В математике ортогональная группа в размерности n , обозначаемая O( n ) , является группой сохраняющих расстояние преобразований евклидова пространства размерности n , которые сохраняют неподвижную точку, где групповая операция задается композицией преобразований. Ортогональная группа иногда называется общей ортогональной группой , по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа n × n ортогональных матриц , где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица является действительной матрицей , обратная которой равна ее транспонированной матрице ). Ортогональная группа является алгебраической группой и группой Ли . Она компактна .
Ортогональная группа в размерности n имеет две связные компоненты . Та, которая содержит единичный элемент , является нормальной подгруппой , называемой специальной ортогональной группой и обозначаемой SO( n ) . Она состоит из всех ортогональных матриц определителя 1. Эта группа также называется группой вращений , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементы являются обычными вращениями вокруг точки (в размерности 2) или прямой (в размерности 3). В низкой размерности эти группы широко изучались, см. SO(2) , SO(3) и SO(4) . Другая компонента состоит из всех ортогональных матриц определителя −1 . Эта компонента не образует группу, так как произведение любых двух ее элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом компоненты.
В более широком смысле, для любого поля F матрица n × n с элементами в F, такими, что ее обратная матрица равна ее транспонированной матрице, называется ортогональной матрицей над F. Ортогональные матрицы n × n образуют подгруппу, обозначаемую O( n , F ) , общей линейной группы GL( n , F ) ; то есть
В более общем случае, если задана невырожденная симметричная билинейная форма или квадратичная форма [1] на векторном пространстве над полем , ортогональная группа формы — это группа обратимых линейных отображений , которые сохраняют форму. Предшествующие ортогональные группы — это частный случай, когда на некотором основании билинейная форма является скалярным произведением , или, что эквивалентно, квадратичная форма является суммой квадратов координат.
Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.
Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Для данного евклидова векторного пространства E размерности n элементы ортогональной группы O( n ) являются, с точностью до равномерного масштабирования ( гомотеции ), линейными отображениями из E в E , которые отображают ортогональные векторы в ортогональные векторы.
Ортогональная группа O( n ) является подгруппой общей линейной группы GL( n , R ) , состоящей из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму ; то есть эндоморфизмов g таких, что
Пусть E( n ) — группа евклидовых изометрий евклидова пространства S размерности n . Эта группа не зависит от выбора конкретного пространства, поскольку все евклидовы пространства одинаковой размерности изоморфны . Подгруппа стабилизатора точки x ∈ S — это подгруппа элементов g ∈ E( n ) таких, что g ( x ) = x . Этот стабилизатор есть (или, точнее, изоморфен) O( n ) , поскольку выбор точки в качестве начала координат индуцирует изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.
Существует естественный групповой гомоморфизм p из E( n ) в O( n ) , который определяется соотношением
где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор переноса , который отображает вторую точку в первую. Это хорошо определенный гомоморфизм, поскольку простая проверка показывает, что если две пары точек имеют одинаковую разницу, то же самое верно и для их образов по g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).
Ядро p — это векторное пространство трансляций. Таким образом, трансляции образуют нормальную подгруппу E ( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены под действием трансляций, и все стабилизаторы изоморфны O ( n ) .
Более того, евклидова группа является полупрямым произведением O ( n ) и группы трансляций. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по сути сводится к изучению O( n ) .
Выбрав ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональную группу можно отождествить с группой (при умножении матриц) ортогональных матриц , которые являются матрицами такими, что
Из этого уравнения следует, что квадрат определителя Q равен 1 , и, таким образом , определитель Q равен либо 1 , либо −1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальной ортогональной группой , обозначаемую SO( n ) , состоящую из всех прямых изометрий O ( n ) , которые сохраняют ориентацию пространства.
SO( n ) является нормальной подгруппой O( n ) , поскольку является ядром определителя, который является гомоморфизмом групп, образом которого является мультипликативная группа {−1, +1} . Это означает, что ортогональная группа является внутренним полупрямым произведением SO ( n ) и любой подгруппы, образованной единицей и отражением .
Группа с двумя элементами {± I } (где I — единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой O ( n ) , а если n четно, то и SO( n ) . Если n нечетно, O( n ) является внутренним прямым произведением SO ( n ) и {± I } .
Группа SO(2) абелева ( тогда как SO( n ) не абелева при n > 2 ). Ее конечные подгруппы являются циклической группой C k k -кратных вращений для каждого положительного целого числа k . Все эти группы являются нормальными подгруппами O(2) и SO(2) .
Для любого элемента O( n ) существует ортогональный базис, где его матрица имеет вид
где матрицы R 1 , ..., R k являются матрицами вращения размером 2 на 2, то есть матрицами вида
с а 2 + b 2 = 1 .
Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки комплексно сопряженных собственных значений и с учетом того, что абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы все равны 1 .
Элемент принадлежит SO( n ) тогда и только тогда, когда на диагонали имеется четное число −1 . Пару собственных значений −1 можно определить поворотом на π , а пару собственных значений +1 можно определить поворотом на 0 .
Частный случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (нетождественный) элемент SO(3) представляет собой вращение вокруг уникальной пары ось-угол.
Отражения — это элементы O( n ), каноническая форма которых имеет вид
где I — единичная матрица ( n − 1) × ( n − 1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение — это преобразование, которое преобразует пространство в его зеркальном отображении относительно гиперплоскости .
В измерении два каждое вращение можно разложить на произведение двух отражений . Точнее, вращение на угол θ является произведением двух отражений, оси которых образуют угол θ / 2 .
Произведение до n элементарных отражений всегда достаточно для генерации любого элемента O( n ) . Это немедленно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.
Теорема Картана –Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.
Отражение относительно начала координат (отображение v ↦ − v ) является примером элемента O( n ) , который не является произведением менее чем n отражений.
Ортогональная группа O( n ) является группой симметрии ( n − 1) -сферы (при n = 3 это просто сфера ) и всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре.
Группа симметрии окружности — O(2) . Подгруппа с сохранением ориентации SO(2) изоморфна (как действительная группа Ли) группе окружности , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел с абсолютным значением, равным единице. Этот изоморфизм переводит комплексное число exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) с абсолютным значением 1 в специальную ортогональную матрицу
В более высокой размерности O( n ) имеет более сложную структуру (в частности, она больше не является коммутативной). Топологические структуры n -сферы и O( n ) сильно коррелируют, и эта корреляция широко используется для изучения обоих топологических пространств .
Группы O( n ) и SO( n ) являются действительными компактными группами Ли размерности n ( n − 1) / 2. Группа O( n ) имеет две связные компоненты , причем SO( n ) является единичной компонентой , то есть связной компонентой, содержащей единичную матрицу .
Ортогональную группу O( n ) можно отождествить с группой матриц A, таких что A T A = I. Поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает n ( n + 1) / 2 уравнений, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которые не все удовлетворяются элементами любой неортогональной матрицы.
Это доказывает, что O( n ) является алгебраическим множеством . Более того, можно доказать [ требуется ссылка ], что его размерность равна
что подразумевает, что O( n ) является полным пересечением . Это подразумевает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность, и что он не имеет вложенного компонента . Фактически, O( n ) имеет два неприводимых компонента, которые различаются знаком определителя (то есть det( A ) = 1 или det( A ) = −1 ). Оба являются невырожденными алгебраическими многообразиями одинаковой размерности n ( n − 1) / 2 . Компонент с det( A ) = 1 есть SO( n ) .
Максимальный тор в компактной группе Ли G — это максимальная подгруппа среди тех, которые изоморфны T k для некоторого k , где T = SO(2) — стандартный одномерный тор. [2]
В O(2 n ) и SO(2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида
где каждый R j принадлежит SO(2) . В O(2 n + 1) и SO(2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, ограниченную строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.
Группа Вейля SO (2 n + 1) является полупрямым произведением нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группы , где нетривиальный элемент каждого фактора {±1} из {±1} n действует на соответствующий фактор окружности T × {1 } инверсией , а симметрическая группа S n действует как на {±1} n , так и на T × {1 } перестановкой факторов. Элементы группы Вейля представлены матрицами в O(2 n ) × {±1} . Фактор S n представлен матрицами перестановки блоков с блоками 2 на 2 и конечной 1 на диагонали. Компонент {±1} n представлен матрицами блочно-диагональной структуры с блоками 2 на 2 либо
причем последний компонент ±1 выбран так, чтобы сделать определитель 1 .
Группа Вейля SO(2 n ) является подгруппой группы SO(2 n + 1) , где H n −1 < {±1} n является ядром гомоморфизма произведения {±1} n → {±1} , заданного формулой ; то есть H n −1 < {±1} n является подгруппой с четным числом знаков минус. Группа Вейля SO(2 n ) представлена в SO(2 n ) прообразами при стандартной инъекции SO(2 n ) → SO(2 n + 1) представителей для группы Вейля SO(2 n + 1) . Эти матрицы с нечетным числом блоков не имеют оставшейся конечной координаты −1, чтобы сделать их определители положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в SO(2 n ) .
Низкоразмерные (действительные) ортогональные группы — это знакомые пространства :
В терминах алгебраической топологии , для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , R ) является циклической порядка 2 , [4] и спиновая группа Spin( n ) является ее универсальным покрытием . Для n = 2 фундаментальная группа является бесконечной циклической , а универсальное покрытие соответствует действительной прямой (группа Spin(2) является единственным связным 2-кратным покрытием ).
В общем случае гомотопические группы π k ( O ) вещественной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, таким образом, в общем случае их трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:
Поскольку все включения замкнуты, следовательно, корасслоения , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, S n является однородным пространством для O( n + 1) , и имеется следующее расслоение волокон :
что можно понимать как «Ортогональная группа O( n + 1) действует транзитивно на единичной сфере S n , а стабилизатор точки (рассматриваемый как единичный вектор ) является ортогональной группой перпендикулярного дополнения , которая является ортогональной группой на одно измерение ниже». Таким образом, естественное включение O( n ) → O( n + 1) является ( n − 1) -связным , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π k (O( n + 1)) = π k (O( n )) для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы устойчивого пространства равны нижним гомотопическим группам неустойчивых пространств.
Из периодичности Ботта получаем Ω 8 O ≅ O , поэтому гомотопические группы O являются 8-кратно периодическими, то есть π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , и нужно только перечислить нижние 8 гомотопических групп:
С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах ( с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Полагая KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (чтобы π 0 вписывалось в периодичность), получаем:
Первые несколько гомотопических групп можно вычислить, используя конкретные описания маломерных групп.
Из общих фактов о группах Ли следует , что π 2 ( G ) всегда обращается в нуль, а π 3 ( G ) является свободным ( свободным абелевым ).
π 0 ( K O) — векторное расслоение над S 0 , состоящее из двух точек. Таким образом, над каждой точкой расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения — это разность размерностей векторных пространств над двумя точками, поэтому π 0 ( K O) = Z — размерность .
Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий низшего порядка. Используя π 0 , O и O /U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное число компонент, а остальные связаны.
В двух словах: [5]
Пусть R — любая из четырех алгебр с делением R , C , H , O , и пусть LR — тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой R P 1 , а [ LR ] — его класс в K-теории. Заметив, что R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и
С точки зрения симплектической геометрии , π 0 ( K O) ≅ π 8 ( K O) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , думая о нем как о фундаментальной группе π 1 (U/O) устойчивого лагранжева грассманиана , поскольку U/O ≅ Ω 7 ( K O) , поэтому π 1 (U/O) = π 1+7 ( K O) .
Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :
которая получается путем последовательного удаления (уничтожения) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга–Маклейна для гомотопической группы, которая должна быть удалена. Первые несколько записей в башне — это группа спинов и группа струн , и им предшествует группа пятибран . Уничтожаемые гомотопические группы — это, в свою очередь, π 0 ( O ) для получения SO из O , π 1 ( O ) для получения Spin из SO , π 3 ( O ) для получения String из Spin , а затем π 7 ( O ) и так далее для получения бран более высокого порядка .
Над действительными числами невырожденные квадратичные формы классифицируются законом инерции Сильвестра , который утверждает, что на векторном пространстве размерности n такая форма может быть записана как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов, при этом p + q = n . Другими словами, существует базис, на котором матрица квадратичной формы является диагональной матрицей , с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными −1 . Пара ( p , q ), называемая инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что она не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.
Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, то O( p , q ) = O( q , p ) .
Стандартная ортогональная группа — O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Таким образом, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю.
Подгруппа матриц определителя 1 в O( p , q ) обозначается SO( p , q ) . Группа O( p , q ) имеет четыре связные компоненты, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию на одном из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма положительно определена или отрицательно определена. Компонента тождества, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается SO + ( p , q ) .
Группа O(3, 1) — это группа Лоренца , которая является фундаментальной в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 — временной координате.
Над полем C комплексных чисел каждая невырожденная квадратичная форма от n переменных эквивалентна x 1 2 + ... + x n 2 . Таким образом, с точностью до изоморфизма существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна связанная с ним ортогональная группа, обычно обозначаемая O( n , C ) . Это группа комплексных ортогональных матриц , комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.
Как и в вещественном случае, O( n , C ) имеет две связные компоненты. Компонента тождества состоит из всех матриц определителя 1 в O( n , C ) ; она обозначается SO( n , C ) .
Группы O( n , C ) и SO( n , C ) являются комплексными группами Ли размерности n ( n − 1) / 2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны. Как и в вещественном случае, SO( n , C ) не является односвязной: при n > 2 фундаментальная группа SO ( n , C ) является циклической порядка 2 , тогда как фундаментальная группа SO(2, C ) равна Z .
Над полем характеристики, отличной от двух, две квадратичные формы эквивалентны , если их матрицы конгруэнтны , то есть если замена базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы имеют, очевидно, одну и ту же ортогональную группу.
Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются по классам конгруэнтности, и из этой классификации следует, что существует только одна ортогональная группа в нечетной размерности и две в четной размерности.
Точнее, теорема Витта о разложении утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q, может быть разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств
где каждая L i является гиперболической плоскостью (то есть существует базис такой, что матрица ограничения Q на L i имеет вид ), а ограничение Q на W является анизотропным (то есть Q ( w ) ≠ 0 для каждого ненулевого w в W ).
Теорема Шевалле –Уорнинга утверждает, что над конечным полем размерность W не превышает двух.
Если размерность V нечетна, то размерность W равна единице, а ее матрица конгруэнтна либо либо , где 𝜑 — неквадратный скаляр. Это приводит к тому, что существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O(2 n + 1, q ) , где q — число элементов конечного поля (степень нечетного простого числа). [6]
Если размерность W равна двум и −1 не является квадратом в основном поле (то есть, если число его элементов q сравнимо с 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима либо с I, либо с – I , где I – единичная матрица 2×2. Если размерность W равна двум и −1 является квадратом в основном поле (то есть, если q сравнимо с 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима с φ – любой неквадратный скаляр.
Это подразумевает, что если размерность V четная, то существует только две ортогональные группы, в зависимости от того, равна ли размерность W нулю или двум. Они обозначаются соответственно O + (2 n , q ) и O − (2 n , q ) . [6]
Ортогональная группа O ε (2, q ) является диэдральной группой порядка 2( q − ε ) , где ε = ± .
Для изучения ортогональной группы O ε (2, q ) можно предположить, что матрица квадратичной формы является , поскольку для данной квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагонализуема. Матрица принадлежит ортогональной группе, если AQA T = Q , то есть a 2 – ωb 2 = 1 , ac – ωbd = 0 , и c 2 – ωd 2 = – ω . Поскольку a и b не могут быть оба равны нулю (из-за первого уравнения), второе уравнение подразумевает существование ε в F q , такого что c = εωb и d = εa . Сообщая эти значения в третьем уравнении и используя первое уравнение, получаем, что ε 2 = 1 , и, таким образом, ортогональная группа состоит из матриц
где a 2 – ωb 2 = 1 и ε = ±1 . Более того, определитель матрицы равен ε .
Для дальнейшего изучения ортогональной группы удобно ввести квадратный корень α из ω . Этот квадратный корень принадлежит F q , если ортогональная группа равна O + (2, q ) , и F q 2 в противном случае. Полагая x = a + αb , и y = a – αb , имеем
Если и — две матрицы с детерминантом один в ортогональной группе, то
Это ортогональная матрица с a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2 , и b = a 1 b 2 + b 1 a 2 . Таким образом
Отсюда следует, что отображение ( a , b ) ↦ a + αb является гомоморфизмом группы ортогональных матриц с определителем единица в мультипликативную группу F q 2 .
В случае O + (2 n , q ) образом является мультипликативная группа F q , которая является циклической группой порядка q .
В случае O – (2 n , q ) указанные выше x и y сопряжены и, следовательно, являются образом друг друга при автоморфизме Фробениуса . Это означало, что и, таким образом, x q +1 = 1 . Для каждого такого x можно восстановить соответствующую ортогональную матрицу. Отсюда следует, что отображение является групповым изоморфизмом из ортогональных матриц определителя 1 в группу ( q + 1) - корней из единицы . Эта группа является циклической группой порядка q + 1 , которая состоит из степеней g q −1 , где g является примитивным элементом F q 2 ,
Для завершения доказательства достаточно проверить, что группа всех ортогональных матриц не абелева и является полупрямым произведением группы {1, −1} и группы ортогональных матриц определителя единица.
Сравнение этого доказательства с реальным случаем может оказаться поучительным.
Здесь задействованы два групповых изоморфизма:
где g — примитивный элемент F q 2 , а T — мультипликативная группа элемента нормы один в F q 2 ;
с и
В действительном случае соответствующие изоморфизмы таковы:
где C — круг комплексных чисел нормы один;
с и
Когда характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен [7]
В характеристике два формулы те же самые, за исключением того, что множитель 2 из | O(2 n + 1, q ) | должен быть удален.
Для ортогональных групп инвариант Диксона представляет собой гомоморфизм из ортогональной группы в факторгруппу Z / 2 Z (целые числа по модулю 2), принимающий значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 в противном случае. [8]
Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = rank( I − f ) modulo 2 , где I — тождество (Taylor 1992, Theorem 11.43). Над полями, не имеющими характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен −1 в степени инварианта Диксона. Над полями характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.
Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона [8] и обычно имеет индекс 2 в O( n , F ) . [9] Когда характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0 всякий раз, когда определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO( n , F ) обычно определяется как элементы O( n , F ) с определителем 1 . Каждый элемент в O( n , F ) имеет определитель ±1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .
Инвариант Диксона можно также определить для групп Клиффорда и групп штифтов аналогичным образом (во всех измерениях).
Над полями характеристики 2 ортогональные группы часто демонстрируют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы были известны как гипоабелевы группы , но этот термин больше не используется.)
Спинорная норма — это гомоморфизм из ортогональной группы над полем F в факторгруппу F × / ( F × ) 2 ( мультипликативную группу поля F с точностью до умножения на квадратные элементы), которая преобразуется в вектор нормы n в образ n в F × / ( F × ) 2 . [11]
Для обычной ортогональной группы над действительными числами она тривиальна, но часто нетривиальна над другими полями или для ортогональной группы квадратичной формы над действительными числами, которая не является положительно определенной.
В теории когомологий Галуа алгебраических групп вводятся некоторые дополнительные точки зрения. Они имеют объяснительную ценность, в частности, в отношении теории квадратичных форм; но были по большей части post hoc , что касается открытия явления. Первый момент заключается в том, что квадратичные формы над полем могут быть идентифицированы как Галуа H 1 , или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа в общем случае не является ни связной, ни односвязной; последний момент вносит явления спина, в то время как первый связан с детерминантом .
Название спинорной нормы «спин» можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, со пин-группой ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились позже введения термина из-за более прямого использования алгебр Клиффорда ). Спиновое покрытие ортогональной группы обеспечивает короткую точную последовательность алгебраических групп .
Здесь μ 2 — алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, она примерно совпадает с двухэлементной группой с тривиальным действием Галуа. Связывающий гомоморфизм из H 0 (O V ) , который является просто группой O V ( F ) точек со значениями F , в H 1 ( μ 2 ) по сути является спинорной нормой, поскольку H 1 (μ 2 ) изоморфна мультипликативной группе поля по модулю квадратов.
Также существует связующий гомоморфизм из H 1 ортогональной группы в H 2 ядра спинового покрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, на что мы способны, по крайней мере, с общепринятыми определениями.
Алгебра Ли, соответствующая группам Ли O( n , F ) и SO( n , F ), состоит из кососимметричных матриц n × n , причем скобка Ли [ , ] задается коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Ее часто обозначают как или , и называют ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . Над действительными числами эти алгебры Ли для различных n являются компактными действительными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности B k , где n = 2 k + 1 , и в четной размерности D r , где n = 2 r .
Поскольку группа SO( n ) не является односвязной, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO( n ) являются просто линейными представлениями универсальной оболочки, спиновой группы Spin( n ).) Последние являются так называемыми спиновыми представлениями , которые важны в физике.
В более общем случае, если задано векторное пространство V (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой (⋅, ⋅) , специальная ортогональная алгебра Ли состоит из эндоморфизмов без следов , которые кососимметричны для этой формы ( ). Над полем характеристики 2 мы вместо этого рассматриваем чередующиеся эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к чередующимся тензорам Λ 2 V . Соответствие задается следующим образом:
Это описание в равной степени применимо к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли для симметричных билинейных форм с сигнатурой ( p , q ) .
В случае действительных чисел эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого поворота или «ротора», отсюда и название.
Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, факторгрупп и покрывающих групп. Они перечислены ниже.
Включения O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) и USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве теоремы Ботта о периодичности , а соответствующие факторпространства являются симметричными пространствами, представляющими независимый интерес – например, U( n )/O( n ) является лагранжевым грассманианом .
В физике, особенно в областях компактификации Калуцы–Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основными из них являются:
Ортогональная группа O( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:
Будучи изометриями , вещественные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования являются ортогональными. В классических терминах это разница между конгруэнтностью и подобием , как показано на примере конгруэнтности треугольников SSS (сторона-сторона-сторона) и подобия треугольников AAA (угол-угол-угол) . Группа конформных линейных отображений R n обозначается CO( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы с группой растяжений . Если n нечетно, то эти две подгруппы не пересекаются и являются прямым произведением : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ∗ , где R ∗ = R ∖{0 } — действительная мультипликативная группа , а если n четно, то эти подгруппы пересекаются по ±1 , так что это не прямое произведение, но это прямое произведение с подгруппой растяжения на положительный скаляр: CO(2 k ) = O(2 k ) × R + .
Аналогично можно определить CSO( n ) ; это всегда: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL + ( n ) = SO( n ) × R + .
Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. [примечание 1] Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важным классом примеров являются конечные группы Коксетера , которые включают группы симметрии правильных многогранников .
Измерение 3 особенно изучено – см. точечные группы в трех измерениях , полиэдральные группы и список сферических групп симметрии . В 2 измерениях конечные группы являются либо циклическими, либо диэдральными – см. точечные группы в двух измерениях .
Другие конечные подгруппы включают:
Ортогональная группа не является ни односвязной , ни бесцентровой , и, таким образом, имеет как покрывающую группу , так и факторгруппу соответственно:
Все эти покрытия имеют коэффициент 2 к 1.
Для специальной ортогональной группы соответствующими группами являются:
Spin — это покрытие 2 к 1, тогда как в четном измерении PSO(2 k ) — это покрытие 2 к 1, а в нечетном измерении PSO(2 k + 1) — это покрытие 1 к 1; т. е. изоморфно SO(2 k + 1) . Эти группы, Spin( n ) , SO( n ) и PSO( n ) являются формами групп Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли , — Spin — это односвязная форма, тогда как PSO — это форма без центра, а SO в общем случае не является ни тем, ни другим. [примечание 3]
В размерности 3 и выше это покрытия и частные, тогда как размерность 2 и ниже несколько вырождена; подробности см. в соответствующих статьях.
Основным однородным пространством для ортогональной группы O( n ) является многообразие Штифеля V n ( R n ) ортонормированных базисов (ортонормированных n -реперов ).
Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: если задано ортогональное пространство, нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, между базисами и ортогональной группой устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: так же, как обратимое отображение может преобразовать любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может преобразовать любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.
Другие многообразия Штифеля V k ( R n ) для k < n неполных ортонормированных базисов (ортонормированные k -реперы) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой k -репер может быть преобразован в любой другой k -репер с помощью ортогонального отображения, но это отображение не определяется однозначно.
