BRST-квантование

Формулировка для квантования калибровочных теорий поля в физике

В теоретической физике BRST -формализм или BRST-квантование (где BRST относится к фамилиям Карло Бекки , Алена Руэ , Рэймонда Сторы и Игоря Тютина ) обозначает относительно строгий математический подход к квантованию теории поля с калибровочной симметрией . Правила квантования в более ранних структурах квантовой теории поля (QFT) больше напоминали «предписания» или «эвристики», чем доказательства, особенно в неабелевой QFT, где использование « призрачных полей » с поверхностно странными свойствами почти неизбежно по техническим причинам, связанным с перенормировкой и отменой аномалий .

Глобальная суперсимметрия BRST , введенная в середине 1970-х годов, была быстро понята как рационализирующая введение этих духов Фаддеева–Попова и их исключение из «физических» асимптотических состояний при выполнении вычислений QFT. Важно то, что эта симметрия интеграла по траектории сохраняется в петлевом порядке и, таким образом, предотвращает введение контрчленов, которые могли бы испортить перенормируемость калибровочных теорий. Работа других авторов ^{[ кем? – Обсудить ]} несколько лет спустя связала оператор BRST с существованием строгой альтернативы интегралам по траектории при квантовании калибровочной теории .

Только в конце 1980-х годов, когда КТП была переформулирована на языке расслоений волокон для применения к проблемам топологии низкоразмерных многообразий ( топологическая квантовая теория поля ), стало очевидно, что BRST-«преобразование» имеет фундаментально геометрический характер. В этом свете «BRST-квантование» становится чем-то большим, чем альтернативный способ получения призраков, отменяющих аномалии. Это иная точка зрения на то, что представляют собой призраки, почему работает метод Фаддеева–Попова и как он связан с использованием гамильтоновой механики для построения пертурбативной структуры. Связь между калибровочной инвариантностью и «BRST-инвариантностью» заставляет выбирать гамильтонову систему, состояния которой состоят из «частиц» в соответствии с правилами, известными из канонического формализма квантования . Таким образом, это эзотерическое условие согласованности довольно близко подходит к объяснению того, как кванты и фермионы возникают в физике изначально.

В некоторых случаях, особенно в гравитации и супергравитации , BRST должен быть заменен более общим формализмом — формализмом Баталина–Вилковыского .

Техническое резюме

BRST-квантование — это дифференциально-геометрический подход к выполнению последовательных, свободных от аномалий пертурбативных вычислений в неабелевой калибровочной теории. Аналитическая форма BRST-«преобразования» и его значимость для перенормировки и устранения аномалий были описаны Карло Мария Бекки , Аленом Руэ и Рэймондом Стора в серии статей, кульминацией которых стала работа 1976 года «Перенормировка калибровочных теорий». Эквивалентное преобразование и многие его свойства были независимо открыты Игорем Викторовичем Тютиным . Его значение для строгого канонического квантования теории Янга–Миллса и его правильное применение к пространству Фока мгновенных полевых конфигураций были разъяснены Тайчиро Куго и Изуми Одзимой. Более поздние работы многих авторов, в частности Томаса Шюккера и Эдварда Виттена , прояснили геометрическое значение оператора BRST и связанных с ним полей и подчеркнули его важность для топологической квантовой теории поля и теории струн .

В подходе BRST выбирается процедура фиксации калибровки , благоприятная для возмущений, для принципа действия калибровочной теории с использованием дифференциальной геометрии калибровочного расслоения , на котором живет теория поля. Затем теория квантуется , чтобы получить гамильтонову систему в картине взаимодействия таким образом, что «нефизические» поля, введенные процедурой фиксации калибровки, разрешают аномалии калибровки , не появляясь в асимптотических состояниях теории. Результатом является набор правил Фейнмана для использования в ряде Дайсона пертурбативного разложения S-матрицы , которые гарантируют, что она унитарна и перенормируема в каждом порядке петли — короче говоря, когерентный метод приближения для физических предсказаний результатов экспериментов по рассеянию.

Классический БРСТ

Это связано с суперсимплектическим многообразием , где чистые операторы градуируются целыми призрачными числами, и мы имеем BRST -когомологии .

Калибровочные преобразования в QFT

С практической точки зрения квантовая теория поля состоит из принципа действия и набора процедур для выполнения пертурбативных вычислений . Существуют и другие виды «проверок на работоспособность», которые можно выполнить для квантовой теории поля, чтобы определить, соответствует ли она качественным явлениям, таким как удержание кварков и асимптотическая свобода . Однако большинство предсказательных успехов квантовой теории поля, от квантовой электродинамики до наших дней, были количественно оценены путем сопоставления вычислений S-матрицы с результатами экспериментов по рассеянию .

В ранние дни КТП, можно было бы сказать, что предписания квантования и перенормировки были такой же частью модели, как и плотность Лагранжа , особенно когда они опирались на мощный, но математически плохо определенный формализм интеграла по траектории . Быстро стало ясно, что КЭД была почти «волшебной» в своей относительной податливости, и что большинство способов, которые можно было бы представить для ее расширения, не давали бы рациональных вычислений. Однако один класс теорий поля оставался многообещающим: калибровочные теории, в которых объекты в теории представляют классы эквивалентности физически неразличимых конфигураций полей, любые две из которых связаны калибровочным преобразованием . Это обобщает идею КЭД о локальном изменении фазы на более сложную группу Ли .

Сама по себе КЭД является калибровочной теорией, как и общая теория относительности , хотя последняя до сих пор оказалась устойчивой к квантованию по причинам, связанным с перенормировкой. Другой класс калибровочных теорий с неабелевой калибровочной группой, начиная с теории Янга–Миллса, стал поддаваться квантованию в конце 1960-х и начале 1970-х годов, во многом благодаря работам Людвига Д. Фаддеева , Виктора Попова , Брайса ДеВитта и Герардуса т Хоофта . Однако с ними оставалось очень трудно работать до появления метода BRST. Метод BRST предоставил методы вычислений и доказательства перенормируемости, необходимые для извлечения точных результатов как из «неразрушенных» теорий Янга–Миллса, так и из тех, в которых механизм Хиггса приводит к спонтанному нарушению симметрии . Представители этих двух типов систем Янга–Миллса — квантовой хромодинамики и электрослабой теории — появляются в Стандартной модели физики элементарных частиц .

Оказалось, что гораздо сложнее доказать существование неабелевой квантовой теории поля в строгом смысле, чем получить точные предсказания с использованием полуэвристических схем вычислений. Это связано с тем, что анализ квантовой теории поля требует двух математически взаимосвязанных перспектив: лагранжевой системы, основанной на функционале действия, состоящей из полей с различными значениями в каждой точке пространства-времени и локальных операторов, которые действуют на них, и гамильтонова система в картине Дирака , состоящей из состояний , которые характеризуют всю систему в данный момент времени, и полевых операторов , которые действуют на них. Что делает это таким сложным в калибровочной теории, так это то, что объекты теории на самом деле не являются локальными полями в пространстве-времени; они являются правоинвариантными локальными полями на главном калибровочном расслоении, и различные локальные сечения через часть калибровочного расслоения, связанные пассивными преобразованиями, производят различные картины Дирака.

Более того, описание системы в целом в терминах набора полей содержит много избыточных степеней свободы; различные конфигурации теории являются классами эквивалентности конфигураций полей, так что два описания, которые связаны друг с другом калибровочным преобразованием, также на самом деле являются одной и той же физической конфигурацией. «Решения» квантованной калибровочной теории существуют не в прямом пространстве полей со значениями в каждой точке пространства-времени, а в фактор-пространстве (или когомологиях), элементы которого являются классами эквивалентности конфигураций полей. В формализме BRST скрывается система для параметризации вариаций, связанных со всеми возможными активными калибровочными преобразованиями, и корректного учета их физической нерелевантности при преобразовании лагранжевой системы в гамильтонову систему.

Фиксация калибровки и теория возмущений

Принцип калибровочной инвариантности необходим для построения работоспособной квантовой теории поля. Но, как правило, невозможно выполнить пертурбативный расчет в калибровочной теории без предварительной «фиксации калибровки» — добавления членов в плотность Лагранжа принципа действия, которые «нарушают калибровочную симметрию» для подавления этих «нефизических» степеней свободы. Идея фиксации калибровки восходит к подходу калибровки Лоренца к электромагнетизму, который подавляет большую часть избыточных степеней свободы в четырехпотенциале , сохраняя при этом явную инвариантность Лоренца . Калибровка Лоренца является большим упрощением относительно подхода Максвелла к классической электродинамике с использованием напряженности поля и иллюстрирует, почему полезно иметь дело с избыточными степенями свободы в представлении объектов в теории на этапе Лагранжа, прежде чем переходить к гамильтоновой механике через преобразование Лежандра .

Плотность гамильтониана связана с производной Ли плотности лагранжиана относительно единичного времениподобного горизонтального векторного поля на калибровочном расслоении. В квантово-механическом контексте она обычно масштабируется на фактор . Интегрирование ее по частям по пространственноподобному сечению восстанавливает форму подынтегрального выражения, знакомую из канонического квантования . Поскольку определение гамильтониана включает единичное времяподобное векторное поле на базовом пространстве, горизонтальный лифт в пространство расслоения и пространственноподобную поверхность, «нормальную» (в метрике Минковского ) к единичному времениподобному векторному полю в каждой точке на базовом многообразии, она зависит как от связи , так и от выбора системы отсчета Лоренца и далека от того, чтобы быть глобально определенной. Но она является существенным ингредиентом в пертурбативной структуре квантовой теории поля, в которую квантованный гамильтониан входит через ряд Дайсона . ${\displaystyle i\hbar }$

Для пертурбативных целей мы собираем конфигурацию всех полей нашей теории на всем трехмерном горизонтальном пространственноподобном сечении P в один объект ( состояние Фока ), а затем описываем «эволюцию» этого состояния с течением времени, используя картину взаимодействия . Пространство Фока охватывается многочастичными собственными состояниями «невозмущенной» или «невзаимодействующей» части гамильтониана . Следовательно, мгновенное описание любого состояния Фока представляет собой сумму собственных состояний с комплексным амплитудным весом . В картине взаимодействия мы связываем состояния Фока в разное время, предписывая, что каждое собственное состояние невозмущенного гамильтониана испытывает постоянную скорость вращения фазы, пропорциональную его энергии (соответствующее собственное значение невозмущенного гамильтониана). ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

Следовательно, в приближении нулевого порядка набор весов, характеризующих состояние Фока, не меняется со временем, но соответствующая конфигурация поля меняется. В более высоких приближениях веса также меняются; эксперименты на коллайдерах в физике высоких энергий сводятся к измерениям скорости изменения этих весов (или, скорее, их интегралов по распределениям, представляющим неопределенность начальных и конечных условий события рассеяния). Ряд Дайсона фиксирует эффект расхождения между и истинным гамильтонианом в форме степенного ряда по константе связи g ; это основной инструмент для получения количественных предсказаний из квантовой теории поля. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Чтобы использовать ряд Дайсона для вычисления чего-либо, нужно больше, чем калибровочно-инвариантная плотность Лагранжа; также нужны предписания квантования и фиксации калибровки, которые входят в правила Фейнмана теории. Ряд Дайсона производит бесконечные интегралы различных видов при применении к гамильтониану конкретной КТП. Это отчасти потому, что все пригодные к использованию квантовые теории поля на сегодняшний день должны считаться эффективными полевыми теориями , описывающими только взаимодействия в определенном диапазоне энергетических масштабов, которые мы можем экспериментально исследовать, и, следовательно, уязвимыми для ультрафиолетовых расходимостей . Они терпимы, пока с ними можно обращаться с помощью стандартных методов перенормировки ; они не столь терпимы, когда они приводят к бесконечной серии бесконечных перенормировок или, что еще хуже, к явно нефизическому предсказанию, такому как неотменяемая калибровочная аномалия . Существует глубокая связь между перенормируемостью и калибровочной инвариантностью, которая легко теряется в ходе попыток получить послушные правила Фейнмана путем фиксации калибровки.

Подходы к установке колеи до BRST

Традиционные предписания по фиксации калибровки континуальной электродинамики выбирают уникального представителя из каждого класса эквивалентности, связанного с калибровочным преобразованием, с помощью уравнения ограничения, такого как калибровка Лоренца . Этот вид предписания может быть применен к абелевой калибровочной теории, такой как КЭД , хотя это приводит к некоторым трудностям в объяснении того, почему тождества Уорда классической теории переносятся в квантовую теорию — другими словами, почему диаграммы Фейнмана, содержащие внутренние продольно поляризованные виртуальные фотоны , не вносят вклад в вычисления S-матрицы . Этот подход также не очень хорошо обобщается на неабелевы калибровочные группы, такие как SU(2)xU(1) электрослабой теории Янга–Миллса и SU(3) квантовой хромодинамики. Он страдает от неоднозначностей Грибова и от трудности определения ограничения по фиксации калибровки, которое в некотором смысле «ортогонально» физически значимым изменениям в конфигурации поля. ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

Более сложные подходы не пытаются применить ограничение дельта-функции к степеням свободы преобразования калибровки. Вместо того, чтобы «фиксировать» калибровку на конкретной «поверхности ограничений» в конфигурационном пространстве, можно нарушить свободу калибровки с помощью дополнительного, неинвариантного к калибровке члена, добавленного к плотности Лагранжа. Чтобы воспроизвести успехи фиксации калибровки, этот член выбирается минимальным для выбора калибровки, которая соответствует желаемому ограничению, и квадратично зависеть от отклонения калибровки от поверхности ограничений. Согласно приближению стационарной фазы, на котором основан интеграл по траектории Фейнмана , доминирующий вклад в пертурбативные вычисления будет исходить от конфигураций полей в окрестности поверхности ограничений.

Пертурбативное разложение, связанное с этим лагранжианом, с использованием метода функционального квантования, обычно называют калибровкой R _ξ . В случае абелевой калибровки U(1) оно сводится к тому же набору правил Фейнмана , который получается в методе канонического квантования . Но есть важное отличие: нарушенная калибровочная свобода появляется в функциональном интеграле как дополнительный фактор в общей нормализации. Этот фактор может быть выведен из пертурбативного разложения (и проигнорирован) только тогда, когда вклад в лагранжиан возмущения вдоль калибровочных степеней свободы не зависит от конкретной «физической» конфигурации поля. Это условие не выполняется для неабелевых калибровочных групп. Если игнорировать проблему и попытаться использовать правила Фейнмана, полученные из «наивного» функционального квантования, то обнаружится, что ваши вычисления содержат неустранимые аномалии.

Проблема пертурбативных вычислений в КХД была решена путем введения дополнительных полей, известных как призраки Фаддеева–Попова, чей вклад в калибровочно-фиксированный лагранжиан компенсирует аномалию, вносимую связью «физических» и «нефизических» возмущений неабелева калибровочного поля. С точки зрения функционального квантования «нефизические» возмущения конфигурации поля (калибровочные преобразования) образуют подпространство пространства всех (бесконечно малых) возмущений; в неабелевом случае вложение этого подпространства в большее пространство зависит от конфигурации, вокруг которой происходит возмущение. Духовой член в лагранжиане представляет собой функциональный определитель якобиана этого вложения, а свойства духового поля диктуются желаемой экспонентой определителя для исправления функциональной меры на оставшихся «физических» осях возмущения.

Калибровочные расслоения и вертикальный идеал

Интуиция для BRST-формализма обеспечивается его геометрическим описанием в контексте расслоений волокон . Эта геометрическая установка контрастирует и проясняет старую традиционную картину, картину алгебраически-значных полей в пространстве Минковского , представленную в (более ранних) текстах по квантовой теории поля.

В этой постановке калибровочное поле можно понимать одним из двух различных способов. В одном случае калибровочное поле является локальным сечением расслоения волокон. В другом случае калибровочное поле является немного большим, чем соединение между соседними волокнами, определенное на всей длине волокна. В соответствии с этими двумя пониманиями, существует два способа рассматривать калибровочное преобразование. В первом случае калибровочное преобразование является просто изменением локального сечения. В общей теории относительности это называется пассивным преобразованием . Во втором представлении калибровочное преобразование является изменением координат вдоль всего волокна (возникающим из умножения на элемент группы g ), которое индуцирует вертикальный диффеоморфизм главного расслоения .

Эта вторая точка зрения обеспечивает геометрическую основу для метода BRST. В отличие от пассивного преобразования, он четко определен глобально на главном расслоении с любой структурной группой над произвольным многообразием. То есть, формализм BRST может быть разработан для описания квантования любого главного расслоения на любом многообразии. Для конкретности и релевантности для обычного QFT большая часть этой статьи придерживается случая главного калибровочного расслоения с компактным волокном над 4-мерным пространством Минковского.

Главное калибровочное расслоение P над 4-многообразием M локально изоморфно U  ×  F , где U  ⊂  R ⁴ , а волокно F изоморфно группе Ли G , калибровочной группе теории поля (это изоморфизм структур многообразий, а не групповых структур; в P нет специальной поверхности, соответствующей 1 в G , поэтому правильнее говорить, что волокно F является G - торсором ). Самым основным свойством как расслоения является «проекция на базовое пространство» π :  P  →  M , которая определяет вертикальные направления на P (те, которые лежат внутри волокна π ⁻¹ ( p ) над каждой точкой p в M ). Как калибровочное расслоение оно имеет левое действие G на P , которое уважает структуру волокна, и как главное расслоение оно также имеет правое действие G на P , которое также уважает структуру волокна и коммутирует с левым действием.

Левое действие структурной группы G на P соответствует изменению системы координат на отдельном слое. (Глобальное) правое действие R _g  :  P  →  P для фиксированного g в G соответствует фактическому автоморфизму каждого слоя и, следовательно, отображению P в себя. Для того чтобы P можно было квалифицировать как главное G -расслоение, глобальное правое действие каждого g в G должно быть автоморфизмом относительно структуры многообразия P с гладкой зависимостью от g , то есть диффеоморфизмом P  ×  G  →  P .

Существование глобального правого действия структурной группы выделяет особый класс правоинвариантных геометрических объектов на P — тех, которые не изменяются при их перемещении назад вдоль R _g для всех значений g в G . Наиболее важными правоинвариантными объектами на главном расслоении являются правоинвариантные векторные поля , которые образуют идеал алгебры Ли инфинитезимальных диффеоморфизмов на P . Те векторные поля на P , которые являются как правоинвариантными, так и вертикальными, образуют идеал , который имеет отношение ко всему расслоению P аналогичное отношению алгебры Ли калибровочной группы G к отдельному волокну G -торсора F . ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Интересующая нас «теория поля» определяется в терминах набора «полей» (гладких отображений в различные векторные пространства), определенных на главном калибровочном расслоении P. Различные поля несут различные представления калибровочной группы G и, возможно, других групп симметрии многообразия, таких как группа Пуанкаре . Можно определить пространство локальных многочленов в этих полях и их производных. Предполагается, что фундаментальная плотность лагранжиана вашей теории лежит в подпространстве многочленов, которые являются вещественнозначными и инвариантными относительно любых ненарушенных некалибровочных групп симметрии. Также предполагается, что она инвариантна не только относительно левого действия (пассивные преобразования координат) и глобального правого действия калибровочной группы, но также и относительно локальных калибровочных преобразований — обратного хода вдоль инфинитезимального диффеоморфизма, связанного с произвольным выбором правоинвариантного вертикального векторного поля . ${\displaystyle Pl}$ ${\displaystyle Pl_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$

Отождествление локальных калибровочных преобразований с конкретным подпространством векторных полей на многообразии P обеспечивает лучшую основу для работы с бесконечномерными бесконечно малыми: дифференциальная геометрия и внешнее исчисление . Изменение скалярного поля при обратном движении вдоль бесконечно малого автоморфизма фиксируется в производной Ли , а понятие сохранения только члена, линейного в векторном поле, реализуется путем разделения его на внутреннюю производную и внешнюю производную . В этом контексте «формы» и внешнее исчисление относятся исключительно к степеням свободы, которые являются дуальными векторным полям на калибровочном расслоении , а не к степеням свободы, выраженным в (греческих) тензорных индексах на базовом многообразии или (римских) матричных индексах на калибровочной алгебре.

Производная Ли на многообразии является глобально хорошо определенной операцией, в отличие от частной производной . Правильное обобщение теоремы Клеро на нетривиальную структуру многообразия P задается скобкой Ли векторных полей и нильпотентностью внешней производной . Это дает существенный инструмент для вычислений: обобщенную теорему Стокса , которая допускает интегрирование по частям и затем исключение поверхностного члена, пока подынтегральное выражение достаточно быстро убывает в направлениях, где есть открытая граница. (Это не тривиальное предположение, но с ним можно справиться с помощью методов перенормировки, таких как размерная регуляризация, пока поверхностный член можно сделать калибровочно-инвариантным.)

Оператор BRST и асимптотическое пространство Фока

Центральным в формализме BRST является оператор BRST , определяемый как касательная к оператору Уорда . Оператор Уорда в каждом поле может быть отождествлен (с точностью до соглашения о знаках) с производной Ли вдоль вертикального векторного поля , связанного с локальным калибровочным преобразованием, появляющимся как параметр оператора Уорда. Оператор BRST в полях напоминает внешнюю производную на калибровочном расслоении или, скорее, ее ограничение на редуцированное пространство чередующихся форм , которые определены только на вертикальных векторных полях. Операторы Уорда и BRST связаны (с точностью до соглашения о фазах, введенного Куго и Одзимой, обозначения которого мы будем использовать при рассмотрении векторов состояния ниже) соотношением . Здесь — нулевая форма (скаляр). Пространство — это пространство действительнозначных полиномов в полях и их производных, которые инвариантны относительно любых (ненарушенных) некалибровочных групп симметрии. ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$ ${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$ ${\displaystyle {Pl}_{0}}$

Как и внешняя производная, оператор BRST нильпотентен степени 2, т.е. . Изменение любой «BRST- точной формы » относительно локального калибровочного преобразования задается внутренней производной. Это ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$ ${\displaystyle s_{B}X}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это тоже точно.

Гамильтонов пертурбативный формализм выполняется не на расслоении волокон, а на локальном сечении. В этом формализме добавление BRST-точного члена к калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана сохраняет соотношение Это подразумевает, что существует связанный оператор на пространстве состояний, для которого То есть, BRST-оператор на состояниях Фока является сохраняющимся зарядом гамильтоновой системы . Это подразумевает, что оператор эволюции времени в вычислении ряда Дайсона не будет развивать конфигурацию поля, подчиняющуюся в более позднюю конфигурацию с (или наоборот). ${\displaystyle s_{B}X=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$

Нильпотентность оператора BRST можно понимать как утверждение, что его образ (пространство точных форм BRST ) полностью лежит внутри его ядра (пространства замкнутых форм BRST ). «Истинный» лагранжиан, предположительно инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований, находится в ядре оператора BRST, но не в его образе. Это подразумевает, что вселенная начальных и конечных условий может быть ограничена асимптотическими «состояниями» или конфигурациями полей на времениподобной бесконечности, где лагранжиан взаимодействия «выключен». Эти состояния лежат в ядре , но поскольку конструкция инвариантна, матрица рассеяния остается унитарной. Замкнутые и точные состояния BRST определяются аналогично замкнутым и точным полям BRST; закрытые состояния уничтожаются, в то время как точные состояния — это те, которые можно получить, применив к некоторой произвольной конфигурации поля. ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

При определении асимптотических состояний состояния, которые лежат внутри образа , также могут быть подавлены, но рассуждения немного тоньше. Постулировав, что «истинный» лагранжиан теории калибровочно-инвариантен, истинные «состояния» гамильтоновой системы являются классами эквивалентности относительно локального калибровочного преобразования; другими словами, два начальных или конечных состояния в гамильтоновой картине, которые отличаются только BRST-точным состоянием, физически эквивалентны. Однако использование BRST-точного предписания нарушения калибровки не гарантирует, что гамильтониан взаимодействия сохранит какое-либо конкретное подпространство замкнутых конфигураций полей, которые ортогональны пространству точных конфигураций. Это важный момент, часто неправильно рассматриваемый в учебниках по КТП. Не существует априорного внутреннего произведения для конфигураций полей, встроенного в принцип действия; такое внутреннее произведение строится как часть гамильтониана пертурбативного аппарата. ${\displaystyle Q_{B}}$

Предписание квантования в картине взаимодействия состоит в построении векторного пространства BRST-замкнутых конфигураций в определенное время, так что оно может быть преобразовано в пространство Фока промежуточных состояний, подходящих для гамильтонового возмущения. Как это принято для вторичного квантования , пространство Фока снабжено операторами лестницы для собственных конфигураций энергии-импульса (частиц) каждого поля, дополненными соответствующими правилами (анти-)коммутации, а также положительным полуопределенным скалярным произведением . Скалярное произведение должно быть сингулярным исключительно вдоль направлений, которые соответствуют BRST-точным собственным состояниям невозмущенного гамильтониана. Это гарантирует, что любая пара BRST-замкнутых состояний Фока может быть свободно выбрана из двух классов эквивалентности асимптотических конфигураций поля, соответствующих конкретным начальным и конечным собственным состояниям (ненарушенного) гамильтониана свободного поля.

Желаемые предписания квантования предоставляют фактор - пространство Фока, изоморфное когомологиям BRST , в котором каждый BRST-замкнутый класс эквивалентности промежуточных состояний (отличающийся только точным состоянием) представлен ровно одним состоянием, которое не содержит квантов BRST-точных полей. Это подходящее пространство Фока для асимптотических состояний теории. Сингулярность внутреннего произведения вдоль BRST-точных степеней свободы гарантирует, что физическая матрица рассеяния содержит только физические поля. Это контрастирует с (наивной, с фиксированной калибровкой) лагранжевой динамикой, в которой нефизические частицы распространяются в асимптотические состояния. Работая в когомологиях, каждое асимптотическое состояние гарантированно имеет одно (и только одно) соответствующее физическое состояние (свободное от призраков).

Оператор эрмитов и ненулевой, однако его квадрат равен нулю. Это подразумевает, что пространство Фока всех состояний до когомологической редукции имеет неопределенную норму , и поэтому не является гильбертовым пространством. Это требует, чтобы пространство Крейна для BRST- замкнутых промежуточных состояний Фока, с оператором обращения времени, играющим роль «фундаментальной симметрии», связывающей лоренц-инвариантные и положительно полуопределенные внутренние произведения. Тогда асимптотическое пространство состояний является гильбертовым пространством, полученным путем факторизации BRST-точных состояний из пространства Крейна. ${\displaystyle Q_{B}}$

Подводя итог: ни одно поле, введенное как часть процедуры фиксации калибровки BRST, не появится в асимптотических состояниях теории с фиксированной калибровкой. Однако это не означает, что эти «нефизические» поля отсутствуют в промежуточных состояниях пертурбативного вычисления! Это происходит потому, что пертурбативные вычисления выполняются в картине взаимодействия . Они неявно включают начальные и конечные состояния гамильтониана без взаимодействия , постепенно трансформирующиеся в состояния полного гамильтониана в соответствии с адиабатической теоремой путем «включения» гамильтониана взаимодействия (калибровочной связи). Расширение ряда Дайсона в терминах диаграмм Фейнмана будет включать вершины, которые связывают «физические» частицы (те, которые могут появляться в асимптотических состояниях свободного гамильтониана) с «нефизическими» частицами (состояниями полей, которые находятся вне ядра или внутри образа ) , и вершины, которые связывают «нефизические» частицы друг с другом. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

Ответ Куго-Одзимы на вопросы унитарности

T. Kugo и I. Ojima обычно приписывают открытие главного критерия ограничения цвета QCD . Их роль в получении правильной версии формализма BRST в лагранжевом каркасе, по-видимому, менее широко оценена. Поучительно рассмотреть их вариант преобразования BRST, который подчеркивает эрмитовы свойства недавно введенных полей, прежде чем перейти к чисто геометрическому подходу.

Условия фиксации калибровок со значениями принимаются такими, где - положительное число, определяющее калибровку. Существуют и другие возможные фиксации калибровок, но они находятся за пределами настоящей области. Поля, появляющиеся в лагранжиане, следующие: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$ ${\displaystyle \xi }$

• Цветовое поле КХД, то есть -значная форма связи ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$
• Призрак Фаддеева –Попова , представляющий собой -значное скалярное поле с фермионной статистикой. ${\displaystyle c^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Антипризрак , также -значное скалярное поле с фермионной статистикой. ${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Вспомогательное поле , представляющее собой -значное скалярное поле с бозонной статистикой. ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Поле используется для работы с преобразованиями калибровок, wheareas и для работы с калибровочными фиксациями. На самом деле, есть некоторые тонкости, связанные с калибровочной фиксацией из-за неоднозначностей Грибова , но они не будут здесь рассматриваться. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$

Плотность лагранжиана BRST равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

Здесь — ковариантная производная относительно калибровочного поля (связности). Поле духов Фаддеева–Попова имеет геометрическую интерпретацию как версию формы Маурера–Картана на , которая связывает каждое правоинвариантное вертикальное векторное поле с его представлением (с точностью до фазы) как -значного поля. Это поле должно входить в формулы для бесконечно малых калибровочных преобразований на объектах (таких как фермионы , калибровочные бозоны и само духовое поле), которые несут нетривиальное представление калибровочной группы. ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle c}$

Хотя плотность Лагранжа не является BRST-инвариантом, ее интеграл по всему пространству-времени, действие является. Преобразование полей при бесконечно малом калибровочном преобразовании задается как ${\displaystyle \delta \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это скобка Ли , а НЕ коммутатор . Их можно записать в эквивалентной форме, используя оператор заряда вместо . Оператор заряда BRST определяется как ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

где — бесконечно малые генераторы группы Ли , а — ее структурные константы . Используя это, преобразование задается как ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

Детали сектора материи не определены, как и оставлена ​​форма оператора Уорда на нем; они не важны, пока представление калибровочной алгебры на полях материи согласуется с их связью с . Свойства других полей являются фундаментально аналитическими, а не геометрическими. Смещение в сторону связей с зависит от калибровки и не имеет особого геометрического значения. Антипризрак — это не что иное, как множитель Лагранжа для члена фиксации калибровки, а свойства скалярного поля полностью диктуются соотношением . Все эти поля являются эрмитовыми в соглашениях Куго–Одзимы, но параметр является антиэрмитовым «антикоммутирующим c -числом ». Это приводит к некоторой ненужной неловкости в отношении фаз и передачи бесконечно малых параметров через операторы; это можно решить, изменив соглашения. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \delta A_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$ ${\displaystyle b={\bar {c}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$

Мы уже знаем из связи оператора BRST с внешней производной и призрака Фаддеева–Попова с формой Маурера–Картана, что призрак соответствует (с точностью до фазы) -значной 1-форме на . Для того чтобы интегрирование члена типа имело смысл, анти-призрак должен нести представления этих двух алгебр Ли — вертикального идеала и калибровочной алгебры — двойственные тем, которые несет призрак. В геометрических терминах должен быть послойно двойственным и на один ранг меньше, чем быть высшей формой на . Аналогично, вспомогательное поле должно нести то же представление (с точностью до фазы), что и , а также представление двойственное его тривиальному представлению на То есть является послойно -двойственной высшей формой на . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$

Одночастичные состояния теории обсуждаются в адиабатически разделенном пределе g  → 0. В пространстве Фока гамильтониана с фиксированной калибровкой есть два вида квантов, которые полностью лежат вне ядра оператора BRST: кванты антипризрака Фаддеева–Попова и прямого поляризованного калибровочного бозона. Это происходит потому, что никакая комбинация полей, содержащих , не уничтожается , а лагранжиан имеет член, нарушающий калибровку, который равен, с точностью до расходимости, ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

Аналогично, есть два типа квантов, которые будут полностью лежать в образе оператора BRST: кванты призрака Фаддеева–Попова и скалярного поля , которое «съедается» при дополнении квадрата в функциональном интеграле, чтобы стать обратным поляризованным калибровочным бозоном. Это четыре типа «нефизических» квантов, которые не появляются в асимптотических состояниях пертурбативного вычисления. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B}$

Антипризрак принимается за скаляр Лоренца ради инвариантности Пуанкаре в . Однако его (анти)коммутационный закон относительно , ​​т.е. его предписание квантования, которое игнорирует теорему о спиновой статистике , давая статистику Ферми–Дирака частице со спином 0, будет задано требованием, чтобы скалярное произведение на нашем пространстве Фока асимптотических состояний было сингулярным вдоль направлений, соответствующих операторам повышения и понижения некоторой комбинации не-BRST-замкнутых и BRST-точных полей. Это последнее утверждение является ключом к «BRST-квантованию», в отличие от простой «BRST-симметрии» или «BRST-преобразования». ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle c}$

(Необходимо завершить на языке BRST-когомологий, ссылаясь на трактовку Куго–Одзимы асимптотического пространства Фока.)

Математический подход к BRST

Этот раздел применим только к классическим калибровочным теориям. т.е. тем, которые можно описать с помощью ограничений первого класса . Более общий формализм описывается с помощью формализма Баталина–Вилковыского .

Конструкция BRST ^[1] применима к ситуации гамильтонова действия калибровочной группы на фазовом пространстве . Пусть — алгебра Ли и регулярное значение отображения момента . Пусть . Предположим, что -действие на свободно и собственное, и рассмотрим пространство -орбит на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Гамильтонова механика калибровочной теории описывается ограничениями первого класса, действующими на симплектическое пространство . — подмногообразие, удовлетворяющее ограничениям первого класса. Действие калибровочной симметрии разбивает на калибровочные орбиты . Симплектическая редукция — это фактор по калибровочным орбитам. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Согласно алгебраической геометрии , множество гладких функций над пространством является кольцом. Комплекс Кошуля-Тейта (ограничения первого класса в общем случае нерегулярны) описывает алгебру, связанную с симплектической редукцией, в терминах алгебры . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Сначала, используя уравнения, определяющие внутри , построим комплекс Кошуля ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

так что и для . ${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$ ${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$ ${\displaystyle p\neq 0}$

Тогда для расслоения рассматривается комплекс вертикальных внешних форм . Локально изоморфно , где — внешняя алгебра двойственного векторного пространства . Используя резолюцию Кошуля, определенную ранее, получаем биградуированный комплекс ${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$ ${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

Наконец (и это самый нетривиальный шаг), определяется дифференциал, на котором поднимается до и такой, что и ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$ ${\displaystyle d_{vert}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

относительно градуировки по числу призраков  : . ${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$

Таким образом, БРСТ-оператор или БРСТ-дифференциал выполняет на уровне функций то же самое, что симплектическая редукция делает на уровне многообразий. ${\displaystyle s_{B}}$

Есть два антивывода, и которые антикоммутируют друг с другом. Антивывод BRST задается как . Оператор нильпотентен ; ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

Рассмотрим суперкоммутативную алгебру, порождённую и нечётными генераторами Грассмана , то есть тензорное произведение алгебры Грассмана и . Существует единственное антивыводное, удовлетворяющее и для всех . Нулевая гомология задаётся формулой . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$ ${\displaystyle \delta f=0}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

Продольное векторное поле на — это векторное поле над которым касается всюду калибровочных орбит. Скобка Ли двух продольных векторных полей сама по себе является другим продольным векторным полем. Продольные -формы являются дуальными внешней алгебре -векторов. по сути является продольной внешней производной, определяемой как ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

Нулевая когомология продольной внешней производной представляет собой алгебру калибровочно-инвариантных функций.

Конструкция BRST применяется, когда имеется гамильтоново действие компактной связной группы Ли на фазовом пространстве . ^{[2] [3]} Пусть — алгебра Ли (через соответствие группа Ли–алгебра Ли ) и ( двойственное регулярному значению отображения импульса . Пусть . Предположим, что -действие на свободно и собственное, и рассмотрим пространство -орбит на , которое также известно как симплектический фактор редукции . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$

Сначала, используя регулярную последовательность функций, определяющих внутри , построим комплекс Кошуля ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

Дифференциал , , на этом комплексе является нечетным -линейным выводом (дифференциальной алгеброй) градуированной -алгебры . Этот нечетный вывод определяется путем расширения гомоморфизма алгебры Ли гамильтонова действия. Результирующий комплекс Кошуля является комплексом Кошуля -модуля , где - симметричная алгебра , а структура модуля происходит из кольцевого гомоморфизма, индуцированного гамильтоновым действием . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$

Этот комплекс Кошуля является разрешением -модуля , то есть, ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

Затем рассмотрим комплекс Шевалле–Эйленберга для комплекса Кошуля, рассматриваемого как дифференциальный градуированный модуль над алгеброй Ли : ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

«Горизонтальный» дифференциал определяется по коэффициентам ${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

действием и на как внешнюю производную правоинвариантных дифференциальных форм на группе Ли , алгебра Ли которой есть . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть Tot( K ) — комплекс такой, что

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

с дифференциалом D  =  d  + δ. Группы когомологий (Tot( K ),  D ) вычисляются с использованием спектральной последовательности , связанной с двойным комплексом . ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$

Первый член спектральной последовательности вычисляет когомологии «вертикального» дифференциала : ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$, если j = 0 и ноль в противном случае.

Первый член спектральной последовательности можно интерпретировать как комплекс вертикальных дифференциальных форм

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

для пучка волокон . ${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$

Второй член спектральной последовательности вычисляет когомологии «горизонтального» дифференциала на : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, если и ноль в противном случае. ${\displaystyle i=j=0}$

Спектральная последовательность разрушается на втором члене, так что , который сосредоточен в нулевой степени. ${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$

Поэтому,

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, если p = 0 и 0 в противном случае.

Смотрите также

• Формализм Баталина–Вилковиского.
• Квантовая хромодинамика

Ссылки

Цитаты

1. JMFigueroa-O'Farrill, T.Kimura. Геометрическое BRST-квантование --Сообщения по математической физике, 1991 - Springer
2. Фигероа-О'Фаррилл и Кимура 1991, стр. 209–229.
3. Костант и Штернберг 1987, стр. 49–113.

Учебные пособия по лечению

• Глава 16 книги Пескина и Шредера ( ISBN  0-201-50397-2 или ISBN 0-201-50934-2 ) применяет «BRST-симметрию» для рассуждений о сокращении аномалий в лагранжиане Фаддеева–Попова. Это хорошее начало для неспециалистов в области КТП, хотя связи с геометрией опущены, а рассмотрение асимптотического пространства Фока — лишь набросок. 
• Глава 12 книги М. Гёккелера и Т. Шюккера ( ISBN 0-521-37821-4 или ISBN 0-521-32960-4 ) обсуждает связь между формализмом BRST и геометрией калибровочных расслоений. Она в значительной степени похожа на статью Шюккера 1987 года. ^[1]  

Математическая обработка

• Фигероа-О'Фаррилл, Дж. М.; Кимура, Т. (1991). «Геометрическое BRST-квантование I. Предварительное квантование». Commun. Math. Phys . 136 (2). Springer-Verlag : 209–229. Bibcode :1991CMaPh.136..209F. doi :10.1007/BF02100022. ISSN  0010-3616. MR  1096113. S2CID  120119621.
• Kostant, B.; Sternberg, S. (1987). «Симплектическая редукция, BRS-когомологии и бесконечномерные алгебры Клиффорда». Ann. Phys . 176 (1). Elsevier : 49–113. Bibcode :1987AnPhy.176...49K. doi :10.1016/0003-4916(87)90178-3.

Первичная литература

Оригинальные документы BRST:

• Брандт, Фридеманн; Барних, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B, doi : 10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, MR  1792979, S2CID  119420167
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1974). «Абелева модель Хиггса-Киббла, унитарность S-оператора». Physics Letters B. 52 ( 3). Elsevier BV: 344–346. Bibcode :1974PhLB...52..344B. doi :10.1016/0370-2693(74)90058-6. ISSN  0370-2693.
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1975). «Перенормировка абелевой модели Хиггса-Киббла». Communications in Mathematical Physics . 42 (2). Springer Science and Business Media LLC: 127–162. Bibcode : 1975CMaPh..42..127B. doi : 10.1007/bf01614158. ISSN  0010-3616. S2CID  120552882.
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). «Перенормировка калибровочных теорий». Annals of Physics . 98 (2). Elsevier BV: 287–321. Bibcode : 1976AnPhy..98..287B. doi : 10.1016/0003-4916(76)90156-1. ISSN  0003-4916.
• И.В. Тютин, «Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторном формализме», Препринт ФИАН 39 (1975), arXiv:0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). «Локально-ковариантный операторный формализм неабелевых калибровочных теорий и проблема удержания кварков». Progress of Theoretical Physics Supplement . 66. Oxford University Press (OUP): 1–130. Bibcode : 1979PThPS..66....1K. doi : 10.1143/ptps.66.1 . ISSN  0375-9687.
• Более доступная версия Куго–Одзимы доступна онлайн в серии статей, начиная с: Куго, Т.; Одзима, И. (1978-12-01). "Manifestly Covariant Canonical Formulation of the Yang-Mills Field Theories. I: -- General Formalism --". Progress of Theoretical Physics . 60 (6). Oxford University Press (OUP): 1869–1889. Bibcode :1978PThPh..60.1869K. doi : 10.1143/ptp.60.1869 . ISSN  0033-068X.Это, вероятно, единственная лучшая ссылка на BRST-квантование на языке квантовой механики (в отличие от геометрического).
• Более подробную информацию о связи между топологическими инвариантами и оператором BRST можно найти в: E. Witten, "Topological quantum field theory", Commun. Math. Phys. 117, 3 (1988), стр. 353–386

Альтернативные точки зрения

• BRST-системы кратко анализируются с точки зрения теории операторов в: С.С. Хоружий и А.В. Воронин, «Замечания о математической структуре BRST-теорий», Comm. Math. Phys. 123, 4 (1989) стр. 677–685
• Теоретико-мерный взгляд на метод BRST можно найти в конспектах лекций Карло Бекки 1996 года.

Внешние ссылки

• Когомологии Брста на arxiv.org

1. Томас Шюккер. "Когомологическое построение решений Сторы". Comm. Math. Phys. 109 (1) 167 - 175, 1987.