Круг из девяти точек

Круг, построенный из треугольника

Девять пунктов

  Стороны треугольника

  Высоты (совпадают в ортоцентре )

  Отрезки прямых, перпендикулярные серединам сторон (пересекаются в центре описанной окружности )

  Круг девяти точек (с центром в центре девяти точек )

Обратите внимание, что построение по-прежнему работает, даже если ортоцентр и центр описанной окружности находятся за пределами треугольника.

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Она так названа, потому что проходит через девять важных конциклических точек, определяемых треугольником. Эти девять точек :

• Середина каждой стороны треугольника
• Подножие каждой высоты​
• Середина отрезка прямой, соединяющего каждую вершину треугольника с ортоцентром (где встречаются три высоты; эти отрезки прямой лежат на своих соответствующих высотах). ^{[1] [2]}

Круг девяти точек также известен как круг Фейербаха (в честь Карла Вильгельма Фейербаха ), круг Эйлера (в честь Леонарда Эйлера ), круг Терквема (в честь Ольри Терквема ), круг шести точек , круг двенадцати точек , круг n точек , срединный круг , средний круг или описанный средний круг . Его центр является центром девяти точек треугольника. ^{[3] [4]}

Девять важных моментов

На схеме выше показаны девять значимых точек окружности девяти точек. Точки D, E, F являются серединами трех сторон треугольника. Точки G, H, I являются основаниями высот треугольника. Точки J, K, L являются серединами отрезков между вершинами пересечения каждой высоты (точки A, B, C ) и ортоцентром треугольника (точка S ).

Для остроугольного треугольника шесть точек (середины и основания высот) лежат на самом треугольнике; для тупоугольного треугольника две высоты имеют основания вне треугольника, но эти основания по-прежнему принадлежат окружности девяти точек.

Открытие

Хотя ему приписывают открытие окружности, Карл Вильгельм Фейербах не полностью открыл окружность девяти точек, а скорее окружность шести точек, признав значимость середин трех сторон треугольника и оснований высот этого треугольника. ( См. рис. 1, точки D, E, F, G, H, I. ) (Немногим ранее Шарль Брианшон и Жан-Виктор Понселе сформулировали и доказали ту же теорему.) Но вскоре после Фейербаха математик Ольри Теркем сам доказал существование окружности. Он был первым, кто осознал дополнительную значимость трех середин между вершинами треугольника и ортоцентром. ( См. рис. 1, точки J, K, L. ) Таким образом, Теркем был первым, кто использовал название окружность девяти точек.

Касательные окружности

Окружность девяти точек касается вписанной и вневписанной окружностей.

В 1822 году Карл Фейербах открыл, что окружность любого треугольника, проходящая через девять точек, касается снаружи трех его вневписанных окружностей и изнутри его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые в свою очередь касаются трех сторон треугольника...

^[5]

Центр треугольника , в котором вписанная окружность и окружность девяти точек соприкасаются, называется точкой Фейербаха .

Другие свойства окружности девяти точек

• Радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса окружности девяти точек этого треугольника. ^{[6] : стр.153}

Рисунок 3

• Окружность, проходящая через девять точек, делит пополам отрезок прямой, проходящий от ортоцентра соответствующего треугольника до любой точки его описанной окружности.

Рисунок 4

• Центр N окружности с девятью точками делит пополам отрезок от ортоцентра H до центра описанной окружности O (делая ортоцентр центром расширения обеих окружностей): ^{[6] : стр.152}

${\displaystyle {\overline {ON}}={\overline {NH}}.}$

• Девятиточечный центр N находится на расстоянии одной четверти пути вдоль линии Эйлера от центроида G до ортоцентра H : ^{[6] : стр.153}

${\displaystyle {\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.}$

• Пусть ω — окружность девяти точек диагонального треугольника вписанного четырехугольника . Точка пересечения бимедиан вписанного четырехугольника принадлежит окружности девяти точек. ^{[7] [8]}

ABCD — вписанный четырёхугольник. △ EFG — диагональный треугольник ABCD . Точка T пересечения бимедиан ABCD принадлежит девятиточечной окружности △ EFG .

• Окружность девяти точек исходного треугольника является описанной окружностью как срединного треугольника исходного треугольника (с вершинами в серединах сторон исходного треугольника), так и его ортотреугольника (с вершинами в основаниях высот исходного треугольника). ^{[6] : стр.153}
• Центр всех прямоугольных гипербол , проходящих через вершины треугольника, лежит на его девятиточечной окружности. Примерами служат известные прямоугольные гиперболы Кейперта , Ержабека и Фейербаха. Этот факт известен как коническая теорема Фейербаха.

Окружность девяти точек и 16 касающихся окружностей ортоцентрической системы

• Если дана ортоцентрическая система из четырех точек A, B, C, H , то четыре треугольника, образованные любой комбинацией трех различных точек этой системы, все имеют одну и ту же девятиточечную окружность. Это следствие симметрии: стороны одного треугольника, смежные с вершиной, которая является ортоцентром другого треугольника, являются отрезками из этого второго треугольника. Третья середина лежит на их общей стороне. (Те же самые «середины», определяющие отдельные девятиточечные окружности, эти окружности должны быть конкурирующими.)
• Следовательно, эти четыре треугольника имеют описанные окружности с одинаковыми радиусами. Пусть N представляет общий центр девяти точек, а P — произвольная точка в плоскости ортоцентрической системы. Тогда

${\displaystyle {\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}}$

где R — общий радиус описанной окружности ; и если

${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},}$

где K сохраняется постоянным, то геометрическое место точек P представляет собой окружность с центром в точке N и радиусом Когда P приближается к N, геометрическое место точек P для соответствующей константы K схлопывается в N — девятиточечный центр. Более того, девятиточечная окружность — это геометрическое место точек P , такое что ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.}$

${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.}$

• Центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника образуют ортоцентрическую систему. Окружность девяти точек, созданная для этой ортоцентрической системы, является описанной окружностью исходного треугольника. Основания высот в ортоцентрической системе являются вершинами исходного треугольника.
• Если даны четыре произвольные точки A, B, C, D , которые не образуют ортоцентрическую систему, то окружности девяти точек △ ABC , △ BCD , △ CDA , △ DAB пересекаются в одной точке, точке Понселе точек A , B, C, D . Остальные шесть точек пересечения этих окружностей девяти точек пересекаются с серединами четырех треугольников. Примечательно, что существует уникальная коника девяти точек с центром в центроиде этих четырех произвольных точек, которая проходит через все семь точек пересечения этих окружностей девяти точек. Кроме того, из-за теоремы Фейербаха о кониках, упомянутой выше, существует уникальная прямоугольная описанная коника с центром в общей точке пересечения четырех окружностей девяти точек, которая проходит через четыре исходные произвольные точки, а также через ортоцентры четырех треугольников.
• Если даны четыре точки A, B, C, D , которые образуют вписанный четырехугольник , то окружности девяти точек △ ABC , △ BCD , △ CDA , △ DAB пересекаются в антицентре вписанного четырехугольника. Все окружности девяти точек конгруэнтны с радиусом, равным половине радиуса описанной окружности вписанного четырехугольника. Окружности девяти точек образуют набор из четырех окружностей Джонсона . Следовательно, четыре центра девяти точек являются вписанными и лежат на окружности, конгруэнтной четырем окружностям девяти точек, центр которой находится в антицентре вписанного четырехугольника. Более того, вписанный четырехугольник, образованный четырьмя центрами девяти точек, гомотетичен исходному вписанному четырехугольнику ABCD с коэффициентом – ⁠1/2⁠ и его гомотетический центр N лежит на линии, соединяющей центр описанной окружности O с антицентром M , где

${\displaystyle {\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.}$

• Ортополь прямых , проходящих через центр описанной окружности, лежит на окружности девяти точек.
• Описанная окружность треугольника, его окружность девяти точек, его полярная окружность и описанная окружность его касательного треугольника ^[9] являются коаксиальными . ^[10]
• Трилинейные координаты центра гиперболы Киперта :

${\displaystyle {\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}}$

• Трилинейные координаты центра гиперболы Ержабека:

${\displaystyle \cos(A)\sin ^{2}(B-C):\cos(B)\sin ^{2}(C-A):\cos(C)\sin ^{2}(A-B)}$

• Пусть x  : y  : z — переменная точка в трилинейных координатах, уравнение для окружности девяти точек имеет вид

${\displaystyle x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.}$

Обобщение

Окружность является примером конического сечения , а окружность девяти точек является примером общей коники девяти точек, которая была построена относительно треугольника △ ABC и четвертой точки P , где конкретный пример окружности девяти точек возникает, когда P является ортоцентром △ ABC . Вершины треугольника и P определяют полный четырехугольник и три «диагональные точки», где пересекаются противоположные стороны четырехугольника. В четырехугольнике есть шесть «боковых линий»; коника девяти точек пересекает их середины, а также включает диагональные точки. Коника является эллипсом, когда P находится внутри △ ABC или в области, разделяющей вертикальные углы с треугольником, но гипербола девяти точек возникает, когда P находится в одной из трех смежных областей, и гипербола является прямоугольной, когда P лежит на описанной окружности △ ABC .

Смотрите также

• Круг Харта , родственная конструкция для круговых треугольников
• Теорема Лестера
• точка Понселе
• Синтетическая геометрия

Примечания

1. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 103–110)
2. Кей (1969, стр. 18, 245)
3. Коцик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника». амер. Математика. Ежемесячно . 116 (3): 228–237. дои : 10.4169/193009709x470065.Кочик и Солецки (лауреаты премии Лестера Р. Форда 2010 года ) приводят доказательство теоремы о девятиточечной окружности.
4. Кейси, Джон (1886). Теорема о девятиточечной окружности, в продолжении первых шести книг Евклида (4-е изд.). Лондон: Longmans, Green, & Co., стр. 58.
5. Фейербах и Буценгейгер 1822.
6. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.
7. Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечной окружности». The Mathematical Gazette . 103 (557): 222–232. doi :10.1017/mag.2019.53. S2CID  213935239.
8. Фрайверт, Дэвид (2018). «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.
9. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 98)
10. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 241)

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и окружности (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Picturen. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (изд. монографии), Нюрнберг: Wiessner.
• Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Фрайверт, Дэвид (2019), «Новые точки, принадлежащие девятиточечной окружности», The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi :10.1017/mag.2019.53, S2CID  213935239
• Фрайверт, Дэвид (2018), «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) , Международный журнал геометрии , 7 (1): 5–16

Внешние ссылки

• «Демонстрация окружности из девяти точек на языке Javascript» на rykap.com
• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центр девяти точек индексируется как X(5), точка Фейербаха как X(11), центр гиперболы Киперта как X(115), а центр гиперболы Ержабека как X(125).
• История девятиконечной окружности, основанная на статье Дж. С. Маккея 1892 года: История девятиконечной окружности.
• Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечная окружность». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ортополь». MathWorld .
• Nine Point Circle на острове Ява в Cut-the-Knot
• Теорема Фейербаха: доказательство методом «разруби узел»
• Специальные линии и круги в треугольнике Вальтера Фендта
• Интерактивный апплет Nine Point Circle из проекта Wolfram Demonstrations Project
• Обобщение девятиточечной коники и прямой Эйлера в разделе «Очерки динамической геометрии». Обобщает девятиточечную окружность до девятиточечной коники с соответствующим обобщением прямой Эйлера.
• Н. Дж. Вильдбергер. Хромогеометрия. Обсуждает девятиточечную окружность относительно трех различных квадратичных форм (синей, красной, зеленой).
• Стефан Гётц, Франц Хофбауэр: Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren