Вероятность

Раздел математики, посвященный случайности и неопределенности.

Вероятность выпадения нескольких чисел на двух игральных костях

Вероятность — это раздел математики , изучающий события и числовые описания того, насколько вероятно, что они произойдут. Вероятность события — это число от 0 до 1; чем больше вероятность, тем более вероятно, что событие произойдет. ^{[примечание 1] [1] [2]} Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет. Простой пример — подбрасывание честной (непредвзятой) монеты. Поскольку монета честная, два исхода («орёл» и «решка») одинаково вероятны; вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки; и поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (что также можно записать как 0,5 или 50%).

Эти концепции получили аксиоматическую математическую формализацию в теории вероятностей , которая широко используется в таких областях исследования , как статистика , математика , естествознание , финансы , азартные игры , искусственный интеллект , машинное обучение , информатика , теория игр и философия . Например, сделайте выводы об ожидаемой частоте событий. Теория вероятностей также используется для описания основной механики и закономерностей сложных систем . ^[3]

Интерпретации

Когда мы имеем дело со случайными экспериментами – т.е. экспериментами , которые являются случайными и четко определенными – в чисто теоретической ситуации (например, подбрасывание монеты), вероятности могут быть численно описаны количеством желаемых результатов, разделенным на общее количество всех результатов. Это называется теоретической вероятностью (в отличие от эмпирической вероятности , имеющей дело с вероятностями в контексте реальных экспериментов). Например, если дважды подбросить монету, то выпадут результаты «орел-орел», «орел-решка», «решка-орел» и «решка-решка». Вероятность получения исхода «голова-голова» составляет 1 из 4 исходов, или, в численном выражении, 1/4, 0,25 или 25%. Однако когда дело доходит до практического применения, существуют две основные конкурирующие категории интерпретаций вероятности, приверженцы которых придерживаются разных взглядов на фундаментальную природу вероятности:

• Объективисты присваивают числа для описания некоторого объективного или физического положения дел. Самая популярная версия объективной вероятности — это частотная вероятность , которая утверждает, что вероятность случайного события обозначает относительную частоту возникновения результата эксперимента, когда эксперимент повторяется бесконечно. Эта интерпретация рассматривает вероятность как относительную частоту результатов «в долгосрочной перспективе». ^[4] Модификацией этого подхода является вероятность склонности , которая интерпретирует вероятность как тенденцию некоторого эксперимента привести к определенному результату, даже если он выполняется только один раз.
• Субъективисты присваивают числа субъективной вероятности, то есть степени уверенности . ^[5] Степень уверенности интерпретируется как «цена, по которой вы купили бы или продали ставку, которая приносит 1 единицу полезности, если E, и 0, если не E», ^[6] , хотя эта интерпретация не является общепринятой. ^[7] Наиболее популярной версией субъективной вероятности является байесовская вероятность , которая включает в себя экспертные знания, а также экспериментальные данные для определения вероятностей. Экспертные знания представлены некоторым (субъективным) априорным распределением вероятностей . Эти данные включены в функцию правдоподобия . Произведение априорной вероятности и вероятности при нормализации приводит к апостериорному распределению вероятностей , которое включает в себя всю известную на сегодняшний день информацию. ^[8] Согласно теореме Ауманна о согласии , байесовские агенты, чьи априорные убеждения схожи, в конечном итоге получат аналогичные апостериорные убеждения. Однако достаточно разные априорные данные могут привести к разным выводам, независимо от того, каким объемом информации делятся агенты. ^[9]

Этимология

Слово «вероятность» происходит от латинского слова « probilitas », которое также может означать «честность», меру авторитета свидетеля в судебном деле в Европе , и часто соотносится с благородством свидетеля . В некотором смысле это сильно отличается от современного значения вероятности , которая, напротив, является мерой веса эмпирических данных и достигается на основе индуктивных рассуждений и статистических выводов . ^[10]

История

Научное исследование вероятности представляет собой современное развитие математики . Азартные игры показывают , что интерес к количественной оценке идей вероятности существовал на протяжении всей истории, но точные математические описания возникли гораздо позже. Есть причины медленного развития математики вероятностей. Хотя азартные игры дали толчок математическому изучению вероятностей, фундаментальные вопросы ^{[примечание 2]} до сих пор скрыты суевериями. ^[11]

По словам Ричарда Джеффри , «до середины семнадцатого века термин «вероятный» (лат. вероятнос ) означал « допустимый » и применялся в этом смысле однозначно к мнению и действию. Вероятным действием или мнением было такое, как разумные люди взяли бы на себя обязательство или придерживались бы его в данных обстоятельствах». ^[12] Однако, особенно в юридическом контексте, слово «вероятный» может также применяться к утверждениям, для которых имеются веские доказательства. ^[13]

Джероламо Кардано (16 век)

Христиан Гюйгенс опубликовал одну из первых книг по вероятности (17 век).

Итальянский эрудит шестнадцатого века Джероламо Кардано продемонстрировал эффективность определения шансов как соотношения благоприятных и неблагоприятных исходов (что означает, что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему числу возможных исходов ^[14] ). . Помимо элементарной работы Кардано, учение о вероятностях восходит к переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля (1654 г.). Христиан Гюйгенс (1657 г.) дал самую раннюю известную научную трактовку этого предмета. ^[15] В книгах Якоба Бернулли «Ars Conjectandi» (посмертно, 1713 г.) и «Доктрине шансов» Авраама де Муавра (1718 г.) этот предмет рассматривался как раздел математики. ^[16] См. «Появление вероятности» Яна Хакинга [ ^10] и «Науку предположений» Джеймса Франклина ^[17] для получения информации об истории раннего развития самой концепции математической вероятности.

Теорию ошибок можно проследить до «Оперы « Разное» » Роджера Котса (посмертно, 1722 г.), но в мемуарах, подготовленных Томасом Симпсоном в 1755 г. (напечатанных в 1756 г.), впервые эта теория была применена к обсуждению ошибок наблюдения. ^[18] В переиздании (1757 г.) этих мемуаров излагаются аксиомы о том, что положительные и отрицательные ошибки одинаково вероятны и что определенные назначаемые пределы определяют диапазон всех ошибок. Симпсон также обсуждает непрерывные ошибки и описывает кривую вероятности.

Первые два закона ошибок, которые были предложены, были предложены Пьером-Симоном Лапласом . Первый закон был опубликован в 1774 году и гласил, что частота ошибки может быть выражена как экспоненциальная функция от числовой величины ошибки, независимо от знака. Второй закон ошибки был предложен в 1778 году Лапласом и заявил, что частота ошибки является экспоненциальной функцией квадрата ошибки. ^[19] Второй закон ошибок называется нормальным распределением или законом Гаусса. «Исторически трудно приписать этот закон Гауссу, который, несмотря на свою широко известную преждевременность развития, вероятно, не сделал этого открытия раньше, чем ему исполнилось два года». ^[19]

Даниэль Бернулли (1778) ввел принцип максимального произведения вероятностей системы одновременных ошибок.

Карл Фридрих Гаусс

Адриен-Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов и представил его в своих « Новых методах определения орбит комет» ( «Новые методы определения орбит комет »). ^[20] Не зная о вкладе Лежандра, американский писатель ирландского происхождения Роберт Адрен , редактор журнала «Аналитик» (1808 г.), первым вывел закон возможности ошибки:

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},}$$

где — константа, зависящая от точности наблюдения, и — масштабный коэффициент, гарантирующий, что площадь под кривой равна 1. Он дал два доказательства, второе по существу такое же, как у Джона Гершеля (1850). ^{[ нужна цитация ]} Гаусс дал первое доказательство, которое, кажется, было известно в Европе (третье после Адрена) в 1809 году. Дальнейшие доказательства были даны Лапласом (1810, 1812), Гауссом (1823), Джеймсом Айвори (1825, 1826). , Хаген (1837 г.), Фридрих Бессель (1838 г.), В. Ф. Донкин (1844, 1856 г.) и Морган Крофтон (1870 г.). Другими участниками были Эллис (1844 г.), Де Морган (1864 г.), Глейшер (1872 г.) и Джованни Скиапарелли (1875 г.). Формула Петерса (1856) [ ^{необходимы пояснения ]} для r , вероятной ошибки единичного наблюдения, хорошо известна. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$

В девятнадцатом веке среди авторов общей теории были Лаплас , Сильвестр Лакруа (1816 г.), Литтроу (1833 г.), Адольф Кетле (1853 г.), Рихард Дедекинд (1860 г.), Гельмерт (1872 г.), Герман Лоран (1873 г.), Лиагр, Дидион. и Карл Пирсон . Огастес Де Морган и Джордж Буль усовершенствовали изложение теории.

В 1906 году Андрей Марков ввел ^[21] понятие цепей Маркова , сыгравшее важную роль в теории случайных процессов и ее приложениях. Современная теория вероятностей, основанная на теории меры, была разработана Андреем Колмогоровым в 1931 году. ^[22]

Что касается геометрической стороны, среди авторов The Educational Times были Миллер, Крофтон, МакКолл, Уолстенхолм, Уотсон и Артемас Мартин . ^[23] Дополнительную информацию см. в разделе «Интегральная геометрия» .

Теория

Как и другие теории , теория вероятностей представляет собой представление своих понятий в формальных терминах, то есть в терминах, которые можно рассматривать отдельно от их смысла. Этими формальными терминами манипулируют правила математики и логики, а любые результаты интерпретируются или переводятся обратно в предметную область.

Было как минимум две успешные попытки формализовать вероятность, а именно формулировка Колмогорова и формулировка Кокса . В формулировке Колмогорова (см. также вероятностное пространство ) множества интерпретируются как события , а вероятность - как мера класса множеств. В теореме Кокса вероятность рассматривается как примитив (т. е. не подвергается дальнейшему анализу), а упор делается на построение непротиворечивого присвоения значений вероятности предложениям. В обоих случаях законы вероятности одинаковы, за исключением технических подробностей.

Существуют и другие методы количественной оценки неопределенности, такие как теория Демпстера-Шейфера или теория возможностей , но они существенно отличаются и несовместимы с обычно понимаемыми законами вероятности.

Приложения

Теория вероятностей применяется в повседневной жизни при оценке и моделировании рисков . Страховая отрасль и рынки используют актуарную науку для определения цен и принятия торговых решений. Правительства применяют вероятностные методы в экологическом регулировании , анализе прав и финансовом регулировании .

Примером использования теории вероятностей в торговле акциями является влияние предполагаемой вероятности любого широкомасштабного конфликта на Ближнем Востоке на цены на нефть, что оказывает волновое воздействие на экономику в целом. Оценка сырьевого трейдера о том, что война более вероятна, может привести к повышению или понижению цен на этот товар и сигнализировать другим трейдерам о том же мнении. Соответственно, вероятности не оцениваются независимо и не обязательно рационально. Теория поведенческих финансов возникла для описания влияния такого группового мышления на ценообразование, политику, а также на мир и конфликты. ^[24]

Помимо финансовой оценки, вероятность может использоваться для анализа тенденций в биологии (например, распространение болезней), а также экологии (например, биологические квадраты Пеннета ). ^[25] Как и в случае с финансами, оценка риска может использоваться в качестве статистического инструмента для расчета вероятности возникновения нежелательных событий и может помочь в реализации протоколов, позволяющих избежать возникновения таких обстоятельств. Вероятность используется для разработки азартных игр , чтобы казино могли получать гарантированную прибыль, но при этом обеспечивать выплаты игрокам достаточно часто, чтобы стимулировать продолжение игры. ^[26]

Еще одним важным применением теории вероятностей в повседневной жизни является надежность . Многие потребительские товары, такие как автомобили и бытовая электроника, используют теорию надежности при разработке продуктов, чтобы снизить вероятность отказа. Вероятность отказа может повлиять на решения производителя относительно гарантии на продукт . ^[27]

Модель языка кэша и другие статистические модели языка , которые используются при обработке естественного языка, также являются примерами применения теории вероятностей.

Математическая обработка

Расчет вероятности (риска) и шансов

Рассмотрим эксперимент, который может дать ряд результатов. Совокупность всех возможных результатов называется выборочным пространством эксперимента, иногда обозначаемым как . Набор мощности выборочного пространства формируется путем рассмотрения всех различных наборов возможных результатов. Например, бросок кубика может дать шесть возможных результатов. Одна совокупность возможных результатов дает нечетное число на кубике. Таким образом, подмножество {1,3,5} является элементом набора мощности выборочного пространства бросков игральных костей. Эти коллекции называются «событиями». В данном случае {1,3,5} — это событие, когда на кубике выпадает некоторое нечетное число. Если результаты, которые действительно происходят, попадают в данное событие, говорят, что событие произошло. ${\displaystyle \Omega }$

Вероятность — это способ присвоить каждому событию значение от нуля до единицы с требованием, чтобы событие, состоящее из всех возможных результатов (в нашем примере событие {1,2,3,4,5,6}), было присвоено значение единица. Чтобы квалифицироваться как вероятность, присвоение значений должно удовлетворять требованию, чтобы для любого набора взаимоисключающих событий (событий без общих результатов, таких как события {1,6}, {3} и {2,4}) Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, равна сумме вероятностей всех отдельных событий. ^[28]

Вероятность события A записывается как , ^[29] или . ^[30] Это математическое определение вероятности можно распространить на бесконечные выборочные пространства и даже на несчетные выборочные пространства, используя концепцию меры. ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle p(A)}$ ${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$

Противоположностью или дополнением события A является событие [не A ] ( то есть событие A не происходит), часто обозначаемое как , или ; его вероятность определяется как P (не A ) знак равно 1 - P ( A ) . ^[31] Например, вероятность того, что на шестигранной игральной кости не выпадет шестерка, равна 1 – (шанс выпадения шестерки) = 1 – ${\displaystyle A',A^{c}}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$ ${\displaystyle {\sim }A}$ 1/6"="5/6. Более подробную информацию о лечении см. в разделе «Дополнительное мероприятие» .

Если два события A и B происходят при одном проведении эксперимента, это называется пересечением или совместной вероятностью A и B и обозначается как ${\displaystyle P(A\cap B).}$

Независимые мероприятия

Если два события A и B независимы , то совместная вероятность равна ^[29]

п ( А и B ) знак равно п ( А ∩ B ) знак равно п ( А ) п ( B ) . {\ displaystyle P (A {\ mbox { и }} B) = P (A \ cap B) = P (A) P (B).}

События A и B изображены как независимые и ненезависимые в пространстве Ω.

Например, если подброшены две монеты, то вероятность того, что обе выпадут орлом, равна ^[32] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$

Взаимоисключающие события

Если событие A или событие B может произойти, но не оба одновременно, то они называются взаимоисключающими событиями.

Если два события являются взаимоисключающими , то вероятность того, что оба события произойдут, обозначается как и ${\displaystyle P(A\cap B)}$

$${\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0}$$

взаимоисключающимилюбого из них ${\displaystyle P(A\cup B)}$

$${\displaystyle P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}$$

игральной кости ${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Не (обязательно) взаимоисключающие события

Если события не (обязательно) взаимоисключающие, то

$${\displaystyle P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).}$$

$${\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}$$

${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},}$

Это можно расширить для нескольких не (обязательно) взаимоисключающих событий. Для трех событий это происходит следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}}$$

Условная возможность

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A при наступлении некоторого другогособытия B. Условная вероятность пишется, а читается «вероятность А при данном В ». Оно определяется ^[33] ${\displaystyle P(A\mid B)}$

$${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,}$$

не определяетсяσ-алгебрунепрерывной случайной величины^[34] ${\displaystyle P(B)=0}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.}$

Например, в мешке с 2 красными и 2 синими шарами (всего 4 шара) вероятность взять красный шар равна , однако при взятии второго шара вероятность того, что это будет либо красный шар, либо синий шар зависит от ранее взятого мяча. Например, если был взят красный шар, то вероятность повторного выбора красного шара будет равна, поскольку остались бы только 1 красный и 2 синих шара. А если ранее был взят синий шар, вероятность взятия красного шара будет равна ${\displaystyle 1/2;}$ ${\displaystyle 1/3,}$ ${\displaystyle 2/3.}$

Обратная вероятность

В теории вероятностей и приложениях правило Байеса связывает шансы события к событию до (до) и после (после) воздействия на другое событие. Шансы на событие - это просто отношение вероятностей двух событий. Когда интерес представляют произвольное количество событий , а не только два, правило можно перефразировать следующим образом: апостериорное пропорционально правдоподобию, умноженному на предыдущие времена , где символ пропорциональности означает, что левая часть пропорциональна (т. е. равна константе, умноженной на константу, умноженную на правую) сторона варьируется, фиксированная или заданная (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). В этой форме оно восходит к Лапласу (1774 г.) и Курно (1843 г.); см. Файнберг (2005). См. Обратная вероятность и правило Байеса . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Сводка вероятностей

Связь со случайностью и вероятностью в квантовой механике

В детерминированной вселенной, основанной на концепциях Ньютона , не было бы никакой вероятности, если бы все условия были известны ( демон Лапласа ) (но есть ситуации, в которых чувствительность к начальным условиям превышает нашу способность их измерить, т.е. знать их). В случае с рулеткой , если известны сила руки и период действия этой силы, число, на котором остановится шарик, будет достоверным (хотя с практической точки зрения это, вероятно, будет верно только для колесо рулетки, которое не было точно выровнено – как показало Томас А. Басс в «Ньютоновском казино »). Это также предполагает знание инерции и трения колеса, веса, гладкости и округлости шара, изменений скорости рук во время поворота и т. д. Таким образом, вероятностное описание может быть более полезным, чем механика Ньютона, для анализа закономерностей результатов повторных бросков рулетки. Физики сталкиваются с такой же ситуацией в кинетической теории газов , где система, хотя и детерминированная в принципе , настолько сложна (количество молекул обычно порядка величины постоянной Авогадро). 6,02 × 10 ²³ ), что возможно только статистическое описание его свойств. ^[35]

Теория вероятностей необходима для описания квантовых явлений. ^[36] Революционным открытием физики начала 20-го века стал случайный характер всех физических процессов, которые происходят на субатомных масштабах и регулируются законами квантовой механики . Целевая волновая функция развивается детерминированно, но, согласно Копенгагенской интерпретации , она имеет дело с вероятностями наблюдения, а результат объясняется коллапсом волновой функции при проведении наблюдения. Однако потеря детерминизма ради инструментализма не встретила всеобщего одобрения. Альберт Эйнштейн в письме Максу Борну заметил : «Я убежден, что Бог не играет в кости». ^[37] Как и Эйнштейн, Эрвин Шрёдингер , открывший волновую функцию, считал, что квантовая механика является статистическим приближением лежащей в основе детерминистической реальности . ^[38] В некоторых современных интерпретациях статистической механики измерений квантовая декогеренция используется для объяснения появления субъективно-вероятностных экспериментальных результатов.

Смотрите также

• Математический портал
• Философский портал

• Непредвиденные обстоятельства
• Равновероятность
• Нечеткая логика
• Эвристика (психология)

Примечания

1. Строго говоря, вероятность 0 указывает на то, что событие почти никогда не происходит, тогда как вероятность 1 указывает на то, что событие почти наверняка произойдет. Это важное различие, когда пространство выборки бесконечно. Например, для непрерывного равномерного распределения на вещественном интервале [5, 10] существует бесконечное число возможных исходов, и вероятность наблюдения любого данного исхода — например, ровно 7 — равна 0. Это означает, что когда если мы сделаем наблюдение, то почти наверняка это будет не ровно 7. Однако это не означает , что ровно 7 невозможно . В конечном итоге будет наблюдаться какой-то конкретный результат (с вероятностью 0), и одна вероятность этого конкретного результата равна ровно 7.
2. В контексте книги, из которой это цитируется, именно теория вероятности и лежащая в ее основе логика управляют явлениями таких вещей, в отличие от опрометчивых предсказаний, основанных на чистой удаче, или мифологических аргументах, таких как боги удачи, помогающие победитель игры.

Рекомендации

1. «Расширенная теория статистики Кендалла, Том 1: Теория распределения», Алан Стюарт и Кейт Орд, 6-е изд. (2009), ISBN  978-0-534-24312-8 .
2. Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения , (Том 1), 3-е изд, (1968), Wiley, ISBN 0-471-25708-7 . 
3. Теория вероятностей, веб-сайт Britannica
4. Хакинг, Ян (1965). Логика статистического вывода . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-05165-1.^{[ нужна страница ]}
5. Финетти, Бруно де (1970). «Логические основы и измерение субъективной вероятности». Акта Психологика . 34 : 129–145. дои : 10.1016/0001-6918(70)90012-0.
6. Хаек, Алан (21 октября 2002 г.). Эдвард Н. Залта (ред.). «Интерпретации вероятности». Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2012 г.) . Проверено 22 апреля 2013 г.
7. Джейнс, ET (2003). «Раздел A.2 Система вероятностей де Финетти». В Бретхорсте, Дж. Ларри (ред.). Теория вероятностей: Логика науки (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59271-0.
8. Хогг, Роберт В.; Крейг, Аллен; Маккин, Джозеф В. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Река Аппер-Седл: Пирсон. ISBN 978-0-13-008507-8.^{[ нужна страница ]}
9. Джейнс, ET (2003). «Раздел 5.3 Сходящиеся и расходящиеся взгляды». В Бретхорсте, Дж. Ларри (ред.). Теория вероятностей: Логика науки (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59271-0.
10. Hacking, I. (2006) Возникновение вероятности: философское исследование ранних идей о вероятности, индукции и статистическом выводе , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68557-3 ^{[ нужная страница ]} 
11. Фрейнд, Джон. (1973) Введение в вероятность . ISBN Дикенсона 978-0-8221-0078-2 (стр. 1) 
12. Джеффри, RC, Вероятность и искусство суждения, Издательство Кембриджского университета. (1992). стр. 54–55. ISBN 0-521-39459-7 
13. Франклин, Дж. (2001) Наука догадок: доказательства и вероятности до Паскаля, Издательство Университета Джонса Хопкинса. (стр. 22, 113, 127)
14. «Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как Кардано их предвидел, Горрохум, журнал P. Chance, 2012» (PDF) .
15. Абрамс, Уильям, Краткая история вероятности, Второй момент, заархивировано из оригинала 24 июля 2017 г. , получено 23 мая 2008 г.
16. Иванцевич, Владимир Г.; Иванцевич, Тияна Т. (2008). Квантовый скачок: от Дирака и Фейнмана через Вселенную к человеческому телу и разуму . Сингапур; Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. п. 16. ISBN 978-981-281-927-7.
17. Франклин, Джеймс (2001). Наука догадок: доказательства и вероятности до Паскаля . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-6569-5.
18. Обувьсмит, Эдди (ноябрь 1985 г.). «Томас Симпсон и среднее арифметическое». История Математики . 12 (4): 352–355. дои : 10.1016/0315-0860(85)90044-8 .
19. Уилсон Э.Б. (1923) «Первый и второй законы ошибок». Журнал Американской статистической ассоциации , 18, 143.
20. Сенета, Юджин Уильям. «Адриен-Мари Лежандр» (версия 9)». StatProb: Энциклопедия, спонсируемая обществами статистики и теории вероятностей . Архивировано из оригинала 3 февраля 2016 года . Проверено 27 января 2016 г.
21. Вебер, Ричард. «Цепи Маркова» (PDF) . Статистическая лаборатория . Кембриджский университет.
22. Витаньи, Пол МБ (1988). «Андрей Николаевич Колмогоров». CWI Ежеквартально (1): 3–18 . Проверено 27 января 2016 г.
23. Уилкокс, Рэнд Р. (2016). Понимание и применение основных статистических методов с использованием R. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-06140-3. ОКЛК  949759319.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
24. Сингх, Лори (2010) «Куда идут эффективные рынки? Теория эффективного рынка и поведенческие финансы». Сообщение финансовых специалистов, 2010.
25. Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбанк (сентябрь 2012 г.). «Реджинальд Крандалл Паннетт: первый профессор генетики Артура Бальфура, Кембридж, 1912». Перспективы. Генетика . Колледж Гонвилля и Кая, Кембридж, Великобритания: Американское генетическое общество . 192 (1): 3–13. doi : 10.1534/genetics.112.143552. ПМЦ 3430543 . PMID  22964834. стр. 5–6: […] Квадрат Паннета, кажется, был развитием 1905 года, слишком поздно для первого издания его « Менделизма» (май 1905 года), но многое отражено в отчете III Комитету по эволюции Королевского Общество [(Бейтсон и др. 1906b) «получило 16 марта 1906 г.»]. Самое раннее упоминание содержится в письме Фрэнсиса Гальтона Бэйтсону от 1 октября 1905 года (Эдвардс 2012). У нас есть свидетельство Бейтсона (1909, стр. 57), что «Введением этой системы [графического метода], которая значительно упрощает сложные случаи, я обязан г-ну Паннетту». […] Первые опубликованные диаграммы появились в 1906 году. […] когда Паннетт опубликовал второе издание своего «Менделизма» , он использовал немного другой формат ([…] Паннетт 1907, стр. 45) […] В третьем издании (Пуннетт 1911, стр. 34) он вернулся к расположению […] с описанием построения того, что он назвал методом «шахматной доски» (хотя на самом деле это больше похоже на таблицу умножения). […] (11 страниц)
26. Гао, JZ; Фонг, Д.; Лю, X. (апрель 2011 г.). «Математический анализ систем скидок казино для VIP-гемблинга». Международные исследования азартных игр . 11 (1): 93–106. дои : 10.1080/14459795.2011.552575. S2CID  144540412.
27. Горман, Майкл Ф. (2010). «Управленческий анализ». Наука управления . 56 : iv–vii. дои : 10.1287/mnsc.1090.1132.
28. Росс, Шелдон М. (2010). Первый курс теории вероятностей (8-е изд.). Пирсон Прентис Холл. стр. 26–27. ISBN 9780136033134.
29. Вайсштейн, Эрик В. «Вероятность». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 сентября 2020 г.
30. Олофссон (2005) с. 8.
31. Олофссон (2005), с. 9
32. Олофссон (2005) с. 35.
33. Олофссон (2005) с. 29.
34. «Условная вероятность относительно сигма-алгебры». www.statlect.com . Проверено 4 июля 2022 г.
35. Риеди, ПК (1976). Кинетическая теория газов-I. В: Теплофизика. Пэлгрейв, Лондон. https://doi.org/10.1007/978-1-349-15669-6_8
36. Бургин, Марк (2010). «Интерпретации отрицательных вероятностей». п. 1. arXiv : 1008.1287v1 [физика.данные-ан].
37. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Письмо Максу Борну, 4 декабря 1926 г., в: Einstein/Born Briefwechsel 1916–1955.
38. Мур, WJ (1992). Шрёдингер: Жизнь и мысль . Издательство Кембриджского университета . п. 479. ИСБН 978-0-521-43767-7.

Библиография

• Калленберг, О. (2005) Вероятностные симметрии и принципы инвариантности . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. 510 стр.  ISBN 0-387-25115-4 
• Калленберг, О. (2002) Основы современной вероятности, 2-е изд. Серия Спрингера по статистике. 650 стр.  ISBN 0-387-95313-2 
• Олофссон, Питер (2005) Вероятность, статистика и случайные процессы , Wiley-Interscience. 504 стр. ISBN 0-471-67969-0 . 

Внешние ссылки

• Виртуальные лаборатории вероятности и статистики (Университет Алабамы-Хантсвилля)
• Вероятность в программе «В наше время» на BBC
• Электронная книга «Вероятность и статистика»
• Эдвин Томпсон Джейнс . Теория вероятностей: логика науки . Препринт: Вашингтонский университет (1996). – HTML-указатель со ссылками на файлы PostScript и PDF (первые три главы)
• Люди из истории вероятности и статистики (Университет Саутгемптона)
• Вероятность и статистика на страницах самого раннего использования (Университет Саутгемптона)
• Самое раннее использование символов в теории вероятности и статистика самых ранних использований различных математических символов
• Учебное пособие по вероятности и теореме Байеса, разработанное для студентов-первокурсников Оксфордского университета.
• UBUWEB :: PDF-файл Ла Монте Янга Антологии случайных операций (1963) на UbuWeb
• Введение в вероятность - электронная книга. Архивировано 27 июля 2011 г. в Wayback Machine , Чарльз Гринстед, Лори Снелл. Источник. Архивировано 25 марта 2012 г. в Wayback Machine ( Лицензия на бесплатную документацию GNU ) .
• (на английском и итальянском языках) Бруно де Финетти , Probabilità e induzione , Болонья, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (цифровая версия) 
• Лекция Ричарда Фейнмана о вероятности.