Логнормальное распределение

Распределение вероятностей

В теории вероятностей логнормальное (или логнормальное ) распределение — это непрерывное распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой нормально распределен . Таким образом, если случайная величина X имеет логнормальное распределение, то Y = ln( X ) имеет нормальное распределение. ^{[2] [3]} Аналогично, если Y имеет нормальное распределение, то показательная функция Y , X = exp( Y ) , имеет логарифмически нормальное распределение. Случайная величина, имеющая логарифмически нормальное распределение, принимает только положительные действительные значения. Это удобная и полезная модель для измерений в точных и технических науках, а также в медицине , экономике и других областях (например, энергии, концентрации, длины, цены финансовых инструментов и других показателей).

Распределение иногда называют распределением Гальтона или распределением Гальтона в честь Фрэнсиса Гальтона . ^[4] Логнормальное распределение также ассоциировалось с другими именами, такими как Макалистер , Гибрат и Кобб-Дуглас . ^[4]

Логнормальный процесс — это статистическая реализация мультипликативного произведения множества независимых случайных величин , каждая из которых положительна. Это подтверждается рассмотрением центральной предельной теоремы в логарифмической области (иногда называемой законом Гибрата ). Логарифмически нормальное распределение — это распределение вероятностей максимальной энтропии для случайной величины X , для которого указаны среднее значение и дисперсия ln( X ) . ^[5]

Определения

Генерация и параметры

Пусть будет стандартной нормальной переменной и пусть и будут двумя действительными числами с . Тогда распределение случайной величины ${\displaystyle \ Z\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

называется логнормальным распределением с параметрами и . Это ожидаемое значение (или среднее значение ) и стандартное отклонение натурального логарифма переменной , а не ее математическое ожидание и стандартное отклонение . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ X\ }$

Связь между нормальным и логнормальным распределением. Если нормально распределено, то распределено логнормально. ${\displaystyle \ Y=\mu +\sigma Z\ }$ ${\displaystyle \ X\sim e^{Y}\ }$

Это соотношение верно независимо от основания логарифмической или экспоненциальной функции: Если нормально распределено, то так же и для любых двух положительных чисел. Аналогично, если логарифмически нормально распределено, то так же и где . ${\displaystyle \ \log _{a}(X)\ }$ ${\displaystyle \ \log _{b}(X)\ }$ ${\displaystyle \ a,b\neq 1~.}$ ${\displaystyle \ e^{Y}\ }$ ${\displaystyle \ a^{Y}\ ,}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

Чтобы получить распределение с желаемым средним значением и дисперсией, используют и ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\ {\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}\ }}\ }}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\ \sigma _{X}^{2}\ }{\mu _{X}^{2}}}\right)~.}$

Альтернативно могут быть использованы «мультипликативные» или «геометрические» параметры . Они имеют более прямую интерпретацию: это медиана распределения, полезная для определения интервалов «разброса», см. ниже. ${\displaystyle \ \mu ^{*}=e^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}=e^{\sigma }\ }$ ${\displaystyle \ \mu ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}\ }$

Функция плотности вероятности

Положительная случайная величина имеет логнормальное распределение (т. е. ), если натуральный логарифм нормально распределяется со средним значением и дисперсией. ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu _{x},\sigma _{x}^{2}\ \right)\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}\ :}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

Пусть и будут соответственно кумулятивной функцией распределения вероятностей и функцией плотности вероятности стандартного нормального распределения, тогда мы имеем, что ^{[2] [4]} функция плотности вероятности логарифмически нормального распределения определяется выражением: ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \varphi \ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(\ 0,1\ )\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ X\leq x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ \ln X\leq \ln x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {\Phi } \!\!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right){\frac {1}{\ \sigma \ x\ }}\\[6pt]&={\frac {1}{\ x\ \sigma {\sqrt {2\ \pi \ }}\ }}\exp \left(-{\frac {\ (\ln x-\mu )^{2}\ }{2\ \sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)}$

где – кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения (т.е. ). ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {N}} (\ 0,\ 1)\ }$

Это также можно выразить следующим образом: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

где erfc — дополнительная функция ошибок .

Многомерный логарифмически нормальный

Если — многомерное нормальное распределение , то оно имеет многомерное логнормальное распределение. ^{[6] [7]} Экспонента применяется поэлементно к случайному вектору . Среднее значение ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$

и его ковариационная матрица равна

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

Поскольку многомерное логнормальное распределение широко не используется, остальная часть этой статьи посвящена только одномерному распределению .

Характеристическая функция и производящая функция момента

Все моменты логнормального распределения существуют и

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Это можно получить, введя интеграл. Однако логнормальное распределение не определяется своими моментами. ^[8] Это означает, что он не может иметь определенную производящую функцию момента в окрестности нуля. ^[9] Действительно, ожидаемое значение не определяется ни для какого положительного значения аргумента , поскольку определяющий интеграл расходится. ${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$ ${\displaystyle t}$

Характеристическая функция определена для действительных значений t , но не определена для любого комплексного значения t , которое имеет отрицательную мнимую часть, и, следовательно, характеристическая функция не является аналитической в ​​начале координат. Следовательно, характеристическую функцию логнормального распределения нельзя представить в виде бесконечного сходящегося ряда. ^[10] В частности, его формальный ряд Тейлора расходится: ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Однако был получен ряд альтернативных представлений расходящихся рядов . ^{[10] [11] [12] [13]}

Формула в замкнутом виде для характеристической функции с в области сходимости не известна. Относительно простая аппроксимирующая формула доступна в замкнутой форме и имеет вид ^[14] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

где – функция Ламберта W. Это приближение получено асимптотическим методом, но остается точным во всей области сходимости . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \varphi }$

Характеристики

а. является логнормальной переменной с . вычисляется путем преобразования в нормальную переменную с последующим интегрированием ее плотности по области, определяемой (синие области), с использованием численного метода трассировки лучей. ^[15] б и в. PDF и CDF функции логарифмически нормальной переменной также могут быть вычислены таким способом. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu =1,\sigma =0.5}$ ${\displaystyle p(\sin y>0)}$ ${\displaystyle x=\ln y}$ ${\displaystyle \sin e^{x}>0}$ ${\displaystyle \sin y}$

Вероятность в разных областях

Вероятностное содержание логнормального распределения в любой произвольной области можно вычислить с желаемой точностью, сначала преобразуя переменную в нормальную, а затем численно интегрируя с использованием метода трассировки лучей. ^[15] (код Matlab)

Вероятности функций логнормальной переменной

Поскольку вероятность логарифмически нормального значения может быть вычислена в любой области, это означает, что cdf (и, следовательно, pdf и обратный cdf) любой функции логнормальной переменной также можно вычислить. ^[15] (код Matlab)

Геометрические или мультипликативные моменты

Среднее геометрическое или мультипликативное логарифмически нормального распределения равно . Оно равно медиане. Геометрическое или мультипликативное стандартное отклонение равно . ^{[16] [17]} ${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

По аналогии с арифметической статистикой можно определить геометрическую дисперсию , и был предложен геометрический коэффициент вариации , ^{[16] .} Этот термин был задуман как аналог коэффициента вариации для описания мультипликативной вариации логарифмически нормальных данных, но это определение GCV не имеет теоретической основы в качестве оценки самого себя (см. также Коэффициент вариации ). ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$ ${\displaystyle \operatorname {CV} }$

Обратите внимание, что среднее геометрическое меньше среднего арифметического. Это связано с неравенством AM – GM и является следствием того, что логарифм является вогнутой функцией . Фактически,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[18]

В финансах этот термин иногда интерпретируется как коррекция выпуклости . С точки зрения стохастического исчисления , это тот же поправочный член, что и в лемме Ито для геометрического броуновского движения . ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

Арифметические моменты

Для любого действительного или комплексного числа n n -й момент логарифмически нормально распределенной переменной X определяется выражением ^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

В частности, среднее арифметическое, ожидаемый квадрат, арифметическая дисперсия и стандартное арифметическое отклонение логарифмически нормально распределенной переменной X соответственно определяются формулой: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

Арифметическим коэффициентом вариации является отношение . Для логнормального распределения оно равно ^[3] ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$ ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

Эту оценку иногда называют «геометрическим CV» (GCV) ^{[19] [20]} из-за использования в ней геометрической дисперсии. В отличие от стандартного арифметического отклонения, арифметический коэффициент вариации не зависит от среднего арифметического.

Параметры μ и σ можно получить, если известны среднее арифметическое и дисперсия:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Распределение вероятностей не определяется однозначно моментами E[ X ⁿ ] = e ^{nμ +1/2п 2 σ 2} для п ≥ 1. То есть существуют другие распределения с таким же набором моментов. ^[4]На самом деле существует целое семейство распределений с теми же моментами, что и логнормальное распределение. ^{[ нужна цитата ]}

Мода, медиана, квантиль

Сравнение среднего значения , медианы и моды двух логнормальных распределений с различной асимметрией .

Мода является точкой глобального максимума функции плотности вероятности . В частности, решив уравнение , получим, что: ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

Поскольку логарифмически преобразованная переменная имеет нормальное распределение, а квантили сохраняются при монотонных преобразованиях, квантили ${\displaystyle Y=\ln X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$

где – квантиль стандартного нормального распределения. ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

В частности, медиана логарифмически нормального распределения равна его мультипликативному среднему, ^[21]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$

Частичное ожидание

Частное ожидание случайной величины относительно порога определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.}$

В качестве альтернативы, используя определение условного ожидания , его можно записать как . Для логнормальной случайной величины частичное математическое ожидание определяется выражением: ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

где – нормальная кумулятивная функция распределения . Вывод формулы представлен на странице Обсуждение . Формула частных ожиданий имеет приложения в страховании и экономике , она используется при решении уравнения в частных производных, приводящего к формуле Блэка-Шоулза . ${\displaystyle \Phi }$

Условное ожидание

Условное ожидание логарифмически нормальной случайной величины — относительно порога — это ее частичное ожидание, деленное на кумулятивную вероятность нахождения в этом диапазоне: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$

Альтернативные параметризации

В дополнение к характеристике или , здесь есть несколько способов параметризации логарифмически нормального распределения. ProbOnto , база знаний и онтология вероятностных распределений ^{[22] [23]} перечисляет семь таких форм: ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

Обзор параметризации логнормальных распределений.

• LogNormal1(μ,σ) со средним значением µ и стандартным отклонением σ, оба в логарифмическом масштабе ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal2(μ,υ) со средним значением μ и дисперсией υ, оба в логарифмическом масштабе.

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$

• LogNormal3(m,σ) с медианой m в естественном масштабе и стандартным отклонением σ в логарифмическом масштабе ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal4(m,cv) с медианой m и коэффициентом вариации cv, оба в естественном масштабе.

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ,τ) со средним значением μ и точностью τ, оба в логарифмическом масштабе ^[25]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• _LogNormal6 (m,σg ₎ с медианой m и геометрическим стандартным отклонением σg , оба в естественном масштабе ^[26]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• LogNormal7(μ _N ,σ _N ) со средним значением μ _N и стандартным отклонением σ _N в естественном масштабе ^[27]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

Примеры повторной параметризации

Рассмотрим ситуацию, когда хотелось бы запустить модель с использованием двух разных инструментов оптимального проектирования, например PFIM ^[28] и PopED. ^[29] Первый поддерживает параметризацию LN2, второй LN7 соответственно. Поэтому требуется повторная параметризация, иначе два инструмента дадут разные результаты.

Для перехода справедливы формулы и . ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$ ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

Для перехода справедливы формулы и . ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$ ${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$ ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

Все остальные формулы перепараметризации можно найти в спецификации на сайте проекта. ^[30]

Множественная, взаимная, сила

• Умножение на константу: Если то для ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a>0.}$
• Взаимное: Если тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• Власть: Если тогда для ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$

Умножение и деление независимых логнормальных случайных величин.

Если две независимые логарифмически нормальные переменные и умножаются [делятся], произведение [отношение] снова становится логарифмически нормальным, с параметрами [ ] и , где . Это легко обобщить на произведение таких переменных. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

В более общем смысле, если это независимые переменные с логнормальным распределением, то ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

Мультипликативная центральная предельная теорема

Среднее геометрическое или мультипликативное значение независимых, одинаково распределенных положительных случайных величин показывает примерно логарифмически нормальное распределение с параметрами и , предполагая, что оно конечно. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

На самом деле случайные величины не обязательно должны быть одинаково распределены. Этого достаточно, чтобы все распределения имели конечную дисперсию и удовлетворяли остальным условиям любого из многих вариантов центральной предельной теоремы . ${\displaystyle \ln(X_{i})}$

Это широко известно как закон Гибрата .

Другой

Набор данных, возникающий в результате логарифмически нормального распределения, имеет симметричную кривую Лоренца (см. также коэффициент асимметрии Лоренца ). ^[31]

Гармонические , геометрические и средние арифметические этого распределения связаны между собой; ^[32] такое соотношение имеет вид ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Логнормальные распределения бесконечно делимы ^[33] , но они не являются стабильными распределениями , из которых можно легко вывести. ^[34]

Связанные дистрибутивы

• Если это нормальное распределение , то ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Если распределено логнормально, то это нормальная случайная величина. ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Пусть – независимые логарифмически нормально распределенные переменные с возможно меняющимися параметрами и . Распределение не имеет выражения в замкнутой форме, но может быть разумно аппроксимировано другим логнормальным распределением в правом хвосте. ^[35] Его функция плотности вероятности в окрестности 0 была охарактеризована ^[34] и не похожа ни на какое логарифмически нормальное распределение. Обычно используемое приближение Л.Ф. Фентона (но ранее сформулированное Р.И. Уилкинсоном и математически обоснованное Марлоу ^[36] ) получается путем сопоставления среднего значения и дисперсии другого логарифмически нормального распределения: ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$
  В случае, когда все имеют одинаковый параметр дисперсии , эти формулы упрощаются до ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

Для более точного приближения можно использовать метод Монте-Карло для оценки кумулятивной функции распределения, PDF и правого хвоста. ^{[37] [38]}

Сумма коррелированных случайных величин с логнормальным распределением также может быть аппроксимирована ^{логнормальным распределением .}

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}}$$

• Говорят, что if имеет логарифмически нормальное распределение с тремя параметрами и поддержкой . ^[39] , . ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X+c}$ ${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• Логнормальное распределение является частным случаем полуограниченного SU-распределения Джонсона . ^[40]
• Если с , то (дистрибутив Suzuki). ${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• Замену логарифмически нормального, чей интеграл можно выразить через более элементарные функции ^[41], можно получить на основе логистического распределения , чтобы получить аппроксимацию CDF .
  $${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$
  Это лог-логистическое распределение .

Статистические выводы

Оценка параметров

Для определения оценок максимального правдоподобия параметров логарифмически нормального распределения µ и σ мы можем использовать ту же процедуру , что и для нормального распределения . Обратите внимание, что

$${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$

${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

Поскольку первый член является постоянным относительно µ и σ , обе логарифмические функции правдоподобия и достигают максимума при одинаковых и . Следовательно , оценки максимального правдоподобия идентичны оценкам для нормального распределения наблюдений ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{N}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$

$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.}$$

При конечном n оценка для является несмещенной, а оценка для — смещенной. Что касается нормального распределения, несмещенную оценку для можно получить, заменив знаменатель n на n −1 в уравнении для . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Когда отдельные значения недоступны, но имеются среднее значение выборки и стандартное отклонение s , можно использовать метод моментов . Соответствующие параметры определяются по следующим формулам, полученным в результате решения уравнений для математического ожидания и дисперсии для и : ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).}$$

Интервальные оценки

Самый эффективный способ получить интервальные оценки при анализе логарифмически нормально распределенных данных состоит в применении хорошо известных методов, основанных на нормальном распределении, к логарифмически преобразованным данным, а затем при необходимости обратного преобразования результатов.

Интервалы прогнозирования

Базовый пример — интервалы прогнозирования : для нормального распределения интервал содержит примерно две трети (68%) вероятности (или большой выборки) и содержит 95%. Следовательно, для логнормального распределения ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$ ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$

$${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$$

$${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$$

Доверительный интервал для μ ^*

Используя этот принцип, обратите внимание, что доверительный интервал для равен , где – стандартная ошибка, а q – 97,5%-ный квантиль t-распределения с n-1 степенями свободы. Обратное преобразование приводит к доверительному интервалу для , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$ ${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$

${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

Экстремальный принцип энтропии для фиксации свободного параметра σ

В приложениях это параметр, который необходимо определить. Для растущих процессов, сбалансированных производством и диссипацией, использование экстремального принципа энтропии Шеннона показывает, что ^[42] ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

Затем это значение можно использовать для определения некоторого масштабного соотношения между точкой перегиба и максимальной точкой логарифмически нормального распределения. ^[42] Это соотношение определяется основанием натурального логарифма и демонстрирует некоторое геометрическое сходство с принципом минимальной поверхностной энергии. Эти масштабные соотношения полезны для прогнозирования ряда процессов роста (распространение эпидемии, разбрызгивание капель, рост населения, скорость закручивания вихря в ванне, распределение языковых символов, профиль скорости турбулентности и т. д.). Например, логарифмически нормальная функция хорошо согласуется с размером вторично образующихся капель во время воздействия капель ^[43] и распространения эпидемического заболевания. ^[44] ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle \sigma }$

Это значение используется для обеспечения вероятностного решения уравнения Дрейка. ^[45] ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

Возникновение и применение

Логнормальное распределение важно при описании природных явлений. Многие процессы естественного роста обусловлены накоплением множества небольших процентных изменений, которые становятся аддитивными в логарифмическом масштабе. При соответствующих условиях регулярности распределение результирующих накопленных изменений будет все лучше аппроксимироваться логарифмически нормальным, как отмечалось выше в разделе «Мультипликативная центральная предельная теорема». Это также известно как закон Гибрата , в честь Роберта Гибрата (1904–1980), который сформулировал его для компаний. ^[46] Если скорость накопления этих небольших изменений не меняется со временем, рост становится независимым от размера. Даже если это предположение неверно, распределение размеров в любом возрасте вещей, которые растут с течением времени, имеет тенденцию быть логарифмически нормальным. ^{[ нужна ссылка ]} Следовательно, референсные диапазоны для измерений у здоровых людей более точно оцениваются, если предположить логарифмически нормальное распределение, чем предполагая симметричное распределение относительно среднего значения. ^{[ нужна цитата ]}

Второе обоснование основано на наблюдении, что фундаментальные законы природы предполагают умножение и деление положительных переменных. Примерами могут служить простой закон гравитации, связывающий массы и расстояния с результирующей силой, или формула равновесных концентраций химических веществ в растворе, связывающая концентрации продуктов и продуктов. Предположение о логнормальном распределении задействованных переменных приводит в этих случаях к непротиворечивым моделям.

Конкретные примеры приведены в следующих подразделах. ^[47] содержит обзор и таблицу логнормальных распределений из геологии, биологии, медицины, продуктов питания, экологии и других областей. ^[48] ​​представляет собой обзорную статью о логнормальном распределении в нейробиологии с аннотированной библиографией.

Поведение человека

• Длина комментариев, публикуемых на дискуссионных форумах в Интернете, подчиняется логарифмически нормальному распределению. ^[49]
• Время пребывания пользователей на онлайн-статьях (шутки, новости и т. д.) подчиняется логарифмически нормальному распределению. ^[50]
• Продолжительность шахматных партий имеет тенденцию подчиняться логарифмически нормальному распределению. ^[51]
• Продолжительность начала акустических стимулов сравнения, соответствующих стандартному стимулу, соответствует логарифмически нормальному распределению. ^[18]

Биология и медицина

• Меры размера живой ткани (длина, площадь кожи, вес). ^[52]
• Инкубационный период заболеваний. ^[53]
• Диаметры пятен банановых листьев, мучнистой росы на ячмене. ^[47]
• Показано, что для высокозаразных эпидемий, таких как атипичная пневмония в 2003 году, если применяется государственная политика контроля вмешательства, число госпитализированных случаев удовлетворяет логарифмически нормальному распределению без свободных параметров, если предполагается энтропия, а стандартное отклонение определяется принцип максимальной скорости производства энтропии . ^[54]
• Длина инертных придатков (волос, когтей, ногтей, зубов) биологических особей в направлении роста. ^{[ нужна цитата ]}
• Нормализованный подсчет считываний РНК-Seq для любой области генома может быть хорошо аппроксимирован логарифмически нормальным распределением.
• Длина считывания секвенирования PacBio соответствует логарифмически нормальному распределению . ^[55]
• Определенные физиологические измерения, такие как артериальное давление взрослых людей (после разделения на мужские и женские субпопуляции). ^[56]
• Несколько фармакокинетических переменных , таких как Cmax _, период полувыведения и константа скорости выведения . ^[57]
• В нейробиологии распределение частоты срабатывания по популяции нейронов часто примерно логарифмически нормальное. Впервые это наблюдалось в коре и полосатом теле ^[58] , а затем в гиппокампе и энторинальной коре ^[59] и в других частях мозга. ^{[48] ​​[60]} Кроме того, распределение внутреннего усиления и распределение синаптического веса также являются логарифмически нормальными ^{[61] .}
• Плотность нейронов в коре головного мозга из-за шумного процесса деления клеток во время развития нервной системы. ^[62]
• В ведении операционных залов распределение продолжительности операции .
• По размерам лавин изломов в цитоскелете живых клеток наблюдается логнормальное распределение, при этом размеры раковых клеток значительно превышают размеры здоровых. ^[63]

Химия

• Распределение частиц по размерам и распределение молярной массы .
• Концентрация редких элементов в минералах. ^[64]
• Диаметры кристаллов в мороженом, капель масла в майонезе, пор в жмыхе какао. ^[47]

Подобрано кумулятивное логарифмически нормальное распределение для максимального годового количества осадков за 1 день, см. подбор распределения.

Гидрология

• В гидрологии логнормальное распределение используется для анализа экстремальных значений таких переменных, как месячные и годовые максимальные значения суточного количества осадков и объемы речного стока. ^[65]

Изображение справа, созданное с помощью CumFreq , иллюстрирует пример аппроксимации логарифмически нормального распределения для ранжированных годовых максимальных однодневных осадков, демонстрируя также 90% доверительный интервал , основанный на биномиальном распределении . ^[66]

Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .

Социальные науки и демография

• В экономике есть данные, что доходы 97–99% населения распределяются логарифмически нормально. ^[67] (Распределение лиц с более высокими доходами соответствует распределению Парето ). ^[68]
• Если распределение доходов следует логарифмически нормальному распределению со стандартным отклонением , то коэффициент Джини , обычно используемый для оценки неравенства доходов, может быть вычислен как где - функция ошибок , поскольку , где - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$
• В финансах , в частности в модели Блэка-Шоулза , изменения логарифма обменных курсов, индексов цен и индексов фондового рынка считаются нормальными ^[69] (эти переменные ведут себя как сложные проценты, а не как простые проценты, и поэтому являются мультипликативными). . Однако некоторые математики, такие как Бенуа Мандельброт, утверждали ^[70] , что лог-распределения Леви , обладающие тяжелыми хвостами , были бы более подходящей моделью, в частности, для анализа обвалов фондового рынка . Действительно, распределение цен на акции обычно имеет « толстый хвост» . ^[71] Распределение изменений во время краха фондового рынка с толстым хвостом делает недействительными предположения центральной предельной теоремы .
• В наукометрии количество цитирований журнальных статей и патентов подчиняется дискретному логнормальному распределению. ^{[72] [73]}
• Размеры городов (население) удовлетворяют закону Жибрата. ^[74] Процесс роста размеров городов пропорционален и инвариантен по отношению к размеру. Следовательно, согласно центральной предельной теореме , логарифм размера города имеет нормальное распределение.
• Число сексуальных партнеров, по-видимому, лучше всего описывается логнормальным распределением. ^[75]

Технологии

• В анализе надежности логарифмически нормальное распределение часто используется для моделирования времени ремонта ремонтопригодной системы. ^[76]
• В беспроводной связи «локальная средняя мощность, выраженная в логарифмических значениях, таких как дБ или непер, имеет нормальное (т. е. гауссово) распределение». ^[77] Кроме того, случайное препятствие радиосигналам из-за больших зданий и холмов, называемое затенением , часто моделируется как логарифмически нормальное распределение.
• Распределение частиц по размерам, полученное в результате измельчения случайными ударами, например, при шаровой мельнице . ^[78]
• Распределение размеров общедоступных файлов аудио- и видеоданных ( типы MIME ) следует логарифмически нормальному распределению на пять порядков величины . ^[79]
• Размеры файлов в 140 миллионов файлов на персональных компьютерах под управлением ОС Windows, собранные в 1999 году. ^{[80] [49]}
• Размеры текстовых электронных писем (1990-е годы) и мультимедийных писем (2000-е годы). ^[49]
• В компьютерных сетях и анализе интернет-трафика логарифмически нормальный считается хорошей статистической моделью, представляющей объем трафика в единицу времени. Это было показано путем применения надежного статистического подхода к большим группам реальных интернет-трасс. В этом контексте логарифмически нормальное распределение показало хорошую производительность в двух основных случаях использования: (1) прогнозирование доли времени, когда трафик превысит заданный уровень (для соглашения об уровне обслуживания или оценки пропускной способности канала), т. е. определение размеров канала на основе пропускной способности. обеспечение и (2) прогнозирование цен 95-го процентиля. ^[81]
• при физическом тестировании , когда тест определяет время до отказа элемента при заданных условиях, данные часто лучше всего анализировать с использованием логнормального распределения. ^{[82] [83]}

Смотрите также

• Распределение с тяжелым хвостом
• Модель потерь на трассе логарифмического расстояния
• Модифицированное логнормальное степенное распределение
• Медленное затухание

Примечания

1. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для распространенных распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности» (PDF) . Анналы исследования операций . Спрингер. 299 (1–2): 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . дои : 10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768. Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2021 г. Получено 27 февраля 2023 г. - через stonybrook.edu.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Логнормальное распределение». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 сентября 2020 г.
3. «1.3.6.6.9. Логнормальное распределение». www.itl.nist.gov . Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) . Проверено 13 сентября 2020 г.
4. Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1994), «14: Логнормальные распределения», Непрерывные одномерные распределения. Том. 1 , Серия Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная теория вероятности и статистика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7, МР  1299979
5. Пак, Сон Ю.; Бера, Анил К. (2009). «Модель условной гетероскедастичности авторегрессии с максимальной энтропией» (PDF) . Журнал эконометрики . 150 (2): 219–230, особенно. Таблица 1, с. 221. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2016 г. Проверено 2 июня 2011 г. 
6. Тармаст, Гасем (2001). Многомерное логарифмически нормальное распределение (PDF) . Труды ISI: 53-я сессия. Сеул. Архивировано (PDF) из оригинала 19 июля 2013 г.
7. Холливелл, Ли (2015). Логнормальная случайная многомерная величина (PDF) . Электронный форум Актуарного общества по несчастным случаям, весна 2015 г. Арлингтон, Вирджиния. Архивировано (PDF) из оригинала 30 сентября 2015 г.
8. Хейде, CC. (2010), «О свойстве логнормального распределения», Журнал Королевского статистического общества, серия B , том. 25, нет. 2, стр. 392–393, doi : 10.1007/978-1-4419-5823-5_6 , ISBN. 978-1-4419-5822-8
9. Биллингсли, Патрик (2012). Вероятность и мера (Юбилейное изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 415. ИСБН 978-1-118-12237-2. ОСЛК  780289503.
10. Холгейт, П. (1989). «Логнормальная характеристическая функция, том 18, стр. 4539–4548, 1989». Коммуникации в статистике - теория и методы . 18 (12): 4539–4548. дои : 10.1080/03610928908830173.
11. Баракат, Р. (1976). «Суммы независимых логнормально распределенных случайных величин». Журнал Оптического общества Америки . 66 (3): 211–216. Бибкод : 1976JOSA...66..211B. дои : 10.1364/JOSA.66.000211.
12. Баруш, Э.; Кауфман, генеральный директор; Глассер, мл. (1986). «О суммах логнормальных случайных величин» (PDF) . Исследования по прикладной математике . 75 (1): 37–55. дои : 10.1002/sapm198675137. hdl : 1721.1/48703 .
13. Лейпник, Рой Б. (январь 1991 г.). «О логнормальных случайных величинах: I - характеристическая функция» (PDF) . Журнал Австралийского математического общества, серия B. 32 (3): 327–347. дои : 10.1017/S0334270000006901 .
14. С. Асмуссен, Дж. Л. Дженсен, Л. Рохас-Нандайапа (2016). «О преобразовании Лапласа логнормального распределения», Методология и вычисления в области прикладной вероятности 18 (2), 441–458. Отчет Тиле 6 (13).
15. Das, Абхранил (2021). «Метод интеграции и классификации нормальных распределений». Журнал видения . 21 (10): 1. arXiv : 2012.14331 . дои : 10.1167/jov.21.10.1. ПМЦ 8419883 . ПМИД  34468706. 
16. Кирквуд, Томас Б.Л. (декабрь 1979 г.). «Геометрические средства и меры дисперсии». Биометрия . 35 (4): 908–9. JSTOR  2530139.
17. Лимперт, Э; Стахель, В; Эббт, М. (2001). «Логнормальные распределения по наукам: ключи и подсказки». Бионаука . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
18. Heil P, Фридрих Б (2017). «Возвращение к сопоставлению акустических стимулов по продолжительности начала: традиционная арифметика и предлагаемые геометрические меры точности». Границы в психологии . 7 : 2013. doi : 10.3389/fpsyg.2016.02013 . ПМК 5216879 . ПМИД  28111557. 
19. Савант, С.; Мохан, Н. (2011) «Часто задаваемые вопросы: проблемы с анализом эффективности данных клинических испытаний с использованием SAS». Архивировано 24 августа 2011 г. в Wayback Machine , PharmaSUG2011 , документ PO08.
20. Шифф, Миннесота; и другие. (2014). «Прямое рандомизированное перекрестное исследование перорального и подкожного метотрексата у пациентов с ревматоидным артритом: ограничения воздействия препарата при пероральном метотрексате в дозах > = 15 мг можно преодолеть с помощью подкожного введения». Энн Реум Дис . 73 (8): 1–3. doi : 10.1136/annrheumdis-2014-205228. ПМЦ 4112421 . ПМИД  24728329. 
21. Дейли, Лесли Э.; Бурк, Джеффри Джозеф (2000). Интерпретация и использование медицинской статистики (5-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Уайли-Блэквелл. п. 89. дои : 10.1002/9780470696750. ISBN 978-0-632-04763-5. ПМК  1059583 ;печатное издание. Интернет-электронная книга ISBN 9780470696750 
22. "ПробОнто" . Проверено 1 июля 2017 года .
23. Сват, MJ; Гренон, П; Вималаратне, С (2016). «ProbOnto: онтология и база знаний вероятностных распределений». Биоинформатика . 32 (17): 2719–21. doi : 10.1093/биоинформатика/кстати,170. ПМК 5013898 . ПМИД  27153608. 
24. Forbes et al. Распределение вероятностей (2011), John Wiley & Sons, Inc.
25. Ланн, Д. (2012). Книга BUGS: практическое введение в байесовский анализ. Тексты по статистической науке. ЦРК Пресс.
26. Лимперт, Э.; Стахел, Вашингтон; Эббт, М. (2001). «Логнормальное распределение по наукам: ключи и подсказки». Бионаука . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
27. Ниберг, Дж.; и другие. (2012). «PopED - расширенный, распараллеленный, оптимальный инструмент проектирования». Вычислительные методы Программы Биомед . 108 (2): 789–805. дои : 10.1016/j.cmpb.2012.05.005. ПМИД  22640817.
28. Ретаут, С; Даффалл, С; Ментре, Ф (2001). «Разработка и внедрение популяционной информационной матрицы Фишера для оценки популяционного фармакокинетического дизайна». Комп Мет Про Биомед . 65 (2): 141–151. дои : 10.1016/S0169-2607(00)00117-6. ПМИД  11275334.
29. Команда разработчиков PopED (2016). Руководство PopED, версия 2.13. Технический отчет, Уппсальский университет.
30. Веб-сайт ProbOnto, URL: http://probonto.org.
31. Дамгаард, Кристиан; Вайнер, Джейкоб (2000). «Описание неравенства в размерах и плодовитости растений». Экология . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.
32. Россман, Льюис А. (июль 1990 г.). «Проектирование потоков потоков на основе гармонических средств». Журнал гидротехники . 116 (7): 946–950. дои : 10.1061/(ASCE) 0733-9429 (1990) 116: 7 (946).
33. Торин, Олоф (1977). «О бесконечной делимости логнормального распределения». Скандинавский актуарный журнал . 1977 (3): 121–148. дои : 10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN  0346-1238.
34. Гао, Синь (2009). «Асимптотическое поведение плотности хвостов для суммы коррелированных логнормальных переменных». Международный журнал математики и математических наук . 2009 : 1–28. дои : 10.1155/2009/630857 .
35. Асмуссен, С.; Рохас-Нандайапа, Л. (2008). «Асимптотика сумм логнормальных случайных величин с гауссовой копулой» (PDF) . Статистика и вероятностные буквы . 78 (16): 2709–2714. дои : 10.1016/j.spl.2008.03.035.
36. Марлоу, Н.А. (ноябрь 1967 г.). «Нормальная предельная теорема для степенных сумм независимых нормальных случайных величин». Технический журнал Bell System . 46 (9): 2081–2089. doi :10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x.
37. Ботев, З.И.; Л'Экуйер, П. (2017). «Точное вычисление правого хвоста суммы зависимых логнормальных переменных». Зимняя конференция по моделированию 2017 (WSC), 3–6 декабря 2017 г. Лас-Вегас, Невада, США: IEEE. стр. 1880–1890. arXiv : 1705.03196 . дои : 10.1109/WSC.2017.8247924. ISBN 978-1-5386-3428-8.
38. Асмуссен, А.; Гоффар, П.-О.; Лауб, П.Дж. (2016). «Ортонормированные полиномиальные разложения и логнормальные плотности сумм». arXiv : 1601.01763v1 [math.PR].
39. Сангал, Б.; Бисвас, А. (1970). «Применение трехпараметрического логнормального распределения в гидрологии». Исследования водных ресурсов . 6 (2): 505–515. дои : 10.1029/WR006i002p00505.
40. Джонсон, Нидерланды (1949). «Системы частотных кривых, генерируемые методами перевода». Биометрика . 36 (1/2): 149–176. дои : 10.2307/2332539. JSTOR  2332539. PMID  18132090.
41. Свами, ПК (2002). «Распределение, близкое к логнормальному». Журнал гидрологической техники . 7 (6): 441–444. дои : 10.1061/(ASCE) 1084-0699 (2002) 7: 6 (441).
42. Ву, Зиниу; Ли, Хуан; Бай, Чэньюань (2017). «Масштабные соотношения процесса роста логнормального типа с экстремальным принципом энтропии». Энтропия . 19 (56): 1–14. Бибкод : 2017Entrp..19...56Вт. дои : 10.3390/e19020056 .
43. Ву, Цзы-Ню (2003). «Прогнозирование распределения вторичных выброшенных капель по размерам путем разбрызгивания капель, падающих на твердую стену». Вероятностная инженерная механика . 18 (3): 241–249. дои : 10.1016/S0266-8920(03)00028-6.
44. Ван, ВэньБин; Ву, ЗиНиу; Ван, ЧунФэн; Ху, ЖуйФэн (2013). «Моделирование скорости распространения контролируемых инфекционных эпидемий с помощью термодинамической модели, основанной на энтропии». Наука Китай Физика, механика и астрономия . 56 (11): 2143–2150. arXiv : 1304.5603 . Бибкод : 2013SCPMA..56.2143W. дои : 10.1007/s11433-013-5321-0. ISSN  1674-7348. ПМЦ 7111546 . ПМИД  32288765. 
45. Блетчер, Фредерик (2019). «Использование прогнозирующих методов байесовской цепи Монте-Карло-Маркова для обеспечения вероятностного решения уравнения Дрейка». Акта Астронавтика . 155 : 118–130. Бибкод : 2019AcAau.155..118B. doi :10.1016/j.actaastro.2018.11.033. S2CID  117598888.
46. Саттон, Джон (март 1997 г.). «Наследие Гибрата». Журнал экономической литературы . 32 (1): 40–59. JSTOR  2729692.
47. Лимперт, Экхард; Стахель, Вернер А.; Эббт, Маркус (2001). «Логнормальное распределение в науках: ключи и подсказки». Бионаука . 51 (5): 341. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 . ISSN  0006-3568.
48. Бужаки, Дьёрдь; Мизусеки, Кендзи (6 января 2017 г.). «Логодинамический мозг: как искаженное распределение влияет на сетевые операции». Обзоры природы. Нейронаука . 15 (4): 264–278. дои : 10.1038/nrn3687. ISSN  1471-003X. ПМК 4051294 . ПМИД  24569488. 
49. Павел, Собкович; и другие. (2013). «Логнормальное распределение длины сообщений пользователей в интернет-дискуссиях - следствие закона Вебера-Фехнера?». EPJ Наука о данных .
50. Инь, Пэйфэн; Ло, Пин; Ли, Ван-Чен; Ван, Мин (2013). Молчание также является доказательством: интерпретация времени ожидания рекомендации с психологической точки зрения. Международная конференция ACM по KDD.
51. «Какова средняя продолжительность игры в шахматы?». шахматы.stackexchange.com . Проверено 14 апреля 2018 г.
52. Хаксли, Джулиан С. (1932). Проблемы относительного роста . Лондон. ISBN 978-0-486-61114-3. ОСЛК  476909537.
53. Сартвелл, Филип Э. «Распределение инкубационных периодов инфекционных заболеваний». Американский журнал гигиены 51 (1950): 310–318.
54. СК Чан, Дженнифер; Ю, Филип Л.Х. (2006). «Моделирование данных SARS с использованием порогового геометрического процесса». Статистика в медицине . 25 (11): 1826–1839. дои : 10.1002/сим.2376. PMID  16345017. S2CID  46599163.
55. Оно, Юкитеру; Асаи, Киёси; Хамада, Мичиаки (01 января 2013 г.). «PBSIM: PacBio считывает симулятор — для точной сборки генома». Биоинформатика . 29 (1): 119–121. doi : 10.1093/биоинформатика/bts649 . ISSN  1367-4803. ПМИД  23129296.
56. Макуч, Роберт В.; Д. Х. Фриман; М. Ф. Джонсон (1979). «Обоснование логнормального распределения как модели артериального давления». Журнал хронических болезней . 32 (3): 245–250. дои : 10.1016/0021-9681(79)90070-5. ПМИД  429469.
57. Лейси, LF; Кин, Онтарио; Причард, Дж. Ф.; Пока, А. (1 января 1997 г.). «Общие некомпартментные фармакокинетические переменные: они распределены нормально или логарифмически нормально?». Журнал биофармацевтической статистики . 7 (1): 171–178. дои : 10.1080/10543409708835177. ISSN  1054-3406. ПМИД  9056596.
58. Шелер, Габриэле; Шуман, Иоганн (08 октября 2006 г.). Разнообразие и стабильность скорости нейрональной активности . 36-я встреча Общества нейронаук, Атланта.
59. Мизусеки, Кендзи; Бужаки, Дьёрдь (12 сентября 2013 г.). «Предварительно настроенное, асимметричное распределение частоты выстрелов в гиппокампе и энторинальной коре». Отчеты по ячейкам . 4 (5): 1010–1021. дои : 10.1016/j.celrep.2013.07.039. ISSN  2211-1247. ПМЦ 3804159 . ПМИД  23994479. 
60. Верер, Адриан; Хамфрис, Марк Д.; Мейченс, Кристиан К. (1 апреля 2013 г.). «Распределение нейронной активности во время принятия решений по населению». Прогресс нейробиологии . 103 : 156–193. doi :10.1016/j.pneurobio.2012.09.004. ISSN  1873-5118. ПМЦ 5985929 . ПМИД  23123501. 
61. Шелер, Габриэле (28 июля 2017 г.). «Логарифмические распределения доказывают, что внутреннее обучение является хеббианским». F1000Исследования . 6 : 1222. дои : 10.12688/f1000research.12130.2 . ПМК 5639933 . ПМИД  29071065. 
62. Моралес-Грегорио, Айтор; ван Мееген, Александр; ван Альбада, Саша (2023). «Повсеместное логнормальное распределение плотности нейронов в коре головного мозга млекопитающих». Кора головного мозга . 33 (16): 9439–9449. дои : 10.1093/cercor/bhad160. ПМЦ 10438924 . ПМИД  37409647. 
63. Полицци, С., Лаперрусаз, Б., Перес-Реш, Ф.Дж., Николини, Ф.Е., Сатта, В.М., Арнеодо, А., и Аргул, Ф. (2018). Модель минимального каскада разрывов для пластичности живых клеток. Новый журнал физики, 20(5), 053057. doi: https://doi.org/10.1088/1367-2630/aac3c7.
64. Аренс, Л.Х. (1 февраля 1954 г.). «Логнормальное распределение элементов (Основной закон геохимии и его дочерние элементы)». Geochimica et Cosmochimica Acta . 5 (2): 49–73. Бибкод : 1954GeCoA...5...49A. дои : 10.1016/0016-7037(54)90040-X. ISSN  0016-7037.
65. Остербан, Р.Дж. (1994). «6: Частотный и регрессионный анализ» (PDF) . В Ритземе, HP (ред.). Принципы и применение дренажа, Публикация 16. Вагенинген, Нидерланды: Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI). стр. 175–224. ISBN 978-90-70754-33-4.
66. CumFreq, бесплатное программное обеспечение для установки дистрибутива.
67. Клементи, Фабио; Галлегати, Мауро (2005) «Закон распределения доходов Парето: данные для Германии, Великобритании и США», EconWPA
68. Ватару, Сума (22 февраля 2002 г.). «Физика личных доходов». В Такаясу, Хидеки (ред.). Эмпирическая наука о финансовых колебаниях: появление эконофизики . Спрингер. arXiv : cond-mat/0202388 . дои : 10.1007/978-4-431-66993-7.
69. Блэк, Ф.; Скоулз, М. (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637. дои : 10.1086/260062. S2CID  154552078.
70. Мандельброт, Бенуа (2004). (Неправильное) поведение рынков. Основные книги. ISBN 9780465043552.
71. Банхен, П., Расширенное ценообразование опционов , учебник Сиднейского университета, 2007 г.
72. Телвалл, Майк; Уилсон, Пол (2014). «Регрессия данных цитирования: оценка различных методов». Журнал информаметрики . 8 (4): 963–971. arXiv : 1510.08877 . дои : 10.1016/j.joi.2014.09.011. S2CID  8338485.
73. Шеридан, Пол; Онодера, Таку (2020). «Парадокс предпочтительного прикрепления: как преимущественное присоединение сочетается с ростом, создавая сети с логарифмически нормальным распределением по степени». Научные отчеты . 8 (1): 2811. arXiv : 1703.06645 . дои : 10.1038/s41598-018-21133-2. ПМК 5809396 . ПМИД  29434232. 
74. Экхаут, январь (2004). «Закон Жибрата для (всех) городов». Американский экономический обзор . 94 (5): 1429–1451. дои : 10.1257/0002828043052303. JSTOR  3592829 – через JSTOR.
75. Каулт, Дэвид (1996). «Форма распределения числа сексуальных партнеров». Статистика в медицине . 15 (2): 221–230. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19960130)15:2<221::AID-SIM148>3.0.CO;2-Q. ПМИД  8614756.
76. О'Коннор, Патрик; Клейнер, Андре (2011). Практическая инженерия надежности . Джон Уайли и сыновья. п. 35. ISBN 978-0-470-97982-2.
77. «Затенение». www.WirelessCommunication.NL . Архивировано из оригинала 13 января 2012 года.
78. Декстер, Арканзас; Таннер, Д.В. (июль 1972 г.). «Плотность упаковки смесей сфер с логнормальным распределением размеров». Природа Физика . 238 (80): 31–32. Бибкод : 1972NPhS..238...31D. doi : 10.1038/physci238031a0. ISSN  2058-1106.
79. Грос, К; Качор, Г.; Маркович, Д. (2012). «Нейропсихологические ограничения для производства данных о людях в глобальном масштабе». Европейский физический журнал Б. 85 (28): 28. arXiv : 1111,6849 . Бибкод : 2012EPJB...85...28G. дои : 10.1140/epjb/e2011-20581-3. S2CID  17404692.
80. Дусер, Джон Р.; Болоски, Уильям Дж. (1 мая 1999 г.). «Масштабное исследование содержимого файловой системы». Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 27 (1): 59–70. дои : 10.1145/301464.301480 . ISSN  0163-5999.
81. Аламсар, Мохаммед; Парисис, Джордж; Клегг, Ричард; Захленюк, Николай (2019). «О распределении объемов трафика в Интернете и его последствиях». arXiv : 1902.03853 [cs.NI].
82. ASTM D3654, Стандартный метод испытаний на сдвиговую адгезию на лентах, чувствительных к давлению.
83. ASTM D4577, Стандартный метод испытаний на устойчивость контейнера к сжатию при постоянной нагрузке>\

дальнейшее чтение

• Кроу, Эдвин Л.; Симидзу, Кунио, ред. (1988), Логнормальные распределения, теория и приложения , Статистика: Учебники и монографии, вып. 88, Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., стр. xvi+387, ISBN. 978-0-8247-7803-3, МР  0939191, Збл  0644.62014
• Эйчисон, Дж. и Браун, Дж.К. (1957) Логнормальное распределение , издательство Кембриджского университета.
• Лимперт, Э; Стахель, В; Эббт, М. (2001). «Логнормальные распределения по наукам: ключи и подсказки». Бионаука . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
• Холгейт, П. (1989). «Логнормальная характеристическая функция». Коммуникации в статистике - теория и методы . 18 (12): 4539–4548. дои : 10.1080/03610928908830173.
• Брукс, Роберт; Корсон, Джон; Донал, Уэльс (1994). «Цена индексных опционов, когда все базовые активы следуют логнормальной диффузии». Достижения в области исследований фьючерсов и опционов . 7 . ССРН  5735.

Внешние ссылки

• Нормальное распределение – это логарифмически нормальное распределение.