Тригонометрия

Область геометрии, об углах и длинах

Тригонометрия (от древнегреческого τρίγωνον ( trígōnon )  «треугольник» и μέτρον ( métron )  «мера») ^[1] — раздел математики , изучающий взаимосвязи между углами и длинами сторон треугольников. В частности, тригонометрические функции связывают углы прямоугольного треугольника с отношениями длин его сторон. Эта область возникла в эллинистическом мире в III веке до нашей эры из приложений геометрии к астрономическим исследованиям . ^[2] Греки сосредоточились на вычислении хорд , а математики в Индии создали самые ранние известные таблицы значений тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями ), таких как синус . ^[3]

На протяжении всей истории тригонометрия применялась в таких областях, как геодезия , геодезия , небесная механика и навигация . ^[4]

Тригонометрия известна своими многочисленными идентичностями . Эти тригонометрические тождества ^[5] обычно используются для переписывания тригонометрических выражений с целью упростить выражение, найти более полезную форму выражения или решить уравнение . ^[6]

История

Гиппарх , которому приписывают составление первой тригонометрической таблицы , был описан как «отец тригонометрии». ^[7]

Шумерские астрономы изучали меру углов, используя деление кругов на 360 градусов. ^[8] Они, а позже и вавилоняне , изучали отношения сторон подобных треугольников и обнаружили некоторые свойства этих отношений, но не превратили это в систематический метод нахождения сторон и углов треугольников. Древние нубийцы использовали аналогичный метод. ^[9]

В III веке до нашей эры математики-эллинисты , такие как Евклид и Архимед , изучали свойства хорд и вписанных углов в окружности и доказали теоремы, эквивалентные современным тригонометрическим формулам, хотя они представили их геометрически, а не алгебраически. В 140 году до нашей эры Гиппарх (из Никеи , Малая Азия) дал первые таблицы хорд, аналогичные современным таблицам значений синуса , и использовал их для решения задач по тригонометрии и сферической тригонометрии . ^[10] Во 2 веке нашей эры греко-египетский астроном Птолемей (из Александрии, Египет) построил подробные тригонометрические таблицы ( таблицу аккордов Птолемея ) в книге 1, главе 11 своего «Альмагеста ». ^[11] Птолемей использовал длину хорды для определения своих тригонометрических функций, что является незначительным отличием от синусоидального соглашения, которое мы используем сегодня. ^[12] (Значение, которое мы называем sin(θ), можно найти, найдя длину хорды для удвоенного угла интереса (2θ) в таблице Птолемея, а затем разделив это значение на два.) Прошли столетия, прежде чем были созданы более подробные таблицы. Трактат Птолемея использовался для выполнения тригонометрических вычислений в астрономии в течение следующих 1200 лет в средневековом византийском , исламском , а затем и в западноевропейском мире.

Современное определение синуса впервые засвидетельствовано в « Сурья Сиддханта» , а его свойства были дополнительно задокументированы в V веке (н. э.) индийским математиком и астрономом Арьябхатой . ^[13] Эти греческие и индийские работы были переведены и расширены средневековыми исламскими математиками . В 830 году нашей эры персидский математик Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. ^{[14] [15]} К 10 веку нашей эры в работах персидского математика Абу аль-Вафа аль-Бузджани использовались все шесть тригонометрических функций . ^[16] Абу аль-Вафа имел таблицы синусов с шагом 0,25 °, до 8 десятичных знаков точности, а также точные таблицы значений тангенсов. ^[16] Он также сделал важные инновации в сферической тригонометрии ^{[17] [18]} [ ^19] Персидский эрудит Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. ^{[20] [21] [22]} Он был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и разработал сферическую тригонометрию в ее нынешнюю форму. ^[15] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей книге «О фигуре сектора» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон тангенсов для сферических треугольников и предоставил доказательства обоих этих законов. ^[23] Знания о тригонометрических функциях и методах достигли Западной Европы через латинские переводы греческого Альмагеста Птолемея , а также работ персидских и арабских астрономов, таких как Аль-Баттани и Насир ад-Дин аль-Туси . ^[24] Одной из самых ранних работ по тригонометрии североевропейского математика является De Triangulis немецкого математика 15-го века Региомонтануса , которого вдохновил написать и предоставил копию Альмагеста византийский греческий ученый кардинал Базилиос Бессарион с с которым он прожил несколько лет. ^[25] В это же время другой перевод Альмагеста с греческого на латынь был завершен критским Георгием Трапезундским . ^[26] Тригонометрия была еще настолько мало известна в Северной Европе XVI века, что Николай Коперник посвятил две главы «De Revolutionibus Orbium Coelestium» объяснению ее основных концепций.

В связи с потребностями навигации и растущей потребностью в точных картах больших географических территорий тригонометрия превратилась в важную отрасль математики. ^[27] Бартоломеус Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. ^[28] Джемма Фризиус впервые описала метод триангуляции , который до сих пор используется в геодезии. Именно Леонард Эйлер полностью включил комплексные числа в тригонометрию. Работы шотландских математиков Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклорена в 18 веке оказали влияние на развитие тригонометрических рядов . ^[29] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора . ^[30]

Тригонометрические соотношения

В этом прямоугольном треугольнике: sin A = a / h ; потому что А знак равно б / ч ; загар А знак равно а / б .

Тригонометрические отношения – это отношения сторон прямоугольного треугольника. Эти отношения зависят только от одного острого угла прямоугольного треугольника, так как любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны . ^[31]

Итак, эти отношения определяют функции этого угла, называемые тригонометрическими функциями . В явном виде они определены ниже как функции известного угла A , где a , b и h относятся к длинам сторон на прилагаемом рисунке:

• Синус (обозначается sin), определяемый как отношение стороны, противолежащей углу, к гипотенузе .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.}$

• Косинус (обозначается cos), определяемый как отношение прилежащего катета (стороны треугольника, соединяющей угол с прямым углом) к гипотенузе.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}$

• Тангенс (обозначается tan), определяемый как отношение противоположного катета к соседнему катету.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Гипотенуза — это сторона , противоположная углу 90 градусов в прямоугольном треугольнике; это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон, примыкающих к углу А. Соседний катет — это другая сторона, примыкающая к углу А. Противоположная сторона — это сторона, противолежащая углу А. Термины «перпендикуляр» и «основание» иногда используются для обозначения противоположной и прилегающей сторон соответственно. См. ниже в разделе «Мнемоника».

Обратная величина этих отношений называется косекансом (csc), секансом (sec) и котангенсом (cot) соответственно:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Косинус, котангенс и косеканс названы так потому, что они представляют собой соответственно синус, тангенс и секанс дополнительного угла, сокращенно обозначаемого как «со-». ^[32]

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синусов и закон косинусов . ^[33] Эти законы можно использовать для вычисления оставшихся углов и сторон любого треугольника, как только известны две стороны и прилежащий к ним угол или два угла и сторона или три стороны.

Мнемоника

Мнемотехника обычно используется для запоминания фактов и отношений в тригонометрии. Например, отношения синуса , косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представляя их и соответствующие им стороны в виде строк букв. Например, мнемоника — SOH-CAH-TOA: ^[34]

Синус = Противоположный ÷ Гипотенуза _

Косинус = А соседний ÷ Гипотенуза

Тангенс = противоположный ÷ соседний _

Один из способов запомнить буквы — произносить их фонетически (т.е. / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , аналогично Кракатау ). [ ^35] Другой метод — объединить буквы в предложение, например: « Какой - то старый хиппи поймал другого хиппи , купающегося в кислоте » . ^[36]

Единичный круг и общие тригонометрические значения

Рисунок 1а – Синус и косинус угла θ, определенного с помощью единичной окружности

Индикация знака и количества ключевых углов в зависимости от направления вращения.

Тригонометрические отношения также можно представить с помощью единичного круга , который представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости. ^[37] В этой настройке конечная сторона угла A, помещенного в стандартное положение, будет пересекать единичную окружность в точке (x,y), где и . ^[37] Это представление позволяет рассчитывать часто встречающиеся тригонометрические значения, например, приведенные в следующей таблице: ^[38] ${\displaystyle x=\cos A}$ ${\displaystyle y=\sin A}$

Тригонометрические функции действительных или комплексных переменных

Используя единичный круг , можно распространить определения тригонометрических отношений на все положительные и отрицательные аргументы ^[39] (см. тригонометрическая функция ).

Графики тригонометрических функций

В следующей таблице обобщены свойства графиков шести основных тригонометрических функций: ^{[40] [41]}

Обратные тригонометрические функции

Поскольку шесть основных тригонометрических функций являются периодическими, они не инъективны (или от 1 до 1) и, следовательно, не обратимы. Однако , ограничив область определения тригонометрической функции, их можно сделать обратимыми. ^{[42] : 48 и далее}

Названия обратных тригонометрических функций вместе с их областями определения и диапазоном можно найти в следующей таблице: ^{[42] : 48ff  [43] : 521ff.}

Представления степенных рядов

Если рассматривать тригонометрические отношения как функции действительной переменной, то их можно представить бесконечным рядом . Например, синус и косинус имеют следующие представления: ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

С помощью этих определений можно определить тригонометрические функции для комплексных чисел . ^[45] При расширении как функции действительных или комплексных переменных для комплексной экспоненты справедлива следующая формула :

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Эта сложная показательная функция, записанная в терминах тригонометрических функций, особенно полезна. ^{[46] [47]}

Вычисление тригонометрических функций

Тригонометрические функции были одними из первых применений математических таблиц . ^[48] ​​Такие таблицы были включены в учебники математики, и студентов учили искать значения и интерполировать перечисленные значения для получения более высокой точности. ^[49] Логарифмические линейки имели специальные шкалы для тригонометрических функций. ^[50]

Научные калькуляторы имеют кнопки для расчета основных тригонометрических функций (sin, cos, tan, а иногда и цис и обратных им). ^[51] Большинство из них позволяют выбирать методы измерения углов: градусы , радианы, а иногда и градины . Большинство языков программирования предоставляют библиотеки функций, включающие тригонометрические функции. ^[52] Аппаратное обеспечение блока с плавающей запятой , встроенное в микропроцессорные чипы, используемые в большинстве персональных компьютеров, имеет встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций. ^[53]

Другие тригонометрические функции

В дополнение к шести отношениям, перечисленным ранее, существуют дополнительные тригонометрические функции, которые были исторически важны, но сегодня редко используются. К ним относится хорда ( crd( θ ) = 2 sin(θ/2) ), версина ( versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin ² (θ/2) ) (который появился в самых ранних таблицах ^[54] ), коверсинус ( Coverin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin(π/2− θ ) ), хаверсинус ( haversin( θ ) =1/2версия( θ ) = грех ² (θ/2) ), ^[55] экссеканс ( exsec ( θ ) = sec( θ ) − 1 ) и экссеканс ( excsc( θ ) = exsec(π/2- θ ) знак равно csc( θ ) - 1 ). См. Список тригонометрических тождеств , чтобы узнать больше о связях между этими функциями.

Приложения

Астрономия

На протяжении веков сферическая тригонометрия использовалась для определения положения Солнца, Луны и звезд, ^[56] для предсказания затмений и описания орбит планет. ^[57]

В настоящее время техника триангуляции используется в астрономии для измерения расстояний до ближайших звезд ^[58] , а также в системах спутниковой навигации . ^[19]

Навигация

Секстанты используются для измерения угла солнца или звезд по отношению к горизонту. Используя тригонометрию и морской хронометр , на основе таких измерений можно определить положение корабля.

Исторически тригонометрия использовалась для определения широты и долготы парусных судов, прокладки курсов и расчета расстояний во время навигации. ^[59]

Тригонометрия до сих пор используется в навигации с помощью таких средств, как система глобального позиционирования и искусственный интеллект для автономных транспортных средств . ^[60]

Геодезия

В землемерии тригонометрия используется для расчета длин, площадей и относительных углов между объектами. ^[61]

В более широком масштабе тригонометрия используется в географии для измерения расстояний между ориентирами. ^[62]

Периодические функции

Функция (красным цветом) представляет собой сумму шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их сумма называется рядом Фурье. Преобразование Фурье (синим цветом), которое изображает зависимость амплитуды от частоты , показывает 6 частот ( при нечетных гармониках ) и их амплитуды ( 1/нечетное число ). ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Функции синуса и косинуса являются фундаментальными для теории периодических функций , ^[63] таких, как те, которые описывают звуковые и световые волны. Фурье обнаружил, что любую непрерывную периодическую функцию можно описать как бесконечную сумму тригонометрических функций.

Даже непериодические функции можно представить в виде интеграла синусов и косинусов посредством преобразования Фурье . Это имеет применение в квантовой механике ^[64] и коммуникациях [ ^65] среди других областей.

Оптика и акустика

Тригонометрия полезна во многих физических науках , ^[66] включая акустику , ^[67] и оптику . ^[67] В этих областях они используются для описания звуковых и световых волн , а также для решения проблем, связанных с границами и передачей. ^[68]

Другие приложения

Другие области, в которых используется тригонометрия или тригонометрические функции, включают теорию музыки , ^[69] геодезию , синтез звука , ^[70] архитектуру , ^[71] электронику , ^[69] биологию , ^[72] медицинскую визуализацию ( КТ и ультразвук ), ^[73] химия , ^[74] теория чисел (и, следовательно, криптология ), ^[75] сейсмология , ^[67] метеорология , ^[76] океанография , ^[77] сжатие изображений , ^[78] фонетика , ^[79] экономика , ^[80] электротехника , машиностроение , гражданское строительство , ^[69] компьютерная графика , ^[81] картография , ^[69] кристаллография ^[82] и разработка игр . ^[81]

Личности

Треугольник со сторонами a , b , c и соответственно противоположными углами A , B , C.

Тригонометрия известна своими многочисленными тождествами, то есть уравнениями, верными для всех возможных входных данных. ^[83]

Тождества, включающие только углы, известны как тригонометрические тождества . Другие уравнения, известные как тождества треугольников , ^[84] связывают как стороны, так и углы данного треугольника.

Треугольные личности

В следующих тождествах A , B и C — углы треугольника, а a , b и c — длины сторон треугольника, противоположных соответствующим углам (как показано на схеме).

Закон синусов

Закон синусов (также известный как «правило синусов») для произвольного треугольника гласит: ^[85]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

где - площадь треугольника, а R - радиус описанной окружности треугольника: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Закон косинусов

Закон косинусов (известный как формула косинусов или «правило косинусов») представляет собой распространение теоремы Пифагора на произвольные треугольники: ^[85]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Закон касательных

Закон касательных , разработанный Франсуа Вьетом , является альтернативой закону косинусов при решении неизвестных ребер треугольника, обеспечивая более простые вычисления при использовании тригонометрических таблиц. ^[86] Это определяется:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Область

Учитывая две стороны a и b и угол между сторонами C , площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон и синуса угла между двумя сторонами: ^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}$

Формула Герона — еще один метод, который можно использовать для расчета площади треугольника. Эта формула гласит, что если треугольник имеет стороны длиной a , b и c , и если полупериметр равен

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c),}$

тогда площадь треугольника равна: ^[87]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}}$,

где R — радиус описанной окружности треугольника.

Тригонометрические тождества

Пифагорейские идентичности

Следующие тригонометрические тождества связаны с теоремой Пифагора и справедливы для любого значения: ^[88]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

Второе и третье уравнения получаются путем деления первого уравнения на и соответственно. ${\displaystyle \cos ^{2}{A}}$ ${\displaystyle \sin ^{2}{A}}$

Формула Эйлера

Формула Эйлера , которая утверждает, что , дает следующие аналитические тождества для синуса, косинуса и тангенса в терминах e и мнимой единицы i : ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Другие тригонометрические тождества

Другие часто используемые тригонометрические тождества включают тождества половинного угла, тождества суммы и разности углов, а также тождества произведения в сумму. ^[31]

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Обобщенная тригонометрия
• Ленарт сфера
• Список тем треугольника
• Список тригонометрических тождеств
• Рациональная тригонометрия
• Тощий треугольник
• Малоугловое приближение
• Тригонометрические функции
• Единичный круг
• Использование тригонометрии

Рекомендации

1. Харпер, Дуглас. «тригонометрия». Интернет-словарь этимологии . Проверено 18 марта 2022 г.
2. Р. Нагель (редактор), Научная энциклопедия , 2-е изд., The Gale Group (2002)
3. Бойер (1991), с. ^{[ нужна страница ]} .
4. Чарльз Уильям Хакли (1853). Трактат по тригонометрии плоской и сферической: с ее применением к навигации и геодезии, морской и практической астрономии и геодезии, с логарифмическими, тригонометрическими и морскими таблицами. ГП Патнэм.
5. Мэри Джейн Стерлинг (24 февраля 2014 г.). Тригонометрия для чайников. Джон Уайли и сыновья. п. 185. ИСБН 978-1-118-82741-3.
6. Рон Ларсон; Роберт П. Хостетлер (10 марта 2006 г.). Тригонометрия. Cengage Обучение. п. 230. ИСБН 0-618-64332-Х.
7. Бойер (1991), с. 162, «Греческая тригонометрия и измерение».
8. Пиментел, Рик; Уолл, Терри (2018). Кембриджская основная математика IGCSE (4-е изд.). Хачетт Великобритания. п. 275. ИСБН 978-1-5104-2058-8.Выдержка со страницы 275
9. Отто Нойгебауэр (1975). История древней математической астрономии. 1. Шпрингер-Верлаг. п. 744. ИСБН 978-3-540-06995-9.
10. Терстон (1996), стр. 235–236, «Приложение 1: Таблица аккордов Гиппарха».
11. Тумер, Г. (1998), Альмагест Птолемея , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00260-6
12. Терстон (1996), стр. 239–243, «Приложение 3: Таблица аккордов Птолемея».
13. Бойер (1991), с. 215.
14. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 157, в Селине, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
15. «тригонометрия». Британская энциклопедия . Проверено 21 июля 2008 г.
16. Бойер 1991, с. 238.
17. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определениях Киблы». Арабские науки и философия . Издательство Кембриджского университета . 21 (1): 1–56. дои : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.
18. Джинджерич, Оуэн. «Исламская астрономия». Scientific American 254.4 (1986): 74–83.
19. Майкл Виллерс (13 февраля 2018 г.). Кресельная алгебра: все, что вам нужно знать, от целых чисел до уравнений. Продажа книг. п. 37. ИСБН 978-0-7858-3595-0.
20. "Насир ад-Дин ат-Туси". MacTutor Архив истории математики . Проверено 08 января 2021 г. Одним из наиболее важных математических вкладов ат-Туси было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В «Трактате о четырехугольнике» ат-Туси дал первое дошедшее до нас изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно является первой в истории тригонометрии как самостоятельного раздела чистой математики и первой, в которой изложены все шесть случаев прямоугольного сферического треугольника.
21. Берггрен, JL (октябрь 2013 г.). «Исламская математика». Кембриджская история науки. Том. 2. Издательство Кембриджского университета. стр. 62–83. дои : 10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 9780521594486.
22. "ṬUSI, НАЦИР-ЭЛ-ДИН i. Биография" . Энциклопедия Ираника . Проверено 05 августа 2018 г. Говорят, что его главный вклад в математику (Наср, 1996, стр. 208–214) относится к тригонометрии, которая впервые была составлена ​​им как отдельная новая дисциплина. Его усилиям также обязана своим развитием сферическая тригонометрия, в том числе концепция шести основных формул решения сферических прямоугольных треугольников.
23. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9.
24. Бойер (1991), стр. 237, 274.
25. "Иоганн Мюллер Региомонтан". MacTutor Архив истории математики . Проверено 08 января 2021 г.
26. Н. Г. Уилсон (1992). От Византии до Италии. Греческие исследования в эпоху итальянского Возрождения , Лондон. ISBN 0-7156-2418-0 
27. Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук . WW Нортон. ISBN 978-0-393-32030-5.
28. Роберт Э. Кребс (2004). Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия средневековья и эпохи Возрождения. Издательская группа Гринвуд. п. 153. ИСБН 978-0-313-32433-8.
29. Эвальд, Уильям Брэгг (21 апреля 2005 г.). От Канта до Гильберта. Том 1: Справочник по основам математики. ОУП Оксфорд. п. 93. ИСБН 978-0-19-152309-0.
30. Демпски, Келли (ноябрь 2002 г.). Сосредоточьтесь на кривых и поверхностях. Премьер Пресс. п. 29. ISBN 978-1-59200-007-4.
31. Джеймс Стюарт; Лотар Редлин; Салим Уотсон (16 января 2015 г.). Алгебра и тригонометрия. Cengage Обучение. п. 448. ИСБН 978-1-305-53703-3.
32. Дик Джардин; Эми Шелл-Геллаш (2011). Математические капсулы времени: исторические модули для класса математики. МАА. п. 182. ИСБН 978-0-88385-984-1.
33. Кристл Роуз Форсет; Кристофер Бургер; Мишель Роуз Гилман; Дебора Дж. Рамси (2008). Предварительный расчет для чайников. Джон Уайли и сыновья. п. 218. ИСБН 978-0-470-16984-1.
34. Вайсштейн, Эрик В. "SOHCAHTOA". Математический мир .
35. Скромный, Крис (2001). Ключевая математика: GCSE, высшее. Фиона МакГилл. Челтнем: Издательство Стэнли Торнс. п. 51. ИСБН 0-7487-3396-5. ОСЛК  47985033.
36. Предложение, более подходящее для средних школ : « Какая - то старая лошадь пришла , прыгая через нашу аллею » . Фостер, Джонатан К. (2008). Память: очень краткое введение . Оксфорд. п. 128. ИСБН 978-0-19-280675-8.
37. Дэвид Коэн; Ли Б. Теодор; Дэвид Склар (17 июля 2009 г.). Precalculus: проблемно-ориентированный подход, расширенное издание. Cengage Обучение. ISBN 978-1-4390-4460-5.
38. В. Майкл Келли (2002). Полное руководство идиота по исчислению. Альфа Книги. п. 45. ИСБН 978-0-02-864365-6.
39. Дженни Олив (18 сентября 2003 г.). Математика: Руководство по выживанию для студентов: Учебное пособие по самопомощи для студентов, изучающих естествознание и инженерные специальности. Издательство Кембриджского университета. п. 175. ИСБН 978-0-521-01707-7.
40. Мэри П. Аттенборо (30 июня 2003 г.). Математика для электротехники и вычислений. Эльзевир. п. 418. ИСБН 978-0-08-047340-6.
41. Рон Ларсон; Брюс Х. Эдвардс (10 ноября 2008 г.). Исчисление одной переменной. Cengage Обучение. п. 21. ISBN 978-0-547-20998-2.
42. Элизабет Г. Бремиган; Ральф Дж. Бремиган; Джон Д. Лорч (2011). Математика для учителей средней школы. МАА. ISBN 978-0-88385-773-1.
43. Мартин Брокейт; Пэмми Манчанда; Абул Хасан Сиддики (3 августа 2019 г.). Исчисление для ученых и инженеров. Спрингер. ISBN 9789811384646.
44. Серж Ланг (14 марта 2013 г.). Комплексный анализ. Спрингер. п. 63. ИСБН 978-3-642-59273-7.
45. Сильвия Мария Алессио (9 декабря 2015 г.). Цифровая обработка сигналов и спектральный анализ для ученых: концепции и приложения. Спрингер. п. 339. ИСБН 978-3-319-25468-5.
46. К. РАДЖА РАДЖЕСВАРИ; Б. ВИСВЕСВАРА РАО (24 марта 2014 г.). СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ. Обучение PHI. п. 263. ИСБН 978-81-203-4941-4.
47. Джон Стиллвелл (23 июля 2010 г.). Математика и ее история. Springer Science & Business Media. п. 313. ИСБН 978-1-4419-6053-5.
48. Мартин Кэмпбелл-Келли; Мэри Кроаркен ; Раймонд Флуд; Элеонора Робсон (2 октября 2003 г.). История математических таблиц: от Шумера к электронным таблицам . ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-850841-0.
49. Джордж С. Донован; Беверли Бейройтер Гимместад (1980). Тригонометрия с калькуляторами. Приндл, Вебер и Шмидт. ISBN 978-0-87150-284-1.
50. Росс Рэймонд Миддлмисс (1945). Инструкции по использованию правил после триггера и мангеймского триггера. Компания Фредерик Пост.
51. «Клавиши калькулятора - что они делают» . Популярная наука . Компания Бонньер. Апрель 1974 г. с. 125.
52. Стивен С. Скиена; Мигель А. Ревилла (18 апреля 2006 г.). Задачи по программированию: Учебное пособие по соревнованиям по программированию. Springer Science & Business Media. п. 302. ИСБН 978-0-387-22081-9.
53. Руководство разработчика программного обеспечения для архитектур Intel® 64 и IA-32. Объединенные тома: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B и 3C (PDF) . Интел. 2013.
54. Бойер (1991), стр. xxiii–xxiv.
55. Нильсен (1966), стр. xxiii–xxiv.
56. Олинтус Грегори (1816). Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их применением к проекциям высот и расстояний сферы, набору номера, астрономии, решению уравнений и геодезическим операциям. Болдуин, Крэдок и Джой.
57. Нойгебауэр, Отто (1948). «Математические методы в древней астрономии». Бюллетень Американского математического общества . 54 (11): 1013–1041. дои : 10.1090/S0002-9904-1948-09089-9 .
58. Майкл Сидс; Дана Бэкман (5 января 2009 г.). Астрономия: Солнечная система и за ее пределами. Cengage Обучение. п. 254. ИСБН 978-0-495-56203-0.
59. Джон Сабин (1800). Практический математик, содержащие логарифмы, геометрию, тригонометрию, измерение, алгебру, навигацию, сферику и натурфилософию и т. д. с. 1.
60. Мордехай Бен-Ари; Франческо Мондада (2018). Элементы робототехники. Спрингер. п. 16. ISBN 978-3-319-62533-1.
61. Джордж Робертс Перкинс (1853). Плоская тригонометрия и ее применение к измерениям и землемерию: сопровождается всеми необходимыми логарифмическими и тригонометрическими таблицами. Д. Эпплтон и компания.
62. Чарльз У. Дж. Уизерс; Хайден Лоример (14 декабря 2015 г.). Географы: Биобиблиографические исследования. А&С Черный. п. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5.
63. HG тер Морше; Дж. К. ван ден Берг; Э.М. ван де Ври (7 августа 2003 г.). Преобразования Фурье и Лапласа. Издательство Кембриджского университета. п. 61. ИСБН 978-0-521-53441-3.
64. Бернд Таллер (8 мая 2007 г.). Визуальная квантовая механика: избранные темы с компьютерной анимацией квантово-механических явлений. Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN 978-0-387-22770-2.
65. М. Рахман (2011). Применение преобразований Фурье к обобщенным функциям. ВИТ Пресс. ISBN 978-1-84564-564-9.
66. Лоуренс Борнштейн; Базовые системы, Inc (1966). Тригонометрия для физических наук. Эпплтон-Сентьюри-Крофтс.
67. Джон Дж. Шиллер; Мари А. Вурстер (1988). Студенческая алгебра и тригонометрия: основы предварительного исчисления. Скотт, Форесман. ISBN 978-0-673-18393-4.
68. Дадли Х. Таун (5 мая 2014 г.). Волновые явления. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-14515-0.
69. Э. Ричард Хейнеман; Дж. Далтон Таруотер (1 ноября 1992 г.). Плоская тригонометрия. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-028187-5.
70. Марк Карс; Карлхайнц Бранденбург (18 апреля 2006 г.). Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике. Springer Science & Business Media. п. 404. ИСБН 978-0-306-47042-4.
71. Ким Уильямс ; Майкл Дж. Оствальд (9 февраля 2015 г.). Архитектура и математика от древности до будущего: Том I: От древности до 1500-х годов. Биркхойзер. п. 260. ИСБН 978-3-319-00137-1.
72. Дэн Фулдер (15 июля 2019 г.). Основные навыки для GCSE по биологии. Ходдерское образование. п. 78. ИСБН 978-1-5104-6003-4.
73. Лучано Беолчи; Майкл Х. Кун (1995). Медицинская визуализация: анализ мультимодальных 2D/3D изображений. ИОС Пресс. п. 122. ИСБН 978-90-5199-210-6.
74. Маркус Фредерик Чарльз Лэдд (2014). Симметрия кристаллов и молекул. Издательство Оксфордского университета. п. 13. ISBN 978-0-19-967088-8.
75. Геннадий И. Архипов; Владимир Николаевич Чубариков; Анатолий Карацуба (22 августа 2008 г.). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-019798-3.
76. Учебное пособие по курсу метеорологической математики: последняя редакция, 1 февраля 1943 г. 1943 г.
77. Мэри Сирс; Дэниел Мерриман; Океанографический институт Вудс-Хоул (1980). Океанография, прошлое. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90497-9.
78. «Стандарт JPEG (JPEG ISO/IEC 10918-1, Рекомендация ITU-T T.81)» (PDF) . Международный союз электросвязи . 1993 год . Проверено 6 апреля 2019 г.
79. Кирстен Мальмкьяер (4 декабря 2009 г.). Лингвистическая энциклопедия Рутледжа. Рутледж. п. 1. ISBN 978-1-134-10371-3.
80. Камран Дадха (11 января 2011 г.). Основы математической и вычислительной экономики. Springer Science & Business Media. п. 46. ​​ИСБН 978-3-642-13748-8.
81. Кристофер Гриффит (12 ноября 2012 г.). Разработка флеш-игр в реальных условиях: как следовать передовому опыту и сохранять рассудок . ЦРК Пресс. п. 153. ИСБН 978-1-136-13702-0.
82. Джон Джозеф Гриффин (1841). Система кристаллографии с ее применением в минералогии. Р. Гриффин. п. 119.
83. Дугопольский (июль 2002 г.). Тригонометрия I/E Sup. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-78666-8.
84. РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ V&S (6 января 2015 г.). КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ПО МАТЕМАТИКЕ. Издательство V&S. п. 288. ИСБН 978-93-5057-414-0.
85. Синтия Ю. Янг (19 января 2010 г.). Предварительное исчисление. Джон Уайли и сыновья. п. 435. ИСБН 978-0-471-75684-2.
86. Рон Ларсон (29 января 2010 г.). Тригонометрия. Cengage Обучение. п. 331. ИСБН 978-1-4390-4907-5.
87. Ричард Н. Ауфманн; Вернон К. Баркер; Ричард Д. Нэйшн (5 февраля 2007 г.). Колледж тригонометрии. Cengage Обучение. п. 306. ИСБН 978-0-618-82507-3.
88. Петерсон, Джон К. (2004). Техническая математика с исчислением (иллюстрированное изд.). Cengage Обучение. п. 856. ИСБН 978-0-7668-6189-3.Выдержка из страницы 856

Библиография

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Нильсен, Кай Л. (1966). Логарифмические и тригонометрические таблицы в пяти разрядах (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble . LCCN  61-9103.
• Терстон, Хью (1996). Ранняя астрономия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94822-5.

дальнейшее чтение

• «Тригонометрические функции», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линтон, Кристофер М. (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии . Издательство Кембриджского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы тригонометрического сложения». Математический мир .

Внешние ссылки

• Академия Хана: Тригонометрия, бесплатные онлайн-микролекции
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, The Macmillan Company, 1914 год. В изображениях представлен полный текст.
• Загадка тригонометрии Бенджамина Баннекера и конвергенция
• Краткий курс Дэйва по тригонометрии Дэвида Джойса из Университета Кларка
• Тригонометрия, Майкл Коррал, охватывает элементарную тригонометрию, распространяется под лицензией свободной документации GNU.