Список правильных многогранников

В этой статье перечислены правильные многогранники в евклидовом , сферическом и гиперболическом пространствах.

Обзор

В этой таблице показана сводка количества правильных многогранников по рангам.

1. Считаются только многогранники полного ранга. В более высоких измерениях существует больше правильных многогранников каждого ранга > 1.

Не существует евклидовых правильных звездных мозаик ни в каком количестве измерений.

1-многогранники

Существует только один многогранник ранга 1 (1-многогранник), замкнутый отрезок , ограниченный двумя своими концами. Любая реализация этого 1-многогранника регулярна. Он имеет символ Шлефли { }, ^{[2] [3]} или диаграмму Кокстера с одним кольцевым узлом,. Норман Джонсон называет его дионом ^[4] и дает ему символ Шлефли { }.

Несмотря на то, что это тривиальный многогранник, он выглядит как ребра многоугольников и других многогранников более высокой размерности. ^[5] Он используется в определении однородных призм , таких как символ Шлефли { } × {p} или диаграмма Кокстера.как декартово произведение отрезка и правильного многоугольника. ^[6]

2-многогранники (многоугольники)

Многогранники ранга 2 (2-многогранники) называются многоугольниками . Правильные многоугольники бывают равносторонними и циклическими . p -угольный правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { p}.

Многие источники рассматривают только выпуклые многоугольники , но звездчатые многоугольники , как и пентаграмма , при их рассмотрении также могут быть правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединяются альтернативной связностью, которая для завершения проходит по кругу более одного раза.

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет правильный p -угольник .

сферический

Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Его можно реализовать невырожденно в некоторых неевклидовых пространствах, например на поверхности сферы или тора . Например, дигон можно невырожденно реализовать как сферическую луну . Моногон {1} также можно реализовать на сфере как одну точку с большим кругом, проходящим через нее. ^[7] Однако моногон не является допустимым абстрактным многогранником , поскольку его единственное ребро инцидентно только одной вершине, а не двум.

Звезды

Существует бесконечно много правильных звездных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел { n / m } . Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа n существуют правильные n -конечные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m такие, что m < n /2 (строго говоря, {{{1}}} ), а m и n являются взаимнопростые (поэтому все звездчатые многоугольника с простым числом сторон будут правильными звездами). Символы, в которых m и n не являются взаимно простыми, могут использоваться для обозначения составных многоугольников.

Могут существовать звездчатые многоугольники, которые могут существовать только в виде сферических мозаик, подобно моногону и двуугольнику (например: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/ 5}), однако они, по-видимому, не были детально изучены.

Также существуют неудавшиеся звездчатые многоугольники, такие как треугольник , которые не покрывают поверхность круга конечное число раз. ^[8]

Наклонить полигоны

Помимо плоских правильных многоугольников существует бесконечно много правильных косых многоугольников . Наклонные полигоны могут быть созданы с помощью операции смешивания.

Смесь двух многоугольников P и Q , записываемая P # Q , может быть построена следующим образом:

1. возьмем декартово произведение их вершин V _P × V _Q .
2. добавить ребра ( p ₀ × q ₀ , p ₁ × q ₁ ) , где ( p ₀ , p ₁ ) ребро P и ( q ₀ , q ₁ ) ребро Q .
3. выбрать произвольную связную составляющую результата.

Альтернативно, смесь представляет собой многоугольник ⟨ ρ ₀ σ ₀ , ρ ₁ σ ₁ ⟩ , где ρ и σ — образующие зеркала P и Q , помещенные в ортогональные подпространства. ^[9] Операция смешивания является коммутативной, ассоциативной и идемпотентной.

Каждый правильный косой многоугольник можно выразить как смесь уникального ^[a] набора плоских многоугольников. ^[9] Если P и Q не имеют общих факторов, то Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q ) .

В 3 пространстве

Правильные конечные многоугольники в трех измерениях представляют собой в точности смесь плоских многоугольников (размерность 2) с двуугольником (размерность 1). Они имеют вершины, соответствующие призме ( { n / m }#{} , где n нечетно) или антипризме ( { n / m }#{}, где n четно). Все многоугольники в трехмерном пространстве имеют четное количество вершин и ребер.

Некоторые из них выглядят как многоугольники Петри правильных многогранников.

В 4 пространстве

Правильные конечные многоугольники в 4 измерениях — это в точности многоугольники, образованные смесью двух различных плоских многоугольников. Они имеют вершины, лежащие на торе Клиффорда и связанные клиффордовым смещением . В отличие от трехмерных многоугольников, перекошенные многоугольники при двойном вращении могут иметь нечетное количество сторон.

3-многогранники (многогранники)

Многогранники ранга 3 называются многогранниками :

Правильный многогранник с символом Шлефли { p , q } , диаграммы Коксетера, имеет правильный тип грани { p } и правильную вершинную фигуру { 1 } .

Вершинная фигура (многогранника) — это многоугольник, видимый путем соединения тех вершин, которые находятся на расстоянии одного ребра от данной вершины. Для правильных многогранников эта вершинная фигура всегда является правильным (и плоским) многоугольником.

Существование правильного многогранника { p , q } ограничено неравенством, связанным с дефектом угла вершинной фигуры :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$$

Перечисляя перестановки , мы находим пять выпуклых форм, четыре звездчатые формы и три плоских мозаики, все с многоугольниками { p } и { q } , ограниченными: {3}, {4}, {5}, {5/2}, и {6}.

За пределами евклидова пространства существует бесконечное множество правильных гиперболических мозаик.

Выпуклый

Пять выпуклых правильных многогранников называются Платоновыми телами . Число вершин дается с каждым количеством вершин. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ), равную 2.

сферический

В сферической геометрии существуют правильные сферические многогранники ( мозаики сферы ) , которые в противном случае были бы вырождены в многогранники. Это осоэдры {2,n} и двойственные им диэдры {n,2}. Коксетер называет такие случаи «неправильными» мозаиками. ^[10]

Первые несколько случаев (n от 2 до 6) перечислены ниже.

Звездчатые диэдры и осоэдры { p / q ,2} и {2, p / q } также существуют для любого звездчатого многоугольника { p / q }.

Звезды

Правильные звездчатые многогранники называются многогранниками Кеплера – Пуансо , и их четыре, в зависимости от расположения вершин додекаэдра {5,3} и икосаэдра {3,5}:

Будучи сферическими мозаиками , эти звездные формы перекрывают сферу несколько раз, что называется ее плотностью , равной 3 или 7 для этих форм. На мозаичных изображениях показана одна сферическая полигональная грань желтого цвета.

Существует бесконечно много неудавшихся звездчатых многогранников. Это также сферические мозаики со звездчатыми многоугольниками в символах Шлефли, но они не покрывают сферу конечное число раз. Некоторые примеры: {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4, 5/2} и {3,7/3}.

Перекос многогранников

Правильные косые многогранники являются обобщениями набора правильных многогранников , которые включают возможность неплоских вершинных фигур .

Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил для этих фигур модифицированный символ Шлефли {l,m|n}, где {l,m} подразумевает фигуру вершины , m l-угольников вокруг вершины и n -угольных отверстий. Их вершинные фигуры представляют собой косые многоугольники , зигзагообразные между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные {l,m|n}, подчиняются этому уравнению:

2 грех(π/l) грех(π/m) = cos(π/n)

Четыре из них можно увидеть в 4-х измерениях как подмножество граней четырёх правильных 4-многогранников , имеющих одинаковое расположение вершин и расположение ребер :

4-многогранники

Правильные 4-многогранники с символом Шлефли имеют ячейки типа , грани типа , реберные фигуры и вершинные фигуры . ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{r\}}$ ${\displaystyle \{q,r\}}$

• Вершинная фигура (4-многогранника) — это многогранник, видимый по расположению соседних вершин вокруг данной вершины. Для правильных 4-многогранников эта вершинная фигура представляет собой правильный многогранник.
• Реберная фигура — это многоугольник, который можно увидеть по расположению граней вокруг края. Для правильных 4-многогранников эта реберная фигура всегда будет правильным многоугольником.

Существование правильного 4-многогранника ограничено существованием правильных многогранников . Предлагаемое название для 4-многогранников — «полихорон». ^[11] ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

Каждый из них будет существовать в пространстве, зависящем от этого выражения:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : Гиперсферические трехмерные соты или четырехмерные многогранники.

${\displaystyle =0}$ : Евклидовы трехмерные соты

${\displaystyle <0}$ : Гиперболические трехмерные соты

Эти ограничения допускают 21 форму: 6 — выпуклые, 10 — невыпуклые, одна — евклидовы трехмерные соты и 4 — гиперболические соты.

Эйлерова характеристика выпуклых 4-многогранников равна нулю: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi =V+F-E-C=0}$

Выпуклый

Шесть выпуклых правильных 4-многогранников показаны в таблице ниже. Все эти 4-многогранники имеют эйлерову характеристику (χ), равную 0.

сферический

Ди-4-топы и хосо-4-топы существуют как правильные мозаики 3-сферы .

К регулярным ди-4-топам (2 грани) относятся: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2. }, {p,2,2} и их двойственные хосо-4-топы (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, п }. 4-многогранники вида {2, p , 2} — это то же самое, что {2,2, p }. Существуют также случаи { p ,2, q }, которые имеют двугранные ячейки и одногранные вершинные фигуры.

Звезды

Существует десять правильных звездчатых 4-многогранников , которые называются 4-многогранниками Шлефли – Гесса . Их вершины основаны на выпуклых 120-ячеечных {5,3,3} и 600-клеточных {3,3,5} .

Людвиг Шлефли нашел четыре из них и пропустил последние шесть, потому что он не допускал форм, не удовлетворяющих эйлеровой характеристике , в ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевыми отверстиями: F+V−E=2). Эдмунд Гесс (1843–1903) завершил полный список из десяти в своей немецкой книге « Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder» (1883)[1].

Существует 4 уникальных расположения ребер и 7 уникальных расположений граней из этих 10 правильных звездчатых 4-многогранников, показанных в виде ортогональных проекций :

Существует 4 неудавшихся потенциальных регулярных звездчатых 4-многогранника перестановки: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5. /2}. Их ячейки и вершинные фигуры существуют, но они не покрывают гиперсферу с конечным числом повторений.

Перекос 4-многогранников

Помимо 16 плоских 4-многогранников, указанных выше, существует 18 конечных косых многогранников. ^[12] Один из них получается как Петриал тессеракта, а остальные 17 могут быть сформированы путем применения операции каппа к плоским многогранникам и Петриалу тессеракта.

Ранги 5 и выше

5-многогранникам можно присвоить символ, где — тип 4-граней, — тип ячейки, — тип грани, — фигура грани, — фигура ребра, — фигура вершины. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle \{r,s\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Вершинная фигура (5-многогранника) — это 4-многогранник, если рассматривать расположение вершин, соседних с каждой вершиной.

Реберная фигура (5-мерного многогранника) представляет собой многогранник, который можно увидеть по расположению граней вокруг каждого ребра.

Фигура грани (5-мерного многогранника) представляет собой многоугольник, который можно увидеть по расположению ячеек вокруг каждой грани.

Правильный 5-многогранник существует только тогда, когда и являются правильными 4-многогранниками. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Пространство, в котором он помещается, основано на выражении:

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : Сферическая 4-мерная мозаика или 5-мерный многогранник.

${\displaystyle =1}$ : Евклидова 4-мерная мозаика

${\displaystyle >1}$ : гиперболическая 4-мерная мозаика

Перечисление этих ограничений дает 3 выпуклых многогранника, отсутствие звездчатых многогранников, 3 мозаики евклидова 4-мерного пространства и 5 мозаик паракомпактного гиперболического 4-мерного пространства. Единственные невыпуклые правильные многогранники ранга 5 и выше — это косые.

Выпуклый

В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников. ^[13]

Существуют также неправильные случаи, когда некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} — неправильный правильный сферический многогранник, если {p,q,r...} — правильный сферический многогранник, а {2,...p,q,r} — несобственный правильный сферический многогранник, если {...p,q,r} — правильный сферический многогранник. Такие многогранники также можно использовать в качестве граней, получая такие формы, как {p,q,...2...y,z}.

5 измерений

6 измерений

7 измерений

8 измерений

9 измерений

10 измерений

Звездные многогранники

Не существует правильных звездчатых многогранников ранга 5 и выше, за исключением вырожденных многогранников, созданных звездным произведением звездчатых многогранников более низкого ранга. например , гомотопы и дитопы.

Правильные проективные многогранники

Проективный правильный ( n +1) -многогранник существует, когда исходное регулярное n -сферическое замощение {p,q,...} центрально симметрично . Такой многогранник называется полу-{p,q,...} и содержит вдвое меньше элементов. Коксетер дает символ {p,q,...}/2, а Макмаллен пишет {p,q,...} _h/2 с h в качестве числа Кокстера . ^[14]

Правильные многоугольники с четными сторонами имеют проективные многоугольники в форме полуугольника 2n , {2p}/2.

К 4 из 5 Платоновых тел относятся 4 правильных проективных многогранника .

Полукуб и гемиоктаэдр обобщаются как гемин- n -кубы и геми- n - ортоплексы любого ранга.

Правильные проективные многогранники

Правильные проективные 4-многогранники

5 из 6 выпуклых правильных 4-многогранников являются центрально-симметричными, порождающими проективные 4-многогранники. Тремя особыми случаями являются геми-24 клетки, геми-600 клеток и геми-120 клеток.

Правильные проективные 5-многогранники

Только 2 из 3 правильных сферических многогранников центрально симметричны для рангов 5 и выше: они являются полуверсиями правильного гиперкуба и ортоплекса. Они приведены в таблице ниже для ранга 5, например:

Апейротопы

Апейротоп или бесконечный многогранник — это многогранник , имеющий бесконечно много граней . n - апейротоп — это бесконечный n- многогранник: 2-апейротоп или апейрогон — бесконечный многоугольник, 3-апейротоп или апейроэдр — бесконечный многогранник и т. д.

Существует два основных геометрических класса апейротопа: ^[15]

• Правильные соты n измерений , полностью заполняющие n -мерное пространство.
• Правильные косые апейротопы , содержащие n -мерное многообразие в высшем пространстве.

2-апейротопы (апейрогоны)

Прямой апейрогон представляет собой правильное замощение линии, разделяющее ее на бесконечное число равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и ребер. Его символ Шлефли — {∞}, а диаграмма Кокстера.

......

Он существует как предел p -угольника, когда p стремится к бесконечности, следующим образом:

Апейрогоны на гиперболической плоскости , особенно правильный апейрогон , {∞}, могут иметь кривизну, как и конечные многоугольники евклидовой плоскости, с вершинами, описанными орициклами или гиперциклами , а не кругами .

Регулярные апейрогоны, которые масштабируются так, чтобы сходиться на бесконечности, имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в более общем смысле они могут существовать на гиперциклах.

Выше показаны два правильных гиперболических апейрогона в модели диска Пуанкаре , правый показывает перпендикулярные линии отражения расходящихся фундаментальных областей , разделенных длиной λ.

Косые апейрогоны

Косой апейрогон в двух измерениях образует на плоскости зигзагообразную линию. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.

Косые апейрогоны могут быть построены в любом количестве измерений. В трех измерениях правильный косой апейрогон образует спиральную спираль и может быть как левосторонним, так и правосторонним.

2-апейротопы (апейроэдры)

Евклидовы мозаики

Есть три регулярных мозаики плоскости. Все три имеют эйлерову характеристику (χ), равную 0.

Есть два неправильных правильных мозаики: {∞,2}, апейрогон , состоящий из двух апейрогонов , каждый из которых заполняет половину плоскости; и, во-вторых, его двойственный {2,∞}, апейрогональный осоэдр , рассматриваемый как бесконечный набор параллельных прямых.

Евклидовы звездные мозаики

Не существует правильных плоских мозаик звездчатых многоугольников . Есть много перечислений, которые укладываются в плоскость (1/ p + 1/ q = 1/2), например {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12 /5,12} и т. д., но ни одно из них не повторяется периодически.

Гиперболические мозаики

Мозаики гиперболического 2-мерного пространства представляют собой гиперболические мозаики . В H ² существует бесконечно много правильных мозаик . Как указано выше, каждая пара натуральных чисел { p , q } такая, что 1/ p  + 1/ q < 1/2, дает гиперболическую мозаику. Фактически, для общего треугольника Шварца ( p ,  q ,  r ) то же самое справедливо для 1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1.

Существует несколько различных способов отображения гиперболической плоскости, включая модель диска Пуанкаре , которая отображает плоскость в круг, как показано ниже. Следует признать, что все грани многоугольников на мозаике ниже имеют одинаковый размер и кажутся уменьшающимися только вблизи краев из-за примененной проекции, что очень похоже на эффект объектива « рыбий глаз» камеры .

Существует бесконечно много плоских правильных 3-апеиротопов (апеироэдров) как правильных мозаик гиперболической плоскости вида {p,q}, причём p+q<pq/2. (ранее перечисленные выше как тесселяции)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Выборка:

Разбиения {p, ∞} имеют идеальные вершины на краю модели диска Пуанкаре. Их дуальные {∞, p} имеют идеальные апейрогональные грани, т. е. вписаны в орициклы . Можно пойти дальше (как это сделано в таблице выше) и найти замощения с ультраидеальными вершинами вне диска Пуанкаре, двойственные плиткам, вписанным в гиперциклы ; в том, что обозначено выше как {p, iπ/λ}, вокруг каждой ультраидеальной вершины по-прежнему помещается бесконечное количество плиток. ^[16] (Параллельные линии в расширенном гиперболическом пространстве встречаются в идеальной точке; ультрапараллельные линии встречаются в ультраидеальной точке.) ^[17]

Гиперболические звездные мозаики

Существуют две бесконечные формы гиперболических мозаик, чьи грани или вершинные фигуры представляют собой звездчатые многоугольники: { m /2, m } и двойственные им { m , m /2} с m = 7, 9, 11, .... { m /2, m } — это звездчатые мозаики { m , 3}, а двойственные мозаики { m , m /2} — это фасеты мозаик {3, m } и увеличе- ния мозаик { m , 3}.

Паттерны { m /2, m } и { m , m /2} продолжаются при нечетных m <7 как многогранники : при m = 5 мы получаем малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр , а при m = 3 случай вырождается до тетраэдра . Два других многогранника Кеплера-Пуансо ( большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр ) не имеют аналогов правильной гиперболической мозаики. Если m четно, в зависимости от того, как мы решим определить { m /2}, мы можем получить либо вырожденные двойные покрытия других мозаик, либо составные мозаики.

Перекос апейроэдров в евклидовом трехмерном пространстве

В евклидовом трехмерном пространстве есть три правильных косых апейроэдра с плоскими гранями. ^{[18] [19] [20]} Они имеют такое же расположение вершин и расположение краев , как и 3 выпуклых однородных сот .

• 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
• 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
• 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}

12 «чистых» апейроэдров в евклидовом 3-мерном пространстве, основанном на структуре кубических сот , {4,3,4}. ^[21] Двойственный оператор Питри заменяет грани многоугольниками Петри ; δ — двойственный оператор, меняющий местами вершины и грани; φ _k – k -й фасетирующий оператор; η — оператор разделения пополам, а σ — оператор разделения пополам.

С учетом перекоса граней в евклидовом трехмерном пространстве имеется 24 правильных апейроэдра. ^[22] К ним относятся 12 апейроэдров, созданных путем слияния с евклидовыми апейроэдрами, и 12 чистых апейроэдров, включая 3 вышеперечисленных, которые нельзя выразить как нетривиальную смесь.

Эти чистые апейроэдры:

• {4,6|4} , мукуб
• {∞,6} _4,4 , Петриал мукуба
• {6,6|3} , мутетраэдр
• {∞,6} _6,3 , Петриал мутетраэдра
• {6,4|4} , муоктаэдр
• {∞,4} _6,4 , Петриал муоктаэдра
• {6,6} ₄ , разделение мукуба пополам
• {4,6} ₆ , Петриал {6,6} ₄
• {∞,4} _·,*3 , перекос муоктаэдра
• {6,4} ₆ , Петриал {∞,4} _·,*3
• {∞,3} ^{( а )}
• {∞,3} ^{( б )}

Косые апейроэдры в гиперболическом трехмерном пространстве

В гиперболическом трехмерном пространстве существует 31 правильный косой апейроэдр с выпуклыми гранями с компактной или паракомпактной симметрией: ^[23]

• 14 компактны: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5 }, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} и {6,8|3}.
• 17 являются паракомпактными: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6 }, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} и {8,8|4}.

4-апейротопы

Мозаики евклидова трехмерного пространства

Краевой каркас из кубических сот, {4,3,4}

Существует только одна невырожденная правильная мозаика 3-мерного пространства ( соты ), {4, 3, 4}: ^[24]

Неправильные мозаики евклидова трехмерного пространства

Обычные соты {2,4,4}, проецированные в сферу.

Существует шесть неправильных правильных мозаик, пар, основанных на трех правильных евклидовых мозаиках. Все их ячейки и вершинные фигуры представляют собой правильные осоэдры {2,n}, диэдры , {n,2} и евклидовы мозаики. Эти неправильные регулярные мозаики конструктивно связаны с призматическими однородными сотами посредством операций усечения. Они являются многомерными аналогами апейрогонального мозаики второго порядка и апейрогонального осоэдра .

Мозаики гиперболического трехмерного пространства

Существует десять плоских правильных сот гиперболического трехмерного пространства: ^[25] (ранее перечисленные выше как мозаики)

• 4 компактны: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}.
• а 6 паракомпактных: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Тесселяции гиперболического трехмерного пространства можно назвать гиперболическими сотами . В H ³ имеется 15 гиперболических сот , 4 компактных и 11 паракомпактных.

Также существует 11 паракомпактных сот H ³ (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} и {6,3,6}.

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Кокстера и могут быть визуализированы с помощью открытых областей в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдр, имеющий ультраидеальные вершины). Все соты с гиперболическими ячейками или фигурами вершин и не имеющие 2 в символе Шлефли, некомпактны.

^{В H 3} нет правильных гиперболических звезд-сот : все формы с правильным звездчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры или того и другого в конечном итоге оказываются сферическими.

Идеальные вершины теперь появляются, когда фигура вершины представляет собой евклидову мозаику, и ее можно вписать в орисферу, а не в сферу. Они двойственны идеальным ячейкам (евклидовы мозаики, а не конечные многогранники). По мере дальнейшего увеличения последнего числа в символе Шлефли фигура вершины становится гиперболической, а вершины становятся ультраидеальными (поэтому ребра не пересекаются в гиперболическом пространстве). В сотах {p, q, ∞} ребра пересекают шар Пуанкаре только в одной идеальной точке; в остальном край стал ультраидеальным. Дальнейшее продолжение привело бы к ребрам, которые являются совершенно ультраидеальными как для сот, так и для фундаментального симплекса (хотя на таких ребрах все равно будет встречаться бесконечно много {p, q}). В общем, когда последнее число символа Шлефли становится ∞, грани коразмерности два пересекают гипершар Пуанкаре только в одной идеальной точке. ^[16]

5-апейротопы

Мозаики евклидова 4-мерного пространства

Существует три вида бесконечных регулярных мозаик ( сот ), которые могут мозаизировать евклидово четырехмерное пространство:

Также существуют два неправильных случая {4,3,4,2} и {2,4,3,4}.

Существуют три плоские правильные соты евклидова 4-мерного пространства: ^[24]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Существует семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства: ^[25]

• 5 компактны: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 ,5}
• 2 являются паракомпактными: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Существуют четыре плоские правильные звездные соты гиперболического 4-мерного пространства: ^[25]

• {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.

Мозаики гиперболического 4-мерного пространства

^{В пространстве H 4} имеется семь выпуклых правильных сот и четыре звезды-соты . ^[26] Пять выпуклых компактны, а два паракомпактны.

Пять компактных правильных сот в H ⁴ :

Две паракомпактные регулярные соты H ⁴ : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Кокстера и могут быть визуализированы с помощью открытых областей в гиперболическом пространстве (фундаментальная 5-ячеечная группа, некоторые части которой недоступны за пределами бесконечности). Все соты, которые не показаны в таблице ниже и не имеют 2 в символе Шлефли, являются некомпактными.

Звездные мозаики гиперболического 4-мерного пространства

^{В пространстве H 4} есть четыре правильных звезды-соты , все компактные:

6-апейротопы

Существует только одна плоская правильная сота евклидова 5-мерного пространства: (ранее упоминавшаяся выше как мозаика) ^[24]

• {4,3,3,3,4}

Существует пять плоских правильных правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (ранее перечисленные выше как мозаики) ^[25]

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и { 4,3,3,4,3}

Мозаики евклидова 5-мерного пространства

Гиперкубические соты — единственное семейство правильных сот, которые могут замощить каждое измерение, пять или более, образованное гранями гиперкуба , по четыре вокруг каждого гребня .

В E5 ^{имеются} также несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 ,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В E ⁿ {4,3 ⁿ⁻³ ,4,2} и {2,4,3 ⁿ⁻³ ,4} всегда являются неправильными евклидовыми мозаиками.

Мозаики гиперболического 5-мерного пространства

^{В H 5} имеется 5 правильных сот , все паракомпактные, которые включают в себя бесконечные (евклидовы) грани или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Не существует компактных регулярных мозаик гиперболического пространства размерности 5 и выше, а также нет паракомпактных регулярных мозаик в гиперболическом пространстве размерности 6 и выше.

Поскольку для n ≥ 5 не существует правильных звездных n -многогранников , которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, в H ⁿ  больше нет гиперболических звездных сот для n  ≥ 5.

Апейротопы ранга 7 и выше

Мозаики гиперболического 6-мерного пространства и выше

Не существует регулярных компактных или паракомпактных мозаик гиперболического пространства размерности 6 и выше. Однако любой символ Шлефли формы {p,q,r,s,...}, не рассмотренный выше (p,q,r,s,... натуральные числа выше 2 или бесконечности), будет образовывать некомпактную мозаику гиперболическое n -пространство. ^[16]

Абстрактные многогранники

Абстрактные многогранники возникли в результате попытки изучить многогранники отдельно от геометрического пространства, в которое они встроены. Они включают мозаику сферического, евклидова и гиперболического пространства, а также других многообразий . Существует бесконечно много каждого ранга выше 1. Пример см. в этом атласе. Некоторыми примечательными примерами абстрактных правильных многогранников, которые не встречаются нигде в этом списке, являются 11-ячеечный , {3,5,3} и 57-ячеечный , {5,3,5}, которые имеют правильные проективные многогранники в качестве ячеек. и вершинные фигуры.

Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы можно отобразить в обычном пространстве или реализовать в виде геометрических фигур. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильно сформированную или точную реализацию, другие — нет. Флаг — это связное множество элементов каждого ранга — для многогранника это тело, грань, ребро грани, вершина ребра и нулевой многогранник . Абстрактный многогранник называется правильным , если его комбинаторные симметрии транзитивны относительно его флагов, то есть любой флаг может быть отображен на любой другой при условии симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые не могут быть реализованы точно и симметрично, были идентифицированы Х. С. М. Коксетером в его книге « Правильные многогранники» (1977) и снова Дж. М. Уиллсом в его статье «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2» (1987). ^[27] Все они топологически эквивалентны тороидам . Их построение путем расположения n граней вокруг каждой вершины можно повторять бесконечно как мозаику гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Они встречаются как двойные пары следующим образом:

• Медиальный ромбический триаконтаэдр и додекадодекаэдр двойственны друг другу.
• Медиальный триамбический икосаэдр и дитригональный додекадодекаэдр двойственны друг другу.
• Раскопанный додекаэдр самодвойственный.

Смотрите также

• Полигон
  • Правильный многоугольник
  • Звездный многоугольник
• Многогранник
  • Правильный многогранник (5 правильных платоновых тел и 4 тела Кеплера – Пуансо )
    • Однородный многогранник
  • Петриал
• 4-многогранник
  • Правильный 4-многогранник (16 правильных 4-многогранников, 4 выпуклых и 10 звездочек (Шлефли – Гесса))
  • Равномерный 4-многогранник
• Тесселяция
  • Замощения правильных многоугольников
  • Выпуклые однородные соты
• Правильный многогранник
  • Однородный многогранник
• Регулярное отображение (теория графов)

Примечания

1. до тождества и идемпотентности

Рекомендации

1. МакМаллен, Питер (2004), «Регулярные многогранники полного ранга», Дискретная и вычислительная геометрия , 32 : 1–35, doi : 10.1007/s00454-004-0848-5, S2CID  46707382
2. Коксетер (1973), с. 129.
3. МакМаллен и Шульте (2002), стр. 30.
4. Джонсон, Северо-Запад (2018). «Глава 11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета. 11.1 Многогранники и соты, с. 224. ИСБН 978-1-107-10340-5.
5. Коксетер (1973), с. 120.
6. Коксетер (1973), с. 124.
7. Коксетер, Правильные комплексные многогранники , с. 9
8. Дункан, Хью (28 сентября 2017 г.). «Между квадратным камнем и твердым пятиугольником: дробные многоугольники». меловая пыль .
9. McMullen & Schulte 2002.
10. Коксетер (1973), стр. 66–67.
11. Тезисы (PDF) . Выпуклые и абстрактные многогранники (19–21 мая 2005 г.) и День многогранников в Калгари (22 мая 2005 г.).
12. Макмаллен (2004).
13. Коксетер (1973), Таблица I: Правильные многогранники, (iii) Три правильных многогранника в n измерениях (n>=5), стр. 294–295.
14. МакМаллен и Шульте (2002), «Проективные правильные многогранники 6C», стр. 162-165.
15. Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники — старые и новые». Математические уравнения . 16 (1–2): 1–20. дои : 10.1007/BF01836414. S2CID  125049930.
16. Ройс Нельсон и Генри Сегерман, Визуализация гиперболических сот
17. Ирвинг Адлер, Новый взгляд на геометрию (Дуврское издание 2012 г.), стр.233
18. Коксетер, HSM (1938). «Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях». Учеб. Лондонская математика. Соц . 2. 43 : 33–62. дои : 10.1112/plms/s2-43.1.33.
19. Коксетер, HSM (1985). «Правильные и полуправильные многогранники II». Mathematische Zeitschrift . 188 (4): 559–591. дои : 10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
20. Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «Глава 23: Объекты с первичной симметрией, бесконечные платоновые многогранники». Симметрии вещей . Тейлор и Фрэнсис. стр. 333–335. ISBN 978-1-568-81220-5.
21. МакМаллен и Шульте (2002), стр. 224.
22. МакМаллен и Шульте (2002), Раздел 7E.
23. Гарнер, CWL (1967). «Правильные косые многогранники в гиперболическом трехмерном пространстве». Может. Дж. Математика . 19 : 1179–1186. дои : 10.4153/CJM-1967-106-9 . S2CID  124086497.Примечание: в его статье говорится, что их 32, но один самодвойственный, поэтому остается 31.
24. Coxeter (1973), Таблица II: Обычные соты, стр. 296.
25. Коксетер (1999), «Глава 10».
26. Коксетер (1999), «Глава 10», Таблица IV, стр. 213.
27. Дэвид А. Рихтер. «Правильные многогранники (индекса два)». Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 13 марта 2015 г.

Цитаты

• Коксетер, HSM (1999), «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве», Красота геометрии: двенадцать эссе , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 199–214, ISBN 0-486-40919-8, LCCN  99035678, МР  1717154. См., в частности, сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212–213.
  • Первоначально опубликовано в Coxeter, HSM (1956), «Регулярные соты в гиперболическом пространстве» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам , том. III, Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 155–169, MR  0087114, заархивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г..
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (Третье изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8. МР  0370327. OCLC  798003.См., в частности, Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296.
• Джонсон, Норман В. (2012), «Регулярные инверсивные многогранники» (PDF) , Международная конференция по математике расстояний и приложениям (2–5 июля 2012 г., Варна, Болгария) , стр. 85–95, документ 27
• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер документа : 10.1017/CBO9780511546686, ISBN. 0-521-81496-0, МР  1965665, S2CID  115688843
• МакМаллен, Питер (2018), «Новые регулярные соединения 4-многогранников», Новые тенденции в интуитивной геометрии , Математические исследования Общества Боляи, том. 27, стр. 307–320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12, ISBN. 978-3-662-57412-6.
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (2015). «Визуализация гиперболических сот». arXiv : 1511.02851 [math.HO].Hyperbolichoneycombs.org/
• Соммервилл, ДМЮ (1958), Введение в геометрию n измерений , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., MR  0100239.. Перепечатка изд. 1930 г., опубликованная Э. П. Даттоном. См., в частности, главу X: Правильные многогранники.

Внешние ссылки

• Платоновые тела
• Многогранники Кеплера-Пуансо
• Обычные четырехмерные многогранники
• Многомерный глоссарий (поищите Hexacosichoron и Hecatonicosachoron)
• Средство просмотра многогранников
• Многогранники и оптимальная упаковка p точек в n мерных сферах
• Атлас маленьких правильных многогранников
• Правильные многогранники во времени И. Хабард, Многогранники, карты и их симметрии
• Правильные звездчатые многогранники, Нан Ма