Интерьер (топология)

Наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества

Точка x является внутренней точкой S . Точка y находится на границе S .

В математике , особенно в топологии , внутренность подмножества S топологического пространства X представляет собой объединение всех подмножеств S , открытых в X. Точка , находящаяся внутри S , является внутренней точкой S.

Внутренность S является дополнением замыкания дополнения S .​ В этом смысле внутреннее и закрытое — понятия двойственные .

Внешность множества S является дополнением замыкания S ; оно состоит из точек, не принадлежащих ни множеству, ни его границе . Внутренняя часть, граница и внешняя часть подмножества вместе делят все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты ).

Внутренняя и внешняя часть замкнутой кривой — это немного другая концепция; см. теорему Жордана о кривой .

Определения

Внутренняя точка

Если — подмножество евклидова пространства , то это внутренняя точка, если существует открытый шар с центром , который полностью содержится в (Это проиллюстрировано во вводном разделе к этой статье.) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства с метрикой : является внутренней точкой, если существует такое действительное число, которое находится в любом случае, когда расстояние ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)<r.}$

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» на « открытое множество ». Если является подмножеством топологического пространства, то является внутренней точкой в , если содержится в открытом подмножестве, которое полностью содержится в (эквивалентно, является внутренней точкой, если является окрестностью ) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Интерьер набора

Внутренность подмножества топологического пространства, обозначаемого или , может быть определена любым из следующих эквивалентных способов: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle S^{\circ },}$

1. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$является крупнейшим открытым подмножеством, содержащимся в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$есть объединение всех открытых множеств содержащихся в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$множество всех внутренних точек ${\displaystyle S.}$

Если пространство понимается из контекста, то обычно предпочтительнее более короткое обозначение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}$

Примеры

${\displaystyle a}$является внутренней точкой, поскольку существует ε-окрестность точки a, которая является подмножеством ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

• В любом пространстве внутренняя часть пустого множества — это пустое множество.
• В любом пространстве если то ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Если – действительная линия (со стандартной топологией), то внутренность множества рациональных чисел пуста: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }$
• Если – комплексная плоскость , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$
• В любом евклидовом пространстве внутренность любого конечного множества является пустым множеством.

На множестве действительных чисел можно поставить и другие топологии, кроме стандартной:

• Если – действительные числа с топологией нижнего предела , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• Если рассмотреть топологию, в которой каждое множество открыто , то ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• Если рассматривать топологию, в которой единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само, то это пустое множество. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$

Эти примеры показывают, что внутренняя часть множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество открыто, каждое множество равно своей внутренней части.
• В любом недискретном пространстве , поскольку единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само, а для каждого правильного подмножества — пустое множество. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$

Характеристики

Пусть – топологическое пространство и пусть и – подмножества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$открыт в​ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто, то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$является открытым подмножеством, когда задана топология подпространства . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$является открытым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• Интенсив : ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Идемпотентность : ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• Сохраняет / распределяет по двоичному пересечению : ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • Однако внутренний оператор не распределяет данные по объединениям, поскольку в целом гарантируется только это, а равенство может не выполняться. ^{[примечание 1]} Например, if и then является правильным подмножеством ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle T=(0,\infty )}$ ${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• Монотонный / неубывающий относительно ${\displaystyle \subseteq }$ : Если то ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

Другие свойства включают в себя:

• Если закрыто, а затем ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

Связь с закрытием

Приведенные выше утверждения останутся верными, если все экземпляры символов/слов

«внутренний», «int», «открытый», «подмножество» и «самый большой»

соответственно заменяются на

« закрытие », «cl», «закрытый», «суперсет» и «самый маленький».

и меняются местами следующие символы:

1. " " заменено на " " ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq }$
2. " " заменено на " " ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Более подробную информацию по этому вопросу см. в разделе «Внутренний оператор» ниже или в статье « Аксиомы замыкания Куратовского» .

Внутренний оператор

Внутренний оператор двойственен оператору замыкания , который обозначается или подчеркиванием ^— в том смысле, что ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$

$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$

$${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$

топологическое пространствотеоретико-множественную разницуаксиомы замыкания Куратовского ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle X.}$

В общем, внутренний оператор не сотрудничает с профсоюзами. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:

Теорема ^[1]  (К. Урсеску)  .  Пусть — последовательность подмножеств полного метрического пространства. ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Если каждый из них замкнут, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle {\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$
• Если каждый открыт, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle {\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$

Из приведенного выше результата следует, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра .

Внешний вид набора

Внешняя часть подмножества топологического пространства, обозначаемая или просто, представляет собой наибольшее открытое множество , не пересекающееся с , а именно, это объединение всех открытых множеств в нем, которые не пересекаются с . дополнение закрытия; ^[2] в формулах, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

$${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

Точно так же внутреннее — это внешнее дополнение:

$${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

Внутренняя часть, граница и внешняя часть набора вместе делят все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты): ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$

^[3]открытызакрыта ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Некоторые свойства внешнего оператора отличаются от свойств внутреннего оператора:

• Внешний оператор меняет места включения; если тогда ${\displaystyle S\subseteq T,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• Внешний оператор не идемпотентен . Он обладает тем свойством, что ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

Внутренне-непересекающиеся формы

Красные фигуры не пересекаются внутри с синим Треугольником. Зеленая и желтая формы внутренне не пересекаются с синим Треугольником, но только желтая форма полностью не пересекается с синим Треугольником.

Две фигуры и называются внутренне непересекающимися, если пересечение их внутренностей пусто. Внутренне-непересекающиеся фигуры могут пересекаться или не пересекаться на своих границах. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Смотрите также

• Алгебраический интерьер  - Обобщение топологического интерьера.
• DE-9IM  - топологическая модель и стандарт, используемый для описания пространственных отношений двух геометрий.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Внутренняя алгебра  - Алгебраическая структура
• Теорема Жордана о кривой  . Замкнутая кривая делит плоскость на две области.
• Квазиотносительный интерьер  - Обобщение алгебраического интерьера.
• Относительный интерьер  - Обобщение топологического интерьера.

Рекомендации

1. Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. ОСЛК  285163112.
2. Бурбаки 1989, с. 24.
3. Бурбаки 1989, с. 25.

1. Аналогичная идентичность для оператора замыкания : Эти идентичности можно запомнить с помощью следующей мнемоники. Точно так же, как пересечение двух открытых множеств открыто, так и внутренний оператор явно распределяет по пересечениям: И аналогично, как объединение двух закрытых множеств закрыто, так и оператор замыкания явно распределяет по объединениям : ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap ;}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup ;}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. ОСЛК  4146011.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. ОСЛК  9218750.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. ОСЛК  338047.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co. 978-0-356-02077-8. ОСЛК  463753.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. ОКЛК  227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.

Внешние ссылки

• Интерьер в PlanetMath .