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, защитив диссертацию, написанную под руководством Фердинанда фон Линдеманна , [2] под названием Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen («Об инвариантных свойствах специальных бинарных форм , в частности сферических гармонических функций» ). .
Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента ( старшего преподавателя ) с 1886 по 1895 год. В 1895 году, в результате вмешательства от его имени Феликса Клейна , он получил должность профессора математики в Гёттингенском университете . В годы правления Кляйна и Гильберта Геттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. [12] Он оставался там до конца своей жизни.
Среди учеников Гильберта были Герман Вейль , чемпион по шахматам Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Карл Густав Гемпель . Джон фон Нейман был его помощником. В Геттингенском университете Гильберт был окружен кругом общения некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонсо Чёрч .
Среди его 69 докторов философии. В Геттингене было много студентов, которые позже стали известными математиками, в том числе (с датой диссертации): Отто Блюменталь (1898 г.), Феликс Бернштейн (1901 г.), Герман Вейль (1908 г.), Рихард Курант (1910 г.), Эрих Хекке (1910 г.), Гюго Штайнхаус (1911 г.) и Вильгельм Аккерманн (1925 г.). [13] Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени. В 1907 году он был избран международным членом Национальной академии наук США .
В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского купца, «откровенной молодой женщине с независимостью ума, соответствующей [Гильберту]». [15] В Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт (1893–1969). Франц всю свою жизнь страдал психическим заболеванием, и после того, как его поместили в психиатрическую клинику, Гильберт сказал: «Отныне я должен считать, что у меня нет сына». Его отношение к Францу сильно огорчило Кете. [16]
Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и вернейшим другом». [17]
Гильберт был крещен и воспитан кальвинистом в Прусской евангелической церкви . [а] Позже он покинул Церковь и стал агностиком . [б] Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. [c] [d] Когда Галилео Галилей подвергся критике за неспособность отстоять свои убеждения в отношении гелиоцентрической теории , Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог поверить, что научная истина требует мученичества; необходимы в религии, но научные результаты окажутся в свое время». [э]
Как и Альберт Эйнштейн , Гильберт имел самые тесные контакты с Берлинской группой , ведущие основатели которой учились у Гильберта в Гёттингене ( Курт Греллинг , Ганс Райхенбах и Вальтер Дубислав ). [18]
Примерно в 1925 году у Гильберта развилась злокачественная анемия — неизлечимый на тот момент дефицит витаминов, основным симптомом которого является истощение; его помощник Юджин Вигнер описал его как человека, подверженного «огромной усталости», и что он «выглядел довольно старым», и что даже после того, как в конце концов ему поставили диагноз и вылечили, он «едва ли был ученым после 1925 года и уж тем более не Гильбертом». [19]
Гильберт был избран членом Американского философского общества в 1932 году .
Гильберт дожил до того, чтобы увидеть, как нацисты чистили многих видных преподавателей Геттингенского университета в 1933 году. [21] Среди изгнанных были Герман Вейль (который занял кресло Гильберта, когда он вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау . Пауль Бернейс , которому пришлось покинуть Германию , сотрудничал с Гильбертом в области математической логики и был соавтором важной книги [22] Grundlagen der Mathematik (которая в конечном итоге вышла в двух томах, в 1934 и 1939 годах). Это было продолжение книги Гильберта- Акермана «Принципы математической логики» 1928 года. Преемником Германа Вейля был Гельмут Хассе .
Примерно через год Гильберт присутствовал на банкете и сел рядом с новым министром образования Бернхардом Рустом . Руст задавался вопросом, «действительно ли Математический институт так сильно пострадал из-за выезда евреев». Гильберт ответил: «Пострадал? Его больше не существует, не так ли?» [23] [24]
К моменту смерти Гильберта в 1943 году нацисты почти полностью восстановили штат сотрудников университета, поскольку многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женатыми на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, только двое из которых были коллегами-учеными, в том числе Арнольд Зоммерфельд , физик-теоретик, также уроженец Кенигсберга. [25] Новость о его смерти стала известна миру только через несколько месяцев после его смерти. [26]
Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в конце своего обращения на пенсию к Обществу немецких ученых и врачей 8 сентября 1930 года. Эти слова были даны в ответ на латинскую максиму: « Ignoramus et ignorabimus » . или «Мы не знаем и не узнаем»: [27]
За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей 1930 года, Курт Гёдель — в ходе дискуссии за круглым столом во время Конференции по эпистемологии, проводившейся совместно с заседаниями Общества, — предварительно объявил о первом выражении своей теоремы о неполноте. . [f] Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано, либо внутренне противоречивы, либо содержат логические утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть в рамках этой системы.
Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году его знаменитой теоремы о конечности . Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности генераторов для бинарных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными не увенчались успехом из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что стало известно в некоторых кругах как проблема Гордана , Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта , показывающую существование конечного набора образующих, для инвариантов квантик от любого числа переменных, но в абстрактной форме. То есть, доказывая существование такого множества, оно не было конструктивным доказательством — оно не отображало «объект», — а, скорее, было доказательством существования [28] и опиралось на использование закона исключенного третьего в бесконечное расширение.
Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen . Гордан, эксперт по теории инвариантов в Mathematische Annalen , не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отверг статью, раскритиковав ее изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:
Кляйн , напротив, признавал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Воодушевленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора образующих, и еще раз отправил его в «Аннален » . Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:
Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, когда-либо опубликованная в «Анналене» . [30]
Позже, после того как полезность метода Гильберта была общепризнана, сам Гордан скажет:
Я убедил себя, что даже теология имеет свои достоинства. [31]
Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог себе представить. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил на аналогичную критику других, что «многие различные конструкции сводятся к одной фундаментальной идее» — другими словами (цитируя Рида): «Благодаря доказательству существования Гильберт смог получить строительство"; «Доказательство» (то есть символы на странице) было «объектом». [31] Не все были убеждены. Хотя Кронекер вскоре умер, его конструктивистская философия продолжилась вместе с молодым Брауэром и его развивающейся интуиционистской «школой», к большому мучению Гильберта в последние годы его жизни. [32] Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма - «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере». [33] Брауэр, интуиционист, в частности, выступал против использования закона исключенного третьего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:
Отобрать у математика принцип исключенного третьего... это то же самое, что... запретить боксёру пользоваться кулаками. [34]
Текст Grundlagen der Geometrie (тр.: Основы геометрии ), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида . Они избегают недостатков, выявленных у Евклида , чьи работы в то время все еще использовались как учебники. Трудно указать аксиомы, используемые Гильбертом, не обращаясь к истории публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторскими правами в 1902 году. [35] [36] Этот перевод включал изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий вышло на немецком языке. 7-е издание было последним, вышедшим при жизни Гильберта. За 7-м последовали новые издания, но основной текст по существу не перерабатывался. [г]
Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу . В этом Гильберта предвосхитила работа Морица Паша 1882 года. Аксиомы не принимаются как самоочевидные истины. Геометрия может рассматривать вещи , о которых у нас есть мощная интуиция, но нет необходимости придавать какое-либо явное значение неопределенным понятиям. Такие элементы, как точка , линия , плоскость и другие, можно было бы заменить, как сообщается, Гильберт Шенфлису и Кеттеру , столами, стульями, стаканами с пивом и другими подобными предметами. [37] Обсуждаются их определенные взаимоотношения.
Гильберт сначала перечисляет неопределенные понятия: точка, линия, плоскость, лежащее на (отношение между точками и прямыми, точками и плоскостями, а также линиями и плоскостями), междумежность, конгруэнтность пар точек ( отрезков прямой ) и конгруэнтность углов . Аксиомы объединяют в единую систему как плоскую геометрию , так и объемную геометрию Евклида.
Гильберт представил весьма влиятельный список, состоящий из 23 нерешенных задач, на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Обычно его считают наиболее успешным и глубоко продуманным сборником открытых задач, когда-либо созданным отдельным математиком. [ кем? ]
Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог бы экстраполировать их на остальную часть математики. Однако его подход отличался от более позднего «основателя» Рассела-Уайтхеда или «энциклопедиста» Николаса Бурбаки и от его современника Джузеппе Пеано . Математическое сообщество в целом могло заниматься проблемами, которые он считал важнейшими аспектами важных областей математики.
Постановка задач была представлена в виде доклада «Проблемы математики», представленного в ходе Второго Международного конгресса математиков, проходившего в Париже. Во введении к речи, которую произнес Гильберт, говорилось:
Кто из нас не был бы рад приоткрыть завесу, за которой скрыто будущее; взирать на грядущее развитие нашей науки и на тайны ее развития в грядущие века? К каким целям будет стремиться дух будущих поколений математиков? Какие методы, какие новые факты откроет новый век на обширном и богатом поле математической мысли? [38]
Он представил на съезде менее половины задач, которые были опубликованы в актах съезда. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ставших теперь каноническими 23 проблем Гильберта. См. также двадцать четвертую проблему Гильберта . Полный текст важен, поскольку толкование вопросов по-прежнему может стать предметом неизбежных дебатов, когда бы ни спросили, сколько из них было решено.
Некоторые из них были решены в течение короткого времени. Другие обсуждались на протяжении всего 20-го века, а некоторые из них теперь считаются слишком открытыми, чтобы их можно было завершить. Некоторые из них продолжают оставаться проблемой.
Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта в том виде, в каком они были опубликованы в переводе 1902 года в Бюллетене Американского математического общества .
В описании, которое к середине века стало стандартным, набор задач Гильберта также был своего рода манифестом, открывшим путь для развития формалистической школы , одной из трех основных школ математики 20-го века. Согласно формалистам, математика — это манипуляция символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли. Однако есть основания сомневаться в том, что взгляды Гильберта были в этом смысле упрощенно-формалистскими.
В 1920 году Гильберт предложил исследовательский проект в области метаматематики , который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика была сформулирована на прочной и полной логической основе. Он считал, что в принципе это можно сделать, показав, что:
Похоже, у него были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Это подтвердило его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus , что все еще было активной проблемой в немецкую мысль в его время и восходило в этой формулировке к Эмилю дю Буа-Реймону .
Эта программа до сих пор узнаваема в самой популярной философии математики , где ее обычно называют формализмом . Например, группа Бурбаки приняла его смягченную и выборочную версию как адекватную требованиям их двойных проектов: (а) написания фундаментальных энциклопедических работ и (б) поддержки аксиоматического метода как инструмента исследования. Этот подход оказался успешным и влиятельным в отношении работ Гильберта в области алгебры и функционального анализа, но не смог таким же образом отразиться на его интересах в физике и логике.
Гильберт писал в 1919 году:
Мы не говорим здесь о произволе ни в каком смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и ни в коем случае не иначе. [39]
Гильберт опубликовал свои взгляды на основы математики в двухтомном труде Grundlagen der Mathematik .
Гильберт и математики, работавшие с ним на его предприятии, были преданы этому проекту. Его попытка подкрепить аксиоматизированную математику четкими принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.
Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать хотя бы арифметику, не может продемонстрировать свою полноту посредством собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что заявленный великий план Гильберта был невозможен. Второй пункт не может каким-либо разумным образом сочетаться с первым пунктом, пока система аксиом действительно финитна .
Тем не менее, последующие достижения теории доказательств, по крайней мере, прояснили последовательность в отношении теорий, представляющих центральный интерес для математиков. Работа Гильберта положила начало логике этого пути разъяснения; Необходимость понять работу Гёделя привела затем к развитию теории рекурсии , а затем и математической логики как самостоятельной дисциплины в 1930-х годах. Основа более поздней теоретической информатики в работах Алонсо Чёрча и Алана Тьюринга также выросла непосредственно из этих «дебатов». [40]
Около 1909 года Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства , позже названного гильбертовым пространством . Его работа в этой части анализа заложила основу для важного вклада в математику и физику в следующие два десятилетия, хотя и в неожиданном направлении. Позже Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховые пространства . Гильбертовые пространства — важный класс объектов в области функционального анализа , особенно спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которая выросла вокруг него в 20 веке.
До 1912 года Гильберт был почти исключительно чистым математиком . Планируя визит из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней на карантине, прежде чем он сможет навестить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство физических исследований Гильберта до 1912 года, включая их совместный семинар по этой теме в 1905 году.
В 1912 году, через три года после смерти своего друга, Гильберт сосредоточил свое внимание почти исключительно на этой теме. Он нанял себе «репетитора по физике». [41] Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к элементарной теории излучения и молекулярной теории материи. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал проводить семинары и занятия, на которых внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других.
К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации , но затем почти 8 лет боролся за то, чтобы привести теорию в ее окончательную форму . [42] К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности , и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочитать неделю лекций по этому предмету. [43] Эйнштейна встретили с энтузиазмом в Гёттингене. [44] Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работает над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стали « Уравнения поля гравитации» (см. Уравнения поля Эйнштейна ). [h] Почти одновременно Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью признал Эйнштейна создателем теории, и в течение их жизни между этими двумя людьми никогда не возникало никаких публичных споров о приоритетах относительно уравнений поля. [i] Больше смотрите в приоритете .
Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и способствовала нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики . Его работа была ключевым аспектом работы Германа Вейля и Джона фон Неймана по математической эквивалентности матричной механики Вернера Гейзенберга и волнового уравнения Эрвина Шрёдингера , а его тезка Гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы как теории волновых функций Шредингера, так и матрицам Гейзенберга. [Дж]
На протяжении всего погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы сделать математическую физику более строгой. Несмотря на то, что физики сильно зависели от высшей математики, они, как правило, относились к ней «небрежно». Для такого чистого математика, как Гильберт, это было одновременно уродливо и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики использовали математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил – особенно в области интегральных уравнений . Когда его коллега Рихард Курант написал ставшую классической книгу « Methoden der mathematischen Physik» ( «Методы математической физики »), включающую некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта в качестве автора, хотя Гильберт не принимал непосредственного участия в написании. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», подразумевая, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.
Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов. [45] Тогда у него было немного больше публикаций по этому вопросу; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем привязывается к основной области.
Он сделал ряд гипотез по теории полей классов . Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад сохранился в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории полей локальных классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги . [к]
Гильберт не работал в центральных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта-Пойа по причинам, которые являются анекдотическими.
Собрание его сочинений ( Gesammelte Abhandlungen ) издавалось несколько раз. Оригинальные версии его статей содержали «много технических ошибок разной степени»; В [46] при первой публикации сборника ошибки были исправлены и выяснилось, что это можно сделать без серьезных изменений в формулировках теорем, за одним исключением — заявленным доказательством гипотезы континуума . [47] [48] Тем не менее ошибки были настолько многочисленными и значительными, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы внести исправления. [48]
В своем обращении в Гамбурге в 1927 году Гильберт заявил: «Математика — это наука без предпосылок (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)» и «чтобы ее основать, мне не нужен добрый Бог ([z]u ihrer Begründung brauche ich weder denlieben Gott )» (1928, с. 85; ван Хейеноорт, 1967, с. 479). Однако от «Математических проблем» (1900) до «Природы и логики» (1930) он связал свою квазирелигиозную веру в человеческий дух и силу чистой мысли с ее любимым детищем – математикой. Он был глубоко убежден, что каждая математическая задача может быть решена чистым разумом: как в математике, так и в любой части естествознания (посредством математики) не было «негнорабимов» (Гильберт, 1900, С. 262; 1930, С. 963; Эвальд , 1996, стр. 1102, 1165). Вот почему поиск внутреннего абсолютного обоснования математики стал делом всей жизни Гильберта. Он никогда не отказывался от этой позиции, и символично, что на его надгробии были выгравированы его слова «wir müssen wissen, wir werden wissen» («мы должны знать, мы узнаем») из его выступления в Кенигсберге 1930 года. Здесь мы встречаем призрак ушедшей теологии (модифицируя слова Джорджа Беркли), поскольку абсолютизировать человеческое познание означает молчаливо отождествлять его с божественным. - Шапошников, Владислав (2016). «Богословские основы современной философии математики. Часть II: Поиски автономных оснований». Исследования по логике, грамматике и риторике . 44 (1): 147–168. дои : 10.1515/slgr-2016-0009 .К этому времени [около 1902 года] Гильберты покинули реформатскую протестантскую церковь, в которой они крестились и поженились. В Геттингене рассказали, что, когда [сын Давида Гильберта] Франц пошел в школу, он не мог ответить на вопрос: «Какой ты религии?» (1970, стр. 91)
Как известно, Гильберт отверг идею Бога Леопольда Кронекера для решения проблемы оснований математики.
Возможно, гости будут обсуждать суд над Галилеем, и кто-то обвинит Галилея в том, что он не смог отстоять свои убеждения. «Но он не был идиотом», — возражал Гильберт. «Только идиот мог поверить, что научная истина нуждается в мученичестве; оно может быть необходимо в религии, но научные результаты доказывают себя в свое время».
Вероятно, это самая важная книга по основам математики, вышедшая после «Начал математики» Уайтхеда и Рассела.
{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в качестве заголовка ( ссылка ) CS1 maint: бот: статус исходного URL неизвестен ( ссылка ), заархивировано с сайта [www.seas.harvard.edu/courses/cs121/handouts/Hilbert.pdf]перевод из 10-го немецкого издания
Доступный набор лекций, изначально предназначенный для жителей Геттингена.
