Глоссарий теории категорий

Математический глоссарий

Это глоссарий свойств и понятий теории категорий в математике . (см. также Очерк теории категорий .)

• Заметки об основах : Во многих изложениях (например, Вистоли) игнорируются вопросы теории множеств; это означает, например, что не проводится различие между малыми и большими категориями и что можно произвольно формировать локализацию категории. ^[1] Как и эти изложения, этот глоссарий также обычно игнорирует вопросы теории множеств, за исключением случаев, когда они имеют отношение к делу (например, обсуждение доступности).

В теории категорий, особенно для высших категорий, также используются понятия из алгебраической топологии. Для этого см. также глоссарий алгебраической топологии .

В статье используются следующие обозначения и условные обозначения:

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n }, что рассматривается как категория (записывается как .) ${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$
• Cat — категория (малых) категорий , где объектами являются категории (которые малы по отношению к некоторой вселенной), а морфизмы — функторы .
• Fct ( C , D ), категория функторов : категория функторов из категории C в категорию D .
• Набор , категория (малых) наборов.
• s Множество , категория симплициальных множеств .
• «weak» вместо «strict» присваивается статус по умолчанию; например, « n -category» по умолчанию означает «weak n -category», а не «strict».
• Под ∞-категорией мы подразумеваем квазикатегорию , наиболее популярную модель, если только не обсуждаются другие модели.
• Число ноль 0 является натуральным числом.

А

абелев

Категория является абелевой, если она имеет нулевой объект, имеет все выталкивания и подтягивания, а все мономорфизмы и эпиморфизмы являются нормальными.

доступный

1. При заданном кардинальном числе κ объект X в категории является κ-достижимым (или κ-компактным, или κ-представимым), если он коммутирует с κ-фильтрованными копределами. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

2. При заданном регулярном кардинале κ категория является κ-доступной , если она имеет κ-фильтрованные копределы и существует небольшое множество S κ-компактных объектов, которое порождает категорию относительно копределов, то есть каждый объект может быть записан как копредел диаграмм объектов в S.

добавка

Категория является аддитивной, если она предаддитивна (точнее, имеет некоторую предаддитивную структуру) и допускает все конечные копроизведения . Хотя «предаддитивность» является дополнительной структурой, можно показать, что «аддитивность» является свойством категории; т. е. можно спросить, является ли данная категория аддитивной или нет. ^[2]

присоединение

Сопряжение (также называемое сопряженной парой) — это пара функторов F : C → D , G : D → C такая , что существует «естественная» биекция

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

Говорят, что F является левым сопряженным к G , а G — правым сопряженным к F. Здесь «естественный» означает, что существует естественный изоморфизм бифункторов (которые контравариантны по первой переменной). ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$

алгебра для монады

Если задана монада T в категории X , то алгебра для T или T -алгебра — это объект в X с моноидным действием T ( «алгебра» вводит в заблуждение, а « T -объект», возможно, более подходящий термин). Например, если задана группа G , которая определяет монаду T в Set стандартным способом, то T -алгебра — это множество с действием G.

амнезиак

Функтор является амнестическим, если он обладает следующим свойством: если k — изоморфизм и F ( k ) — тождество, то k — тождество.

Б

сбалансированный

Категория сбалансирована , если каждый биморфизм (т. е. как моно, так и эпи) является изоморфизмом.

Теорема Бека

Теорема Бека характеризует категорию алгебр для данной монады .

бикатегория

Бикатегория — это модель слабой 2-категории .

бифунктор

Бифунктор из пары категорий C и D в категорию E — это функтор C × D → E. Например, для любой категории C есть бифунктор из C ^op и C в Set . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$

бимоноидальный

Бимоноидальная категория — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется по другой.

биморфизм

Биморфизм — это морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом.

локализация Боусфилда

См. локализацию Боусфилда .

С

исчисление функторов

Исчисление функторов — это метод изучения функторов, аналогичный тому, как функция изучается с помощью ее разложения в ряд Тейлора ; отсюда и термин «исчисление».

декартово закрыто

Категория является декартово замкнутой , если она имеет конечный объект и любые два объекта имеют произведение и экспоненту.

декартов функтор

Для относительных категорий над одной и той же базовой категорией C функтор над C является декартовым, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$ ${\displaystyle f:F\to G}$

декартов морфизм

1. Для заданного функтора π: C → D (например, предстек над схемами) морфизм f : x → y в C является π-декартовым , если для каждого объекта z в C , каждого морфизма g : z → y в C и каждого морфизма v : π( z ) → π( x ) в D такого, что π( g ) = π( f ) ∘ v , существует единственный морфизм u : z → x такой, что π( u ) = v и g = f ∘ u .

2. Для заданного функтора π: C → D (например, предстек над кольцами) морфизм f : x → y в C является π-кодекартовым , если для каждого объекта z в C , каждого морфизма g : x → z в C и каждого морфизма v : π( y ) → π( z ) в D такого, что π( g ) = v ∘ π( f ), существует единственный морфизм u : y → z такой, что π( u ) = v и g = u ∘ f . (Короче говоря, f является двойственным к π-декартову морфизму.)

декартов квадрат

Коммутативная диаграмма, изоморфная диаграмме, заданной как расслоенное произведение.

категориальная логика

Категориальная логика — это подход к математической логике , использующий теорию категорий.

категориальная вероятность

категориальная вероятность

категоризация

Категоризация — это процесс замены множеств и теоретико-множественных понятий категориями и теоретико-категорными понятиями некоторым нетривиальным способом для захвата категориальных ароматов. Декатегоризирование — это обратная категоризации операция.

Теория категорий возникла ... из-за необходимости проведения сложных вычислений, включающих переход к пределу при изучении качественного скачка от пространств к гомотопическим/гомологическим объектам. ... Но теория категорий не довольствуется простой классификацией в духе вольфианской метафизики (хотя некоторые из ее практиков могут делать это); скорее, именно изменчивость математически точных структур (посредством морфизмов) является существенным содержанием теории категорий.

Уильям Ловер, ^[3]

категория

Категория состоит из следующих данных

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y , множество , элементы которого называются морфизмами из X в Y , ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z создается карта (называемая композицией)

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f}$,

4. Для каждого объекта X тождественный морфизм ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

при соблюдении условий: для любых морфизмов , и , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle h:Z\to W}$

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$и . ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

Например, частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию: объекты являются элементами множества, и для каждой пары объектов x , y существует уникальный морфизм тогда и только тогда, когда ; ассоциативность композиции означает транзитивность. ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle x\leq y}$

категория

1. Категория (малых) категорий , обозначаемая Cat , — это категория, в которой объектами являются все категории, являющиеся малыми относительно некоторой фиксированной вселенной, а морфизмами — все функторы .

2.   Категория модулей , Категория топологических пространств , Категория групп , Категория метрических пространств и т.д.

классифицирующее пространство

Классифицирующее пространство категории C является геометрической реализацией нерва C.

со-

Часто используется как синоним op-; например, копредел относится к op-пределу в том смысле, что это предел в противоположной категории. Но может быть различие; например, op-волокно — это не то же самое, что коволокно .

коенд

Конец функтора является двойственным к концу F и обозначается как ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$.

Например, если R — кольцо, M — правый R -модуль, а N — левый R - модуль, то тензорное произведение M и N равно

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

где R рассматривается как категория с одним объектом , морфизмы которого являются элементами R.

соуравнитель

Коуравнитель пары морфизмов — это копредел пары. Он является двойственным к уравнителю. ${\displaystyle f,g:A\to B}$

теорема о когерентности

Теорема когерентности — это теорема, утверждающая, что слабая структура эквивалентна строгой структуре.

последовательный

1. Последовательная категория (на данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category).

2. Последовательный топос .

сплоченный

сплоченная категория.

коизображение

Кообраз морфизма f : X → Y является коуравнителем . ${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$

цветной операд

Другой термин для мультикатегории , обобщенной категории, где морфизм может иметь несколько доменов. Понятие «цветная операда» более примитивно, чем понятие операда: на самом деле операда может быть определена как цветная операда с одним объектом.

запятая

При наличии функторов категория запятой — это категория, в которой (1) объекты являются морфизмами и (2) морфизм из в состоит из и такой, что Например , если f — тождественный функтор, а g — постоянный функтор со значением b , то это категория среза B над объектом b . ${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$ ${\displaystyle (f\downarrow g)}$ ${\displaystyle f(c)\to g(d)}$ ${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$ ${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle d\to d'}$ ${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$ ${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$

комонада

Комонада в категории X — это комоноид в моноидальной категории эндофункторов X.

компактный

Вероятно, синоним слова #доступный.

полный

Категория является полной, если существуют все малые пределы.

полнота

Теорема Делиня о полноте; см. [1].

состав

1. Композиция морфизмов в категории является частью данных, определяющих категорию.

2. Если — функторы, то композиция или — это функтор, определяемый следующим образом: для объекта x и морфизма u в C , . ${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$

3. Естественные преобразования составляются поточечно: если — естественные преобразования, то — естественное преобразование, заданное формулой . ${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ ${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$

вычислить

вычислено .

конкретный

Конкретная категория C — это категория, для которой существует точный функтор из C в Set ; например, Vec , Grp и Top .

конус

Конус — это способ выражения универсального свойства копредела (или, дуально, предела). Можно показать ^{[4] ,} что копредел — это левый сопряженный к диагональному функтору , который отправляет объект X в постоянный функтор со значением X ; то есть для любого X и любого функтора , ${\displaystyle \varinjlim }$ ${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$ ${\displaystyle f:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

при условии , что рассматриваемый копредел существует. Правая сторона тогда представляет собой множество конусов с вершиной X. ^[5]

подключен

Категория называется связной , если для каждой пары объектов x , y существует конечная последовательность объектов z _i такая, что и либо , либо непусто для любого i . ${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$

консервативный функтор

Консервативный функтор — это функтор, который отражает изоморфизмы. Многие забывающие функторы консервативны, но забывающий функтор из Top в Set не консервативен.

постоянный

Функтор является постоянным , если он отображает каждый объект в категории в тот же объект A , а каждый морфизм — в тождество на A. Другими словами, функтор является постоянным, если он факторизуется как: для некоторого объекта A в D , где i — включение дискретной категории { A }. ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$

контравариантный функтор

Контравариантный функтор F из категории C в категорию D — это (ковариантный) функтор из C ^op в D . Иногда его также называют предпучком , особенно когда D — это Set или варианты. Например, для каждого множества S пусть будет множеством мощности S и для каждой функции определите ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$ ${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

отправив подмножество A из T в прообраз . При этом является контравариантным функтором. ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

копродукт

Копроизведение семейства объектов X _i в категории C, индексированной множеством I, является индуктивным пределом функтора , где I рассматривается как дискретная категория. Это двойственное произведение семейства. Например, копроизведение в Grp является свободным произведением . ${\displaystyle \varinjlim }$ ${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$

основной

Ядром категории является максимальный группоид, содержащийся в данной категории.

Д

Дневная свертка

Для группы или моноида M свертка Дэя является тензорным произведением в . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$

Дендроидный

Дендроидный набор .

теорема плотности

Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок (контравариантный функтор со множеством значений) является копределом представимых предпучков. Лемма Йонеды вкладывает категорию C в категорию предпучков на C. Теорема плотности затем утверждает, что образ является «плотным», так сказать. Название «плотность» происходит из-за аналогии с теоремой плотности Джекобсона (или другими вариантами) в абстрактной алгебре.

диагональный функтор

Для категорий I , C диагональный функтор — это функтор

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

который отправляет каждый объект A в постоянный функтор со значением A , а каждый морфизм — в естественное преобразование, которое равно f при каждом i . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$

диаграмма

Для данной категории C диаграмма в C является функтором из малой категории I. ${\displaystyle f:I\to C}$

дифференциальная градуированная категория

Дифференциально градуированная категория — это категория, чьи Hom-множества снабжены структурами дифференциально градуированных модулей . В частности, если категория имеет только один объект, она является той же, что и дифференциально градуированный модуль.

прямой предел

Прямой предел — это копредел прямой системы .

дискретный

Категория является дискретной , если каждый морфизм является тождественным морфизмом (некоторого объекта). Например, множество можно рассматривать как дискретную категорию.

распределитель

Другое название «профунктора».

Эквивалентность Дуайера–Кана

Эквивалентность Дуайера–Кана является обобщением эквивалентности категорий на симплициальный контекст. ^[7]

Э

Элементарная теория категории множеств

Элементарная теория категории множеств . Ссылка является перенаправлением; на данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS.

Категория Эйленберга–Мура

Другое название категории алгебр для данной монады .

пустой

Пустая категория — это категория без объекта. Это то же самое, что и пустое множество , когда пустое множество рассматривается как дискретная категория.

конец

Конец функтора — это предел ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

где есть категория (называемая подразделяемой категорией C ), чьи объекты являются символами для всех объектов c и всех морфизмов u в C и чьи морфизмы являются и если и где индуцируется F так, что перейдет в и перейдет в . Например, для функторов , ${\displaystyle C^{\#}}$ ${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$ ${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$ ${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$ ${\displaystyle u:b\to c}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle c^{\#}}$ ${\displaystyle F(c,c)}$ ${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$ ${\displaystyle F(b,c)}$ ${\displaystyle F,G:C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

— это набор естественных преобразований из F в G. Для получения дополнительных примеров см. эту ветку mathoverflow. Двойственный элемент конца — это коконец.

эндофунктор

Функтор между одной и той же категорией.

обогащенная категория

Если задана моноидальная категория ( C , ⊗, 1), то категория, обогащенная над C , неформально является категорией, чьи множества Hom находятся в C . Точнее, категория D, обогащенная над C, является данными, состоящими из

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y в D , объект в C , называемый объектом отображения из X в Y , ${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z в D , морфизм в C ,

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)}$,

   называется составом,

4. Для каждого объекта X в D , морфизм в C , называемый единичным морфизмом X ${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$

при условии, что (грубо говоря) композиции ассоциативны, а единичные морфизмы действуют как мультипликативная идентичность. Например, категория, обогащенная по множествам, является обычной категорией.

эпиморфизм

Морфизм f является эпиморфизмом, если всякий раз, когда . Другими словами, f является двойственным к мономорфизму. ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$

эквалайзер

Уравнитель пары морфизмов — это предел пары. Он является двойственным к соуравнителю. ${\displaystyle f,g:A\to B}$

эквивалентность

1. Функтор является эквивалентностью , если он точный, полный и существенно сюръективный.

2. Морфизм в ∞-категории C является эквивалентностью , если он задает изоморфизм в гомотопической категории C.

эквивалент

Категория эквивалентна другой категории, если между ними существует эквивалентность .

по существу сюръективный

Функтор F называется существенно сюръективным (или изоморфно-плотным), если для каждого объекта B существует объект A такой, что F ( A ) изоморфен B .

оценка

При наличии категорий C , D и объекта A в C оценка в A является функтором

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

Например, аксиомы Эйленберга–Стинрода дают пример, когда функтор является эквивалентностью.

точный

1. Точная последовательность — это, как правило, последовательность (от произвольных отрицательных целых чисел до произвольных положительных целых чисел) отображений

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

так что образ является ядром . Понятие можно обобщить различными способами. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$

2. Короткая точная последовательность — это последовательность вида . ${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$

3. Функтор (например, между абелевыми категориями) называется точным, если он переводит короткие точные последовательности в короткие точные последовательности.

4. Точная категория — это, грубо говоря, категория, в которой существует понятие короткой точной последовательности.

Ф

верный

Функтор является точным , если он инъективен при ограничении каждым hom-множеством .

фундаментальная категория

Функтор фундаментальной категории является левым сопряженным к функтору нерва N. Для каждой категории C , . ${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид комплекса Кана X — это категория, в которой объект — это 0-симплекс (вершина) , морфизм — гомотопический класс 1-симплекса (путь) , а композиция определяется свойством Кана. ${\displaystyle \Pi _{1}X}$ ${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$

волокнистая категория

Говорят, что функтор π: C → D демонстрирует C как категорию, расслоенную над D , если для каждого морфизма g : x → π( y ) в D существует π-декартов морфизм f : x' → y в C такой, что π( f ) = g . Если D — категория аффинных схем (скажем, конечного типа над некоторым полем), то π чаще называют предстеком . Примечание : π часто является забывающим функтором, и на самом деле конструкция Гротендика подразумевает, что каждая расслоенная категория может быть принята в этой форме (с точностью до эквивалентностей в подходящем смысле).

волокнистый продукт

При наличии категории C и множества I , послойное произведение над объектом S семейства объектов X _i в C , индексированного I , является произведением семейства в категории среза C над S (при условии , что есть ). Послойное произведение двух объектов X и Y над объектом S обозначается и также называется декартовым квадратом . ${\displaystyle C_{/S}}$ ${\displaystyle X_{i}\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}Y}$

отфильтровано

1. Фильтрованная категория (также называемая фильтрантной категорией) — это непустая категория со свойствами (1) для данных объектов i и j существуют объект k и морфизмы i → k и j → k и (2) для данных морфизмов u , v : i → j существуют объект k и морфизм w : j → k такие, что w ∘ u = w ∘ v . Категория I фильтруется тогда и только тогда, когда для каждой конечной категории J и функтора f : J → I множество непусто для некоторого объекта i из I . ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

2. При заданном кардинальном числе π категория называется π-фильтрантной, если для каждой категории J, множество морфизмов которой имеет кардинальное число строго меньше π, множество непусто для некоторого объекта i из I. ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

конечная монада

Финитарная монада или алгебраическая монада — это монада на Set , базовый эндофунктор которой коммутирует с фильтрованными копределами.

конечный

Категория конечна, если она имеет лишь конечное число морфизмов.

забывчивый функтор

Забывающий функтор — это, грубо говоря, функтор, который теряет некоторые данные объектов; например, функтор , который переводит группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в себя, является забывающим функтором. ${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$

свободная категория

свободная категория

бесплатное завершение

свободное завершение , свободное совместное завершение .

свободный функтор

Свободный функтор — это левый сопряженный к забывающему функтору. Например, для кольца R функтор, который отправляет множество X в свободный R -модуль, порожденный X, является свободным функтором (отсюда и название).

Категория Фробениуса

Категория Фробениуса — это точная категория , которая имеет достаточно инъективных и проективных объектов, и такая, что класс инъективных объектов совпадает с классом проективных объектов.

Категория Фукая

См. категорию Фукая .

полный

1. Функтор является полным , если он сюръективен при ограничении каждым hom-множеством .

2. Категория A является полной подкатегорией категории B, если функтор включения из A в B является полным.

функтор

При наличии категорий C , D , функтор F из C в D является сохраняющим структуру отображением из C в D ; т. е. он состоит из объекта F ( x ) в D для каждого объекта x в C и морфизма F ( f ) в D для каждого морфизма f в C , удовлетворяющего условиям: (1) всякий раз, когда определено и (2) . Например, ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$,

где — множество степеней S — функтор, если мы определим: для каждой функции , через . ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$

категория функтора

Категория функторов Fct ( C , D ) или из категории C в категорию D — это категория, где объектами являются все функторы из C в D , а морфизмами — все естественные преобразования между функторами. ${\displaystyle D^{C}}$

Г

Теорема Габриэля–Попеску

Теорема Габриэля –Попеску утверждает, что абелева категория является частным категории модулей.

категория Галуа

1. В SGA 1 , Exposé V (Определение 5.1.) категория называется категорией Галуа , если она эквивалентна категории конечных G -множеств для некоторой проконечной группы G .

2. По техническим причинам некоторые авторы (например, проект Stacks ^[8] или ^[9] ) используют несколько иные определения.

генератор

В категории C семейство объектов является системой генераторов C , если функтор консервативен. Его двойственный функтор называется системой когенераторов. ${\displaystyle G_{i},i\in I}$ ${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$

обобщенный

обобщенное метрическое пространство .

Серый

1. Тензорное произведение Грея является нестрогим аналогом декартова произведения. ^[10]

2. Категория Грея — это определенная полустрогая 3-категория; см. https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category

большой топос

Понятие большого топоса (топологического пространства) принадлежит Жану Жиро .

Теория Галуа Гротендика

Теоретико-категорное обобщение теории Галуа ; см. Теорию Галуа Гротендика .

категория Гротендик

Категория Гротендика — это определенный благопристойный вид абелевой категории.

Строительство Гротендик

Для данного функтора пусть D _U будет категорией, где объекты являются парами ( x , u ), состоящими из объекта x в C и объекта u в категории U ( x ), а морфизм из ( x , u ) в ( y , v ) является парой, состоящей из морфизма f : x → y в C и морфизма U ( f )( u ) → v в U ( y ). Переход от U к D _U тогда называется конструкцией Гротендика . ${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$

волокнистость Гротендика

Волокнистая категория .

группоид

1. Категория называется группоидом , если каждый морфизм в ней является изоморфизмом.

2. ∞-категория называется ∞-группоидом , если каждый морфизм в ней является эквивалентностью (или, что эквивалентно, если она является комплексом Кана ).

ЧАС

Алгебра Холла категории

См. алгебру Рингеля–Холла .

сердце

Сердцем t -структуры ( , ) на триангулированной категории является пересечение . Это абелева категория. ${\displaystyle D^{\geq 0}}$ ${\displaystyle D^{\leq 0}}$ ${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$

Теория высшей категории

Теория высших категорий — это подраздел теории категорий, занимающийся изучением n -категорий и ∞-категорий .

гомологическая размерность

Гомологическая размерность абелевой категории с достаточным количеством инъективов — это наименьшее неотрицательное целое число n, такое, что каждый объект в категории допускает инъективное разрешение длины не более n . Размерность равна ∞, если такого целого числа не существует. Например, гомологическая размерность Mod _R с областью главных идеалов R не превышает единицы.

гомотопическая категория

См. гомотопическая категория . Она тесно связана с локализацией категории .

гипотеза гомотопии

Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоид является пространством (менее двусмысленно, n -группоид может быть использован как гомотопический n -тип).

я

идемпотентный

Эндоморфизм f является идемпотентным, если . ${\displaystyle f\circ f=f}$

личность

1. Тождественный морфизм f объекта A — это морфизм из A в A такой, что для любых морфизмов g с областью определения A и h с областью определения A и . ${\displaystyle g\circ f=g}$ ${\displaystyle f\circ h=h}$

2. Тождественный функтор в категории C — это функтор из C в C , который переводит объекты и морфизмы в самих себя.

3. Для заданного функтора F : C → D тождественное естественное преобразование из F в F является естественным преобразованием, состоящим из тождественных морфизмов F ( X ) в D для объектов X в C .

изображение

Образ морфизма f : X → Y является уравнителем . ${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$

инд-лимит

Копредел (или индуктивный предел) в . ${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

индуктивный предел

Другое название для colimit .

∞-категория

∞-категория получается из категории путем замены класса/множества объектов и морфизмов на пространства объектов и морфизмов. Точнее, ∞-категория C — это симплициальное множество, удовлетворяющее следующему условию: для каждого 0 < i < n ,

• каждая карта симплициальных множеств продолжается до n -симплекса ${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$ ${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

где Δ ⁿ — стандартный n -симплекс, полученный из Δ ⁿ удалением i -й грани и внутренности (см. Kan fibration#Definitions ). Например, нерв категории удовлетворяет условию и, таким образом, может рассматриваться как ∞-категория. ${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$

(∞, n )-категория

(∞, n)-категория получается из ∞-категории заменой пространства морфизмов на (∞, n - 1)-категорию морфизмов. ^[11]

исходный

1. Объект A является начальным , если существует ровно один морфизм из A в каждый объект; например, пустое множество в Set .

2. Объект A в ∞-категории C является начальным, если он стягиваем для каждого объекта B в C. ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$

инъекционный

1. Объект A в абелевой категории инъективен, если функтор точен. Он является двойственным к проективному объекту. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$

2. Термин «инъективный предел» — это другое название прямого предела .

внутренний Хом

Для моноидальной категории ( C , ⊗) внутренний Hom — это функтор такой, что является правым сопряженным к для каждого объекта Y из C . Например, категория модулей над коммутативным кольцом R имеет внутренний Hom, заданный как , множество R -линейных отображений. ${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$ ${\displaystyle [Y,-]}$ ${\displaystyle -\otimes Y}$ ${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

обратный

1. Морфизм f является обратным к морфизму g, если определен и равен тождественному морфизму на области определения g , и определен и равен тождественному морфизму на области определения g . Обратный к g является уникальным и обозначается g ⁻¹ . f является левым обратным к g, если определен и равен тождественному морфизму на области определения g , и аналогично для правого обратного. ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f\circ g}$

2. Обратный предел — это предел обратной системы .

Исбелл

1.   Двойственность Исбелла / сопряженность Исбелла

2.   Завершение Исбелла .

3. Конверт Isbell.

изоморфный

1. Объект изоморфен другому объекту, если между ними существует изоморфизм.

2. Категория изоморфна другой категории, если между ними существует изоморфизм.

изоморфизм

Морфизм f является изоморфизмом , если существует обратный к f .

К

комплекс Кан

Комплекс Кана — фибрантный объект в категории симплициальных множеств.

Расширение Кан

1. Для данной категории C левый функтор расширения Кана вдоль функтора является левым сопряженным (если он существует) к и обозначается как . Для любого функтор называется левым расширением Кана α вдоль f . ^[12] Можно показать: ${\displaystyle f:I\to J}$ ${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle \alpha :I\to C}$ ${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

где колимит пробегает все объекты в категории запятая. ${\displaystyle f(i)\to j}$

2. Правый функтор расширения Кана является правым сопряженным (если он существует) к . ${\displaystyle f^{*}}$

Лемма Кена Брауна

Лемма Кена Брауна — это лемма в теории модельных категорий.

Категория Клейсли

Для монады T категория Клейсли монады T является полной подкатегорией категории T -алгебр (называемой категорией Эйленберга–Мура), которая состоит из свободных T -алгебр.

Л

слабый

Нестрогий функтор — это обобщение псевдофунктора , в котором структурные преобразования, связанные с композицией и тождествами, не обязаны быть обратимыми.

длина

Говорят, что объект в абелевой категории имеетконечная длина, если она имеет серию композиции . Максимальное количество собственных подобъектов в любой такой серии композиции называется длиной A. ^[13 ]

предел

1. Предел (или проективный предел ) функтора равен ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2. Предел функтора — это объект, если таковой имеется в C , который удовлетворяет: для любого объекта X в C , ; т. е. это объект, представляющий функтор ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$ ${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3. Колимп (или индуктивный предел ) является двойственным к пределу; т. е., если задан функтор , он удовлетворяет: для любого X , . Явно, дать означает дать семейство морфизмов, такое что для любого , равно . Возможно, простейшим примером колимп является коуравнитель . Для другого примера возьмем f в качестве тождественного функтора на C и предположим, что существует; тогда тождественный морфизм на L соответствует совместимому семейству морфизмов, такому что является тождественным. Если — любой морфизм, то ; т. е. L — конечный объект C . ${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f:I\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$ ${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$ ${\displaystyle f(i)\to X}$ ${\displaystyle i\to j}$ ${\displaystyle f(i)\to X}$ ${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$ ${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$ ${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$ ${\displaystyle \alpha _{L}}$ ${\displaystyle f:X\to L}$ ${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$

локализация категории

См. локализацию категории .

М

Состояние Миттаг-Леффлера

Говорят, что обратная система удовлетворяет условию Миттаг -Леффлера , если для каждого целого числа существует целое число такое, что для каждого изображения и совпадают. ${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle l\geq m}$ ${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$

монада

Монада в категории X — это моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов X с моноидальной структурой, заданной композицией. Например, для группы G определите эндофунктор T на Set с помощью . Затем определите умножение μ на T как естественное преобразование, заданное формулой ${\displaystyle T(X)=G\times X}$ ${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

и также определяем отображение тождества η аналогичным образом. Тогда ( T , μ , η ) образует монаду в Set . Более существенно, присоединение между функторами определяет монаду в X ; а именно, берется отображение тождества η на T в качестве единицы присоединения и также определяется μ с помощью присоединения. ${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$ ${\displaystyle T=G\circ F}$

монадический

1. Присоединение называется монадическим, если оно происходит от монады, которую оно определяет посредством категории Эйленберга–Мура (категории алгебр для монады).

2. Функтор называется монадическим , если он является составной частью монадического присоединения.

моноидальная категория

Моноидальная категория , также называемая тензорной категорией, — это категория C, снабженная (1) бифунктором , (2) объектом тождества и (3) естественными изоморфизмами, которые делают ⊗ ассоциативным, а объект тождества — тождеством для ⊗, при соблюдении определенных условий когерентности. ${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$

моноидный объект

Моноидный объект в моноидальной категории — это объект вместе с отображением умножения и отображением тождества, которые удовлетворяют ожидаемым условиям, таким как ассоциативность. Например, моноидный объект в Set — это обычный моноид (унитальная полугруппа) , а моноидный объект в R -mod — это ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R.

мономорфизм

Морфизм f является мономорфизмом (также называемым моническим), если всякий раз , когда ; например, инъекция в Set . Другими словами, f является двойственным к эпиморфизму. ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$

многокатегория

Мультикатегория — это обобщение категории, в которой морфизму разрешено иметь более одного домена. Это то же самое, что и цветная операда . ^[14]

Н

n -категория

[В]прос сравнения определений слабой n -категории является скользким, поскольку трудно сказать, что вообще означает эквивалентность двух таких определений. [...] Широко распространено мнение, что структура, образованная слабыми n -категориями и функторами, преобразованиями, ... между ними, должна быть слабой ( n + 1)-категорией; и если это так, то вопрос в том, эквивалентна ли ваша слабая ( n + 1)-категория слабым n- категориям моей, — но чье определение слабой ( n + 1)-категории мы здесь используем... ?

Том Лейнстер, Обзор определений n-категории

1. Строгая n -категория определяется индуктивно: строгая 0-категория — это множество, а строгая n -категория — это категория, Hom-множества которой являются строгими ( n -1)-категориями. Точнее, строгая n -категория — это категория, обогащенная над строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория.

2. Понятие слабой n -категории получается из строгой путем ослабления условий типа ассоциативности композиции, чтобы они выполнялись только с точностью до когерентных изоморфизмов в слабом смысле.

3. Можно определить ∞-категорию как своего рода colim n -категорий. Наоборот, если изначально имеется понятие (слабой) ∞-категории (скажем, квазикатегории ) , то слабую n -категорию можно определить как тип усеченной ∞-категории.

естественный

1. Естественное преобразование — это, грубо говоря, отображение между функторами. Точнее, если задана пара функторов F , G из категории C в категорию D , естественное преобразование φ из F в G — это набор морфизмов в D

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

удовлетворяющий условию: для каждого морфизма f : x → y в C , . Например, записывая для группы обратимых матриц размера n на n с коэффициентами в коммутативном кольце R , мы можем рассматривать как функтор из категории CRing коммутативных колец в категорию Grp групп. Аналогично, является функтором из CRing в Grp . Тогда определитель det является естественным преобразованием из в - ^* . ${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$ ${\displaystyle GL_{n}(R)}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$

2. Естественный изоморфизм — это естественное преобразование, которое является изоморфизмом (т.е. допускает обратное).

Состав кодируется как 2-симплекс.

нерв

Нервный функтор N — это функтор из Cat в s Set , заданный . Например, если — функтор в (называемый 2-симплексом), пусть . Тогда — морфизм в C , а также для некоторого g из C . Поскольку за ним следует и поскольку — функтор, . Другими словами, кодирует f , g и их композиции. ${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N(C)_{2}}$ ${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$ ${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$ ${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$ ${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$ ${\displaystyle 0\to 2}$ ${\displaystyle 0\to 1}$ ${\displaystyle 1\to 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$ ${\displaystyle \varphi }$

нормальный

Мономорфизм нормален, если он является ядром некоторого морфизма, а эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма. Категория нормальна , если каждый мономорфизм нормален.

О

объект

1. Объект — это часть данных, определяющих категорию.

2. [Прилагательное] объект в категории C является контравариантным функтором (или предпучком) из некоторой фиксированной категории, соответствующей «прилагательному» к C. Например, симплициальный объект в C является контравариантным функтором из симплициальной категории в C , а Γ-объект является точечным контравариантным функтором из Γ (примерно точечная категория точечных конечных множеств) в C, при условии, что C является точечным.

op-фибрилляция

Функтор π: C → D является op-расслоением , если для каждого объекта x в C и каждого морфизма g  : π( x ) → y в D существует по крайней мере один π-кокартезов морфизм f : x → y' в C такой, что π( f ) = g . Другими словами, π является двойственным к расслоению Гротендика .

противоположный

Противоположная категория категории получается путем перестановки стрелок. Например, если частично упорядоченный набор рассматривается как категория, то взятие его противоположности равносильно перестановке порядка.

П

идеальный

Иногда синоним слова «компактный». См. совершенный комплекс .

заостренный

Категория (или ∞-категория) называется точечной, если она имеет нулевой объект.

полиграф

Полиграф — это обобщение направленного графа.

многочлен

Функтор из категории конечномерных векторных пространств в себя называется полиномиальным функтором , если для каждой пары векторных пространств V , W , F : Hom( V , W ) → Hom( F ( V ), F ( W )) есть полиномиальное отображение между векторными пространствами. Функтор Шура является базовым примером.

преабелев

Предабелева категория — это аддитивная категория, имеющая все ядра и коядра.

предаддитивный

Категория предаддитивна , если она обогащена над моноидальной категорией абелевых групп . В более общем случае она R -линейна , если она обогащена над моноидальной категорией R -модулей , где R — коммутативное кольцо .

презентабельный

При заданном регулярном кардинале κ категория является κ-представимой, если она допускает все малые копределы и является κ-достижимой. Категория является представимой, если она является κ-представимой для некоторого регулярного кардинала κ (следовательно, представимой для любого большего кардинала). Примечание : Некоторые авторы называют представимую категорию локально представимой категорией .

предварительный пучок

Другой термин для контравариантного функтора: функтор из категории C ^op в Set является предпучком множеств на C , а функтор из C ^op в s Set является предпучком симплициальных множеств или симплициальным предпучком и т. д. Топология на C , если таковая имеется, указывает, какой предпучок является пучком (относительно этой топологии).

продукт

1. Произведение семейства объектов X _i в категории C , индексированной множеством I, является проективным пределом функтора , где I рассматривается как дискретная категория. Оно обозначается и является двойственным к копроизведению семейства. ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$

2. Произведение семейства категорий C _i 's, индексированных множеством I, есть категория, обозначенная как , класс объектов которой является произведением классов объектов C _i 's и чьи hom-множества являются ; морфизмы составлены покомпонентно. Это двойственное к непересекающемуся объединению. ${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$

профунктор

Для категорий C и D профунктор (или дистрибьютор) из C в D является функтором вида . ${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$

проективный

1. Объект A в абелевой категории проективен, если функтор точен. Он является двойственным к инъективному объекту. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$

2. Термин «проективный предел» — это другое название обратного предела .

ПРОП

PROP — это симметричная строгая моноидальная категория, объектами которой являются натуральные числа, а тензорным произведением — сложение натуральных чисел.

псевдоалгебра

Псевдоалгебра — это 2-категориальная версия алгебры для монады (с заменой монады на 2-монад).

В

В

Q-категория .

Квиллен

Теорема Квиллена А дает критерий того, что функтор является слабой эквивалентностью.

квазиабелев

квазиабелева категория .

квазитопос

квазитопос .​

Р

отражать

1. Говорят, что функтор отражает тождества, если он обладает следующим свойством: если F ( k ) — тождество, то k также является тождеством.

2. Говорят, что функтор отражает изоморфизмы, если он обладает свойством: F ( k ) — изоморфизм, тогда k также является изоморфизмом.

обычный

Обычная категория .

представимый

Многозначный контравариантный функтор F в категории C называется представимым , если он принадлежит существенному образу вложения Йонеды ; т. е. для некоторого объекта Z. Объект Z называется представляющим объектом F. ${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$ ${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$

отвод

f — это ретракция g . g — это сечение f .

Морфизм является ретракцией, если у него есть правый обратный.

буровая установка

Категория буровой установки — это категория с двумя моноидальными структурами, одна из которых распределяется над другой.

С

раздел

Морфизм является сечением , если он имеет левое обратное. Например, аксиома выбора гласит, что любая сюръективная функция допускает сечение.

Сигал

1.   Состояние Segal . На данный момент см. https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition

2.   Пространства Сигала — это некоторые симплициальные пространства, введенные в качестве моделей для (∞, 1)-категорий .

полуабелев

Полуабелева категория .

полупростой

Абелева категория полупроста , если каждая короткая точная последовательность расщепляется. Например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда категория модулей над ним полупроста.

функтор Серра

Для заданной k -линейной категории C над полем k функтор Серра является автоэквивалентностью такой, что для любых объектов A , B . ${\displaystyle f:C\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$

простой объект

Простой объект в абелевой категории — этообъект A , который не изоморфен нулевому объекту и каждый подобъект которого изоморфен нулю или A. Например, простой модуль — это в точности простой объект в категории (скажем, левых) модулей.

симплексная категория

Симплексная категория Δ — это категория, в которой объект представляет собой множество [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, полностью упорядоченное стандартным образом, а морфизм — это функция, сохраняющая порядок.

симплициальная категория

Категория, обогащенная симплициальными множествами.

Симплициальная локализация

Симплициальная локализация — это метод локализации категории.

симплициальный объект

Симплициальный объект в категории C — это, грубо говоря, последовательность объектов в C , которая образует симплициальное множество. Другими словами, это ковариантный или контравариантный функтор Δ → C. Например, симплициальный предпучок — это симплициальный объект в категории предпучков. ${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$

Симпсон

Гипотеза Симпсона о полустрогости (поскольку это пока что эффективная ссылка, см. [2]).

симплициальный набор

Симплициальное множество — это контравариантный функтор из Δ в Set , где Δ — симплексная категория , категория, объектами которой являются множества [ n ] = { 0, 1, …, n } и морфизмами которой являются функции, сохраняющие порядок. Записывается и элемент множества называется n -симплексом. Например, — симплициальное множество, называемое стандартным n -симплексом. По лемме Йонеды . ${\displaystyle X_{n}=X([n])}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$ ${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$

сайт

Категория, снабженная топологией Гротендика .

скелетный

1. Категория является скелетной , если изоморфные объекты обязательно идентичны.

2. (Не уникальный) скелет категории — это полная подкатегория, которая является скелетной.

ломтик

Если задана категория C и объект A в ней, то категория среза C _{/ A} категории C над A — это категория, объектами которой являются все морфизмы в C с областью значений A , морфизмы которой являются морфизмами в C такими, что если f является морфизмом из в , то в C и чья композиция является композицией C . ${\displaystyle p_{X}:X\to A}$ ${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$ ${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$

маленький

1. Малая категория — это категория, в которой класс всех морфизмов является множеством ( т.е. не является собственным классом ); в противном случае большая . Категория локально мала, если морфизмы между каждой парой объектов A и B образуют множество. Некоторые авторы предполагают основание, в котором совокупность всех классов образует «конгломерат», в этом случае квазикатегория — это категория, объекты и морфизмы которой просто образуют конгломерат . ^[15] (Примечание: некоторые авторы используют термин «квазикатегория» в другом значении. ^[16] )

2. Объект в категории называется малым, если он κ-компактен для некоторого регулярного кардинала κ. Понятие заметно появляется в аргументе Куилена о малых объектах (ср. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)

разновидность

(Комбинаторный) вид — это эндофунктор на группоиде конечных множеств с биекциями. Он категорически эквивалентен симметричной последовательности .

стабильный

∞-категория является стабильной , если (1) она имеет нулевой объект, (2) каждый морфизм в ней допускает волокно и коволокно и (3) треугольник в ней является последовательностью волокон тогда и только тогда, когда он является последовательностью коволокна.

строгий

Морфизм f в категории, допускающей конечные пределы и конечные копределы, является строгим, если естественный морфизм является изоморфизмом. ${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$

строгая n -категория

Строгая 0-категория — это множество, и для любого целого числа n > 0 строгая n -категория — это категория, обогащенная строгими ( n -1)-категориями. Например, строгая 1-категория — это обычная категория. Примечание : термин « n -категория» обычно относится к « слабой n -категории », а не строгой.

строгая фиксация

Строгое определение — это процесс замены слабо соблюдающихся равенств (т.е. с точностью до когерентных изоморфизмов) фактическими равенствами.

субканонический

Топология на категории является субканонической, если каждый представимый контравариантный функтор на C является пучком относительно этой топологии. ^[17] Вообще говоря, некоторые плоские топологии могут не быть субканоническими; но плоские топологии, появляющиеся на практике, имеют тенденцию быть субканоническими.

подкатегория

Категория A является подкатегорией категории B , если существует функтор включения из A в B.

подобъект

Для объекта A в категории подобъект A является классом эквивалентности мономорфизмов к A ; два мономорфизма f и g считаются эквивалентными, если f пропускается через g , а g пропускается через f .

подчастное

Подчастное — это частное подобъекта.

субтерминальный объект

Субтерминальный объект — это объект X , такой что каждый объект имеет не более одного морфизма в X.

симметричная моноидальная категория

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория (т. е. категория со знаком ⊗), имеющая максимально симметричное плетение.

симметричная последовательность

Симметричная последовательность — это последовательность объектов с действиями симметричных групп . Она категорически эквивалентна (комбинаторному) виду .

Т

т-структура

t -структура — это дополнительная структура на триангулированной категории (в более общем случае стабильной ∞-категории ), которая аксиоматизирует понятия комплексов, чьи когомологии сосредоточены в неотрицательных степенях или неположительных степенях.

Таннакианская двойственность

Двойственность Таннакиана утверждает , что в подходящей настройке задать морфизм — значит задать функтор обратного протягивания вдоль него. Другими словами, множество Hom можно отождествить с категорией функтора , возможно, в производном смысле , где — категория, связанная с X (например, производная категория). ^{[18] [19]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$ ${\displaystyle D(X)}$

тензорная категория

Обычно синоним моноидальной категории (хотя некоторые авторы различают эти два понятия).

тензорная триангулированная категория

Тензорная триангулированная категория — это категория, которая совместимо несет в себе структуру симметричной моноидальной категории и структуру триангулированной категории.

тензорное произведение

Для моноидальной категории B тензорное произведение функторов и является концом: ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$ ${\displaystyle G:C\to B}$

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

Терминал

1. Объект A является конечным (также называется конечным), если существует ровно один морфизм из каждого объекта в A ; например, синглтоны в Set . Он является двойственным к исходному объекту .

2. Объект A в ∞-категории C является терминальным, если он стягиваем для каждого объекта B из C. ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$

толстая подкатегория

Полная подкатегория абелевой категории является толстой, если она замкнута относительно расширений.

тонкий

Тонкая категория — это категория, в которой между любой парой объектов существует не более одного морфизма.

крошечный

Маленький объект. Пока смотрите https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object

топологический топос

Топологический топос , возможная замена категории топологических пространств. См. https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html

триангулированная категория

Триангулированная категория — это категория, в которой можно говорить о выделенных треугольниках, обобщении точных последовательностей. Абелева категория — это прототипический пример триангулированной категории. Производная категория — это триангулированная категория, которая не обязательно является абелевой категорией.

У

универсальный

1. Если заданы функтор и объект X в D , универсальный морфизм из X в f является начальным объектом в категории запятых . (Его двойственный объект также называется универсальным морфизмом.) Например, возьмем f в качестве забывающего функтора , а X — множество. Начальным объектом является функция . То, что он является начальным, означает, что если — другой морфизм, то существует единственный морфизм из j в k , который состоит из линейного отображения , которое расширяет k посредством j ; то есть — свободное векторное пространство, порожденное X . ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$ ${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$ ${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$ ${\displaystyle k:X\to f(W)}$ ${\displaystyle V_{X}\to W}$ ${\displaystyle V_{X}}$

2. Выражаясь более явно, при указанном выше f морфизм в D универсален тогда и только тогда, когда естественное отображение ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

является биективным. В частности, если , то, взяв c в качестве u _X, мы получаем универсальный морфизм, посылая тождественный морфизм. Другими словами, наличие универсального морфизма эквивалентно представимости функтора . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$

Вт

Категория Вальдхаузен

Категория Вальдхаузена — это, грубо говоря, категория с семействами кофибраций и слабых эквивалентностей.

хорошо мощный

Категория является хорошо развитой, если для каждого объекта существует только набор попарно неизоморфных подобъектов .

И

Йонеда

1.  

Лемма Йонеды утверждает... в более выразительных терминах математический объект X лучше всего рассматривать в контексте категории, окружающей его, и он определяется сетью отношений, которые он имеет со всеми объектами этой категории. Более того, чтобы понять X, может быть более уместным иметь дело непосредственно с функтором, представляющим его. Это напоминает «языковую игру» Витгенштейна; то есть, что значение слова — по сути — определяется, фактически является ничем иным, как его отношениями со всеми высказываниями в языке.

Барри Мазур , «Думая о Гротендике»

Лемма Йонеды гласит : для каждого многозначного контравариантного функтора F на C и объекта X в C существует естественная биекция

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

где Nat означает множество естественных преобразований. В частности, функтор

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

является полностью точным и называется вложением Йонеды. ^[20]

2. Если — функтор, а y — вложение Йонеды C , то расширение Йонеды F — это левое расширение Кана F вдоль y . ${\displaystyle F:C\to D}$

З

ноль

Нулевой объект — это объект, который является как начальным, так и конечным, например, тривиальная группа в Grp .

Примечания

1. Если верить в существование строго недоступных кардиналов , то может существовать строгая теория, в которой утверждения и конструкции имеют ссылки на вселенные Гротендика .
2. Примечание 2.7. из https://ncatlab.org/nlab/show/additive+category
3. * Ловере, FW (1986), «Серьезное отношение к категориям», Revista Colombiana de Matematicas , 20 (3–4): 147–178, MR  0948965
4. Кашивара и Шапира 2006, гл. 2, упражнение 2.8.
5. Мак Лейн 1998, гл. III, § 3..
6. "Дневная свертка в nLab".
7. Хинич, В. (17.11.2013). «Повторный взгляд на локализацию Дуайера-Кана». arXiv : 1311.4128 [math.QA].
8. Определение 3.6. в https://stacks.math.columbia.edu/download/pione.pdf#nameddest=0BQ6
9. Определение 7.2.1. в Бхатте, Бхаргав; Шольце, Питер (2015), «Проэтальная топология схем», Asterisque : 99–201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B, MR  3379634
10. "Произведение тензора Грея в nLab".
11. Лубатон, Феликс (2024). «Категорная теория $(\infty,ω)$-категорий». arXiv : 2406.05425 [math.CT].
12. «Универсальные гомологические эквивалентности (Лекция 11)» (PDF) . www.math.harvard.edu .
13. Кашивара и Шапира 2006, упражнение 8.20.
14. «Мультикатегория в nLab».
15. Адамек, Йиржи; Херрлих, Хорст; Штрекер, Джордж Э. (2004) [1990]. Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (PDF) . Нью-Йорк: Wiley & Sons. стр. 40. ISBN 0-471-60922-6.
16. Джоял, А. (2002). «Квазикатегории и комплексы Кана». Журнал чистой и прикладной алгебры . 175 (1–3): 207–222. doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4.
17. Вистоли 2004, Определение 2.57.
18. Якоб Лурье. Двойственность Таннака для геометрических стеков. http://math.harvard.edu/~lurie/, 2004.
19. Бхатт, Бхаргав (29 апреля 2014 г.). «Алгебраизация и двойственность Таннака». arXiv : 1404,7483 [math.AG].
20. Техническое примечание: лемма неявно подразумевает выбор Set , т. е. выбор универсума.

Ссылки

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Теория топосов и этальных когомологий схем . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 269. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX+525. дои : 10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.
• Гротендик, Александр (1971). Revêtements Etales et Groupe Fondamental . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 224. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xxii+447. дои : 10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0. МР  0354651.
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки .
• А. Джойал , Теория квазикатегорий II (Том I отсутствует?)
• Лурье, Дж. , Высшая алгебра
• Лури, Дж., Теория высшего топоса
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Збл  1034.18001.
• Вистоли, Анджело (28.12.2004). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска». arXiv : math/0412512 .

Дальнейшее чтение

• Грот, М., Краткий курс по ∞-категориям. Архивировано 03.03.2016 на Wayback Machine.
• Заметки Цисински
• История теории топоса
• Лейнстер, Том (2014). Базовая теория категорий . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 143. Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . Bibcode : 2016arXiv161209375L.
• Лейнстер, Высшие операды, высшие категории, 2003.
• Эмили Риль, Неторопливое введение в симплициальные множества
• Конспект лекций по категориальной логике Стива Аводея
• Стрит, Росс (20 марта 2003 г.). «Категориальные и комбинаторные аспекты теории спуска». arXiv : math/0303175 .(подробное обсуждение 2-й категории)
• Ловер, Категории пространств не могут быть обобщенными пространствами, как показано на примере ориентированных графов
• Теория категорий в Стэнфордской энциклопедии философии