Внешняя алгебра

Алгебра внешних/клиновых произведений

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (ориентированный элемент плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешнее произведение n векторов можно визуализировать как любую n -мерную форму (например, n - параллелоэдр , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой его ( n − 1) -мерной границей и тем, с какой стороны находится внутренняя часть. ^{[1] [2]}

В математике внешняя алгебра или алгебра Грассмана векторного пространства представляет собой ассоциативную алгебру , содержащую , имеющую произведение, называемое внешним произведением или произведением клина и обозначаемое , такое, что для каждого вектора из Внешняя алгебра названа в честь Германа Грассмана ^[3] , а названия произведений происходят от символа «клин» и того факта, что произведение двух элементов является «внешним» ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Произведение клина векторов называется лезвием степени или -лезвием . Произведение клина было введено первоначально как алгебраическая конструкция, используемая в геометрии для изучения площадей , объемов и их многомерных аналогов: величина 2 -лезвия - это площадь параллелограмма , определяемого и , и, в более общем смысле , величина -лезвия - это (гипер)объем параллелоэдра , определяемого составляющими векторами. Знакопеременное свойство , которое подразумевает кососимметричное свойство, что и в более общем смысле любое лезвие меняет знак, когда два из его составляющих векторов меняются местами, что соответствует параллелоэдру противоположной ориентации. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v,}$

Полная внешняя алгебра содержит объекты, которые сами по себе не являются лезвиями, а являются линейными комбинациями лезвий; сумма лезвий однородной степени называется k - вектором , в то время как более общая сумма лезвий произвольной степени называется поливектором . [ ^4] Линейная оболочка -лезвий называется -й внешней степенью Внешняя алгебра является прямой суммой -й внешней степени , и это делает внешнюю алгебру градуированной алгеброй . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V,}$

Внешняя алгебра универсальна в том смысле, что каждое уравнение, связывающее элементы внешней алгебры, справедливо также в каждой ассоциативной алгебре, содержащей и в которой квадрат каждого элемента равен нулю. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Определение внешней алгебры может быть расширено для пространств, построенных из векторных пространств, таких как векторные поля и функции, областью определения которых является векторное пространство. Более того, поле скаляров может быть любым полем (однако для полей характеристики два указанное выше условие должно быть заменено на что эквивалентно в других характеристиках). В более общем смысле внешняя алгебра может быть определена для модулей над коммутативным кольцом . В частности, алгебра дифференциальных форм от переменных является внешней алгеброй над кольцом гладких функций от переменных. ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w+w\wedge v=0,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Мотивирующие примеры

Области в плоскости

Площадь параллелограмма через определитель матрицы координат двух его вершин.

Двумерное евклидово векторное пространство — это действительное векторное пространство, снабженное базисом, состоящим из пары ортогональных единичных векторов ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Предположим, что

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$

являются парой заданных векторов в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ , записанных в компонентах. Существует единственный параллелограмм, имеющий и в качестве двух своих сторон. Площадь этого параллелограмма определяется стандартной формулой определителя : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Рассмотрим теперь внешнее произведение и ⁠ ⁠ : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

где первый шаг использует распределительный закон для внешнего произведения, а последний использует тот факт, что внешнее произведение является чередующимся отображением , и в частности (Тот факт, что внешнее произведение является чередующимся отображением, также заставляет ) Обратите внимание, что коэффициент в этом последнем выражении является в точности определителем матрицы [ vw ] . Тот факт, что он может быть положительным или отрицательным, имеет интуитивное значение, что v и w могут быть ориентированы против часовой стрелки или по часовой стрелке, как вершины параллелограмма, который они определяют. Такая площадь называется знаковой площадью параллелограмма: абсолютное значение знаковой площади является обычной площадью, а знак определяет ее ориентацию. ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$

Тот факт, что этот коэффициент является знаковой площадью, не является случайностью. На самом деле, относительно легко увидеть, что внешнее произведение должно быть связано со знаковой площадью, если попытаться аксиоматизировать эту площадь как алгебраическую конструкцию. В деталях, если A( v , w ) обозначает знаковую площадь параллелограмма, пара векторов v и w которого образуют две смежные стороны, то A должно удовлетворять следующим свойствам:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) для любых действительных чисел r и s , поскольку изменение масштаба любой из сторон изменяет масштаб площади на ту же величину (а изменение направления одной из сторон на противоположное меняет ориентацию параллелограмма).
2. A( v , v ) = 0 , так как площадь вырожденного параллелограмма, определяемого v (т.е. отрезка прямой ), равна нулю.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) , поскольку перестановка ролей v и w меняет ориентацию параллелограмма.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) для любого действительного числа r , поскольку прибавление кратного w к v не влияет ни на основание, ни на высоту параллелограмма и, следовательно, сохраняет его площадь.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 , так как площадь единичного квадрата равна единице.

Векторные произведения ( синий вектор) по отношению к внешнему произведению ( голубой параллелограмм). Длина векторного произведения относится к длине параллельного единичного вектора ( красный ), как размер внешнего произведения относится к размеру опорного параллелограмма ( светло-красный ).

За исключением последнего свойства, внешнее произведение двух векторов удовлетворяет тем же свойствам, что и площадь. В определенном смысле внешнее произведение обобщает конечное свойство, позволяя сравнивать площадь параллелограмма с площадью любого выбранного параллелограмма в параллельной плоскости (в данном случае, параллелограмма со сторонами e ₁ и e ₂ ). Другими словами, внешнее произведение обеспечивает независимую от базиса формулировку площади. ^[5]

Перекрестные и тройные произведения

Базисное разложение 2-вектора

Для векторов в R ³ внешняя алгебра тесно связана с векторным произведением и тройным произведением . Используя стандартный базис { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , внешнее произведение пары векторов

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

является

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

где { e ₁ ∧ e ₂ , e ₃ ∧ e _​​1 , e ₂ ∧ e ₃ } — основа трехмерного пространства ⋀ ² ( R ³ ). Коэффициенты выше такие же, как и в обычном определении векторного произведения векторов в трех измерениях, единственное отличие состоит в том, что внешнее произведение — это не обычный вектор, а бивектор .

Привлечение третьего вектора

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

внешнее произведение трех векторов равно

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

где e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ — базисный вектор для одномерного пространства ⋀ ³ ( R ³ ). Скалярный коэффициент — это тройное произведение трех векторов.

Перекрестное произведение и тройное произведение в трех измерениях допускают как геометрическую, так и алгебраическую интерпретацию. Перекрестное произведение u × v можно интерпретировать как вектор, перпендикулярный как u , так и v , и величина которого равна площади параллелограмма, определяемого двумя векторами. Его также можно интерпретировать как вектор, состоящий из миноров матрицы со столбцами u и v . Тройное произведение u , v и w геометрически является (знаковым) объемом. Алгебраически это определитель матрицы со столбцами u , v и w . Внешнее произведение в трех измерениях допускает аналогичные интерпретации. Фактически, при наличии положительно ориентированного ортонормированного базиса внешнее произведение обобщает эти понятия на более высокие измерения.

Формальное определение

Внешняя алгебра векторного пространства над полем определяется как фактор-алгебра тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порожденному всеми элементами вида такими, что . ^[6] Символически, ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,}$

Внешнее произведение двух элементов определяется как ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$

Алгебраические свойства

Альтернативный продукт

Внешнее произведение по построению чередуется на элементах ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , что означает, что для всех по вышеприведенному построению. Из этого следует, что произведение также антикоммутативно на элементах ⁠ ⁠ , для предположения, что ⁠ ⁠ , ${\displaystyle x\wedge x=0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

следовательно

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

В более общем случае, если — перестановка целых чисел ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., ⁠ ⁠ являются элементами ⁠ ⁠ , то отсюда следует, что ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [1,\dots ,k]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

где — сигнатура перестановки ⁠ ⁠ . ^[7] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

В частности, если для некоторого ⁠ ⁠ , то также справедливо следующее обобщение свойства чередования: ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Наряду со свойством распределения внешнего произведения, еще одно обобщение состоит в том, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы быть линейно зависимым набором векторов, является то, что ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Внешняя мощность

k -я внешняя степень ⁠ ⁠ , ${\displaystyle V}$ обозначаемая ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , представляет собой векторное подпространство ⁠ ⁠ , ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ натянутое на элементы вида

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , то называется k -вектором . Если, кроме того, может быть выражен как внешнее произведение элементов ⁠ ⁠ , то называется разложимым (или  простым , по мнению некоторых авторов; или  лезвием , по мнению других). Хотя разложимые ⁠ ⁠ -векторы охватывают ⁠ ⁠ , не каждый элемент из является разложимым. Например, если ⁠ ⁠ с базисом ⁠ ⁠ , следующий 2-вектор не является разложимым: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

Основа и размерность

Если размерность равна и является базисом для , то множество ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

является основой для ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ . Причина в следующем: дано любое внешнее произведение формы

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

каждый вектор можно записать как линейную комбинацию базисных векторов ⁠ ⁠ ; используя билинейность внешнего произведения, это можно расширить до линейной комбинации внешних произведений этих базисных векторов. Любое внешнее произведение, в котором один и тот же базисный вектор появляется более одного раза, равно нулю; любое внешнее произведение, в котором базисные векторы не появляются в правильном порядке, можно переупорядочить, изменив знак всякий раз, когда два базисных вектора меняются местами. В общем случае результирующие коэффициенты базисных k -векторов можно вычислить как миноры матрицы , описывающей векторы в терминах базиса ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Подсчитав базисные элементы, размерность равна биномиальному коэффициенту : ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ — размерность векторов , а ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ — количество векторов в произведении. Биномиальный коэффициент дает правильный результат даже для исключительных случаев; в частности, для ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}}$ ${\displaystyle k>n}$

Любой элемент внешней алгебры можно записать в виде суммы k -векторов . Следовательно, как векторное пространство внешняя алгебра является прямой суммой

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

(где, по соглашению, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ , поле, лежащее в основе ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$ ), и поэтому его размерность равна сумме биномиальных коэффициентов, которая равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2^{n}}$ .

Рангк-вектор

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , то можно выразить в виде линейной комбинации разложимых k -векторов : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

где каждый из них разложим, скажем ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

Ранг k - вектора — это минимальное число разложимых k -векторов в таком расширении ⁠ ⁠ . Это похоже на понятие ранга тензора . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Ранг особенно важен при изучении 2-векторов (Sternberg 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991). Ранг 2-вектора можно определить с помощью половины ранга матрицы коэффициентов в базисе. Таким образом, если является базисом для ⁠ ⁠ , то можно однозначно выразить как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

где (матрица коэффициентов кососимметрична ). Ранг матрицы , следовательно, четный и в два раза больше ранга формы . ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

В характеристике 0 2-вектор имеет ранг тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$и ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Градуированная структура

Внешнее произведение k -вектора на p -вектор является -вектором, снова вызывая билинейность. Как следствие, разложение прямой суммы предыдущего раздела ${\displaystyle (k+p)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

придает внешней алгебре дополнительную структуру градуированной алгебры , то есть

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$

Более того, если K — базовое поле, то имеем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

Внешний продукт градуированно антикоммутативен, что означает, что если и ⁠ ⁠ , то ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Помимо изучения градуированной структуры внешней алгебры, Бурбаки (1989) изучает дополнительные градуированные структуры внешних алгебр, например, структуры внешней алгебры градуированного модуля (модуля, который уже несет свою собственную градуировку).

Универсальная собственность

Пусть V — векторное пространство над полем K . Неформально, умножение в выполняется путем манипулирования символами и наложения дистрибутивного закона , ассоциативного закона и использования тождества для v ∈ V . Формально, — это «самая общая» алгебра, в которой эти правила выполняются для умножения, в том смысле, что любая унитальная ассоциативная K -алгебра, содержащая V с чередующимся умножением на V , должна содержать гомоморфный образ ⁠ ⁠ . Другими словами, внешняя алгебра обладает следующим универсальным свойством : ^[8] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Дана любая унитальная ассоциативная K -алгебра A и любое K - линейное отображение такое, что для каждого v из V , то существует ровно один унитальный гомоморфизм алгебры такой, что j ( v ) = f ( i ( v )) для всех v из V (здесь i — естественное включение V в ⁠ ⁠ , см. выше). ${\displaystyle j:V\to A}$ ${\displaystyle j(v)j(v)=0}$ ${\displaystyle f:{\textstyle \bigwedge }(V)\to A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Универсальное свойство внешней алгебры

Чтобы построить самую общую алгебру, содержащую V и умножение которой является чередующимся на V , естественно начать с самой общей ассоциативной алгебры, содержащей V , тензорной алгебры T ( V ) , а затем усилить свойство чередования, взяв подходящий фактор . Таким образом, мы берем двусторонний идеал I в T ( V ), порожденный всеми элементами вида v ⊗ v для v в V , и определяем как фактор ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I}$

(и использовать ∧ как символ умножения в ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ). Затем легко показать, что содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Вследствие этой конструкции операция сопоставления векторному пространству V его внешней алгебры является функтором из категории векторных пространств в категорию алгебр. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Вместо того, чтобы сначала определить, а затем идентифицировать внешние мощности как определенные подпространства, можно в качестве альтернативы сначала определить пространства , а затем объединить их, чтобы сформировать алгебру ⁠ ⁠ . Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описывается в следующем разделе. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Обобщения

При наличии коммутативного кольца и -модуля ⁠ ⁠ мы можем определить внешнюю алгебру так же, как и выше, как подходящий фактор тензорной алгебры ⁠ ⁠ . Она будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства также требуют, чтобы был проективным модулем . Когда используется конечная размерность, свойства также требуют, чтобы был конечно порожденным и проективным. Обобщения для наиболее распространенных ситуаций можно найти в Bourbaki (1989). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Внешние алгебры векторных расслоений часто рассматриваются в геометрии и топологии. Нет существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и свойствами внешней алгебры конечно порождённых проективных модулей, согласно теореме Серра–Свана . Более общие внешние алгебры могут быть определены для пучков модулей.

Алгебра переменного тензора

Для поля характеристики, отличной от 2, ^[9] внешняя алгебра векторного пространства над может быть канонически отождествлена ​​с векторным подпространством , состоящим из антисимметричных тензоров . Для характеристики 0 (или выше, чем ⁠ ⁠ ) векторное пространство -линейных антисимметричных тензоров трансверсально идеалу ⁠ ⁠ , следовательно, является хорошим выбором для представления фактора. Но для ненулевой характеристики векторное пространство ⁠ ⁠ -линейных антисимметричных тензоров может быть не трансверсально идеалу (на самом деле, для ⁠ ⁠ , векторное пространство -линейных антисимметричных тензоров содержится в ); Тем не менее, трансверсально или нет, произведение может быть определено на этом пространстве так, что результирующая алгебра будет изоморфна внешней алгебре: в первом случае естественным выбором для произведения является просто фактор-произведение (используя имеющуюся проекцию), во втором случае это произведение должно быть немного изменено, как указано ниже (в соответствии с установкой Арнольда), но так, чтобы алгебра оставалась изоморфной внешней алгебре, т. е. фактор-произведением по идеалу , порожденному элементами вида ⁠ ⁠ . Конечно, для характеристики ⁠ ⁠ (или выше размерности векторного пространства) можно использовать одно или другое определение произведения, поскольку обе алгебры изоморфны (см. VI Арнольд или Кобаяши-Номидзу). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \dim V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\geq \operatorname {char} K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle 0}$

Пусть — пространство однородных тензоров степени . Оно покрыто разложимыми тензорами ${\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

Антисимметризация (или иногда кососимметризация ) разложимого тензора определяется как

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

и, когда (для ненулевого характеристического поля может быть 0): ${\displaystyle r!\neq 0}$ ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})}$

где сумма берется по симметрической группе перестановок символов ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{1,\dots ,r\}}$ . Это распространяется по линейности и однородности на операцию, также обозначаемую и , на полной тензорной алгебре ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .}$

Такой, что при определении является проекцией для внешней (факторной) алгебры на r-однородное альтернирующее тензорное подпространство. С другой стороны, изображение всегда является альтернирующим тензорным градуированным подпространством (еще не алгеброй, поскольку произведение еще не определено), обозначаемым ⁠ ⁠ . Это векторное подпространство ⁠ ⁠ , и оно наследует структуру градуированного векторного пространства от того, что на ⁠ ⁠ . Более того, ядро ​​⁠ ⁠ , однородное подмножество идеала ⁠ ⁠ , или ядро ​​⁠ ⁠ . При определении несет ассоциативное градуированное произведение, определяемое (то же самое, что и произведение клина ) ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}}$ ${\displaystyle I^{(r)}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Предполагая, что имеет характеристику 0, как и является дополнением к в ⁠ ⁠ , с указанным выше произведением, существует канонический изоморфизм ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Когда характеристика поля не равна нулю, будет делать то же, что и раньше, но произведение не может быть определено как выше. В таком случае изоморфизм все еще сохраняется, несмотря на то, что не является дополнением к идеалу ⁠ ⁠ , но тогда произведение должно быть изменено, как указано ниже ( произведение, установка Арнольда). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {\wedge }}}$

Наконец, мы всегда получаем ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(V)}$ изоморфный с ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , но произведение можно (или нужно) выбрать двумя способами (или только одним). На самом деле, произведение можно выбрать многими способами, масштабируя его на однородных пространствах как для произвольной последовательности в поле, пока деление имеет смысл (это так, что переопределенное произведение также ассоциативно, т. е. определяет алгебру на ⁠ ⁠ ). Также обратите внимание, что определение внутреннего произведения должно быть изменено соответствующим образом, чтобы сохранить его свойство косого вывода. ${\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)}$ ${\displaystyle c(r)}$ ${\displaystyle A(V)}$

Индексная нотация

Предположим, что V имеет конечную размерность n и что задан базис e ₁ , ..., e _n множества V. Тогда любой знакопеременный тензор t ∈ Ar ⁽ V ) ⊂ T ^r ( V ) можно записать в индексной нотации с соглашением Эйнштейна о суммировании как

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

где t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} полностью антисимметричен по своим индексам.

Внешнее произведение двух знакопеременных тензоров t и s рангов r и p определяется выражением

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Компоненты этого тензора представляют собой в точности косую часть компонент тензорного произведения s ⊗ t , обозначенных квадратными скобками в индексах:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

Внутреннее произведение может быть также описано в индексной нотации следующим образом. Пусть будет антисимметричным тензором ранга ⁠ ⁠ . Тогда для α ∈ V ^∗ , ⁠ ⁠ является знакопеременным тензором ранга ⁠ ⁠ , заданным как ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$ ${\displaystyle r-1}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

где n — размерность V.

Двойственность

Альтернативные операторы

Для двух векторных пространств V и X и натурального числа k знакопеременный оператор из V k ^в X является полилинейным отображением

${\displaystyle f:V^{k}\to X}$

такой, что всякий раз, когда v ₁ , ..., v _k являются линейно зависимыми векторами в V , то

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

Карта

${\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),}$

который ассоциируется с векторами из их внешнего произведения, т. е. их соответствующего -вектора, также является знакопеременным. Фактически, это отображение является "самым общим" знакопеременным оператором, определенным на для любого другого знакопеременного оператора существует единственное линейное отображение с Это универсальное свойство характеризует пространство знакопеременных операторов на и может служить его определением. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V^{k};}$ ${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,}$ ${\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X}$ ${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ ${\displaystyle V^{k}}$

Чередующиеся многолинейные формы

Геометрическая интерпретация внешнего произведения n 1-форм ( ε , η , ω ) для получения n -формы («сетки» координатных поверхностей , в данном случае плоскостей), ^[1] для n = 1, 2, 3. «Циркуляции» показывают ориентацию . ^{[10] [11]}

Приведенное выше обсуждение специализируется на случае, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle X=K}$ , базовое поле. В этом случае знакопеременная полилинейная функция

${\displaystyle f:V^{k}\to K}$

называется знакопеременной полилинейной формой . Множество всех знакопеременных полилинейных форм является векторным пространством, так как сумма двух таких отображений или произведение такого отображения со скаляром снова знакопеременно. По универсальному свойству внешней мощности пространство знакопеременных форм степени на естественно изоморфно двойственному векторному пространству ⁠ ⁠ . Если является конечномерным, то последнее естественно изоморфно ^{[ необходимо разъяснение ]} ⁠ ⁠ . В частности, если является -мерным , размерность пространства знакопеременных отображений из в является биномиальным коэффициентом ⁠ ⁠ . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

При таком отождествлении внешнее произведение принимает конкретную форму: оно производит новое антисимметричное отображение из двух данных. Предположим, что ω  : V ^k → K и η  : V ^m → K — два антисимметричных отображения. Как и в случае тензорных произведений полилинейных отображений, число переменных их внешнего произведения равно сумме чисел их переменных. В зависимости от выбора отождествления элементов внешней мощности с полилинейными формами внешнее произведение определяется как

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

или как

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

где, если характеристика базового поля равна 0, то чередование Alt полилинейного отображения определяется как среднее значение скорректированных по знаку значений по всем перестановкам его переменных: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Когда поле имеет конечную характеристику , эквивалентная версия второго выражения без каких-либо факториалов или констант является корректно определенной: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

где здесь Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} — подмножество ( k , m ) перестановок : перестановок σ множества {1, 2, ..., k + m } таких, что σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k ) , и σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m ) . Поскольку это может выглядеть очень конкретным и тонко настроенным, эквивалентная сырая версия — суммировать в приведенной выше формуле по перестановкам в левых смежных классах S _{k + m} / ( S _k × S _m ) .

Изделия для интерьера

Предположим, что конечномерно. Если обозначает двойственное пространство к векторному пространству ⁠ ⁠ , то для каждого ⁠ ⁠ , можно определить первообразование на алгебре ⁠ ⁠ , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

Этот вывод называется внутренним произведением с ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ или иногда оператором вставки или сверткой с ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ .

Предположим, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ . Тогда — полилинейное отображение в ⁠ ⁠ , поэтому _оно определяется своими значениями на k -кратном декартовом произведении ⁠ ⁠ . Если u ₁ , u ₂ , ..., uk ₋₁ являются элементами ⁠ ⁠ , то определим ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Кроме того, пусть всякий раз, когда является чистым скаляром (т.е. принадлежит ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}$

Аксиоматическая характеристика и свойства

Изделие для интерьера удовлетворяет следующим свойствам:

1. Для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ и каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ (где по соглашению ), ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

2. Если — элемент ( ⁠ ⁠ ), то ⁠ ⁠ — это двойственное спаривание между элементами и элементами ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }v=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
3. Для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ существует градуированное выводное значение степени −1: ${\displaystyle \iota _{\alpha }}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).}$

Этих трех свойств достаточно, чтобы охарактеризовать внутреннее произведение, а также определить его в общем бесконечномерном случае.

Дополнительные свойства внутреннего продукта включают в себя:

• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

Двойственность Ходжа

Предположим, что имеет конечную размерность ⁠ ⁠ . Тогда внутреннее произведение индуцирует канонический изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)}$

по рекурсивному определению

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

В геометрической постановке ненулевой элемент верхней внешней мощности (которая является одномерным векторным пространством) иногда называется формой объема (или формой ориентации , хотя этот термин иногда может приводить к двусмысленности). Название «форма ориентации» происходит от того факта, что выбор предпочтительного верхнего элемента определяет ориентацию всей внешней алгебры, поскольку это равносильно фиксации упорядоченного базиса векторного пространства. Относительно предпочтительной формы объема ⁠ ⁠ изоморфизм задается явно как ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

Если в дополнение к объемной форме векторное пространство V снабжено скалярным произведением, отождествляемым с ⁠ ⁠ , то полученный изоморфизм называется оператором звезды Ходжа , который отображает элемент в его двойственный по Ходжу : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).}$

Композиция с собой отображает и всегда является скалярным кратным тождественного отображения. В большинстве приложений объемная форма совместима со внутренним произведением в том смысле, что она является внешним произведением ортонормированного базиса ⁠ ⁠ . В этом случае, ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

где id — это тождественное отображение, а внутреннее произведение имеет метрическую сигнатуру ( p , q ) — p плюсов и q минусов.

Внутренний продукт

Для ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ конечномерного пространства скалярное произведение (или псевдоевклидово скалярное произведение) на ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ определяет изоморфизм с ⁠ ⁠ , а также изоморфизм с ⁠ ⁠ . Спаривание между этими двумя пространствами также принимает форму скалярного произведения. На разложимых ⁠ ⁠ -векторах, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

определитель матрицы скалярных произведений. В частном случае v _i = w _i скалярное произведение является квадратной нормой k -вектора, заданного определителем матрицы Грама (⟨ v _i , v _j ⟩) . Затем это продолжается билинейно (или полуторалинейно в комплексном случае) до невырожденного скалярного произведения на Если e _i , i = 1, 2, ..., n , образуют ортонормированный базис ⁠ ⁠ , то векторы вида ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

составляют ортонормированный базис для ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , утверждение, эквивалентное формуле Коши–Бине .

Что касается внутреннего произведения, внешнее умножение и внутреннее произведение взаимно сопряжены. В частности, для ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle x\in V}$ ,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где x ^♭ ∈ V ^∗ — музыкальный изоморфизм , линейный функционал, определяемый формулой

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

для всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle y\in V}$ . Это свойство полностью характеризует скалярное произведение на внешней алгебре.

Действительно, в более общем случае для ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$ итерация вышеуказанных сопряженных свойств дает

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где теперь находится дуальный ⁠ ⁠ -вектор, определяемый как ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

для всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$ .

Структура биалгебры

Существует соответствие между градуированным дуальным градуированной алгеброй и чередующимися полилинейными формами на ⁠ ⁠ . Внешняя алгебра (как и симметрическая алгебра ) наследует структуру биалгебры и, действительно, структуру алгебры Хопфа от тензорной алгебры . См. статью о тензорных алгебрах для подробного рассмотрения темы. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$

Внешнее произведение полилинейных форм, определенных выше, является двойственным к копроизведению, определенному на ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , что дает структуру коалгебры . Копроизведение является линейной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , которая задается как

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

на элементах ⁠ ⁠ ${\displaystyle v\in V}$ . Символ обозначает единичный элемент поля ⁠ ⁠ . Напомним, что ⁠ ⁠ , так что вышесказанное действительно лежит в ⁠ ⁠ . Это определение копроизведения поднимается на все пространство с помощью (линейного) гомоморфизма. Правильная форма этого гомоморфизма — это не то, что можно было бы наивно написать, а та, которая тщательно определена в статье о коалгебре . В этом случае получается ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Развернув это подробно, получаем следующее выражение для разложимых элементов:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

где второе суммирование берется по всем ( p , k − p ) -перетасовкам . По соглашению, Sh( k, 0) и Sh(0, k ) равны {id: {1, ..., k } → {1, ..., k }}. Также удобно взять чистые клиновые произведения и равными 1 для p = 0 и p = k , соответственно (пустое произведение в ). Перетасовка напрямую следует из первой аксиомы коалгебры: относительный порядок элементов сохраняется при перетасовке рифлей : перетасовка рифлей просто разбивает упорядоченную последовательность на две упорядоченные последовательности, одну слева и одну справа. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (k)}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle x_{k}}$

Заметьте, что копроизведение сохраняет градуировку алгебры. Расширяя на все пространство, имеем ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}$

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

Символ тензора ⊗, используемый в этом разделе, следует понимать с некоторой осторожностью: это не тот же символ тензора, что используется в определении знакопеременного произведения. Интуитивно, возможно, проще всего думать о нем как о просто другом, но другом, тензорном произведении: оно все еще (билинейно), как и должно быть, тензорным произведением, но это произведение, которое подходит для определения биалгебры, то есть для создания объекта ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ . Любые оставшиеся сомнения можно развеять, обдумав равенства (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) и ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , которые следуют из определения коалгебры, в отличие от наивных манипуляций с использованием символов тензора и клина. Это различие более подробно рассматривается в статье о тензорных алгебрах . Здесь гораздо меньше проблем, поскольку знакопеременное произведение явно соответствует умножению во внешней алгебре, оставляя символ свободным для использования в определении биалгебры. На практике это не представляет особой проблемы, пока избегается фатальная ловушка замены знакопеременных сумм на символ клина, за одним исключением. Можно построить знакопеременное произведение из ⁠ ⁠ , понимая, что оно работает в другом пространстве. Сразу ниже приведен пример: знакопеременное произведение для дуального пространства может быть задано в терминах копроизведения. Построение биалгебры здесь почти точно совпадает с построением в статье о тензорной алгебре , за исключением необходимости правильно отслеживать знаки чередования для внешней алгебры. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$

С точки зрения копроизведения, внешнее произведение в двойственном пространстве — это просто градуированное двойственное произведение копроизведения:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

где тензорное произведение в правой части — это произведение полилинейных линейных отображений (расширенных нулем на элементы несовместимой однородной степени: точнее, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , где — коединица, как она определена в настоящее время). ${\displaystyle \varepsilon }$

Коединица — это гомоморфизм , который возвращает 0-градуированную компоненту своего аргумента. Копроизведение и коединица, вместе с внешним произведением, определяют структуру биалгебры на внешней алгебре. ${\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}$

При наличии антипода, определенного на однородных элементах с помощью ⁠ ⁠ ${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$ , внешняя алгебра является, кроме того, алгеброй Хопфа . ^[12]

Функториальность

Предположим, что и являются парой векторных пространств, а является линейным отображением . Тогда по универсальному свойству существует единственный гомоморфизм градуированных алгебр ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

такой что

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).}$

В частности, сохраняет однородную степень. Компоненты k -градуировки задаются на разложимых элементах как ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)}$ ${\textstyle \bigwedge \left(f\right)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Позволять

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).}$

Компоненты преобразования ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)}$ относительно базиса и являются матрицей миноров ⁠ ⁠ . В частности, если и имеет конечную размерность ⁠ ⁠ , то является отображением одномерного векторного пространства в себя и, следовательно, задается скаляром: определителем ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle f}$

Точность

Если — короткая точная последовательность векторных пространств, то ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

представляет собой точную последовательность градуированных векторных пространств, ^[13] как и

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[14]

Прямые суммы

В частности, внешняя алгебра прямой суммы изоморфна тензорному произведению внешних алгебр:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Это градуированный изоморфизм; т.е.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).}$

В более общем случае для короткой точной последовательности векторных пространств существует естественная фильтрация ${\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

где для охватывается элементами вида для и Соответствующие факторы допускают естественный изоморфизм ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$ ${\displaystyle u_{i}\in U}$ ${\displaystyle v_{i}\in V.}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)}$предоставлено ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).}$

В частности, если U одномерно, то

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0}$

является точным, и если W одномерно, то

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0}$

является точным. ^[15]

Приложения

Ориентированный объем в аффинном пространстве

Естественным окружением для (ориентированного) -мерного объема и внешней алгебры является аффинное пространство . Это также тесная связь между внешней алгеброй и дифференциальными формами , поскольку для интегрирования нам нужен «дифференциальный» объект для измерения бесконечно малого объема. Если является аффинным пространством над векторным пространством ⁠ ⁠ и ( симплексным ) набором упорядоченных точек , мы можем определить его ориентированный -мерный объем как внешнее произведение векторов (используя конкатенацию для обозначения вектора смещения от точки до ); если порядок точек изменяется, ориентированный объем изменяется на знак в соответствии с четностью перестановки. В ⁠ ⁠ -мерном пространстве объем любого -мерного симплекса является скалярным кратным любого другого. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}}$ ${\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Сумма -мерных ориентированных площадей граничных симплексов -мерного симплекса равна нулю, как и сумма векторов вокруг треугольника или ориентированных треугольников, ограничивающих тетраэдр в предыдущем разделе. ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$

Структура векторного пространства на обобщает сложение векторов в ⁠ ⁠ : имеем и аналогично k -лезвие линейно по каждому множителю. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}$

Линейная алгебра

В приложениях к линейной алгебре внешнее произведение обеспечивает абстрактный алгебраический способ описания определителя и миноров матрицы . Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелоэдра, стороны которого являются столбцами матрицы (со знаком для отслеживания ориентации). Это говорит о том, что определитель можно определить в терминах внешнего произведения векторов-столбцов. Аналогично, k × k миноров матрицы можно определить, рассматривая внешние произведения векторов-столбцов, выбранных k за раз. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования : определитель линейного преобразования — это коэффициент, на который он масштабирует ориентированный объем любого заданного опорного параллелоэдра. Таким образом, определитель линейного преобразования можно определить в терминах того, что преобразование делает с верхней внешней степенью. Действие преобразования на меньшие внешние степени дает независимый от базиса способ говорить о минорах преобразования.

Физика

В физике многие величины естественным образом представляются знакопеременными операторами. Например, если движение заряженной частицы описывается векторами скорости и ускорения в четырехмерном пространстве-времени, то нормализация вектора скорости требует, чтобы электромагнитная сила была знакопеременным оператором скорости. Ее шесть степеней свободы отождествляются с электрическими и магнитными полями.

Электромагнитное поле

В теории относительности Эйнштейна электромагнитное поле обычно задается как дифференциальная 2-форма в 4-пространстве или как эквивалентное переменное тензорное поле электромагнитный тензор . Тогда или эквивалентное тождество Бианки Ничто из этого не требует метрики. ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}$ ${\displaystyle dF=ddA=0}$ ${\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}$

Добавление метрики Лоренца и ориентации дает оператор звезды Ходжа и, таким образом, позволяет определить или эквивалентную тензорную дивергенцию , где ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle J={\star }d{\star }F}$ ${\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}}$ ${\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}$

Линейная геометрия

Разложимые k -векторы имеют геометрическую интерпретацию: бивектор представляет плоскость, натянутую на векторы, «взвешенные» числом, заданным площадью ориентированного параллелограмма со сторонами и ⁠ ⁠ . Аналогично, 3-вектор представляет натянутое 3-пространство, взвешенное объемом ориентированного параллелепипеда со сторонами ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle u\wedge v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Проективная геометрия

Разложимые k -векторы в соответствуют взвешенным k -мерным линейным подпространствам ⁠ ⁠ . В частности, грассманиан k -мерных подпространств ⁠ ⁠ , обозначаемый ⁠ ⁠ , может быть естественным образом отождествлен с алгебраическим подмногообразием проективного пространства . Это называется вложением Плюккера , а образ вложения может быть охарактеризован соотношениями Плюккера . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ ${\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}$

Дифференциальная геометрия

Внешняя алгебра имеет заметные приложения в дифференциальной геометрии , где она используется для определения дифференциальных форм . ^[16] Дифференциальные формы — это математические объекты, которые оценивают длину векторов, площади параллелограммов и объемы многомерных тел , поэтому их можно интегрировать по кривым, поверхностям и многообразиям более высокой размерности таким образом, который обобщает линейные интегралы и поверхностные интегралы из исчисления. Дифференциальная форма в точке дифференцируемого многообразия является знакопеременной полилинейной формой на касательном пространстве в этой точке. Эквивалентно, дифференциальная форма степени k является линейным функционалом на k -й внешней степени касательного пространства. Как следствие, внешнее произведение полилинейных форм определяет естественное внешнее произведение для дифференциальных форм. Дифференциальные формы играют важную роль в различных областях дифференциальной геометрии.

Альтернативный подход определяет дифференциальные формы в терминах ростков функций .

В частности, внешняя производная придает внешней алгебре дифференциальных форм на многообразии структуру дифференциальной градуированной алгебры . Внешняя производная коммутирует с обратным протягиванием вдоль гладких отображений между многообразиями, и поэтому является естественным дифференциальным оператором . Внешняя алгебра дифференциальных форм, снабженная внешней производной, является коцепным комплексом , когомологии которого называются когомологиями де Рама базового многообразия и играют важную роль в алгебраической топологии дифференцируемых многообразий.

Теория представления

В теории представлений внешняя алгебра является одним из двух фундаментальных функторов Шура в категории векторных пространств, другой — симметричная алгебра . Вместе эти конструкции используются для генерации неприводимых представлений общей линейной группы (см. Фундаментальное представление ).

Суперпространство

Внешняя алгебра над комплексными числами является архетипическим примером супералгебры , которая играет фундаментальную роль в физических теориях, относящихся к фермионам и суперсимметрии . Отдельный элемент внешней алгебры называется суперчислом ^[17] или числом Грассмана . Сама внешняя алгебра тогда является просто одномерным суперпространством : это просто набор всех точек во внешней алгебре. Топология на этом пространстве по сути является слабой топологией , открытые множества являются цилиндрическими множествами . n -мерное суперпространство является просто ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -кратным произведением внешних алгебр.

Гомологии алгебры Ли

Пусть — алгебра Ли над полем ⁠ ⁠ , тогда можно определить структуру цепного комплекса на внешней алгебре ⁠ ⁠ . Это ⁠ ⁠ -линейное отображение ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)}$

определяется на разложимых элементах

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

Тождество Якоби выполняется тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle {1}}$ , и поэтому это необходимое и достаточное условие для того, чтобы антикоммутативная неассоциативная алгебра была алгеброй Ли. Более того, в этом случае является цепным комплексом с граничным оператором ⁠ ⁠ . Гомологии , связанные с этим комплексом, являются гомологиями алгебры Ли . ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)}$ ${\displaystyle \partial }$

Гомологическая алгебра

Внешняя алгебра является основным компонентом в построении комплекса Кошуля , фундаментального объекта в гомологической алгебре .

История

Внешняя алгебра была впервые введена Германом Грассманом в 1844 году под общим термином Ausdehnungslehre , или Теория расширения . ^[18] Это относилось в более общем смысле к алгебраической (или аксиоматической) теории расширенных величин и было одним из ранних предшественников современного понятия векторного пространства . Сен-Венан также опубликовал похожие идеи внешнего исчисления, в отношении которых он заявил о приоритете перед Грассманом. ^[19]

Сама алгебра была построена из набора правил, или аксиом, охватывающих формальные аспекты теории поливекторов Кэли и Сильвестра. Таким образом, это было исчисление , очень похожее на исчисление высказываний , за исключением того, что оно было сосредоточено исключительно на задаче формального рассуждения в геометрических терминах. ^[20] В частности, это новое развитие позволило аксиоматически охарактеризовать размерность, свойство, которое ранее рассматривалось только с точки зрения координат.

Значение этой новой теории векторов и поливекторов было утеряно математиками середины XIX века ^[21] , пока в 1888 году ее не тщательно проверил Джузеппе Пеано . Работа Пеано также оставалась несколько неясной до начала века, когда этот предмет был объединен членами французской геометрической школы (в частности, Анри Пуанкаре , Эли Картаном и Гастоном Дарбу ), которые применили идеи Грассмана к исчислению дифференциальных форм .

Немного позже Альфред Норт Уайтхед , заимствуя идеи Пеано и Грассмана, представил свою универсальную алгебру . Это проложило путь для развития абстрактной алгебры в 20 веке , поставив аксиоматическое понятие алгебраической системы на прочную логическую основу.

Смотрите также

• Альтернативная алгебра
• Тождества внешнего исчисления
• Алгебра Клиффорда , обобщение внешней алгебры до ненулевой квадратичной формы
• Геометрическая алгебра
• комплекс Козюля
• Полилинейная алгебра
• Симметричная алгебра , симметричный аналог
• Тензорная алгебра
• Алгебра Вейля , квантовая деформация симметричной алгебры симплектической формой

Примечания

1. Пенроуз, Р. (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
2. Уилер, Мизнер и Торн 1973, стр. 83
3. Грассман (1844) ввел их как расширенные алгебры (ср. Клиффорд 1878).
4. Термин k-вектор не эквивалентен и не должен путаться с похожими терминами, такими как 4-вектор , которые в другом контексте могли бы означать элемент 4-мерного векторного пространства. Меньшинство авторов используют термин -мультивектор вместо -вектор, что позволяет избежать этой путаницы. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
5. Эта аксиоматизация площадей принадлежит Леопольду Кронекеру и Карлу Вейерштрассу ; см. Бурбаки (1989b, Историческая справка). Для современной трактовки см. Маклейн и Биркхофф (1999, Теорема IX.2.2). Для элементарной трактовки см. Стрэнг (1993, Глава 5).
6. Это определение является стандартным. См., например, Mac Lane & Birkhoff (1999).
7. Доказательство этого в более общем виде можно найти в работе Бурбаки (1989).
8. См. Бурбаки (1989, §III.7.1) и Маклейн и Биркгофф (1999, теорема XVI.6.8). Более подробную информацию об универсальных свойствах в целом можно найти в работе Маклейна и Биркгоффа (1999, глава VI) и в работах Бурбаки.
9. См. Бурбаки (1989, §III.7.5) для обобщений.
10. Примечание : Показанные здесь ориентации неверны; диаграмма просто дает представление о том, что ориентация определена для каждой k -формы.
11. Уилер, JA; Мизнер, C.; Торн, KS (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 58–60, 83, 100–9, 115–9. ISBN 0-7167-0344-0.
12. Действительно, внешняя алгебра ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ является обертывающей алгеброй структуры абелевой супералгебры Ли на ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ .
13. Эта часть утверждения также справедлива в большей общности, если и являются модулями над коммутативным кольцом: Это преобразует эпиморфизмы в эпиморфизмы. См. Бурбаки (1989, Предложение 3, §III.7.2). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
14. Это утверждение обобщается только на случай, когда V и W — проективные модули над коммутативным кольцом. В противном случае это, как правило, не тот случай, который преобразует мономорфизмы в мономорфизмы. См. Бурбаки (1989, Следствие к предложению 12, §III.7.9). ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$
15. Такая фильтрация также справедлива для векторных расслоений и проективных модулей над коммутативным кольцом. Таким образом, это более общий результат, чем приведенный выше результат для прямых сумм, поскольку не каждая короткая точная последовательность распадается в других абелевых категориях .
16. Джеймс, AT (1983). «О клиновом продукте». В Карлин, Сэмюэл; Амемия, Такеши; Гудман, Лео А. (ред.). Исследования по эконометрике, временным рядам и многомерной статистике . Academic Press. стр. 455–464. ISBN 0-12-398750-4.
17. DeWitt, Bryce (1984). "Глава 1". Супермногообразия . Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 0-521-42377-5.
18. Канненберг (2000) опубликовал перевод работы Грассмана на английский язык; он перевел Ausdehnungslehre как Extension Theory .
19. Дж. Итард, Биография в словаре научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990).
20. В прошлом авторы называли это исчисление по-разному: исчислением расширения (Уайтхед, 1898; Фордер, 1941) или обширной алгеброй (Клиффорд, 1878), а в последнее время — расширенной векторной алгеброй (Браун, 2007).
21. Бурбаки 1989, стр. 661.

Ссылки

Математические ссылки

• Бишоп, Р .; Голдберг, СИ (1980), Тензорный анализ на многообразиях , Довер, ISBN 0-486-64039-6

  Включает рассмотрение знакопеременных тензоров и знакопеременных форм, а также подробное обсуждение двойственности Ходжа с точки зрения, принятой в этой статье.

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

  Это основная математическая ссылка для статьи. Она вводит внешнюю алгебру модуля над коммутативным кольцом (хотя эта статья специализируется в основном на случае, когда кольцо является полем), включая обсуждение универсального свойства, функториальности, двойственности и структуры биалгебры. См. §III.7 и §III.11.

• Брайант, РЛ ; Черн, СС ; Гарднер, РБ; Гольдшмидт, Х.Л.; Гриффитс, Пенсильвания (1991), Внешние дифференциальные системы , Springer-Verlag

  Эта книга содержит приложения внешних алгебр к проблемам уравнений с частными производными . Ранг и связанные с ним концепции развиваются в первых главах.

• Мак Лейн, С.; Биркгофф , Г. (1999), Алгебра , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2

  В разделах 6–10 главы XVI дается более элементарное изложение внешней алгебры, включая двойственность, определители и миноры, а также чередующиеся формы.

• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Prentice Hall

  Содержит классическую трактовку внешней алгебры как знакопеременных тензоров и приложения к дифференциальной геометрии.

Исторические справки

• Бурбаки (1989, Историческая записка по главам II и III)
• Клиффорд, У. (1878), «Применение обширной алгебры Грассмана», American Journal of Mathematics , 1 (4), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 350–358, doi : 10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Фордер, Х.Г. (1941), Исчисление расширения, Архив Интернета
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке)(Теория линейного расширения – новая ветвь математики) альтернативная ссылка
• Канненберг, Ллойд (2000), Теория расширений (перевод Ausdehnungslehre Грассмана ) , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2031-1
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Канненберг, Ллойд (1999), Геометрическое исчисление: Согласно Ausdehnungslehre Г. Грассмана , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4126-9.
• Уайтхед, Альфред Норт (1898), «Трактат об универсальной алгебре с приложениями», Nature , 58 (1504), Cambridge: 385, Bibcode : 1898Natur..58..385G, doi : 10.1038/058385a0, S2CID  3985954

Другие ссылки и дополнительная литература

• Браун, Дж. М. (2007), Алгебра Грассмана – Изучение приложений расширенной векторной алгебры с помощью Mathematica, архивировано из оригинала 19.02.2009 , извлечено 09.05.2007

  Введение во внешнюю алгебру и геометрическую алгебру с упором на приложения. Также включает раздел истории и библиографию.

• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6

  Включает приложения внешней алгебры к дифференциальным формам, в частности, сосредоточенные на интегрировании и теореме Стокса . Обозначения в этом тексте используются для обозначения пространства чередующихся k -форм на V ; т. е. для Спивака это то, что эта статья назвала бы Спивак обсуждает это в Приложении 4. ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V^{*}.}$

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру , Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5

  Включает элементарную трактовку аксиоматизации определителей как знаковых площадей, объемов и многомерных объемов.

• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Внешняя алгебра", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Венделл, Флеминг (2012) [1977], «7. Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление», Функции нескольких переменных (2-е изд.), Springer, стр. 275–320, ISBN 978-1-4684-9461-7

  В этом учебнике по многомерному исчислению внешняя алгебра дифференциальных форм искусно вводится в последовательность исчисления для колледжей.

• Шафаревич, ИР ; Ремизов, АО (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

  Глава 10: Внешнее произведение и внешние алгебры

• «Метод Грассмана в проективной геометрии». Сборник английских переводов трех заметок Чезаре Бурали-Форти о применении внешней алгебры к проективной геометрии.
• C. Burali-Forti, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Г. Грассмана». Английский перевод ранней книги о геометрических приложениях внешних алгебр.
• «Механика, согласно принципам теории расширения». Английский перевод одной из статей Грассмана о приложениях внешней алгебры.