Внутренняя норма доходности

Метод расчета доходности инвестиций

Внутренняя норма доходности ( IRR ) – это метод расчета доходности инвестиций . Термин внутренний относится к тому факту, что расчет исключает внешние факторы, такие как безрисковая ставка , инфляция , стоимость капитала или финансовый риск .

Этот метод может применяться как постфактум , так и заранее . Применяемая ex-ante, IRR представляет собой оценку будущей годовой нормы прибыли. Применяемый постфактум, он измеряет фактически достигнутый инвестиционный доход от исторических инвестиций.

Его также называют дисконтированной нормой доходности денежных потоков (DCFROR) ^[1] или ставкой доходности. ^[2]

Определение (IRR)

IRR инвестиций или проекта — это «годовая эффективная совокупная доходность» или норма доходности , которая устанавливает чистую приведенную стоимость (NPV) всех денежных потоков (как положительных, так и отрицательных) от инвестиций, равную нулю. ^{[2] [3]} Аналогично, это процентная ставка , при которой чистая приведенная стоимость будущих денежных потоков равна первоначальным инвестициям, ^{[2] [3]} и это также процентная ставка, при которой общая приведенная стоимость затрат (отрицательные денежные потоки) равны общей приведенной стоимости выгод (положительные денежные потоки).

IRR представляет собой доход от инвестиций, достигнутый, когда проект достигает точки безубыточности, что означает, что ценность проекта лишь незначительно оправдана. Когда NPV демонстрирует положительное значение, это указывает на то, что ожидается, что проект принесет прибыль. И наоборот, если NPV показывает отрицательное значение, ожидается, что проект потеряет ценность. По сути, IRR означает норму прибыли, достигаемую, когда NPV проекта достигает нейтрального состояния, точно в точке, где NPV становится безубыточной. ^[4]

IRR учитывает временные предпочтения денег и инвестиций. Определенный доход от инвестиций, полученный в данный момент времени, стоит больше, чем тот же доход, полученный в более позднее время, поэтому последний принесет более низкую IRR, чем первый, если все остальные факторы равны. Инвестиции с фиксированным доходом , при которых деньги вносятся один раз, проценты по этому депозиту выплачиваются инвестору по определенной процентной ставке каждый период времени, а первоначальный депозит не увеличивается и не уменьшается, будут иметь IRR, равную указанной процентной ставке. Инвестиция, которая имеет тот же общий доход, что и предыдущая инвестиция, но откладывает возврат на один или несколько периодов времени, будет иметь более низкую IRR.

Использование

Сбережения и кредиты

В контексте сбережений и кредитов IRR также называют эффективной процентной ставкой .

Доходность инвестиций

IRR — это показатель прибыльности , эффективности, качества или доходности инвестиций. Это контрастирует с NPV , которая является индикатором чистой стоимости или величины , добавленной в результате инвестиций.

Чтобы максимизировать стоимость бизнеса, инвестиции следует делать только в том случае, если его прибыльность, измеряемая внутренней нормой доходности, превышает минимально приемлемую норму прибыли . Если предполагаемая внутренняя норма доходности проекта или инвестиции (например, строительство нового завода) превышает стоимость капитала, вложенного фирмой в этот проект, инвестиция является прибыльной. Если расчетная внутренняя норма доходности меньше стоимости капитала, предлагаемый проект не следует реализовывать. ^[5]

Выбор инвестиций может зависеть от бюджетных ограничений. Могут существовать взаимоисключающие конкурирующие проекты или ограничения на способность фирмы управлять несколькими проектами. По этим причинам корпорации используют IRR при составлении бюджета капиталовложений для сравнения прибыльности набора альтернативных капитальных проектов . Например, корпорация будет сравнивать инвестиции в новый завод с расширением существующего завода на основе внутренней нормы доходности каждого проекта. Чтобы максимизировать прибыль , чем выше внутренняя норма доходности проекта, тем более желательно реализовать проект.

Существует как минимум два разных способа измерения внутренней доходности инвестиций: внутренняя норма доходности проекта и внутренняя норма доходности собственного капитала. IRR проекта предполагает, что денежные потоки приносят прямую выгоду проекту, тогда как IRR собственного капитала учитывает доходы акционеров компании после обслуживания долга. ^[6]

Несмотря на то, что IRR является одним из самых популярных показателей, используемых для проверки жизнеспособности инвестиций и сравнения доходности альтернативных проектов, рассмотрение IRR изолированно может быть не лучшим подходом для принятия инвестиционного решения. Некоторые допущения, сделанные при расчете IRR, не всегда применимы к инвестициям. В частности, IRR предполагает, что проект либо не будет иметь промежуточных денежных потоков, либо промежуточные денежные потоки реинвестируются в проект, что не всегда так. Это несоответствие приводит к завышению нормы прибыли, что может быть неверным представлением стоимости проекта. ^[7]

Фиксированный доход

IRR используется для оценки инвестиций в ценные бумаги с фиксированным доходом с использованием таких показателей, как доходность к погашению и доходность до востребования .

Обязательства

Как IRR, так и чистая приведенная стоимость могут применяться как к обязательствам, так и к инвестициям. Для обязательства более низкая IRR предпочтительнее более высокой.

Управление капиталом

Корпорации используют IRR для оценки выпусков акций и программ обратного выкупа акций . Выкуп акций происходит, если возвращаемый капитал акционерам имеет более высокую IRR, чем возможные проекты капитальных вложений или проекты приобретения по текущим рыночным ценам. Финансирование новых проектов за счет привлечения нового долга может также включать измерение стоимости нового долга с точки зрения доходности к погашению (внутренняя норма доходности).

Частный акционерный капитал

IRR также используется для прямых инвестиций с точки зрения партнеров с ограниченной ответственностью как мера эффективности генерального партнера в качестве инвестиционного менеджера. ^[8] Это связано с тем, что именно генеральный партнер контролирует денежные потоки, включая использование выделенного капитала партнерами с ограниченной ответственностью .

Расчет

Учитывая набор пар ( время , денежный поток ), представляющих проект, NPV является функцией нормы прибыли . Внутренняя норма доходности — это ставка, для которой эта функция равна нулю, т.е. внутренняя норма доходности является решением уравнения NPV = 0 (при условии отсутствия арбитражных условий).

Учитывая пары (период, денежный поток) ( , ) где – неотрицательное целое число, общее количество периодов и , ( чистая приведенная стоимость ); внутренняя норма доходности определяется выражением: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}=0}$

^{[2] [3]}

Этот рациональный многочлен можно преобразовать в обычный многочлен, имеющий те же корни, заменив g (коэффициент усиления) на и умножив на, чтобы получить эквивалентное, но более простое условие. ${\displaystyle 1+r}$ ${\displaystyle g^{N}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}C_{n}g^{N-n}=0}$

Возможные значения IRR — это действительные значения r , удовлетворяющие первому условию, и на 1 меньше действительных корней второго условия (то есть для каждого корня g ). Обратите внимание, что в обеих формулах — это отрицание первоначальных инвестиций в начале проекта, а — денежная стоимость проекта в конце, что эквивалентно сумме изъятых денежных средств, если бы проект должен был быть ликвидирован и выплачен, чтобы уменьшить стоимость проекта равна нулю. Во втором условии — старший коэффициент обычного многочлена по g , а — постоянный член. ${\displaystyle r=g-1}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{N}}$

Период обычно указывается в годах, но расчет можно сделать проще, если он рассчитывается с использованием периода, в котором определяется большая часть проблемы (например, с использованием месяцев, если большая часть денежных потоков происходит с ежемесячными интервалами) и конвертируется в последующий годовой период. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

Вместо настоящего можно использовать любое фиксированное время (например, окончание одного интервала аннуитета ) ; полученное значение равно нулю тогда и только тогда, когда NPV равна нулю.

В случае, когда денежные потоки являются случайными величинами , например, в случае пожизненной ренты , ожидаемые значения подставляются в приведенную выше формулу.

Часто значение, удовлетворяющее приведенному выше уравнению, невозможно найти аналитически . В этом случае необходимо использовать численные методы или графические методы . ${\displaystyle r}$

Пример

Если инвестиции могут быть обусловлены последовательностью денежных потоков

тогда IRR определяется выражением ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =-123400+{\frac {36200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {54800}{(1+r)^{2}}}+{\frac {48100}{(1+r)^{3}}}=0.}$

В данном случае ответ 5,96% (в расчете т.е. r = 0,0596).

Численное решение

Поскольку вышеизложенное является проявлением общей проблемы поиска корней уравнения , существует множество численных методов , которые можно использовать для оценки . Например, используя метод секущей , можно получить выражение ${\displaystyle \operatorname {NPV} (r)=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\cdot \left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right).}$

где рассматривается ^е-е приближение IRR. ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Это можно найти с произвольной степенью точности . Различные пакеты бухгалтерского учета могут предоставлять функции для разных уровней точности. Например, Microsoft Excel и Google Sheets имеют встроенные функции для расчета IRR как для фиксированных, так и для переменных интервалов времени; «=IRR(...)» и «=XIRR(...)». ${\displaystyle r}$

Поведение сходимости определяется следующим образом:

• Если функция имеет единственный действительный корень , то последовательность сходится воспроизводимо к . ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$
• Если функция имеет действительные корни , то последовательность сходится к одному из корней, и изменение значений исходных пар может изменить корень, к которому она сходится. ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \scriptstyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$
• Если функция не имеет действительных корней, то последовательность стремится к +∞ . ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$

Наличие того, когда или когда может ускорить конвергенцию к . ${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}>r_{0}}}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}>0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}<r_{0}}}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}<0}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r}$

Численное решение для одного оттока и множественных притоков

Особый интерес представляет случай, когда поток платежей состоит из одного оттока, за которым следуют множественные притоки, происходящие в равные периоды. В приведенных выше обозначениях это соответствует:

${\displaystyle C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ for }}n\geq 1.\,}$

В этом случае NPV потока платежей является выпуклой , строго убывающей функцией процентной ставки. Всегда существует единственное уникальное решение для IRR.

Учитывая две оценки и IRR, уравнение метода секущего (см. выше) всегда дает улучшенную оценку . Иногда его называют методом удара и проб (или проб и ошибок). Также можно получить более точные формулы интерполяции: например, формулу секущего с поправкой ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right)\left(1-1.4{\frac {\operatorname {NPV} _{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n-1}-3\operatorname {NPV} _{n}+2C_{0}}}\right),}$

(которая наиболее точна при ) оказалась почти в 10 раз более точной, чем формула секущей для широкого диапазона процентных ставок и первоначальных предположений. Например, использование потока платежей {-4000, 1200, 1410, 1875, 1050}, первоначальных предположений и формулы секущей с поправкой дает оценку IRR 14,2% (ошибка 0,7%) по сравнению с IRR = 13,2% (7 % ошибки) методом секущей. ${\displaystyle 0>\operatorname {NPV} _{n}>\operatorname {NPV} _{n-1}}$ ${\displaystyle r_{1}=0.25}$ ${\displaystyle r_{2}=0.2}$

При итеративном применении либо метод секущего, либо улучшенная формула всегда сходятся к правильному решению.

И метод секущего, и улучшенная формула основаны на первоначальных предположениях о IRR. Могут быть использованы следующие первоначальные предположения:

${\displaystyle r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,}$

${\displaystyle r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,}$

где

${\displaystyle A={\text{ sum of inflows }}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,}$

${\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\operatorname {NPV} _{1,in})}}.}$

Здесь относится только к чистой приведенной стоимости притоков (т. е. необходимо установить и вычислить чистую приведенную стоимость). ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{1,in}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}=0}$

Точные даты поступления денежных средств

Денежный поток может возникнуть в любое время спустя годы после начала проекта. может быть не целым числом. Денежный поток все равно должен быть дисконтирован на определенный коэффициент . И формула ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(1+r)^{t_{n}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =C_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{t_{n}}}}=0}$

Для численного решения можно использовать метод Ньютона.

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}-{\frac {\operatorname {NPV} _{k}}{\operatorname {NPV} '_{k}}}}$

где производная от и определяется выражением ${\displaystyle \operatorname {NPV} '}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} }$

${\displaystyle \operatorname {NPV} '=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}\cdot t_{n}}{(1+r)^{t_{n}+1}}}}$

Начальное значение может быть задано как ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}={\frac {-1}{C_{0}}}\sum _{n=1}^{N}C_{n}-1}$

Проблемы с использованием

Сравнение с критерием выбора инвестиций NPV

В качестве инструмента, применяемого для принятия инвестиционного решения о том, добавляет ли проект стоимость или нет, сравнение IRR отдельного проекта с требуемой нормой прибыли, в отрыве от любых других проектов, эквивалентно методу NPV. Если соответствующая IRR (если таковая может быть найдена правильно) превышает требуемую норму доходности, то при использовании требуемой нормы доходности для дисконтирования денежных потоков до их приведенной стоимости NPV этого проекта будет положительной, и наоборот. Однако использование IRR для сортировки проектов в порядке предпочтения не приводит к тому же порядку, что и использование NPV.

Максимизация чистой приведенной стоимости

Одной из возможных инвестиционных целей является максимизация общей чистой приведенной стоимости проектов.

Когда целью является максимизация общей стоимости, рассчитанная внутренняя норма доходности не должна использоваться для выбора между взаимоисключающими проектами.

Сравнение NPV и ставки дисконтирования для двух взаимоисключающих проектов. Проект «А» имеет более высокую NPV (для определенных ставок дисконтирования), хотя его IRR (=  точка пересечения оси X ) ниже, чем для проекта «B» (нажмите, чтобы увеличить)

В тех случаях, когда один проект имеет более высокие первоначальные инвестиции, чем второй взаимоисключающий проект, первый проект может иметь более низкую IRR (ожидаемую доходность), но более высокий NPV (увеличение благосостояния акционеров), и поэтому его следует принять выше второго проекта. (при условии отсутствия ограничений по капиталу).

Когда целью является максимизация общей стоимости, IRR не следует использовать для сравнения проектов разной продолжительности. Например, чистая приведенная стоимость проекта с большей продолжительностью, но более низкой внутренней доходностью может быть больше, чем у проекта аналогичного размера с точки зрения общих чистых денежных потоков, но с более короткой продолжительностью и более высокой внутренней доходностью.

Предпочтение практикующего врача IRR, а не NPV

Несмотря на сильное академическое предпочтение NPV, опросы показывают, что руководители предпочитают IRR NPV. ^[9] Очевидно, менеджеры предпочитают сравнивать инвестиции разного размера с точки зрения прогнозируемой инвестиционной эффективности, используя IRR, а не максимизировать ценность для фирмы с точки зрения NPV. Это предпочтение имеет значение при сравнении взаимоисключающих проектов.

Максимизация долгосрочной прибыли

Максимизация общей стоимости — не единственная возможная инвестиционная цель. Альтернативной целью может быть, например, максимизация долгосрочной прибыли. Такая цель рационально привела бы к принятию в первую очередь тех новых проектов в рамках капитального бюджета, которые имеют самую высокую внутреннюю норму доходности, поскольку добавление таких проектов будет иметь тенденцию максимизировать общую долгосрочную прибыль.

Пример

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двух инвесторов: Max Value и Max Return. Max Value желает, чтобы ее собственный капитал увеличился как можно больше, и будет вкладывать в это все до последнего цента, в то время как Max Return хочет максимизировать свою норму прибыли в долгосрочной перспективе и предпочел бы выбирать проекты с меньшими капитальными затратами, но более высокая доходность. Каждая из программ Max Value и Max Return может получить до 100 000 долларов США от своего банка по годовой процентной ставке 10 процентов, выплачиваемой в конце года.

Инвесторам Max Value и Max Return представлены два возможных проекта для инвестирования: «Большой — лучший» и «Маленький — красивый». Big-Is-Best требует капиталовложений в размере 100 000 долларов США сегодня, а удачливый инвестор получит возврат в размере 132 000 долларов США через год. Для инвестирования в программу Small Is-Beautiful сегодня требуется всего лишь 10 000 долларов США, а через год она вернет инвестору 13 750 долларов США.

Решение

Стоимость капитала для обоих инвесторов составляет 10 процентов.

И «Большой — лучший», и «Маленький — красивый» имеют положительную чистую приведенную стоимость:

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.1}}-100,000=20,000}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.1}}-10,000=2,500}$

и IRR каждого из них (конечно) превышает стоимость капитала:

${\displaystyle {\mathit {NPV}}({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.32}}-100,000=0}$

поэтому IRR компании Big-Is-Best составляет 32 процента, и

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.375}}-10,000=0}$

таким образом, IRR проекта «Маленький — красивый» составляет 37,5 процента.

Обе инвестиции были бы приемлемы для обоих инвесторов, но суть в том, что это взаимоисключающие проекты для обоих инвесторов, поскольку их капитальный бюджет ограничен 100 000 долларов США. Как инвесторы будут рационально выбирать между ними?

Счастливым результатом является то, что Max Value выбирает вариант Big-Is-Best, который имеет более высокую NPV в 20 000 долларов США, вместо Small-Is-Beautiful, у которого NPV лишь скромный 2500, тогда как Max Return выбирает вариант Small-Is-Beautiful. за его более высокую доходность в 37,5 процента по сравнению с привлекательной (но не такой привлекательной) доходностью в 32 процента, предлагаемой Big-Is-Best. Поэтому нет никаких ссор по поводу того, кому какой проект достанется, каждый из них счастлив выбирать разные проекты.

Как это может быть разумным для обоих инвесторов? Ответ заключается в том, что инвесторам не обязательно вкладывать полные 100 000 долларов США. Max Return пока готов инвестировать всего 10 000 долларов США. В конце концов, Max Return может рационализировать результат, полагая, что, возможно, завтра появятся новые возможности для инвестирования оставшихся 90 000 долларов США, которые банк готов предоставить в кредит Max Return, по еще более высоким IRR. Даже если появятся еще только семь проектов, идентичных проекту «Маленький-красивый», максимальная доходность сможет соответствовать чистой приведенной стоимости проекта «Большой-самый лучший» при общей сумме инвестиций всего в 80 000 долларов США, при этом 20 000 долларов США останутся в бюджет, который можно сэкономить на действительно невероятных возможностях. Max Value тоже счастлива, потому что она сразу же пополнила свой капитальный бюджет и решает, что оставшуюся часть года она может не инвестировать.

Множественные IRR

Когда знак денежных потоков меняется более одного раза, например, когда за положительными денежными потоками следуют отрицательные, а затем положительные (+ + - - - +), IRR может иметь несколько реальных значений. В серии денежных потоков, таких как (-10, 21, -11), человек первоначально инвестирует деньги, поэтому лучше всего иметь высокую норму прибыли, но затем получает больше, чем имеет, поэтому тогда он должен деньги, поэтому теперь низкая ставка возврата лучше всего. В этом случае даже неясно, какой лучше высокий или низкий IRR.

Для одного проекта может даже быть несколько реальных IRR, как в примере: 0% и 10%. Примерами проектов такого типа являются разрезные шахты и атомные электростанции , где в конце проекта обычно наблюдается большой отток денежных средств.

IRR удовлетворяет полиномиальному уравнению. Теорему Штурма можно использовать, чтобы определить, имеет ли это уравнение единственное действительное решение. В общем случае уравнение IRR не может быть решено аналитически, а только путем итерации.

При наличии нескольких внутренних норм доходности подход IRR все равно можно интерпретировать в соответствии с подходом приведенной стоимости, если основной инвестиционный поток правильно определен как чистые инвестиции или чистые заимствования. ^[10]

См. ^[11] для определения соответствующего IRR из набора нескольких решений IRR.

Ограничения в контексте прямых инвестиций

По мнению Людовика Фалиппу , в контексте систематической ошибки выжившего , из-за которой высокая IRR крупных частных инвестиционных компаний плохо отражает средний показатель,

«...заглавная цифра, которая часто отображается в презентациях и документах как норма прибыли, на самом деле является внутренней нормой доходности. Эти ранние победители установили IRR этих фирм с момента их создания на искусственно жестком и высоком уровне. Математика IRR означает, что их IRR будет оставаться на этом уровне навсегда, пока фирмы избегают крупных катастроф. порождает вопиющую несправедливость, потому что в западных странах легче играть на IRR по LBO, чем по любым другим инвестициям в PE (например, капитал роста развивающихся рынков) навсегда, без всякой причины. кроме использования игровой метрики производительности». ^[12]

Также,

«Еще одна проблема с представлением результатов деятельности пенсионных фондов заключается в том, что для PE доходность, взвешенная по времени… не является наиболее подходящим показателем эффективности. Вопрос о том, сколько пенсионные фонды отдали и получили в долларовом выражении от PE, т. е. за месяц, был бы неправильным. будьте более уместны. Я просмотрел веб-сайты 15 крупнейших фондов, чтобы собрать информацию об их деятельности. Лишь немногие из них публикуют в Интернете информацию о своих прошлых результатах деятельности в сфере прямых инвестиций, но ничего, что позволяет провести какой-либо значимый анализ. Например , CalSTRS [государственный пенсионный фонд Калифорнии] предоставляет только чистую IRR для каждого фонда , в который они инвестируют. Поскольку IRR часто вводит в заблуждение и никогда не может быть агрегирован или сравнен с доходностью фондового рынка, такая информация в основном бесполезна для оценки эффективности. " ^[13]

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR)

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) учитывает стоимость капитала и предназначена для лучшего определения вероятной доходности проекта. Он применяет ставку дисконтирования для заимствования денежных средств, а IRR рассчитывается для инвестиционных денежных потоков. Это применимо в реальной жизни, например, когда клиент вносит депозит до того, как будет построена конкретная машина.

Если проект имеет несколько значений внутренней доходности, возможно, будет удобнее рассчитать внутреннюю норму доходности проекта с учетом реинвестированных выгод. ^[14] Соответственно, используется MIRR, который имеет предполагаемую ставку реинвестирования, обычно равную стоимости капитала проекта.

Средняя внутренняя норма доходности (AIRR)

Магни (2010) представил новый подход, названный AIRR, основанный на интуитивном понятии среднего значения, который решает проблемы IRR. ^[15] Однако вышеупомянутые трудности — это лишь некоторые из многих недостатков, присущих IRR. Магни (2013) представил подробный список из 18 недостатков IRR и показал, как подход AIRR не вызывает проблем IRR. ^[16]

Математика

Математически предполагается, что стоимость инвестиций претерпевает экспоненциальный рост или убыль в соответствии с некоторой нормой доходности (любое значение, превышающее -100%), с разрывами денежных потоков, а IRR серии денежных потоков определяется как любая норма прибыли, которая приводит к нулевой чистой приведенной стоимости (или, что эквивалентно, норма прибыли, которая приводит к правильному нулевому значению после последнего денежного потока).

Таким образом, внутренняя норма(ы) доходности следует из NPV как функции нормы доходности. Эта функция является непрерывной . При норме доходности -100% NPV приближается к бесконечности со знаком последнего денежного потока, а к норме доходности, равной положительной бесконечности, NPV приближается к первому денежному потоку (тому, который есть в настоящее время). Следовательно, если первый и последний денежный поток имеют разные знаки, IRR существует. Примеры временных рядов без IRR:

• Только отрицательные денежные потоки — NPV отрицательна для каждой нормы доходности.
• (−1, 1, −1) — довольно небольшой положительный денежный поток между двумя отрицательными денежными потоками; NPV — квадратичная функция 1/(1 +  r ), где r — норма прибыли, или, другими словами, квадратичная функция ставки дисконтирования r /(1 +  r ); самый высокий NPV составляет -0,75 при r = 100%.

В случае, когда за серией исключительно отрицательных денежных потоков следует серия исключительно положительных, результирующая функция нормы доходности непрерывна и монотонно убывает от положительной бесконечности (при приближении нормы доходности к -100%) до значения первого денежного потока (когда норма прибыли приближается к бесконечности), поэтому существует единственная норма прибыли, для которой она равна нулю. Следовательно, IRR также уникален (и равен). Хотя сама NPV-функция не обязательно монотонно убывает во всей своей области, она находится на уровне IRR.

Аналогичным образом, в случае серии исключительно положительных денежных потоков, за которой следует серия исключительно отрицательных потоков, IRR также уникальна.

Наконец, согласно правилу знаков Декарта , количество внутренних норм доходности никогда не может быть больше, чем количество изменений знака денежного потока.

Споры о реинвестировании

Часто утверждают, что IRR предполагает реинвестирование всех денежных потоков до самого конца проекта. Это утверждение вызвало дискуссию в литературе.

Источники, утверждающие, что такое скрытое предположение существует, приведены ниже. ^{[14] [17]} Другие источники утверждают, что не существует предположения о реинвестировании IRR. ^{[18] [19] [20] [21] [22] [23]}

Чтобы понять источник этой путаницы, давайте рассмотрим пример с трехлетней облигацией номинальной стоимостью 1000 долларов и ставкой купона 5% (или 50 долларов).

Как можно видеть, хотя общий доход и отличается, IRR остается прежним. Другими словами, IRR нейтральна к реинвестициям, осуществляемым по той же ставке. Неважно, будут ли наличные деньги вывезены раньше или реинвестированы по той же ставке, а выведены позже – ставка одинакова.

Чтобы понять почему, нам нужно рассчитать текущую стоимость (PV) наших будущих денежных потоков, эффективно воспроизводя расчеты IRR вручную:

В личных финансах

IRR можно использовать для измерения взвешенной по деньгам эффективности финансовых инвестиций, таких как брокерский счет отдельного инвестора. Для этого сценария эквивалентным ^[24] более интуитивным определением внутренней нормы доходности является следующее: «Внутренняя норма доходности — это годовая процентная ставка счета с фиксированной процентной ставкой (подобного несколько идеализированному сберегательному счету), который, будучи подвержен тем же депозитам и снятиям средств, что и фактические инвестиции имеют тот же конечный баланс, что и фактические инвестиции». Этот счет с фиксированной ставкой также называется дублирующим счетом с фиксированной ставкой для инвестиций. Существуют примеры, когда на повторяющемся счете с фиксированной процентной ставкой наблюдается отрицательное сальдо, несмотря на то, что фактические инвестиции этого не сделали. ^[24] В таких случаях расчет внутренней нормы доходности предполагает, что та же процентная ставка, которая выплачивается по положительным остаткам, взимается и по отрицательным остаткам. Было показано, что этот способ взимания процентов является основной причиной проблемы множественных решений IRR. ^{[25] [26]} Если модель модифицировать таким образом, чтобы, как это имеет место в реальной жизни, внешняя стоимость заимствований (возможно, меняющаяся с течением времени) взималась с отрицательных балансов, проблема множественных решений исчезает. ^{[25] [26]} Полученная ставка называется эквивалентом фиксированной ставки ( FREQ ). ^[24]

Негодовая внутренняя норма доходности

В контексте измерения эффективности инвестиций иногда возникает двусмысленность в терминологии между периодической нормой доходности , такой как IRR, как она определена выше, и доходностью периода владения. Термин «внутренняя норма доходности» ( IRR) или «Внутренняя норма доходности с момента создания» ( SI-IRR) в некоторых контекстах используется для обозначения негодовой доходности за период, особенно для периодов менее года. ^[27]

Смотрите также

• Учет доходности
• Бюджетирование капитала
• Дисконтированный денежный поток
• Модифицированный метод Дитца
• Модифицированная внутренняя норма доходности
• Чистая приведенная стоимость
• Норма прибыли
• Простой метод Дитца
• Предельная эффективность капитала
• Прибыль на инвестиции

Рекомендации

1. Экономика проекта и анализ решений, Том I: Детерминистические модели, MAMain, стр. 269
2. Келлисон, Стивен Г. (2009). Теория интереса (Третье изд.). Бостон: МакГроу-Хилл Ирвин. стр. 251–252. ISBN 978-0-07-338244-9. ОСЛК  182552985.
3. Броверман, Сэмюэл А. (2010). Математика инвестиций и кредита (5-е изд.). Уинстед, Коннектикут: ACTEX Publications, Inc., стр. 264–265. ISBN 978-1-56698-767-7. ОСЛК  651487023.
4. «Калькулятор IRR: расчет внутренней нормы доходности онлайн — калькулятор NPV» . 21 мая 2023 г. Проверено 2 июня 2023 г.
5. Эхсан, Никбахт, Эхсан и Гроппелли, А.А. (2012). Финансы (шестое изд.). Хауппагге, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэррона. п. 201. ИСБН 978-0-7641-4759-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. «Инструментарий ГЧП».
7. «Внутренняя норма доходности: поучительная история | McKinsey».
8. «Глобальные стандарты эффективности инвестиций». Институт CFA . Проверено 31 декабря 2015 г.
9. Пог, М. (2004). Оценка инвестиций: новый подход. Журнал управленческого аудита.Т. 19 № 4, 2004. С. 565–570.
10. Хазен, Великобритания, «Новый взгляд на множественные внутренние нормы доходности», The Engineering Economist 48 (1), 2003, 31–51.
11. Хартман, Дж. К., и Шафрик, И. К., «Соответствующая внутренняя норма доходности», The Engineering Economist 49 (2), 2004, 139–158.
12. Фалиппу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид из бизнес-школы Оксфордского университета». Бумага SSRN : 4. SSRN  3623820.
13. Фалиппу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики сказал бизнес-школу Оксфордского университета». Документ SSRN : 15, 16. SSRN  3623820.
14. Внутренняя норма доходности: поучительная история
15. Магни, Калифорния (2010) «Средняя внутренняя норма доходности и инвестиционные решения: новая перспектива». Инженер-экономист, 55 (2), 150–181.
16. Магни, Калифорния (2013) «Подход с внутренней нормой доходности и парадигма AIRR: опровержение и подтверждение» The Engineering Economist, 58 (2), 73–111.
17. [1] Измерение инвестиционной доходности
18. Дадли, CL, «Заметка о предположениях о реинвестировании при выборе между чистой приведенной стоимостью и внутренней нормой доходности». Финансовый журнал 27 (4), 1972, 907–15.
19. Кин, С.М., «Внутренняя норма доходности и ошибка реинвестирования». Абак 15 (1), 1979, 48–55.
20. Ломанн, младший, «Внутренняя норма доходности, чистая приведенная стоимость и ошибочность предположений о ставке реинвестирования». Инженер-экономист 33 (4), 1988, 303–30.
21. Киф, С. П. и М. Л. Роуш, «Методы дисконтированных денежных потоков и ошибочные предположения о реинвестировании: обзор недавних текстов». Бухгалтерское образование 10 (1), 2001, 105–116.
22. Рич, С. П. и Дж. Т. Роуз, «Пересмотр старого вопроса: предполагает ли метод IRR неявно ставку реинвестирования?» Журнал финансового образования 10 (1), 2014, 105–116.
23. Дадли, Магни, Карло Альберто и Мартин, Джон Д., «Ошибка предположения о ставке реинвестирования для IRR и NPV: педагогическое примечание» 'https://mpra.ub.uni-muenchen.de/83889/', 2017 г.
24. Математика эквивалента фиксированной ставки, официальный документ «Больше нуля».
25. Тейхроу Д., Робичек А. и Монтальбано М. Математический анализ норм прибыли в условиях определенности, Management Science Vol. 11 №. 3 января 1965 г., 395–403.
26. Тейхроу Д., Робичек А. и Монтальбано М. Анализ критериев инвестиционных и финансовых решений в условиях уверенности, Management Science Vol. 12 №. 3 ноября 1965 г., 151–179.
27. [2] Глобальные стандарты эффективности инвестиций

дальнейшее чтение

• Брюс Дж. Фейбел. Оценка эффективности инвестиций . Нью-Йорк: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6 . 
• Рэй Мартин, ВОЗВРАТ ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ

Внешние ссылки

• Интерактивная лекция по экономике от Университета Южной Каролины