Квадратичная форма

Многочлен со всеми членами второй степени

В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — это другое название однородного многочлена ). Например, $${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$$

является квадратичной формой от переменных x и y . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K , такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме над K. Если K = R , и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма ; в противном случае это изотропная квадратичная форма .

Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию ( риманова метрика , вторая фундаментальная форма ), дифференциальную топологию ( формы пересечения многообразий , особенно четырехмерных ), теорию Ли ( форма Киллинга ) и статистику (где показатель степени многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет квадратичную форму ). ${\displaystyle -\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }$

Квадратичные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или ниже. Квадратичная форма является одним из случаев более общей концепции однородных многочленов .

Введение

Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от n переменных. В случаях одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и тернарными и имеют следующий явный вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}}$$

где a , ..., f — коэффициенты . [ ^1]

Теория квадратичных форм и методы, используемые при их изучении, в значительной степени зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами , рациональными числами или целыми числами . В линейной алгебре , аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами определенного поля . В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу , часто целым числам Z или p -адическим целым числам Z _p . ^[2] Бинарные квадратичные формы широко изучались в теории чисел , в частности, в теории квадратичных полей , цепных дробей и модулярных форм . Теория целочисленных квадратичных форм от n переменных имеет важные приложения к алгебраической топологии .

Используя однородные координаты , ненулевая квадратичная форма от n переменных определяет ( n − 2) -мерную квадрику в ( n − 1) -мерном проективном пространстве . Это базовая конструкция в проективной геометрии . Таким образом, можно визуализировать 3-мерные действительные квадратичные формы как конические сечения . Примером может служить трехмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы, выражающий расстояние между точкой с координатами ( x , y , z ) и началом координат: $${\displaystyle q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Тесно связанным понятием с геометрическим подтекстом является квадратичное пространство , которое является парой ( V , q ) , где V — векторное пространство над полем K , а q  : V → K — квадратичная форма на V. Определение квадратичной формы на векторном пространстве см. в § Определения ниже.

История

Изучение квадратичных форм, в частности вопроса о том, может ли заданное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, насчитывает много веков. Одним из таких случаев является теорема Ферма о суммах двух квадратов , которая определяет, когда целое число может быть выражено в виде x ² + y ² , где x , y — целые числа. Эта проблема связана с проблемой нахождения пифагорейских троек , которая появилась во втором тысячелетии до нашей эры. ^[3]

В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» , которая включает в себя, среди прочего, исследование уравнений вида x ² − ny ² = c . Он рассмотрел то, что сейчас называется уравнением Пелля , x ² − ny ² = 1 , и нашел метод его решения. ^[4] В Европе эту проблему изучали Брункер , Эйлер и Лагранж .

В 1801 году Гаусс опубликовал Disquisitiones Arithmeticae , большая часть которого была посвящена полной теории бинарных квадратичных форм над целыми числами . С тех пор эта концепция была обобщена, а связи с квадратичными числовыми полями , модулярной группой и другими областями математики были дополнительно разъяснены.

Соответствующая симметричная матрица

Любая матрица A размера n × n определяет квадратичную форму q _A от n переменных по формуле, где A = ( a _ij ) . $${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,}$$

Пример

Рассмотрим случай квадратичных форм от трех переменных x , y , z . Матрица A имеет вид $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.}$$

Вышеприведенная формула дает $${\displaystyle q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.}$$

Итак, две различные матрицы определяют одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы на диагонали и одинаковые значения для сумм b + d , c + g и f + h . В частности, квадратичная форма q _A определяется уникальной симметричной матрицей $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.}$$

Это обобщается на любое количество переменных следующим образом.

Общий случай

Если задана квадратичная форма q _A , определяемая матрицей A = ( a _ij ) , то матрица симметрична , определяет ту же квадратичную форму, что и A , и является единственной симметричной матрицей, которая определяет q _A . $${\displaystyle B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}(A+A^{\text{T}})}$$

Итак, над действительными числами (и, в более общем смысле, над полем характеристики , отличной от двух) существует взаимно-однозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными матрицами , которые их определяют.

Действительные квадратичные формы

Фундаментальной проблемой является классификация действительных квадратичных форм при линейной замене переменных .

Якоби доказал, что для каждой действительной квадратичной формы существует ортогональная диагонализация ; то есть ортогональная замена переменных , которая переводит квадратичную форму в « диагональную форму », где соответствующая симметричная матрица является диагональной . Более того, коэффициенты λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n определяются однозначно с точностью до перестановки . ^[5] $${\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},}$$

Если замена переменных задана обратимой матрицей , которая не обязательно ортогональна, можно предположить, что все коэффициенты λ _i равны 0, 1 или −1. Закон инерции Сильвестра гласит, что числа каждого 0, 1 и −1 являются инвариантами квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать то же самое число каждого из них. Сигнатура квадратичной формы — это тройка ( n ₀ , n ₊ , n ₋ ) , где эти компоненты подсчитывают число нулей, число единиц и число −1 соответственно. Закон инерции Сильвестра показывает, что это хорошо определенная величина, прикрепленная к квадратичной форме .

Случай, когда все λ _i имеют один и тот же знак, особенно важен: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенной (все 1) или отрицательно определенной (все −1). Если ни один из членов не равен 0, то форма называетсяневырожденный ; сюда входят положительно определенная, отрицательно определенная иизотропная квадратичная форма(смесь 1 и −1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма — это та, чья связанная симметричная форма являетсяневырожденной билинейной формой. Действительное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса( p , q )(обозначающей p 1s и q −1s) часто обозначается как R ^{p , q ,} особенно в физической теориипространства-времени.

Дискриминант квадратичной формы , конкретно класс определителя представляющей матрицы в K / ( K ^× ) ² (с точностью до ненулевых квадратов), также может быть определен, и для действительной квадратичной формы является более грубым инвариантом, чем сигнатура, принимая значения только «положительное, нулевое или отрицательное». Ноль соответствует вырождению, тогда как для невырожденной формы это четность числа отрицательных коэффициентов, (−1) ^{n ₋} .

Ниже эти результаты переформулированы по-другому.

Пусть q — квадратичная форма, определенная на n -мерном вещественном векторном пространстве. Пусть A — матрица квадратичной формы q в заданном базисе. Это означает, что A — симметричная матрица n × n, такая, что где x — вектор-столбец координат v в выбранном базисе. При смене базиса столбец x умножается слева на обратимую матрицу S размера n × n , и симметричная квадратная матрица A преобразуется в другую симметричную квадратную матрицу B того же размера по формуле $${\displaystyle q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,}$$ $${\displaystyle A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.}$$

Любая симметричная матрица A может быть преобразована в диагональную матрицу с помощью подходящего выбора ортогональной матрицы S , и диагональные элементы матрицы B определяются однозначно — это теорема Якоби. Если S может быть любой обратимой матрицей, то B можно сделать так, чтобы на диагонали стояли только 0, 1 и −1, а количество элементов каждого типа ( n ₀ для 0, n ₊ для 1 и n ₋ для −1) зависит только от  A. Это одна из формулировок закона инерции Сильвестра, а числа n ₊ и n ₋ называются положительными и отрицательными индексами инерции . Хотя их определение включало выбор базиса и рассмотрение соответствующей действительной симметричной матрицы  A , закон инерции Сильвестра означает, что они являются инвариантами квадратичной формы  q . $${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$$

Квадратичная форма q положительно определена, если q ( v ) > 0 (аналогично, отрицательно определена, если q ( v ) < 0 ) для любого ненулевого вектора v . ^[6] Когда q ( v ) принимает как положительные, так и отрицательные значения, q является изотропной квадратичной формой . Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любая положительно определенная квадратичная форма от n переменных может быть приведена к сумме n квадратов с помощью подходящего обратимого линейного преобразования: геометрически существует только одна положительно определенная вещественная квадратичная форма каждой размерности. Ее группа изометрий является компактной ортогональной группой O( n ) . Это контрастирует со случаем изотропных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа O( p , q ) , некомпактна. Кроме того, группы изометрий Q и − Q одинаковы ( O( p , q ) ≈ ​​O( q , p )) , но связанные алгебры Клиффорда (и, следовательно, группы контактов ) различны.

Определения

Квадратичная форма над полем K — это отображение q  : V → K из конечномерного K -векторного пространства в K такое, что q ( av ) = a ² q ( v ) для всех a ∈ K , v ∈ V и функция q ( u + v ) − q ( u ) − q ( v ) является билинейной.

Более конкретно, n -арная квадратичная форма над полем K — это однородный многочлен степени 2 от n переменных с коэффициентами в K : $${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$$

Эту формулу можно переписать с использованием матриц: пусть x будет вектором-столбцом с компонентами x ₁ , ..., x _n , а A = ( a _ij ) будет матрицей n × n над K , элементы которой являются коэффициентами q . Тогда $${\displaystyle q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.}$$

Вектор v = ( x ₁ , ..., x _n ) является нулевым вектором, если q ( v ) = 0 .

Две n -арные квадратичные формы φ и ψ над K эквивалентны , если существует невырожденное линейное преобразование C ∈ GL ( n , K ) такое, что $${\displaystyle \psi (x)=\varphi (Cx).}$$

Пусть характеристика K отлична от 2. ^[7] Матрица коэффициентов A матрицы q может быть заменена симметричной матрицей ( A + A ^T )/2 с той же квадратичной формой, поэтому можно предположить с самого начала, что A симметрична. Более того, симметричная матрица A однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности C симметричная матрица A матрицы φ и симметричная матрица B матрицы ψ связаны следующим образом: $${\displaystyle B=C^{\mathsf {T}}AC.}$$

Соответствующая билинейная форма квадратичной формы q определяется как $${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$$

Таким образом, b _q является симметричной билинейной формой над K с матрицей A . Наоборот, любая симметричная билинейная форма b определяет квадратичную форму , и эти два процесса являются обратными друг другу. Как следствие, над полем характеристики, не равной 2, теории симметричных билинейных форм и квадратичных форм от n переменных по сути одинаковы. $${\displaystyle q(x)=b(x,x),}$$

Квадратное пространство

Если задано n -мерное векторное пространство V над полем K , квадратичная форма на V — это функция Q  : V → K , которая обладает следующим свойством: для некоторого базиса функция q , которая отображает координаты v ∈ V в Q ( v ), является квадратичной формой. В частности, если V = K ⁿ с его стандартным базисом , то имеем $${\displaystyle q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.}$$

Формулы смены базиса показывают, что свойство быть квадратичной формой не зависит от выбора конкретного базиса в V , хотя квадратичная форма q зависит от выбора базиса.

Конечномерное векторное пространство с квадратичной формой называется квадратичным пространством .

Отображение Q является однородной функцией степени 2, что означает, что оно обладает следующим свойством: для всех a из K и v из V : $${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v).}$$

Если характеристика K не равна 2, то определяется билинейное отображение B  : V × V → K над K : Эта билинейная форма B симметрична. То есть B ( x , y ) = B ( y , x ) для всех x , y в V , и она определяет Q : Q ( x ) = B ( x , x ) для всех x в V . $${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).}$$

Когда характеристика K равна 2, так что 2 не является единицей , все еще возможно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы B ′( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) . Однако Q ( x ) больше не может быть восстановлена ​​из этого B ′ тем же способом, поскольку B ′( x , x ) = 0 для всех x (и, таким образом, является чередующейся). ^[8] В качестве альтернативы, всегда существует билинейная форма B ″ (в общем случае не единственная и не симметричная) такая, что B ″( x , x ) = Q ( x ) .

Пара ( V , Q ), состоящая из конечномерного векторного пространства V над K и квадратичного отображения Q из V в K, называется квадратичным пространством , а B , как определено здесь, является ассоциированной симметричной билинейной формой Q. Понятие квадратичного пространства является версией безкоординатной версии понятия квадратичной формы. Иногда Q также называют квадратичной формой.

Два n -мерных квадратичных пространства ( V , Q ) и ( V ′, Q ′) изометричны , если существует обратимое линейное преобразование T  : V → V ′ ( изометрия ) такое, что $${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.}$$

Классы изометрии n -мерных квадратичных пространств над K соответствуют классам эквивалентности n -арных квадратичных форм над K.

Обобщение

Пусть R — коммутативное кольцо , M — R - модуль , а b  : M × M → R — R -билинейная форма. ^[9] Отображение q  : M → R  : v ↦ b ( v , v ) является ассоциированной квадратичной формой b , а B  : M × M → R  : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) − q ( u ) − q ( v ) является полярной формой q .

Квадратичную форму q  : M → R можно охарактеризовать следующими эквивалентными способами:

• Существует R -билинейная форма b  : M × M → R такая, что q ( v ) является соответствующей квадратичной формой.
• q ( ​​av ) = a ² q ( v ) для всех a ∈ R и v ∈ M , а полярная форма q является R -билинейной.

Связанные концепции

Два элемента v и w из V называются ортогональными, если B ( v , w ) = 0 . Ядро билинейной формы B состоит из элементов, ортогональных каждому элементу из V . Q невырождена , если ядро ​​ее ассоциированной билинейной формы равно {0} . Если существует ненулевой v в V такой , что Q ( v ) = 0 , квадратичная форма Q изотропна , в противном случае она определена . Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение Q на подпространство U из V тождественно равно нулю , то U является вполне вырожденной .

Ортогональная группа невырожденной квадратичной формы Q — это группа линейных автоморфизмов V , сохраняющих Q : то есть группа изометрий ( V , Q ) в себя.

Если квадратичное пространство ( A , Q ) имеет произведение, такое что A является алгеброй над полем , и удовлетворяет , то оно является композиционной алгеброй . $${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),}$$

Эквивалентность форм

Каждая квадратичная форма q от n переменных над полем характеристики, не равной 2, эквивалентна диагональной форме $${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$$

Такая диагональная форма часто обозначается как ⟨ a ₁ , ..., a _n ⟩ . Классификация всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности может быть, таким образом, сведена к случаю диагональных форм.

Геометрическое значение

Используя декартовы координаты в трех измерениях, пусть x = ( x , y , z ) ^T , и пусть A — симметричная матрица размером 3 на 3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения x ^T A x + b ^T x = 1 зависит от собственных значений матрицы A .

Если все собственные значения A не равны нулю, то множество решений представляет собой эллипсоид или гиперболоид . [ ^{требуется ссылка ]} Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (мы получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.

Если существует одно или несколько собственных значений λ _i = 0 , то форма зависит от соответствующего b _i . Если соответствующее b _i ≠ 0 , то множество решений представляет собой параболоид ( эллиптический или гиперболический); если соответствующее b _i = 0 , то размерность i вырождается и не вступает в игру, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами b . Когда множество решений представляет собой параболоид, то является ли оно эллиптическим или гиперболическим, определяется тем, имеют ли все другие ненулевые собственные значения одинаковый знак: если да, то оно эллиптическое; в противном случае оно гиперболическое.

Интегральные квадратичные формы

Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целочисленными квадратичными формами , тогда как соответствующие им модули — квадратичными решётками (иногда просто решётками ). Они играют важную роль в теории чисел и топологии .

Целочисленная квадратичная форма имеет целочисленные коэффициенты, например, x ² + xy + y ² ; эквивалентно, если задана решетка Λ в векторном пространстве V (над полем с характеристикой 0, например, Q или R ), квадратичная форма Q является целочисленной относительно Λ тогда и только тогда, когда она принимает целочисленные значения на Λ , то есть Q ( x , y ) ∈ Z , если x , y ∈ Λ .

Это текущее использование термина; в прошлом он иногда использовался иначе, как подробно описано ниже.

Историческое использование

Исторически существовала некоторая путаница и споры по поводу того, должно ли понятие интегральной квадратичной формы означать:

двоек в

квадратичная форма, связанная с симметричной матрицей с целыми коэффициентами

двоек из

многочлен с целыми коэффициентами (поэтому соответствующая симметричная матрица может иметь полуцелые коэффициенты вне диагонали)

Этот спор возник из-за путаницы между квадратичными формами (представленными многочленами) и симметричными билинейными формами (представленными матрицами), и теперь общепринятым соглашением является «вывод по двое»; вместо этого «ввод по двое» — это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).

В «двоечниках» бинарные квадратичные формы имеют вид ax ² + 2 bxy + cy ² , представленный симметричной матрицей. Это соглашение Гаусс использует в Disquisitiones Arithmeticae . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$$

В «двоеточии» бинарные квадратичные формы имеют вид ax ² + bxy + cy ² , представленный симметричной матрицей $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.}$$

Несколько точек зрения говорят о том, что в качестве стандартной конвенции принята система «два аута» . К ним относятся:

• лучшее понимание 2-адической теории квадратичных форм, «локального» источника трудностей;
• решеточная точка зрения, которая была общепринятой среди специалистов по арифметике квадратичных форм в 1950-х годах ;
• фактические потребности в теории интегральных квадратичных форм в топологии для теории пересечений ;
• Аспекты группы Ли и алгебраической группы .

Универсальные квадратичные формы

Интегральная квадратичная форма, образ которой состоит из всех положительных целых чисел, иногда называется универсальной . Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что w ² + x ² + y ² + z ² является универсальной. Рамануджан обобщил это aw ² + bx ² + cy ² + dz ² и нашел 54 мультимножества { a , b , c , d } , каждое из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно,

• {1, 1, 1, д }, 1 ≤ д ≤ 7
• {1, 1, 2, д }, 2 ≤ д ≤ 14
• {1, 1, 3, д }, 3 ≤ д ≤ 6
• {1, 2, 2, д }, 2 ≤ д ≤ 7
• {1, 2, 3, д }, 3 ≤ д ≤ 10
• {1, 2, 4, д }, 4 ≤ д ≤ 14
• {1, 2, 5, д }, 6 ≤ д ≤ 10

Существуют также формы, образ которых состоит из всех положительных целых чисел, кроме одного. Например, {1, 2, 5, 5} имеет 15 в качестве исключения. Недавно теоремы 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 290; если она имеет целочисленную матрицу, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 15.

Смотрите также

• ε- квадратичная форма
• Кубическая форма
• Дискриминант квадратичной формы
• Теорема Хассе–Минковского
• Квадрик
• Тройная квадратичная форма Рамануджана
• Квадратный класс
• Группа Витта
• Теорема Витта

Примечания

1. Традиция, восходящая к Гауссу, диктует использование явно четных коэффициентов для произведений различных переменных, то есть 2 b вместо b в бинарных формах и 2 b , 2 d , 2 f вместо b , d , f в тернарных формах. Оба соглашения встречаются в литературе.
2. вдали от 2 , то есть, если 2 обратимо в кольце, квадратичные формы эквивалентны симметричным билинейным формам (по тождествам поляризации ), но при 2 это разные понятия; это различие особенно важно для квадратичных форм над целыми числами.
3. Вавилонский Пифагор
4. Биография Брахмагупты
5. Максим Боше (совместно с ЭПР Дювалем) (1907) Введение в высшую алгебру , § 45 Сведение квадратичной формы к сумме квадратов через HathiTrust
6. Если выполняется нестрогое неравенство (с ≥ или ≤), то квадратичная форма q называется полуопределенной.
7. Теория квадратичных форм над полем характеристики 2 имеет важные отличия, и многие определения и теоремы должны быть изменены.
8. Эта знакопеременная форма, связанная с квадратичной формой в характеристике 2, представляет интерес в связи с инвариантом Арфа – Ирвинг Капланский (1974), Линейная алгебра и геометрия , стр. 27.
9. Билинейная форма, с которой связана квадратичная форма , не обязательно должна быть симметричной, что имеет значение, когда 2 не является единицей в R.

Ссылки

• О'Мира, О.Т. (2000), Введение в квадратичные формы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
• Конвей, Джон Хортон ; Фанг, Фрэнсис YC (1997), Чувственная (квадратичная) форма , Математические монографии Каруса, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-030-5
• Шафаревич, ИР ; Ремизов, АО (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Дальнейшее чтение

• Cassels, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Том 13. Academic Press . ISBN 0-12-163260-1. Збл  0395.10029.
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Збл  0785.11021.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-X. Збл  0292.10016.
• О'Мира, ОТ (1973). Введение в квадратичные формы . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 117. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-66564-1. Збл  0259.10018.
• Пфистер, Альбрехт (1995). Квадратичные формы с приложениями к алгебраической геометрии и топологии . Серия лекций Лондонского математического общества. Том 217. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46755-1. Збл  0847.11014.

Внешние ссылки

• А.В.Малышев (2001) [1994], "Квадратичная форма", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• А.В.Малышев (2001) [1994], "Двоичная квадратичная форма", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС