Волна Стокса

Нелинейная и периодическая поверхностная волна на слое невязкой жидкости постоянной средней глубины

Поверхностное возвышение глубоководной волны согласно теории третьего порядка Стокса . Крутизна волны: ka  = 0,3, где k — волновое число , а a — амплитуда волны . Для этих поверхностных гравитационных волн типичны острые гребни и плоские впадины .

Испытание модели с периодическими волнами в волновом резервуаре Лаборатории океанической инженерии имени Джера А. Чейза, Университет Нью-Гемпшира .

Волнообразный бор и детеныши около устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид наклонный к устью с самолета на высоте около 100 футов (30 м). ^[1] Волнообразные движения, следующие за фронтом бора, выглядят как медленно модулированные волны Стокса.

В динамике жидкости волна Стокса — это нелинейная и периодическая поверхностная волна на невязком слое жидкости постоянной средней глубины. Этот тип моделирования берет свое начало в середине 19 века, когда сэр Джордж Стокс , используя подход ряда возмущений , теперь известный как разложение Стокса , получил приближенные решения для нелинейного волнового движения.

Теория волн Стокса имеет прямое практическое применение для волн на промежуточной и глубокой воде. Она используется при проектировании прибрежных и морских сооружений для определения кинематики волн ( высоты свободной поверхности и скорости потока ). Кинематика волн впоследствии необходима в процессе проектирования для определения волновых нагрузок на конструкцию. ^[2] Для длинных волн (по сравнению с глубиной) — и при использовании лишь нескольких членов в разложении Стокса — ее применимость ограничена волнами малой амплитуды . В такой мелкой воде теория кноидальных волн часто обеспечивает лучшие приближения периодических волн.

Хотя в строгом смысле слова волна Стокса относится к прогрессивной периодической волне постоянной формы, этот термин также используется в связи со стоячими волнами ^[3] и даже случайными волнами. ^{[4] [5]}

Примеры

Приведенные ниже примеры описывают волны Стокса под действием силы тяжести (без эффектов поверхностного натяжения ) в случае чистого волнового движения, т.е. без окружающего среднего течения.

Волна Стокса третьего порядка на глубокой воде

Волна Стокса третьего порядка в глубокой воде под действием силы тяжести. Крутизна волны: ka  = 0,3.

Три гармоники, вносящие вклад в возвышение поверхности глубоководной волны, согласно теории третьего порядка Стокса. Крутизна волны: ka  = 0,3. Для наглядности вертикальная шкала искажена в четыре раза по сравнению с горизонтальной.
Описание: * темно-синяя линия — возвышение поверхности волны Стокса третьего порядка, * черная линия — основная компонента волны с волновым числом k ( длина волны λ, k = 2 π / λ ), * светло-голубая линия — гармоника на 2  k (длина волны 1 ⁄ 2  λ), и * красная линия — гармоника на 3  k (длина волны 1 ⁄ 3  λ).

Согласно теории Стокса третьего порядка, возвышение свободной поверхности η , потенциал скорости Φ, фазовая скорость (или быстрота) c и фаза волны θ для прогрессирующей поверхностной гравитационной волны на глубокой воде, т.е. слой жидкости имеет бесконечную глубину, равны: ^[6] где $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1-{\tfrac {1}{16}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$

• x — горизонтальная координата;
• z — вертикальная координата, причем положительное направление z направлено вверх — противоположно направлению силы тяжести Земли — а z  = 0 соответствует средней высоте поверхности;
• t — время;
• а — амплитуда волны первого порядка ;
• k — угловое волновое число , k = 2 π / λ, где λ — длина волны ;
• ω — угловая частота , ω = 2 π / τ , где τ — период , и
• g — сила земного притяжения, константа в этом приближении.

Параметр расширения ka известен как крутизна волны. Фазовая скорость увеличивается с ростом нелинейности ka волн. Высота волны H , являющаяся разницей между возвышением поверхности η на гребне и впадине , равна: ^[7] $${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

Обратите внимание, что члены второго и третьего порядка в потенциале скорости Φ равны нулю. Только в четвертом порядке появляются вклады, отклоняющиеся от теории первого порядка – т. е. теории волн Эйри . ^[6] До третьего порядка орбитальное поле скорости u  =  ∇ Φ состоит из кругового движения вектора скорости в каждой точке ( x , z ). В результате, возвышение поверхности глубоководных волн в хорошем приближении является трохоидальным , как уже отмечал Стокс (1847). ^[8]

Стокс далее заметил, что хотя (в этом эйлеровом описании) поле орбитальной скорости третьего порядка состоит из кругового движения в каждой точке, лагранжевы пути жидких частиц не являются замкнутыми окружностями. Это происходит из-за уменьшения амплитуды скорости с увеличением глубины под поверхностью. Этот лагранжев дрейф жидких частиц известен как дрейф Стокса . ^[8]

Волна Стокса второго порядка на произвольной глубине

Отношение S = a ₂ / a амплитуды a ₂ гармоники с удвоенным волновым числом (2  k ) к амплитуде a основного тона , согласно теории Стокса второго порядка для поверхностных гравитационных волн. По горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h  / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а по вертикальной оси — параметр Стокса S, деленный на крутизну волны ka (при k = 2 π / λ ). Описание: * синяя линия действительна для произвольной глубины воды, в то время как * пунктирная красная линия — предел мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), а * штрихпунктирная зеленая линия — асимптотический предел для волн на большой глубине.

Высота поверхности η и потенциал скорости Φ, согласно теории Стокса второго порядка поверхностных гравитационных волн на слое жидкости средней глубины h , равны : ^{[6] [9]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что для конечной глубины потенциал скорости Φ содержит линейный дрейф во времени, не зависящий от положения ( x и z ). Как этот временной дрейф, так и член с двойной частотой (содержащий sin 2θ) в Φ исчезают для волн на глубокой воде.

Параметры Стокса и Урселла

Отношение S амплитуд свободной поверхности во втором порядке и первом порядке – согласно теории второго порядка Стокса – равно: ^[6] $${\displaystyle {\mathcal {S}}=ka\,{\frac {3-\tanh ^{2}\,kh}{4\,\tanh ^{3}\,kh}}.}$$

В глубокой воде при больших kh отношение S имеет асимптоту $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\,ka.}$$

Для длинных волн, т.е. малых kh , отношение S ведет себя как или, в терминах высоты волны H = 2 a и длины волны λ = 2 π / k : с $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {ka}{(kh)^{3}}},}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}{\mathcal {S}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {3}{32\,\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\equiv {\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}.}$$

Здесь U — параметр Урселла (или параметр Стокса). Для длинных волн ( λ ≫ h ) малой высоты H , т.е. U ≪ 32π ² /3 ≈ 100 , применима теория Стокса второго порядка. В противном случае, для довольно длинных волн ( λ > 7 h ) значительной высоты H более подходящим является описание кноидальной волны. [ 6 ^] Согласно Хеджесу, теория Стокса пятого порядка применима для U < 40 , а в противном случае предпочтительнее теория кноидальной волны пятого порядка . ^{[10] [11]}

Дисперсионное соотношение третьего порядка

Нелинейное усиление фазовой скорости c = ω / k — согласно теории Стокса третьего порядка для поверхностных гравитационных волн и с использованием первого определения Стокса скорости — по сравнению с фазовой скоростью линейной теории c ₀ . На горизонтальной оси отложена относительная глубина воды h  / λ, где h — средняя глубина, а λ — длина волны , а на вертикальной оси — нелинейное усиление фазовой скорости ( c − c ₀ ) / c _{0 ,} деленное на крутизну волны ka в квадрате.
Описание: * сплошная синяя линия действительна для произвольной глубины воды, * пунктирная красная линия — предел мелководья (глубина воды мала по сравнению с длиной волны), а * штрихпунктирная зеленая линия — асимптотический предел для волн на большой глубине.

Для волн Стокса под действием силы тяжести дисперсионное соотношение третьего порядка имеет вид – согласно первому определению скорости Стокса: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

Это дисперсионное соотношение третьего порядка является прямым следствием исключения секулярных членов при подстановке решения Стокса второго порядка в уравнения третьего порядка (ряда возмущений для периодической волновой задачи).

В глубокой воде (короткая длина волны по сравнению с глубиной): и в мелкой воде (длинная длина волны по сравнению с глубиной): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$ $${\displaystyle \lim _{kh\downarrow 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

Как показано выше, длинноволновое разложение Стокса для дисперсионного уравнения будет справедливо только для достаточно малых значений параметра Урселла: U ≪ 100 .

Обзор

Подход Стокса к нелинейной волновой задаче

Волны в следе Кельвина, созданные судном на Маас-Валканале в Нидерландах. Поперечные волны в этом следе Кельвина являются почти плоскими волнами Стокса.

Корабль NOAA Delaware II в плохую погоду на Georges Bank . Хотя эти океанские волны случайны , а не являются волнами Стокса (в строгом смысле), они указывают на типичные острые гребни и плоские впадины , которые встречаются в нелинейных поверхностных гравитационных волнах.

Фундаментальная проблема поиска решений для поверхностных гравитационных волн заключается в том, что граничные условия должны применяться в положении свободной поверхности , которое заранее неизвестно и, таким образом, является частью решения, которое нужно найти. Сэр Джордж Стокс решил эту нелинейную волновую задачу в 1847 году, разложив соответствующие потенциальные величины потока в ряд Тейлора вокруг средней (или неподвижной) высоты поверхности. ^[12] В результате граничные условия могут быть выражены в терминах величин на средней (или неподвижной) высоте поверхности (которая фиксирована и известна).

Далее, решение нелинейной волновой задачи (включая разложение в ряд Тейлора вокруг среднего или неподвижного возвышения поверхности) ищется с помощью ряда возмущений – известного как разложение Стокса – в терминах малого параметра, чаще всего крутизны волны. Неизвестные члены в разложении могут быть решены последовательно. ^{[6] [8]} Часто для обеспечения решения с достаточной точностью для инженерных целей требуется лишь небольшое количество членов. ^[11] Типичные приложения – проектирование прибрежных и морских сооружений , а также судов .

Другим свойством нелинейных волн является то, что фазовая скорость нелинейных волн зависит от высоты волны . В подходе ряда возмущений это легко приводит к ложному вековому изменению решения, что противоречит периодическому поведению волн. Стокс решил эту проблему, также расширив дисперсионное соотношение в ряд возмущений, методом, который теперь известен как метод Линдстедта–Пуанкаре . ^[6]

Применимость

Справедливость нескольких теорий для периодических волн на воде, согласно Le Méhauté (1976). ^[13] Голубая область показывает диапазон применимости теории кноидальных волн ; светло-желтая — теории волн Эйри ; а пунктирные синие линии разграничивают требуемый порядок в волновой теории Стокса. Светло-серая штриховка показывает расширение диапазона с помощью численных приближений с использованием теории функции потока пятого порядка для высоких волн ( H  >  1 ⁄ 4  H _breaking ).

Теория волн Стокса , при использовании низкого порядка разложения возмущений (например, до второго, третьего или пятого порядка), справедлива для нелинейных волн на промежуточной и глубокой воде, то есть для длин волн ( λ ), не больших по сравнению со средней глубиной ( h ). На мелководье низкопорядковое разложение Стокса нарушается (дает нереалистичные результаты) для заметной амплитуды волны (по сравнению с глубиной). Тогда приближения Буссинеска более уместны. Дальнейшие приближения к волновым уравнениям типа Буссинеска (многонаправленным) приводят — для одностороннего распространения волн — к уравнению Кортевега–де Фриза или уравнению Бенджамина–Бона–Махони . Подобно (почти) точным решениям волн Стокса, ^[14] эти два уравнения имеют решения в виде уединенной волны ( солитона ), помимо периодических волновых решений, известных как кноидальные волны . ^[11]

Современные расширения

Уже в 1914 году Уилтон расширил разложение Стокса для глубоководных поверхностных гравитационных волн до десятого порядка, хотя и ввел ошибки в восьмом порядке. ^[15] Теория пятого порядка для конечной глубины была выведена Де в 1955 году. ^[16] Для инженерного использования удобны формулировки пятого порядка Фентона, применимые как к первому, так и ко второму определению Стокса фазовой скорости (скорости). ^[17] Разграничение между тем, когда теория Стокса пятого порядка предпочтительнее теории кноидальных волн пятого порядка , проводится для параметров Урселла ниже примерно 40. ^{[10] [11]}

В подходах типа Стокса к нелинейной волновой задаче возможны различные варианты выбора системы отсчета и параметров расширения. В 1880 году сам Стокс инвертировал зависимые и независимые переменные, взяв потенциал скорости и функцию потока в качестве независимых переменных, а координаты ( x , z ) в качестве зависимых переменных, причем x и z являются горизонтальными и вертикальными координатами соответственно. ^[18] Это имеет то преимущество, что свободная поверхность в системе отсчета, в которой волна устойчива (т.е. движется с фазовой скоростью), соответствует линии, на которой функция потока является постоянной. Тогда местоположение свободной поверхности известно заранее, а не неизвестная часть решения. Недостатком является то, что радиус сходимости перефразированного разложения ряда уменьшается. ^[19]

Другой подход заключается в использовании системы отсчета Лагранжа , следуя за жидкими посылками . Формулировки Лагранжа показывают улучшенную сходимость по сравнению с формулировками как в системе Эйлера , так и в системе с потенциалом и функцией потока в качестве независимых переменных. ^{[20] [21]}

Точное решение для нелинейных чисто капиллярных волн постоянной формы и для бесконечной глубины жидкости было получено Краппером в 1957 году. Обратите внимание, что эти капиллярные волны — будучи короткими волнами, вызванными поверхностным натяжением , если эффекты гравитации незначительны — имеют острые впадины и плоские гребни. Это контрастирует с нелинейными поверхностными гравитационными волнами, которые имеют острые гребни и плоские впадины. ^[22]

Несколько интегральных свойств волн Стокса на глубокой воде как функция крутизны волны. ^[23] Крутизна волны определяется как отношение высоты волны H к длине волны λ. Свойства волны сделаны безразмерными с использованием волнового числа k = 2π / λ , гравитационного ускорения g и плотности жидкости ρ .
Показаны плотность кинетической энергии T , плотность потенциальной энергии V , полная плотность энергии E = T + V , плотность горизонтального волнового импульса I и относительное усиление фазовой скорости c . Плотности волновой энергии T , V и E интегрированы по глубине и усреднены по одной длине волны, поэтому они являются энергиями на единицу горизонтальной площади; плотность волнового импульса I аналогична. Пунктирные черные линии показывают 1/16 ( kH ) ² и 1/8 ( kH ) ² , являющиеся значениями интегральных свойств, выведенными из (линейной) теории волн Эйри . Максимальная высота волны достигается при крутизне волны H / λ ≈ 0,1412 , выше которой периодические поверхностные гравитационные волны не существуют. ^[24]
Обратите внимание, что показанные свойства волны имеют максимум при высоте волны, меньшей максимальной высоты волны (см., например, Longuet-Higgins 1975; Cokelet 1977).

Используя компьютерные модели, разложение Стокса для поверхностных гравитационных волн было продолжено до высокого (117-го) порядка Шварцем (1974). Шварц обнаружил, что амплитуда a (или a _{1 )} фундаментальной гармоники первого порядка достигает максимума до того, как будет достигнута максимальная высота волны H. Следовательно, крутизна волны ka в терминах амплитуды волны не является монотонной функцией вплоть до самой высокой волны, и Шварц вместо этого использует kH в качестве параметра разложения. Чтобы оценить самую высокую волну в глубокой воде, Шварц использовал аппроксимации Паде и графики Домба–Сайкса , чтобы улучшить сходимость разложения Стокса. Расширенные таблицы волн Стокса на различных глубинах, вычисленные другим методом (но в соответствии с результатами других), приведены в работе Уильямса (1981, 1985).

Существует несколько точных соотношений между интегральными свойствами, такими как кинетическая и потенциальная энергия , горизонтальный волновой импульс и радиационное напряжение , как было обнаружено Лонге-Хиггинсом (1975). Он показывает, что для глубоководных волн многие из этих интегральных свойств имеют максимум до того, как будет достигнута максимальная высота волны (в поддержку выводов Шварца). Кокелет (1978) , используя метод, аналогичный методу Шварца, вычислил и свел в таблицу интегральные свойства для широкого диапазона конечных глубин воды (все достигают максимума ниже самой высокой высоты волны). Кроме того, эти интегральные свойства играют важную роль в законах сохранения для водных волн, через теорему Нётер . ^[25] harvtxt error: no target: CITEREFCokelet1978 (help)

В 2005 году Хаммак, Хендерсон и Сегюр представили первые экспериментальные доказательства существования трехмерных прогрессивных волн постоянной формы в глубокой воде, то есть бипериодических и двумерных прогрессивных волн постоянной формы. ^[26] Существование этих трехмерных устойчивых глубоководных волн было обнаружено в 2002 году в результате исследования бифуркации двумерных волн Стокса, проведенного Крейгом и Николсом с использованием численных методов. ^[27]

Конвергенция и нестабильность

Конвергенция

Сходимость разложения Стокса была впервые доказана Леви-Чивитой (1925) для случая волн малой амплитуды – на свободной поверхности жидкости бесконечной глубины. Вскоре после этого Струйк (1926) распространил это на случай конечной глубины и волн малой амплитуды. ^[28]

Ближе к концу 20-го века было показано, что для волн конечной амплитуды сходимость разложения Стокса сильно зависит от формулировки периодической волновой задачи. Например, обратная формулировка периодической волновой задачи, используемая Стоксом, — с пространственными координатами как функцией потенциала скорости и функции потока — не сходится для волн высокой амплитуды. В то время как другие формулировки сходятся гораздо быстрее, например, в эйлеровой системе отсчета (с потенциалом скорости или функцией потока как функцией пространственных координат). ^[19]

Самая высокая волна

Волны Стокса максимальной высоты на глубокой воде под действием силы тяжести.

Максимальная крутизна волны для периодических и распространяющихся глубоководных волн составляет H / λ = 0,1410633 ± 4 · 10 ⁻⁷ , ^[29] поэтому высота волны составляет около одной седьмой ( ⁠1/7⁠ ) ​​длины волны λ. ^[24] А поверхностные гравитационные волны этой максимальной высоты имеют острый гребень волны – с углом 120° (в области жидкости) – также для конечной глубины, как показал Стокс в 1880 году. ^[18]

Точная оценка самой высокой крутизны волны в глубокой воде ( H / λ ≈ 0,142 ) была сделана еще в 1893 году Джоном Генри Мичеллом с использованием численного метода. ^[30] Более подробное исследование поведения самой высокой волны вблизи остроугольного гребня было опубликовано Малкольмом А. Грантом в 1973 году. ^[31] Существование самой высокой волны на глубокой воде с остроугольным гребнем в 120° было доказано Джоном Толандом в 1978 году. ^[32] Выпуклость η(x) между последовательными максимумами с остроугольным гребнем в 120° была независимо доказана CJ Amick et al. и Павлом И. Плотниковым в 1982 году. ^{[33] [34]}

Самая высокая волна Стокса – под действием силы тяжести – может быть аппроксимирована следующим простым и точным представлением возвышения свободной поверхности η ( x , t ): ^[35] с для $${\displaystyle {\frac {\eta }{\lambda }}=A\,\left[\cosh \,\left({\frac {x-ct}{\lambda }}\right)-1\right],}$$ $${\displaystyle A={\frac {1}{{\sqrt {3}}\,\sinh \left({\frac {1}{2}}\right)}}\approx 1.108,}$$ $${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\lambda \leq (x-ct)\leq {\tfrac {1}{2}}\,\lambda ,}$$

и смещены горизонтально на целое число длин волн, чтобы представить другие волны в регулярном волновом поезде. Это приближение имеет точность в пределах 0,7% везде, по сравнению с «точным» решением для самой высокой волны. ^[35]

Другое точное приближение – хотя и менее точное, чем предыдущее – движения жидкости на поверхности самой крутой волны осуществляется по аналогии с качанием маятника в напольных часах . ^[36]

Большая библиотека волн Стокса, вычисленных с высокой точностью для случая бесконечной глубины, представленных с высокой точностью (не менее 27 знаков после десятичной точки) в виде аппроксимации Паде, может быть найдена на StokesWave.org ^[37]

Нестабильность

В более глубокой воде волны Стокса неустойчивы. ^[38] Это было показано Т. Бруком Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. ^{[39] [40]} Неустойчивость Бенджамина –Фейра является боковой или модуляционной неустойчивостью, при этом боковые модуляции распространяются в том же направлении, что и несущая волна ; волны становятся неустойчивыми на более глубокой воде при относительной глубине kh > 1,363 (где k — волновое число , а h — средняя глубина воды). ^[41] Неустойчивость Бенджамина–Фейра можно описать с помощью нелинейного уравнения Шредингера , вставив волну Стокса с боковыми полосами. ^[38] Впоследствии, с более точным анализом, было показано — теоретически и экспериментально — что волна Стокса и ее боковые полосы демонстрируют повторяемость Ферми–Паста–Улама–Цингоу : циклическое чередование модуляции и демодуляции. ^[42]

В 1978 году Лонге-Хиггинс с помощью численного моделирования полностью нелинейных волн и модуляций (распространяющихся в направлении несущей волны) представил подробный анализ области неустойчивости в глубокой воде: как для супергармоник (для возмущений на пространственных масштабах, меньших длины волны ) ^[43] , так и для субгармоник (для возмущений на пространственных масштабах, больших ). ^[44] С увеличением амплитуды волны Стокса появляются новые моды супергармонической неустойчивости. Возникновение новой ветви неустойчивости происходит, когда энергия волны проходит через экстремум. Подробный анализ механизма возникновения новых ветвей неустойчивости показал, что их поведение близко следует простому закону, который позволяет с хорошей точностью находить скорости роста неустойчивости для всех известных и предсказанных ветвей. ^[45] В исследованиях Лонге-Хиггинса двумерного волнового движения, а также в последующих исследованиях трехмерных модуляций Маклина и др. были обнаружены новые типы неустойчивостей, связанные с резонансными волновыми взаимодействиями между пятью (или более) волновыми компонентами. ^{[46] [47] [48]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Расширение Стокса

Уравнения, определяющие потенциальный поток

Во многих случаях колебательное течение внутри жидкости поверхностных волн можно точно описать с помощью теории потенциального потока , за исключением пограничных слоев вблизи свободной поверхности и дна (где важна завихренность из-за вязких эффектов , см. пограничный слой Стокса ). ^[49] Тогда скорость потока u можно описать как градиент потенциала скорости : ${\displaystyle \Phi }$

Следовательно, предполагая несжимаемый поток , поле скорости u является бездивергентным , а потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа ^[49] ${\displaystyle \Phi }$

в жидкой внутренней части.

Область жидкости описывается с помощью трехмерных декартовых координат ( x , y , z ), где x и y — горизонтальные координаты, а z — вертикальная координата, причем положительное направление z противоположно направлению ускорения силы тяжести . Время обозначается как t . Свободная поверхность расположена в точке z = η ( x , y , t ) , а дно области жидкости — в точке z = − h ( x , y ) .

Граничные условия свободной поверхности для поверхностных гравитационных волн — с использованием описания потенциального потока — состоят из кинематического и динамического граничного условия. ^[50] Кинематическое граничное условие гарантирует, что нормальная составляющая скорости потока жидкости , в матричной записи, на свободной поверхности равна нормальной составляющей скорости движения свободной поверхности z = η ( x , y , t ) : ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$

Динамическое граничное условие утверждает, что без учета эффектов поверхностного натяжения атмосферное давление непосредственно над свободной поверхностью равно давлению жидкости непосредственно под поверхностью. Для нестационарного потенциального потока это означает, что уравнение Бернулли должно применяться на свободной поверхности. В случае постоянного атмосферного давления динамическое граничное условие становится :

где постоянное атмосферное давление принято равным нулю, без потери общности .

Оба граничных условия содержат потенциал, а также возвышение поверхности η . (Динамическое) граничное условие в терминах только потенциала может быть построено путем взятия материальной производной динамического граничного условия и использования кинематического граничного условия: ^{[49] [50] [51]} ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$ $${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

В нижней части слоя жидкости непроницаемость требует, чтобы нормальная составляющая скорости потока обращалась в нуль: ^[49]

где h ( x , y ) — глубина слоя ниже точки привязки z = 0 , а n — компонент координаты в направлении, нормальном к слою .

Для постоянных волн над горизонтальным слоем средняя глубина h является постоянной величиной, а граничное условие на слое становится следующим: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

Ряд Тейлора в граничных условиях свободной поверхности

Граничные условия свободной поверхности (D) и (E) применяются на пока неизвестной высоте свободной поверхности z = η ( x , y , t ) . Их можно преобразовать в граничные условия на фиксированной высоте z = const с помощью разложений в ряд Тейлора поля потока вокруг этой высоты. ^[49] Без потери общности средняя высота поверхности, вокруг которой разрабатывается ряд Тейлора, может быть взята при z = 0 . Это гарантирует, что разложение происходит вокруг высоты, близкой к фактической высоте свободной поверхности. Сходимость ряда Тейлора для установившегося волнового движения малой амплитуды была доказана Леви-Чивитой (1925).

Используются следующие обозначения: ряд Тейлора некоторого поля f ( x , y , z , t ) вокруг z = 0 и вычисленный при z = η ( x , y , t ) – это: ^[52] с нижним индексом ноль, означающим вычисление при z = 0 , например: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) . $${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$

Применение разложения Тейлора к граничному условию свободной поверхности (E) в терминах потенциала Φ дает: ^{[49] [52]}

показывая члены вплоть до тройных произведений η , Φ и u , как требуется для построения разложения Стокса до третьего порядка O (( ka ) ³ ). Здесь ka — крутизна волны, причем k — характерное волновое число , а a — характерная амплитуда волны для изучаемой задачи. Поля η , Φ и u предполагаются равными O ( ka ).

Динамическое граничное условие свободной поверхности (D) можно оценить в терминах величин при z = 0 следующим образом: ^{[49] [52]}

Преимущества этих разложений в ряд Тейлора полностью проявляются в сочетании с подходом на основе ряда возмущений для слабо нелинейных волн ( ka ≪ 1) .

Подход на основе ряда возмущений

Ряды возмущений находятся в терминах малого параметра порядка ε ≪ 1 – который впоследствии оказывается пропорционален (и имеет порядок) наклону волны ka , см. решение ряда в этом разделе. ^[53] Итак, возьмем ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

При применении в уравнениях потока они должны быть действительными независимо от конкретного значения ε . Приравнивая по степеням ε , каждый член, пропорциональный ε в определенной степени, должен быть равен нулю. В качестве примера того, как работает подход возмущения-ряда, рассмотрим нелинейное граничное условие (G) ; оно становится: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

Полученные граничные условия при z = 0 для первых трех порядков следующие:

Первый заказ:

Второй порядок:

Третий порядок:

Аналогичным образом – из динамического граничного условия (H) – условия при z = 0 в порядках 1, 2 и 3 становятся:

Первый заказ:

Второй порядок:

Третий порядок:

Для линейных уравнений (A) , (B) и (F) метод возмущений приводит к ряду уравнений, независимых от решений возмущений в других порядках:

Приведенные выше уравнения возмущений можно решать последовательно, т.е. начиная с первого порядка, затем продолжая вторым порядком, третьим порядком и т.д.

Применение к прогрессивным периодическим волнам постоянной формы

Анимация крутых волн Стокса в глубокой воде с длиной волны примерно в два раза больше глубины воды для трех последовательных периодов волны . Высота волны составляет около 9,2% от длины волны .
Описание анимации : Белые точки — это жидкие частицы, следующие во времени. В показанном здесь случае средняя эйлерова горизонтальная скорость ниже подошвы волны равна нулю. ^[54]

Волны постоянной формы распространяются с постоянной фазовой скоростью (или быстротой), обозначаемой как c . Если устойчивое движение волны происходит в горизонтальном направлении x , то величины потока η и u не зависят отдельно от x и времени t , а являются функциями x − ct : ^[55] $${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

Далее волны являются периодическими – и потому, что они также имеют постоянную форму – как в горизонтальном пространстве x, так и во времени t , с длиной волны λ и периодом τ соответственно. Обратите внимание, что сама Φ ( x , z , t ) не обязательно является периодической из-за возможности постоянного (линейного) дрейфа по x и/или t : ^[56] с φ ( x , z , t ) – а также производными ∂ Φ /∂ t и ∂ Φ /∂ x – являющимися периодическими. Здесь β – средняя скорость потока ниже уровня желоба , а γ относится к гидравлическому напору , наблюдаемому в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны c (поэтому поток становится стационарным в этой системе отсчета). $${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$

Чтобы применить разложение Стокса к прогрессивным периодическим волнам, выгодно описать их с помощью рядов Фурье как функцию фазы волны θ ( x , t ): ^{[48] [56]} $${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

предполагая, что волны распространяются в направлении x . Здесь k = 2 π / λ — волновое число , ω = 2 π / τ — угловая частота , а c = ω / k (= λ / τ ) — фазовая скорость .

Теперь возвышение свободной поверхности η ( x , t ) периодической волны можно описать как ряд Фурье : ^{[11] [56]} $${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

Аналогично, соответствующее выражение для потенциала скорости Φ ( x , z , t ) имеет вид: ^[56] $${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

удовлетворяющий как уравнению Лапласа ∇ ² Φ = 0 внутри жидкости, так и граничному условию ∂ Φ /∂ z = 0 на слое z = − h .

Для заданного значения волнового числа k параметры: A _n , B _n (при n = 1, 2, 3, ... ), c ​​, β и γ еще предстоит определить. Все они могут быть разложены в ряды возмущений по ε . Фентон (1990) приводит эти значения для теории волн Стокса пятого порядка.

Для прогрессивных периодических волн производные по x и t функций f ( θ , z ) от θ ( x , t ) можно выразить как производные по θ : $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

Важным моментом для нелинейных волн — в отличие от линейной теории волн Эйри — является то, что фазовая скорость c также зависит от амплитуды волны a , помимо ее зависимости от длины волны λ = 2π / k и средней глубины h . Пренебрежение зависимостью c от амплитуды волны приводит к появлению вековых членов в более высоких вкладах в решение ряда возмущений. Стокс (1847) уже применил требуемую нелинейную поправку к фазовой скорости c, чтобы предотвратить вековое поведение. Общий подход для этого теперь известен как метод Линдстедта–Пуанкаре . Поскольку волновое число k задано и, таким образом, фиксировано, нелинейное поведение фазовой скорости c = ω / k учитывается путем также разложения угловой частоты ω в ряд возмущений: ^[9] $${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

Здесь ω ₀ окажется связанным с волновым числом k через линейное дисперсионное соотношение . Однако производные по времени, через ∂ f /∂ t = − ω ∂ f /∂ θ , теперь также дают вклады – содержащие ω ₁ , ω ₂ и т. д. – в основные уравнения в более высоких порядках ряда возмущений. Настраивая ω ₁ , ω ₂ и т. д., можно предотвратить вековое поведение. Для поверхностных гравитационных волн обнаруживается, что ω ₁ = 0 , а первый ненулевой вклад в дисперсионное соотношение исходит от ω ₂ (см., например, подраздел «Дисперсионное соотношение третьего порядка» выше). ^[9]

Два определения скорости волны по Стоксу

Для нелинейных поверхностных волн существует, в общем, неоднозначность в разделении полного движения на волновую часть и среднюю часть. Как следствие, существует некоторая свобода в выборе фазовой скорости (скорости) волны. Стокс (1847) выделил два логических определения фазовой скорости, известных как первое и второе определения Стокса волновой скорости: ^{[6] [11] [57]}

1. Первое определение скорости волны Стокса имеет, для чистого волнового движения, среднее значение горизонтальной эйлеровой скорости потока Ū _E в любом месте ниже уровня ложбины , равное нулю. Из-за безвихревости потенциального потока, вместе с горизонтальным морским дном и периодичностью средней горизонтальной скорости, средняя горизонтальная скорость является постоянной между уровнем ложа и ложбины. Таким образом, в первом определении Стокса волна рассматривается из системы отсчета, движущейся со средней горизонтальной скоростью Ū _E . Это выгодный подход, когда средняя эйлерова скорость потока Ū _E известна, например, из измерений.
2. Второе определение скорости волны по Стоксу относится к системе отсчета, в которой средний горизонтальный перенос массы волнового движения равен нулю. Это отличается от первого определения из-за переноса массы в зоне заплеска , т. е. между уровнем подошвы и гребня, в направлении распространения волны. Этот вызванный волной перенос массы вызван положительной корреляцией между высотой поверхности и горизонтальной скоростью. В системе отсчета для второго определения по Стоксу вызванный волной перенос массы компенсируется встречным подводным течением (поэтому Ū _E  < 0 для волн, распространяющихся в положительном направлении x ). Это логическое определение для волн, генерируемых в волновом желобе в лаборатории, или волн, движущихся перпендикулярно к пляжу.

Как указал Майкл Э. Макинтайр , средний горизонтальный перенос массы будет (близок) к нулю для группы волн , приближающейся к спокойной воде, а также в глубокой воде перенос массы, вызванный волнами, уравновешен противоположным переносом массы в обратном потоке (подводном течении). ^[58] Это связано с тем, что в противном случае для ускорения водоема, в который распространяется группа волн, потребуется большая средняя сила.

Примечания

1. Рисунок 5 в: Сьюзен Барч-Винклер; Дэвид К. Линч (1988), Каталог мировых случаев возникновения и характеристик приливных волн (Циркуляр 1022), Геологическая служба США.
2. Чакрабарти, SK (2005), Справочник по оффшорной инженерии , Elsevier, стр. 235, ISBN 9780080445687
3. Грант, MA (1973), «Стоячие волны Стокса максимальной высоты», Журнал механики жидкости , 60 (3): 593–604, Bibcode : 1973JFM....60..593G, doi : 10.1017/S0022112073000364, S2CID  123179735
4. Очи, Мишель К. (2003), Моря, вызванные ураганами , Elsevier, стр. 119, ISBN 9780080443126
5. Тайфун, М.А. (1980), «Узкополосные нелинейные морские волны», Журнал геофизических исследований , 85 (C3): 1548–1552, Bibcode : 1980JGR....85.1548T, doi : 10.1029/JC085iC03p01548
6. Dingemans, MW (1997), «Распространение волн на воде над неровным дном», Технический отчет NASA Sti/Recon N , Расширенная серия по океанической инженерии, 13 : 171–184, §2.8, Bibcode : 1985STIN...8525769K, ISBN 978-981-02-0427-3, OCLC  36126836
7. Свендсен, IA (2006), Введение в прибрежную гидродинамику , World Scientific, стр. 370, ISBN 9789812561428
8. Тоба, Ёсиаки (2003), Взаимодействие океана и атмосферы , Springer, стр. 27–31, ISBN 9781402011719
9. Whitham (1974, стр. 471–476, §13.13)
10. Hedges, TS (1995), «Области применимости аналитических волновых теорий», Труды Института инженеров-строителей — Водные ресурсы, морская промышленность и энергетика , 112 (2): 111–114, doi :10.1680/iwtme.1995.27656
11. Фентон (1990)
12. Стокс (1847)
13. Le Méhauté, B. (1976), Введение в гидродинамику и волны на воде , Springer, ISBN 978-0387072326
14. Лонге-Хиггинс, М.С.; Фентон, Дж.Д. (1974), «О массе, импульсе, энергии и циркуляции уединенной волны. II», Труды Королевского общества A , 340 (1623): 471–493, Bibcode : 1974RSPSA.340..471L, doi : 10.1098/rspa.1974.0166, S2CID  124253945
15. Уилтон (1914)
16. Де (1955)
17. Фентон (1985), также (включая исправления) в Фентон (1990)
18. Stokes (1880b)
19. Дреннан, WM; Хуэй, WH; Тенти, Г. (1992), «Точные расчеты стоксовских волн на воде большой амплитуды», Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik , 43 (2): 367–384, Бибкод : 1992ZaMP...43..367D, doi : 10.1007 /BF00946637, S2CID  121134205
20. Булдаков, EV; Тейлор, PH; Иток Тейлор, R. (2006), "Новое асимптотическое описание нелинейных волн на воде в лагранжевых координатах", Журнал механики жидкости , 562 : 431–444, Bibcode : 2006JFM...562..431B, CiteSeerX 10.1.1.492.5377 , doi : 10.1017/S0022112006001443, S2CID  29506471 
21. Clamond, D. (2007), «О лагранжевом описании устойчивых поверхностных гравитационных волн», Journal of Fluid Mechanics , 589 : 433–454, Bibcode : 2007JFM...589..433C, CiteSeerX 10.1.1.526.5643 , doi : 10.1017/S0022112007007811, S2CID  123255841 
22. Крэппер (1957)
23. Этот рисунок является ремейком и адаптацией рисунка 1 из Schwartz & Fenton (1982)
24. Шварц и Фентон (1982)
25. Бенджамин, ТБ ; Олвер, ПДж (1982), «Гамильтонова структура, симметрии и законы сохранения для волн на воде», Журнал механики жидкости , 125 : 137–185, Bibcode : 1982JFM...125..137B, doi : 10.1017/S0022112082003292, S2CID  11744174
26. Хаммак, Дж. Л.; Хендерсон, Д. М .; Сегюр, Х. (2005), «Прогрессивные волны с устойчивыми двумерными поверхностными узорами в глубокой воде», Журнал механики жидкости , 532 : 1–52, Bibcode : 2005JFM...532....1H, doi : 10.1017/S0022112005003733, S2CID  53416586
27. Крейг, В.; Николс, Д.П. (2002), «Бегущая гравитационная волна на воде в двух и трех измерениях», European Journal of Mechanics B , 21 (6): 615–641, Bibcode : 2002EJMF...21..615C, doi : 10.1016/S0997-7546(02)01207-4
28. Дебнат, Л. (2005), Нелинейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров , Биркхойзер, стр. 181 и 418–419, ISBN 9780817643232
29. Дьяченко, СА; Лушников, ПМ; Короткевич, АО (2016), "Разрезы ветвей волны Стокса на глубокой воде. Часть I: Численное решение и приближение Паде", Исследования по прикладной математике , 137 (4): 419–472, arXiv : 1507.02784 , doi : 10.1111/sapm.12128, S2CID  52104285
30. Мичелл, Дж. Х. (1893), «Самые высокие волны в воде», Philosophical Magazine , Series 5, 36 (222): 430–437, doi :10.1080/14786449308620499
31. Грант, Малкольм А. (1973), «Сингулярность на гребне прогрессирующей волны Стокса конечной амплитуды», Журнал механики жидкости , 59 (2): 257–262, Bibcode : 1973JFM....59..257G, doi : 10.1017/S0022112073001552, S2CID  119356016
32. Толанд, Дж. Ф. (1978), «О существовании волны наибольшей высоты и гипотезе Стокса», Труды Королевского общества A , 363 (1715): 469–485, Bibcode : 1978RSPSA.363..469T, doi : 10.1098/rspa.1978.0178, S2CID  120444295
33. Плотников, П.И. (1982), «Доказательство гипотезы Стокса в теории поверхностных волн», Динамика сплошной среды , 57 : 41–76.

    Перепечатано в: Плотников, ПИ (2002), «Доказательство гипотезы Стокса в теории поверхностных волн», Исследования по прикладной математике , 3 (2): 217–244, doi :10.1111/1467-9590.01408

34. Амик, CJ; Френкель, LE; Толанд, JF (1982), «О гипотезе Стокса для волны экстремальной формы», Acta Mathematica , 148 : 193–214, doi : 10.1007/BF02392728
35. Rainey, RCT; Longuet-Higgins, MS (2006), «Близкое одночленное приближение к самой высокой волне Стокса на глубокой воде», Ocean Engineering , 33 (14–15): 2012–2024, doi :10.1016/j.oceaneng.2005.09.014
36. Лонге-Хиггинс, М.С. (1979), «Почему волна на воде похожа на напольные часы?», Physics of Fluids , 22 (9): 1828–1829, Bibcode : 1979PhFl...22.1828L, doi : 10.1063/1.862789
37. Дьяченко, С.А.; Короткевич, АО; Лушников, ПМ; Семенова А.А.; Силантьев Д.А. (2013–2022), StokesWave.org
38. Для обзора неустойчивости волн Стокса см., например: Craik, ADD (1988), Wave interactions and fluid flows , Cambridge University Press, стр. 199–219, ISBN
     978-0-521-36829-2
39. Бенджамин, Т. Брук ; Фейр, Дж. Э. (1967), «Распад волновых поездов на глубокой воде. Часть 1. Теория», Журнал механики жидкости , 27 (3): 417–430, Bibcode : 1967JFM....27..417B, doi : 10.1017/S002211206700045X, S2CID  121996479
40. Захаров, VE ; Островский, LA (2009). "Модуляционная неустойчивость: Начало" (PDF) . Physica D . 238 (5): 540–548. Bibcode :2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.
41. Бенджамин, ТБ (1967), «Неустойчивость периодических волновых поездов в нелинейных дисперсионных системах», Труды Королевского общества A , 299 (1456): 59–76, Bibcode : 1967RSPSA.299...59B, doi : 10.1098/rspa.1967.0123, S2CID  121661209Завершилось обсуждением Клауса Хассельмана .
42. Лейк, Б. М.; Юэн, Х. К.; Рунгальдье, Х.; Фергюсон, У. Э. (1977), «Нелинейные волны на большой глубине: теория и эксперимент. Часть 2. Эволюция непрерывного волнового поезда», Журнал механики жидкости , 83 (1): 49–74, Bibcode : 1977JFM....83...49L, doi : 10.1017/S0022112077001037, S2CID  123014293
43. Лонге-Хиггинс, М.С. (1978), «Неустойчивости гравитационных волн конечной амплитуды в глубокой воде. I. Супергармоники», Труды Королевского общества A , 360 (1703): 471–488, Bibcode : 1978RSPSA.360..471L, doi : 10.1098/rspa.1978.0080, S2CID  202575377
44. Лонге-Хиггинс, М.С. (1978), «Неустойчивости гравитационных волн конечной амплитуды в глубокой воде. II. Субгармоники», Труды Королевского общества A , 360 (1703): 489–505, Bibcode : 1978RSPSA.360..471L, doi : 10.1098/rspa.1978.0080, S2CID  202575377
45. Короткевич, АО; Лушников, ПМ; Семенова, А.; Дьяченко, СА (2022), "Супергармоническая неустойчивость волн Стокса", Исследования по прикладной математике , 150 : 119–134, arXiv : 2206.00725 , doi :10.1111/sapm.12535, S2CID  249282423
46. Маклин, Дж. В.; Ма, Й. К.; Мартин, Д. У.; Саффман, П. Г .; Юэн, Х. К. (1981), «Трехмерная неустойчивость волн конечной амплитуды на воде» (PDF) , Physical Review Letters , 46 (13): 817–820, Bibcode : 1981PhRvL..46..817M, doi : 10.1103/PhysRevLett.46.817
47. Маклин, Дж. В. (1982), «Неустойчивости волн конечной амплитуды на воде», Журнал механики жидкости , 114 : 315–330, Bibcode : 1982JFM...114..315M, doi : 10.1017/S0022112082000172, S2CID  122511104
48. Диас и Хариф (1999)
49. Филлипс, OM (1980), Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 33–37, ISBN 978-0-521-29801-8
50. Mei (1989, стр. 4–6)
51. Лонге-Хиггинс, М.С. (1962), «Резонансные взаимодействия между двумя цугами гравитационных волн», Журнал механики жидкости , 12 (3): 321–332, Bibcode : 1962JFM....12..321L, doi : 10.1017/S0022112062000233, S2CID  122810532
52. Mei (1989, стр. 607–608)
53. Путем обезразмеривания уравнений потока и граничных условий можно определить различные режимы в зависимости от масштабирования координат и величин потока. В глубокой (более) воде характерная длина волны является единственным доступным масштабом длины. Таким образом, горизонтальные и вертикальные координаты все обезразмерены с длиной волны. Это приводит к теории волн Стокса. Однако в мелкой воде глубина воды является подходящим характерным масштабом, чтобы сделать вертикальную координату безразмерной, в то время как горизонтальные координаты масштабируются с длиной волны, что приводит к приближению Буссинеска . Для обсуждения см.:
    • Беджи, С. (1995), «Заметка о параметре нелинейности поверхностных волн», Coastal Engineering , 25 (1–2): 81–85, doi :10.1016/0378-3839(94)00031-R;
    • Кирби, Дж. Т. (1998), «Обсуждение «Заметки о параметре нелинейности поверхностных волн» С. Беджи», Coastal Engineering , 34 (1–2): 163–168, doi :10.1016/S0378-3839(98)00024-6и
    • Беджи, С. (1998), «Авторское завершение обсуждения Дж. Т. Кирби «Замечание о параметре нелинейности поверхностных волн»", Береговая инженерия , 34 (1–2): 169–171, doi :10.1016/S0378-3839(98)00018-0
54. Физика волн вычисляется с помощью теории функции потока Ринекера и Фентона (R&F) . Для компьютерного кода для вычисления этих данных см.: Fenton, JD (1988), "Численное решение проблем стационарных волн на воде", Computers & Geosciences , 14 (3): 357–368, Bibcode :1988CG.....14..357F, doi :10.1016/0098-3004(88)90066-0.Анимации созданы на основе результатов R&F с помощью серии скриптов Matlab и скриптов оболочки .
55. Вехаузен и Лайтоне (1960, стр. 653–667, §27)
56. Whitham (1974, стр. 553–556, §16.6)
57. Сарпкая, Тургут; Айзексон, Майкл (1981), Механика волновых сил на морских сооружениях , Van Nostrand Reinhold, стр. 183, ISBN 9780442254025
58. Макинтайр, ME (1981), «О мифе о «волновом импульсе»», Журнал механики жидкости , 106 : 331–347, Bibcode : 1981JFM...106..331M, doi : 10.1017/S0022112081001626, S2CID  18232994

Ссылки

Сэр Джордж Габриэль Стоукс

• Стокс, Г.Г. (1847), «К теории колебательных волн», Труды Кембриджского философского общества , 8 : 441–455.
  

Перепечатано в: Стокс, Г. Г. (1880a), «О теории колебательных волн», Математические и физические статьи, том I, Cambridge University Press, стр. 197–229, ISBN 9781001435534, OCLC  314316422

• Стокс, Г. Г. (1880b), «Дополнение к статье по теории колебательных волн», Математические и физические труды, том I, Cambridge University Press, стр. 314–326, ISBN 9781001435534, OCLC  314316422

Другие исторические ссылки

• Crapper, GD (1957), «Точное решение для прогрессивных капиллярных волн произвольной амплитуды», Journal of Fluid Mechanics , 2 (6): 532–540, Bibcode : 1957JFM.....2..532C, doi : 10.1017/S0022112057000348, S2CID  120377950
• De, SC (1955), «Вклад в теорию волн Стокса», Математические труды Кембриджского философского общества , 51 (4): 713–736, Bibcode : 1955PCPS...51..713D, doi : 10.1017/S0305004100030796, S2CID  122721263
• Леви-Чивита, Т. (1925), «Détermination rigoreuse des ondes Permanentes d'Ampleur Finie», Mathematische Annalen , 93 : 264–314, doi : 10.1007/BF01449965, S2CID  121341503
• Струик, ди-джей (1926), «Точное определение периодических волн в канале глубокого проникновения», Mathematische Annalen , 95 : 595–634, doi : 10.1007/BF01206629, S2CID  122656179
• Лорд Рэлей (1917), «О периодических безвихревых волнах на поверхности глубокой воды», Philosophical Magazine , Series 6, 33 (197): 381–389, doi :10.1080/14786440508635653.
  

Перепечатано в: Strutt, John William (Lord Rayleigh) (1920), Scientific Papers, т. 6, Cambridge University Press, стр. 478–485, §419, OCLC  2316730

• Уилтон, Дж. Р. (1914), «О волнах на глубокой воде», Philosophical Magazine , Серия 6, 27 (158): 385–394, doi :10.1080/14786440208635100

Более поздние (с 1960 года)

• Cokelet, ED (1977), «Крутые гравитационные волны в воде произвольной однородной глубины», Philosophical Transactions of the Royal Society , 286 (1335): 183–230, Bibcode : 1977RSPTA.286..183C, doi : 10.1098/rsta.1977.0113, S2CID  119957640
• Craik, ADD (2005), «Джордж Габриэль Стокс о теории волн на воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 37 (1): 23–42, Bibcode : 2005AnRFM..37...23C, doi : 10.1146/annurev.fluid.37.061903.175836
• Диас, Ф.; Хариф, К. (1999), «Нелинейная гравитация и капиллярно-гравитационные волны», Annual Review of Fluid Mechanics , 31 : 301–346, Bibcode : 1999AnRFM..31..301D, doi : 10.1146/annurev.fluid.31.1.301
• Фентон, Дж. Д. (1985), «Теория Стокса пятого порядка для устойчивых волн», Журнал водного транспорта, портов, прибрежных районов и океанической инженерии , 111 (2): 216–234, CiteSeerX  10.1.1.461.6157 , doi :10.1061/(ASCE)0733-950X(1985)111:2(216)
  

И в (включая исправления):

Фентон, Дж. Д. (1990), «Нелинейные волновые теории», в LeMéhauté, Б.; Хейнс, Д. М. (ред.), Ocean Engineering Science (PDF) , The Sea, т. 9A, Wiley Interscience, стр. 3–25, ISBN 9780674017399

• Лонге-Хиггинс, М.С. (1975), «Интегральные свойства периодических гравитационных волн конечной амплитуды», Труды Королевского общества A , 342 (1629): 157–174, Bibcode : 1975RSPSA.342..157L, doi : 10.1098/rspa.1975.0018, S2CID  123723040
• Мэй, CC (1989), Прикладная динамика поверхностных волн океана , World Scientific, ISBN 9789971507893
• Шварц, Л. В. (1974), «Компьютерное расширение и аналитическое продолжение разложения Стокса для гравитационных волн», Журнал механики жидкости , 62 (3): 553–578, Bibcode : 1974JFM....62..553S, doi : 10.1017/S0022112074000802, S2CID  120140832
• Шварц, Л. В.; Фентон, Дж. Д. (1982), «Сильно нелинейные волны», Annual Review of Fluid Mechanics , 14 : 39–60, Bibcode : 1982AnRFM..14...39S, doi : 10.1146/annurev.fl.14.010182.000351
• Вехаузен, Дж. В. и Лайтоне, Э. В. (1960), Флюгге, С. и Трусделл, К. (ред.), «Поверхностные волны», Энциклопедия физики , 9 : 653–667, §27, OCLC  612422741
• Уизем, ГБ (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-94090-6
• Уильямс, Дж. М. (1981), «Ограниченные гравитационные волны в воде конечной глубины», Philosophical Transactions of the Royal Society , Series A, 302 (1466): 139–188, Bibcode : 1981RSPTA.302..139W, doi : 10.1098/rsta.1981.0159, S2CID  122673867и
  

Уильямс, Дж. М. (1985), Таблицы прогрессивных гравитационных волн , Питман, ISBN 978-0273087335

Внешние ссылки

• Jun Zhang, апплет волн Стокса, Техасский университет A&M , получено 09.08.2012