Бинарное отношение

Связь между элементами двух множеств

В математике бинарное отношение связывает элементы одного набора, называемого доменом , с элементами другого набора, называемого кодоменом . ^[1] Бинарное отношение над множествами X и Y — это новый набор упорядоченных пар ( x , y ) , состоящий из элементов x из X и y из Y. ^[2] Это обобщение более широко понимаемой идеи унарной функции . Он кодирует общую концепцию отношения: элемент x связан с элементом y тогда и только тогда, когда пара ( x , y ) принадлежит множеству упорядоченных пар, которое определяет бинарное отношение . Бинарное отношение — это наиболее изученный частный случай n = 2 n -арного отношения над множествами X ₁ , ..., X _n , которое является подмножеством декартова произведения ^[2] ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Примером бинарного отношения является отношение « делит » над набором простых чисел и набором целых чисел , в котором каждое простое число p связано с каждым целым числом z , кратным p , но не с целым числом, которое не является кратным p. кратное п . В этом отношении, например, простое число 2 связано с такими числами, как -4, 0, 6, 10, но не с 1 или 9, точно так же, как простое число 3 связано с 0, 6 и 9, но не 4 или 13. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Бинарные отношения используются во многих разделах математики для моделирования самых разных концепций. К ним относятся, среди прочего:

• отношения « больше », « равно » и «делит» в арифметике ;
• отношение « конгруэнтно » в геометрии ;
• отношение «прилегает к» в теории графов ;
• отношение « ортогонален » в линейной алгебре .

Функция может быть определена как бинарное отношение , удовлетворяющее дополнительным ограничениям. ^[3] Бинарные отношения также широко используются в информатике .

Бинарное отношение над множествами X и Y является элементом степенного множества Поскольку последнее множество упорядочено включением (⊆), каждое отношение имеет место в решетке подмножеств Бинарное отношение называется однородным отношением, когда X = Ю. _ Бинарное отношение также называется гетерогенным отношением, если не обязательно, чтобы X = Y . ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Поскольку отношения являются множествами, ими можно манипулировать с помощью операций над множествами, включая объединение , пересечение и дополнение , и удовлетворяющих законам алгебры множеств . Помимо этого, доступны такие операции, как обращение отношения и композиция отношений , удовлетворяющие законам исчисления отношений , для которых существуют учебники Эрнста Шредера , ^[4] Кларенса Льюиса , ^[5] и Гюнтера Шмидта . ^[6] Более глубокий анализ отношений предполагает их разложение на подмножества, называемые понятиями , и размещение их в полной решетке .

В некоторых системах аксиоматической теории множеств отношения распространяются на классы , которые являются обобщениями множеств. Это расширение необходимо, среди прочего, для моделирования понятий «является элементом» или «является подмножеством» в теории множеств, не сталкиваясь с логическими несоответствиями, такими как парадокс Рассела .

Термины «соответствие» , ^[7] диадическое отношение и двухместное отношение являются синонимами бинарного отношения, хотя некоторые авторы используют термин «бинарное отношение» для любого подмножества декартова произведения без ссылки на X и Y и оставляют за собой термин «соответствие». " для бинарного отношения со ссылкой на X и Y . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle X\times Y}$

Определение

Для заданных наборов X и Y декартово произведение определяется как , а его элементы называются упорядоченными парами. ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\in X{\text{ and }}y\in Y\},}$

Бинарное отношение R над множествами X и Y является подмножеством ^{[2] [8]} Множество X называется областью ^[2] или множеством отправления R , а множество Y - кодоменом или множеством назначения R . Чтобы указать выбор множеств X и Y , некоторые авторы определяют бинарное отношение или соответствие как упорядоченную тройку ( X , Y , G ) , где G — подмножество, называемое графиком бинарного отношения. Утверждение гласит: « x R - связано с y » и обозначается xRy . ^{[4] [5] [6]} [ ^{примечание 1]} Область определения или активная область ^[2] R — это набор всех x таких, что xRy хотя бы для одного y . Кодомен определения , активный кодомен , ^[2] изображение или диапазон R — это набор всех y таких, что xRy хотя бы для одного x . Поле R представляет собой объединение его области определения и его кодомена определения. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in R}$

Когда бинарное отношение называется однородным отношением (или эндореляцией ). Чтобы подчеркнуть тот факт, что X и Y могут быть разными, бинарное отношение также называют гетерогенным отношением. ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle X=Y,}$

В бинарном отношении важен порядок элементов; if then yRx может быть истинным или ложным независимо от xRy . Например, 3 делит 9, но 9 не делит 3. ${\displaystyle x\neq y}$

Операции

Союз

Если R и S — бинарные отношения над множествами X и Y , то это отношение объединения R и S над X и Y. ${\displaystyle R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ or }}xSy\}}$

Элемент идентификации — это пустое отношение. Например, это объединение < и = и объединение > и =. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$

Пересечение

Если R и S — бинарные отношения над множествами X и Y , то это отношение пересечения R и S над X и Y. ${\displaystyle R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ and }}xSy\}}$

Элементом идентичности является универсальное отношение. Например, отношение «делится на 6» является пересечением отношений «делится на 3» и «делится на 2».

Состав

Если R — бинарное отношение над множествами X и Y , а S — бинарное отношение над множествами Y и Z , то (также обозначаемое R ; S ) — это отношение композиции R и S над X и Z. ${\displaystyle S\circ R=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}}$

Элементом идентичности является отношение идентичности. Порядок R и S в используемых здесь обозначениях соответствует стандартному порядку обозначений композиции функций . Например, композиция (является родителем) (является матерью) дает (является бабушкой и дедушкой по материнской линии), а композиция (является матерью) (является родителем) дает (является бабушкой). В первом случае, если x является родителем y , а y является матерью z , то x является прародителем z по материнской линии . ${\displaystyle S\circ R,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$

Конверсы

Если R является бинарным отношением над множествами X и Y , то это обратное отношение , ^{[ нужна ссылка ]} также называемое обратным отношением , ^{[ нужна ссылка ]} отношения R над Y и X. ${\displaystyle R^{\textsf {T}}=\{(y,x):xRy\}}$

Например, является обратным самому себе, как и и являются обратными друг другу, как и Бинарное отношение равно своему обратному тогда и только тогда, когда оно симметрично . ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\neq ,\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .\,}$

Дополнить

Если R — бинарное отношение над множествами X и Y , то ( также обозначаемое R или ¬R ) — дополнительное отношение R над X и Y. ${\displaystyle {\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ not }}xRy\}}$

Например, и дополняют друг друга, как и и и и и и для общего количества заказов также и и и ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\neq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\not \subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\not \supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\in \,}$ ${\displaystyle \,\not \in ,\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

Дополнение обратного отношения является обратным дополнению: ${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.}$

Если дополнение обладает следующими свойствами: ${\displaystyle X=Y,}$

• Если отношение симметрично, то и дополнение тоже.
• Дополнение рефлексивного отношения иррефлексивно — и наоборот.
• Дополнением строгого слабого порядка является полный предварительный порядок — и наоборот.

Ограничение

Если R — бинарное однородное отношение над множеством X , а S — подмножество X , то ${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}}$отношение ограничения RнаSнадX._

Если R — бинарное отношение над множествами X и Y и если S — подмножество X , то ${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S\}}$отношение левого ограничения RкSнадXиY. ^{[ нужны разъяснения ]}

Если R — бинарное отношение над множествами X и Y и если S — подмножество Y , то ${\displaystyle R^{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}y\in S\}}$отношение правого ограничения RнаSнадXиY.

Если отношение является рефлексивным , иррефлексивным, симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , строгим слабым порядком , полным предпорядком (слабый порядок) или отношением эквивалентности , то такими же являются и его ограничения.

Однако транзитивное замыкание ограничения является подмножеством ограничения транзитивного замыкания, т. е. вообще говоря, не равно. Например, ограничение отношения « x является родителем y » женщинами приводит к отношению « x — мать женщины y »; его транзитивное замыкание не связывает женщину с ее бабушкой по отцовской линии. С другой стороны, транзитивное замыкание «является родителем» есть «является предком»; его ограничение на женщин действительно связывает женщину с ее бабушкой по отцовской линии.

Кроме того, различные концепции полноты (не путать с «тотальностью») не переносятся на ограничения. Например, над действительными числами свойство отношения состоит в том, что каждое непустое подмножество с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (также называемую супремумом) в . Однако для рациональных чисел эта верхняя граница не обязательно является рациональной, поэтому то же свойство не сохраняется и при ограничении отношения к рациональным числам. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Бинарное отношение R над множествами X и Y называетсясодержится в отношенииSнадXиY, записанном, еслиRявляется подмножествомS, то есть для всех,иеслиxRy, тоxSy. ЕслиRсодержится вS, аSсодержится вR, тоRиSназываютсяравнымиипишутR=S. ЕслиRсодержится вS, ноSне содержится вR, тоRназывается ${\displaystyle R\subseteq S,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$меньше S, записаноНапример, нарациональныхчислахотношениеменьшеи равно композиции ${\displaystyle R\subsetneq S.}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle \,>\,\circ \,>.\,}$

Матричное представление

Бинарные отношения над множествами X и Y могут быть представлены алгебраически логическими матрицами , индексированными X и Y, с элементами булевого полукольца (сложение соответствует ИЛИ, а умножение И), где сложение матриц соответствует объединению отношений, умножение матриц соответствует композиции отношений (отношения над X и Y и отношения над Y и Z ), ^[16] произведение Адамара соответствует пересечению отношений, нулевая матрица соответствует пустому отношению, а матрица единиц соответствует универсальному отношению. Однородные отношения (когда X = Y ) образуют матричное полукольцо (действительно, матричную полуалгебру над булевым полукольцом), где единичная матрица соответствует тождественному отношению. ^[17]

Примеры

1. Следующий пример показывает, насколько важен выбор кодомена. Предположим, есть четыре объекта и четыре человека. Возможным отношением между A и B является отношение «принадлежит», заданное формулой То есть Джон владеет мячом, Мэри владеет куклой, а Венера владеет машиной. Чашка никому не принадлежит, и Йену ничего не принадлежит; см. 1-й пример. Как набор, R не включает в себя Ian, и поэтому R можно было рассматривать как подмножество, т. е. отношения над A , и см. второй пример. Хотя второй пример отношения является сюръективным (см. ниже), первый — нет. ${\displaystyle A=\{{\text{ball, car, doll, cup}}\}}$ ${\displaystyle B=\{{\text{John, Mary, Ian, Venus}}\}.}$ ${\displaystyle R=\{({\text{ball, John}}),({\text{doll, Mary}}),({\text{car, Venus}})\}.}$ ${\displaystyle A\times \{{\text{John, Mary, Venus}}\},}$ ${\displaystyle \{{\text{John, Mary, Venus}}\};}$

   

   Океаны и континенты (острова опущены)

2. Пусть A = {Индийский, Арктический, Атлантический, Тихий}, океаны земного шара, и B = {NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, континенты . Пусть aRb представляет собой океан a, граничащий с континентом b . Тогда логическая матрица для этого отношения:

   ${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

   Связность планеты Земля можно рассматривать через R ^T и R ^T R , причем первый представляет собой отношение на A , которое является универсальным отношением ( или логической матрицей всех). Это универсальное соотношение отражает тот факт, что каждый океан отделен от других не более чем одним континентом. С другой стороны, RTR — это отношение , которое не может быть универсальным, поскольку для путешествия из Европы в Австралию необходимо пересечь ^как минимум два океана . ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle B\times B}$
3. Визуализация отношений опирается на теорию графов : для отношений на множестве (однородных отношений) ориентированный граф иллюстрирует отношение, а граф — симметричное отношение . Для гетерогенных отношений гиперграф имеет ребра, возможно, с более чем двумя узлами, и его можно проиллюстрировать двудольным графом . Подобно тому, как клика является неотъемлемой частью отношений на множестве, биклики используются для описания гетерогенных отношений; на самом деле, это «концепции», которые создают решетку, связанную с отношением.

   

   Различные оси t представляют время для движущихся наблюдателей, соответствующие оси x представляют собой линии их одновременности.

4. Гиперболическая ортогональность : время и пространство — это разные категории, а временные свойства отделены от пространственных свойств. Идея одновременных событий проста в абсолютном времени и пространстве, поскольку каждое время t определяет одновременную гиперплоскость в этой космологии. Герман Минковский изменил это, когда сформулировал понятие относительной одновременности , которая существует, когда пространственные события «нормальны» ко времени, характеризуемому скоростью. Он использовал неопределенное внутреннее произведение и указал, что вектор времени нормален к вектору пространства, когда это произведение равно нулю. Неопределенный скалярный продукт в композиционной алгебре определяется выражением

   ${\displaystyle \langle x,z\rangle \ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;}$где черта означает сопряжение.

   Как отношение между некоторыми временными событиями и некоторыми пространственными событиями, гиперболическая ортогональность (как обнаруживается в расщепленных комплексных числах ) является гетерогенным отношением. ^[18]
5. Геометрическую конфигурацию можно рассматривать как связь между ее точками и линиями. Отношение выражается как инцидентность . Включены конечные и бесконечные проективные и аффинные плоскости. Якоб Штайнер был пионером в каталогизации конфигураций с помощью систем Штейнера , которые имеют набор S из n элементов и набор подмножеств из k-элементов, называемых блоками , так что подмножество с t элементами лежит только в одном блоке. Эти структуры заболеваемости были обобщены с помощью блочных планов . Матрица инцидентности , используемая в этих геометрических контекстах, соответствует логической матрице, обычно используемой с бинарными отношениями. ${\displaystyle {\text{S}}(t,k,n)}$

   Структура инцидентности представляет собой тройку D = ( V , B , I ) , где V и B — любые два непересекающихся множества, а I — бинарное отношение между V и B , т. е. элементы V будут называться точками , элементы B — блоками и те, что у меня , флаги . ^[19] ${\displaystyle I\subseteq V\times {\textbf {B}}.}$

Конкретные типы бинарных отношений

Примеры четырех типов бинарных отношений над действительными числами : один-к-одному (зеленый), один-ко-многим (синий), многие-к-одному (красный), многие-ко-многим (черный). ).

Некоторые важные типы бинарных отношений R над множествами X и Y перечислены ниже.

Свойства уникальности:

• Инъективный (также называемый уникальным слева ): ^[20] для всех и всех , если xRy и zRy , то x = z . Для такого отношения { Y } называется первичным ключом R. ^[2] Например, зеленое и синее бинарные отношения на диаграмме являются инъективными, а красное - нет (поскольку оно относится как к -1, так и к 1), а также черное (поскольку оно относится как к -1, так и к 1). до 0). ${\displaystyle x,z\in X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$
• Одновалентный ^[6] (также называемый уникальным справа , ^[20] правоопределенным ^[21] или функциональным ^[22] ): для всех и всех, если xRy и xRz , то y = z . Такое бинарное отношение называется частичной функцией . Для такого отношения называется первичным ключом R . ^[2] Например, красный и зеленый бинарные отношения на диаграмме являются одновалентными, а синий — нет (поскольку он относится 1 как к −1, так и к 1), а также чёрный (поскольку он связывает 0 как с −1, так и с −1). и 1). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y,z\in Y,}$ ${\displaystyle \{X\}}$
• Один к одному : инъективный и функциональный. Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является взаимно однозначным, а красное, синее и черное — нет.
• Один-ко-многим : инъективный и нефункциональный. Например, синее бинарное отношение на диаграмме является отношением «один ко многим», а красное, зеленое и черное — нет.
• Многие-к-одному : функционально, а не инъективно. Например, красное двоичное отношение на диаграмме является отношением многие-к-одному, а зеленое, синее и черное — нет.
• Многие-ко-многим : не инъективны и не функциональны. Например, черное бинарное отношение на диаграмме является отношением многие-ко-многим, а красное, зеленое и синее — нет.

Свойства совокупности (определяются только в том случае, если указаны домен X и кодомен Y ):

• Тотал (также называемый левым тоталом ): ^[20] для всех x в X существует y в Y такой, что xRy . Другими словами, область определения R равна X . Это свойство отличается от определения связного (также называемогонекоторыми авторами общим ) ^{[ нужна ссылка ]} в разделе «Свойства» . Такое бинарное отношение называется многозначной функцией . Например, красный и зеленый бинарные отношения на диаграмме являются полными, а синий — нет (поскольку он не соотносит −1 с каким-либо действительным числом), а также чёрный (поскольку он не соотносит 2 ни с каким действительным числом). ). Другой пример: > — это тотальное отношение над целыми числами. Но это не тотальное отношение над целыми положительными числами, потому что среди положительных целых чиселнет y такого, что 1 > y . ^[23] Однако < является тотальным отношением к положительным целым числам, рациональным числам и действительным числам. Каждое рефлексивное отношение тотально: для данного x выберите y = x .
• Сюръективный (также называемый тотальным справа ^[20] или on ): для всех y в Y существует x в X такой, что xRy . Другими словами, кодобласть определения R равна Y . Например, зеленое и синее бинарные отношения на диаграмме являются сюръективными, а красное - нет (поскольку оно не связывает ни одно действительное число с -1), ни черное (поскольку оно не связывает ни одно действительное число с 2). ).

Свойства уникальности и целостности (определяются только в том случае, если указаны домен X и кодомен Y ):

• Функция : бинарное отношение , функциональное и тотальное. Например, красные и зеленые бинарные отношения на диаграмме являются функциями, а синие и черные — нет.
• Инъекция : функция, которая является инъективной . Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является инъекцией, а красное, синее и черное — нет.
• Сюръекция : функция, которая является сюръективной . Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является сюръекцией, а красное, синее и черное — нет.
• Биекция : функция, которая является инъективной и сюръективной . Например, зеленое бинарное отношение на диаграмме является биекцией, а красное, синее и черное — нет.

Если отношения над соответствующими классами разрешены:

• Подобно множеству (или локально ): для всех x в X класс всех y в Y таких, что yRx , т. е . является набором. Например, отношение является множественным, и каждое отношение на двух множествах является множественным. ^[24] Обычное упорядочение < по классу порядковых чисел является отношением, подобным множеству, а обратное ему > - нет. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \{y\in Y:yRx\}}$ ${\displaystyle \in }$

Наборы против классов

Определенные математические «отношения», такие как «равно», «подмножество» и «член», нельзя понимать как бинарные отношения, определенные выше, поскольку их области определения и кодомены не могут рассматриваться как множества в обычных системах. аксиоматической теории множеств . Например, чтобы смоделировать общую концепцию «равенства» как бинарного отношения, возьмите домен и кодомен как «класс всех множеств», который не является множеством в обычной теории множеств. ${\displaystyle \,=,}$

В большинстве математических контекстов ссылки на отношения равенства, членства и подмножества безвредны, поскольку их можно неявно понимать как ограниченные некоторым множеством в контексте. Обычный способ решения этой проблемы — выбрать «достаточно большой» набор A , содержащий все интересующие объекты, и работать с ограничением = _A вместо =. Аналогичным образом, отношение «подмножество» должно быть ограничено наличием домена и кодомена P( A ) (множества мощности конкретного набора A ): результирующее отношение множества может быть обозначено как Кроме того, отношение «член» должно быть быть ограничено наличием домена A и кодомена P( A ), чтобы получить бинарное отношение , которое является множеством. Бертран Рассел показал, что предположение о том, что оно определено для всех множеств, приводит к противоречию в наивной теории множеств , см. Парадокс Рассела . ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq _{A}.\,}$ ${\displaystyle \,\in _{A}\,}$ ${\displaystyle \,\in \,}$

Другое решение этой проблемы — использовать теорию множеств с соответствующими классами, такую ​​как NBG или теория множеств Морса-Келли , и позволить домену и кодомену (и, следовательно, графу) быть правильными классами : в такой теории равенство, членство , и subset — это бинарные отношения без специальных комментариев. (Необходимо внести небольшую модификацию в концепцию упорядоченной тройки ( X , Y , G ) , поскольку обычно правильный класс не может быть членом упорядоченного кортежа; или, конечно, можно идентифицировать бинарное отношение с его графиком в ^[25] С помощью этого определения можно, например, определить бинарное отношение для каждого набора и его набора степеней.

Гомогенное отношение

Однородное отношение над множеством X — это бинарное отношение над X и самим собой, т. е. оно является подмножеством декартова произведения ^{[15] [26] [27]} Его также просто называют (бинарным) отношением над X . ${\displaystyle X\times X.}$

Однородное отношение R над множеством X можно отождествить с ориентированным простым графом, допускающим циклы , где X — множество вершин, а R — множество ребер (ребро от вершины x до вершины y существует тогда и только тогда, когда xRy ) . Множество всех однородных отношений над множеством X — это степенное множество , которое представляет собой булеву алгебру , дополненную инволюцией отображения отношения в обратное ему отношение . Рассматривая композицию отношений как бинарную операцию над , она образует полугруппу с инволюцией . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ ${\displaystyle 2^{X\times X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$

Некоторые важные свойства, которыми может обладать однородное отношение R над множеством X :

• Рефлексивный : для всех xRx . Например,является рефлексивным отношением, а > нет. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Иррефлексивно : для всехне xRx . Например,является иррефлексивным отношением, нотаковым не является. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Симметрично : для всехесли xRy , то yRx . Например, «кровный родственник» является симметричным отношением. ${\displaystyle x,y\in X,}$
• Антисимметричное : для всех, если xRy и yRx , тоНапример,это антисимметричное отношение. ^[28] ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Асимметричный : для всехесли xRy , то не yRx . Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно. ^[29] Например, > является асимметричным отношением, ноэто не так. ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Транзитивно : для всехесли xRy и yRz , то xRz . Транзитивное отношение иррефлексивно тогда и только тогда, когда оно асимметрично. ^[30] Например, «является предком» является транзитивным отношением, а «является родителем» — нет. ${\displaystyle x,y,z\in X,}$
• Подключено : для всехifthen xRy или yRx . ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x\neq y}$
• Сильно связан : для всех xRy или yRx . ${\displaystyle x,y\in X,}$
• Плотный : для всех, еслитогдасуществует такой, чтои. ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle xRz}$ ${\displaystyle zRy}$

Частичный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным. Строгий частичный порядок — это отношение, которое является иррефлексивным, асимметричным и транзитивным. Тотальный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связным. ^[31] Строгий тотальный порядок — это отношение, которое является иррефлексивным, асимметричным, транзитивным и связным. Отношение эквивалентности — это отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Например, « x делит y » — частичный, но не полный порядок натуральных чисел, « x < y » — строгий полный порядок , а « x параллелен y » — отношение эквивалентности на множестве всех строк в Евклидова плоскость . ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$

Все операции, определенные в разделе § Операции, также применимы к однородным отношениям. Помимо этого, однородное отношение над множеством X может подвергаться таким операциям замыкания, как:

Рефлексивное закрытие

наименьшее рефлексивное отношение над X , содержащее R ,

Транзитивное замыкание

наименьшее транзитивное отношение над X , содержащее R ,

Замыкание эквивалентности

наименьшее отношение эквивалентности над X , содержащее R.

Гетерогенное отношение

В математике гетерогенное отношение — это бинарное отношение, подмножество декартова произведения , где A и B , возможно, являются различными множествами. ^[32] Приставка гетеро происходит от греческого ἕτερος ( гетерос , «другой, другой, другой»). ${\displaystyle A\times B,}$

Неоднородное отношение было названо прямоугольным отношением ^[15] , что предполагает, что оно не обладает квадратной симметрией однородного отношения на множестве, где, комментируя развитие бинарных отношений за пределами однородных отношений, исследователи писали: «... развился вариант теории, который с самого начала рассматривает отношения как гетерогенные или прямоугольные , то есть как отношения, в которых в обычном случае они являются отношениями между различными множествами». ^[33] ${\displaystyle A=B.}$

Исчисление отношений

Развитие алгебраической логики облегчило использование бинарных отношений. Исчисление отношений включает алгебру множеств , расширенную за счет композиции отношений и использования обратных отношений . Включение, означающее, что aRb влечет aSb , устанавливает сцену в решетке отношений. Но так как символ включения лишний. Тем не менее, композиция отношений и манипулирование операторами в соответствии с правилами Шредера обеспечивают исчисление для работы в степенном наборе ${\displaystyle R\subseteq S,}$ ${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$ ${\displaystyle A\times B.}$

В отличие от однородных отношений, операция композиции отношений представляет собой лишь частичную функцию . Необходимость сопоставления диапазона и области определения составных отношений привела к предположению, что изучение гетерогенных отношений представляет собой главу теории категорий , как и категория множеств , за исключением того, что морфизмы этой категории являются отношениями. Объекты категории Rel являются множествами, а морфизмы отношений составляются по мере необходимости в категории . ^{[ нужна цитата ]}

Индуцированная решетка понятий

Бинарные отношения описывались через их индуцированные решетки понятий : Понятие C ⊂ R удовлетворяет двум свойствам: (1) Логическая матрица C является внешним произведением логических векторов.

${\displaystyle C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j},\quad u,v}$логические векторы. ^{[ необходимо разъяснение ]} (2) C является максимальным и не содержится ни в каком другом внешнем продукте. Таким образом, C описывается как нерасширяемый прямоугольник.

Для данного отношения набор понятий, расширенный за счет их соединений и встреч, образует «индуцированную решетку понятий», причем включение образует предварительный порядок . ${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$

Теорема МакНила о пополнении (1937) (о том, что любой частичный порядок может быть вложен в полную решетку ) цитируется в обзорной статье 2013 года «Разложение отношений на решетках понятий». ^[34] Разложение

${\displaystyle R\ =\ f\ E\ g^{\textsf {T}},}$где f и g — функции , называемые в этом контексте отображениями или левыми однолистными отношениями. «Индуцированная решетка понятий изоморфна разрезу пополнения частичного порядка E , который принадлежит минимальному разложению ( f, g, E ) отношения R ».

Ниже рассматриваются частные случаи: общий порядок E соответствует типу Феррера, а тождество E соответствует дифункционалу, обобщению отношения эквивалентности на множестве.

Отношения могут быть ранжированы по рангу Шейна , который подсчитывает количество понятий, необходимых для покрытия отношения. ^[35] Структурный анализ отношений с понятиями обеспечивает подход к интеллектуальному анализу данных . ^[36]

Особые отношения

• Предложение : Если R — серийное отношение , а RT ^— его транспонирование, то где I — тождественное отношение m × m . ${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$
• Предложение : Если R — сюръективное отношение , то где I — тождественное отношение. ${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Дифункциональный

Идея дифункционального отношения заключается в разделении объектов путем различения атрибутов, что является обобщением концепции отношения эквивалентности . Один из способов сделать это – использовать промежуточный набор индикаторов . Отношение разделения — это композиция отношений с использованием однолистных отношений. Жак Риге назвал эти отношения дифункциональными, поскольку композиция FG ^T включает в себя однолистные отношения, обычно называемые частичными функциями . ${\displaystyle Z=\{x,y,z,\ldots \}}$ ${\displaystyle R=FG^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle F\subseteq A\times Z{\text{ and }}G\subseteq B\times Z.}$

В 1950 г. Риге показал, что такие соотношения удовлетворяют включению: ^[37]

$${\displaystyle R\ R^{\textsf {T}}\ R\ \subseteq \ R}$$

В теории автоматов термин «прямоугольное отношение» также использовался для обозначения дифункционального отношения. Эта терминология напоминает тот факт, что при представлении в виде логической матрицы столбцы и строки дифункционального отношения могут быть организованы как блочная матрица с прямоугольными блоками единиц на (асимметричной) главной диагонали. ^[38] Более формально, отношение R on является дифункциональным тогда и только тогда, когда его можно записать как объединение декартовых произведений , где они являются разбиением подмножества X и, аналогично, разбиением подмножества Y . ^[39] ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle A_{i}\times B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Используя обозначение { y : xRy } = xR , дифункциональное отношение также можно охарактеризовать как отношение R такое, что везде, где x ₁ R и x ₂ R имеют непустое пересечение, эти два множества совпадают; формально подразумевает ^[40] ${\displaystyle x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x_{1}R=x_{2}R.}$

В 1997 году исследователи обнаружили «полезность двоичной декомпозиции, основанной на дифункциональных зависимостях, при управлении базами данных ». ^[41] Более того, дифункциональные отношения имеют фундаментальное значение при изучении бисимуляций . ^[42]

В контексте однородных отношений отношение частичной эквивалентности является дифункциональным.

Тип Феррера

Строгий порядок на множестве — однородное отношение, возникающее в теории порядка . В 1951 году Жак Риге принял упорядочение разбиения целого числа, названное диаграммой Феррера , чтобы распространить упорядочение на бинарные отношения в целом. ^[43]

Соответствующая логическая матрица общего бинарного отношения имеет строки, заканчивающиеся последовательностью единиц. Таким образом, точки диаграммы Феррера заменяются единицами и выравниваются справа в матрице.

Алгебраическое утверждение, необходимое для отношения типа Феррерса R, таково:

$${\displaystyle R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R\subseteq R.}$$

Если какое-либо из отношений относится к типу Феррера, то все они таковые.^[32] ${\displaystyle R,\ {\bar {R}},\ R^{\textsf {T}}}$

Контакт

Предположим, что B — это набор степеней A , набор всех подмножеств A. Тогда отношение g является контактным отношением , если оно удовлетворяет трем свойствам:

1. ${\displaystyle {\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.}$
2. ${\displaystyle Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$
3. ${\displaystyle {\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$

Отношение принадлежности множества , ε = «является элементом», удовлетворяет этим свойствам, поэтому ε является контактным отношением. Понятие общего контактного отношения было введено Георгом Ауманном в 1970 году. ^{[44] [45]}

С точки зрения исчисления отношений, к достаточным условиям контактного отношения относятся:

$${\displaystyle C^{\textsf {T}}{\bar {C}}\ \subseteq \ \ni {\bar {C}}\ \ \equiv \ C\ {\overline {\ni {\bar {C}}}}\ \subseteq \ C,}$$

∈^{[46] : 280} ${\displaystyle \ni }$

Предзаказ Р\Р

Каждое отношение R порождает предварительный порядок , который является левым остатком . ^[47] С точки зрения обратного и дополнения, образуя диагональ , соответствующая строка и столбец будут иметь противоположные логические значения, поэтому диагональ - все нули. Затем ${\displaystyle R\backslash R}$ ${\displaystyle R\backslash R\ \equiv \ {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$ ${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$ ${\displaystyle R^{\text{T}}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\ \implies \ I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}\ =\ R\backslash R,}$так что это рефлексивное отношение . ${\displaystyle R\backslash R}$

Чтобы показать транзитивность , необходимо, чтобы Вспомнить, что это самое большое отношение такое, что Тогда ${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$ ${\displaystyle X=R\backslash R}$ ${\displaystyle RX\subseteq R.}$

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(повторить)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(правило Шредера)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(дополнение)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(определение)

Отношение включения Ω на множестве степеней U можно получить таким образом из отношения принадлежности на подмножествах U : ${\displaystyle \,\in \,}$

${\displaystyle \Omega \ =\ {\overline {\ni {\bar {\in }}}}\ =\ \in \backslash \in .}$^{[46] : 283}

Граница отношений

Для данного отношения R подотношение, называемое его границей , определяется как

$${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.}$$

Когда R является отношением частичной идентичности, дифункциональным или блочно-диагональным отношением, тогда fringe( R ) = R . В противном случае оператор границы выбирает граничное подотношение, описанное в терминах его логической матрицы: fringe( R ) — это боковая диагональ, если R — верхний правый треугольный линейный порядок или строгий порядок . Fringe( R ) является блочной границей, если R иррефлексивно ( ) или верхний правый блочно-треугольный. Fringe( R ) — это последовательность граничных прямоугольников, когда R имеет тип Феррера. ${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$

С другой стороны, Fringe( R ) = ∅, когда R — плотный , линейный, строгий порядок. ^[46]

Математические кучи

Учитывая два множества A и B , набор бинарных отношений между ними может быть снабжен тернарной операцией , где b ^T обозначает обратное отношение b . В 1953 году Виктор Вагнер использовал свойства этой тернарной операции для определения полукучек, куч и обобщенных куч. ^{[48] ​​[49]} Контраст гетерогенных и однородных отношений подчеркивается следующими определениями: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$ ${\displaystyle [a,\ b,\ c]\ =\ ab^{\textsf {T}}c}$

В работах Вагнера существует приятная симметрия между кучами, полукучами и обобщенными кучами, с одной стороны, и группами, полугруппами и обобщенными группами — с другой. По сути, различные типы полукучек появляются всякий раз, когда мы рассматриваем бинарные отношения (и частичные отображения «один-один») между различными множествами A и B , тогда как различные типы полугрупп появляются в случае, когда A = B.

-  Кристофер Холлингс, «Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп» ^[50]

Смотрите также

• Абстрактная система переписывания
• Аддитивное отношение , многозначный гомоморфизм между модулями
• Аллегория (теория категорий)
• Категория отношений , категория, имеющая множества в качестве объектов и бинарные отношения в качестве морфизмов.
• Слияние (переписывание терминов) обсуждает несколько необычных, но фундаментальных свойств бинарных отношений.
• Соответствие (алгебраическая геометрия) — бинарное отношение, определяемое алгебраическими уравнениями.
• Диаграмма Хассе — графическое средство отображения отношения порядка.
• Структура инцидентности , неоднородное отношение между набором точек и линий.
• Логика родственников , теория отношений Чарльза Сандерса Пирса
• Теория порядка исследует свойства отношений порядка.

Примечания

1. Авторы, которые рассматривают бинарные отношения только как частный случай n -арных отношений для произвольного n , обычно пишут Rxy как частный случай Rx ₁ ... x _n ( префиксная запись ). ^[9]

Рекомендации

1. Мейер, Альберт (17 ноября 2021 г.). «MIT 6.042J Математика для информатики, лекция 3T, слайд 2» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 ноября 2021 г.
2. Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970 г.). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF) . Коммуникации АКМ . 13 (6): 377–387. дои : 10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. Архивировано (PDF) из оригинала 8 сентября 2004 г. Проверено 29 апреля 2020 г.
3. «Определение отношения - Math Insight» . mathinsight.org . Проверено 11 декабря 2019 г.
4. Эрнст Шредер (1895) Алгебра и логика относительной, через Интернет-архив
5. CI Lewis (1918) Обзор символической логики, страницы 269–279, через интернет-архив.
6. Гюнтер Шмидт , 2010. Реляционная математика . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-76268-7 , глава. 5 
7. Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра II (2-е изд.) § 2.1.
8. Эндертон 1977, глава 3. стр. 40
9. Ганс Гермес (1973). Введение в математическую логику . Hochschultext (Springer-Verlag). Лондон: Спрингер. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657.Раздел II.§1.1.4
10. Суппес, Патрик (1972) [первоначально опубликовано компанией Д. ван Ностранд в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дувр. ISBN 0-486-61630-4.
11. Смуллян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [переработанное и исправленное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1996 году издательством Oxford University Press, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума . Дувр. ISBN 978-0-486-47484-7.
12. Леви, Азриэль (2002) [переиздание работы, опубликованной Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк в 1979 году]. Базовая теория множеств . Дувр. ISBN 0-486-42079-5.
13. Шмидт, Гюнтер ; Стрёлейн, Томас (2012). Отношения и графики: дискретная математика для компьютерных специалистов. Springer Science & Business Media. Определение 4.1.1. ISBN 978-3-642-77968-8.
14. Христодулос А. Флудас ; Панос М. Пардалос (2008). Энциклопедия оптимизации (2-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 299–300. ISBN 978-0-387-74758-3.
15. Майкл Винтер (2007). Категории Гогена: Категорический подход к L-нечетким отношениям . Спрингер. стр. x – xi. ISBN 978-1-4020-6164-6.
16. Джон К. Баэз (6 ноября 2001 г.). «Квантовая механика на коммутативной установке». Группа новостей : sci.physical.research. Usenet:  [email protected] . Проверено 25 ноября 2018 г.
17. Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1, стр. 7-10.
18. Относительная одновременность в Wikibooks
19. Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986). Теория дизайна . Издательство Кембриджского университета . п. 15.. 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3 
20. Килп, Кнауэр и Михалев: с. 3. Те же четыре определения встречаются ниже:
    • Питер Дж. Пал; Рудольф Дамрат (2001). Математические основы вычислительной техники: Справочник . Springer Science & Business Media. п. 506. ИСБН 978-3-540-67995-0.
    • Эйке Бест (1996). Семантика последовательных и параллельных программ . Прентис Холл. стр. 19–21. ISBN 978-0-13-460643-9.
    • Роберт-Кристоф Риман (1999). Моделирование параллельных систем: структурные и семантические методы в исчислении сетей Петри высокого уровня . Герберт Утц Верлаг. стр. 21–22. ISBN 978-3-89675-629-9.
21. Мэс, Стефан (2007), «Рассуждения об ограничениях пространственной семантической целостности», Теория пространственной информации: 8-я Международная конференция, COSIT 2007, Мельбурн, Австралия, 19–23 сентября 2007 г., Труды , Конспекты лекций по информатике, том. 4736, Springer, стр. 285–302, номер документа : 10.1007/978-3-540-74788-8_18.
22. А. Сенгупта (2003). «К теории хаоса». Международный журнал бифуркации и хаоса . 13 (11): 3147–3233. дои : 10.1142/S021812740300851X.
23. Яо, ГГ; Вонг, СКМ (1995). «Обобщение грубых наборов с использованием связей между значениями атрибутов» (PDF) . Материалы 2-й ежегодной совместной конференции по информационным наукам : 30–33..
24. Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Северная Голландия. п. 102. ИСБН 0-444-85401-0. Збл  0443.03021.
25. Тарский, Альфред ; Гивант, Стивен (1987). Формализация теории множеств без переменных. Американское математическое общество. п. 3. ISBN 0-8218-1041-3.
26. М. Е. Мюллер (2012). Открытие реляционных знаний . Издательство Кембриджского университета. п. 22. ISBN 978-0-521-19021-3.
27. Питер Дж. Пал; Рудольф Дамрат (2001). Математические основы вычислительной техники: Справочник . Springer Science & Business Media. п. 496. ИСБН 978-3-540-67995-0.
28. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006), Переход к высшей математике (6-е изд.), Брукс/Коул, стр. 160, ISBN 0-534-39900-2
29. Нивергельт, Ив (2002), Основы логики и математики: приложения к информатике и криптографии , Springer-Verlag, p. 158.
30. Флашка, В.; Ежек, Дж.; Кепка, Т.; Кортелайнен, Дж. (2007). Транзитивные замыкания бинарных отношений I (PDF) . Прага: Школа математики – Физика Карлова университета. п. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 2 ноября 2013 г.Лемма 1.1 (iv). Этот источник называет асимметричные отношения «строго антисимметричными».
31. Джозеф Г. Розенштейн, Линейные порядки , Academic Press, 1982, ISBN 0-12-597680-1 , стр. 4 
32. Шмидт, Гюнтер ; Стрёлейн, Томас (2012). Отношения и графики: дискретная математика для компьютерных специалистов. Springer Science & Business Media. п. 77. ИСБН 978-3-642-77968-8.
33. Г. Шмидт, Клаудия Хальтенспергер и Майкл Винтер (1997) «Алгебра гетерогенных отношений», глава 3 (страницы с 37 по 53) в « Реляционных методах в информатике» , «Достижения в области компьютерных наук», книги Springer ISBN 3-211-82971-7 
34. Р. Бергхаммер и М. Винтер (2013) «Декомпозиция отношений по решеткам понятий», Fundamenta Informaticae 126 (1): 37–82 doi : 10.3233/FI-2013-871
35. Ки Ханг Ким (1982) Теория и приложения булевых матриц , страница 37, ISBN Марселя Деккера 0-8247-1788-0 
36. Али Джауа, Рехаб Дувайри, Самир Эллуми и Садок Бен Яхия (2009) «Интеллектуальный анализ данных, рассуждения и дополнительный поиск информации посредством нерасширяемого покрытия прямоугольных отношений», страницы 199–210 в разделе «Отношения и алгебры Клини в информатике» , конспекты лекций в Информатика 5827, Springer MR 2781235
37. Риге, Жак (январь 1950 г.). «Quelques proprietes deslations difonctionelles». Comptes rendus (на французском языке). 230 : 1999–2000.
38. Julius Richard Büchi (1989). Finite Automata, Their Algebras and Grammars: Towards a Theory of Formal Expressions. Springer Science & Business Media. pp. 35–37. ISBN 978-1-4613-8853-1.
39. East, James; Vernitski, Alexei (February 2018). "Ranks of ideals in inverse semigroups of difunctional binary relations". Semigroup Forum. 96 (1): 21–30. arXiv:1612.04935. doi:10.1007/s00233-017-9846-9. S2CID 54527913.
40. Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relational Methods in Computer Science. Springer Science & Business Media. p. 200. ISBN 978-3-211-82971-4.
41. Ali Jaoua, Nadin Belkhiter, Habib Ounalli, and Theodore Moukam (1997) "Databases", pages 197–210 in Relational Methods in Computer Science, edited by Chris Brink, Wolfram Kahl, and Gunther Schmidt, Springer Science & Business Media ISBN 978-3-211-82971-4
42. Gumm, H. P.; Zarrad, M. (2014). "Coalgebraic Simulations and Congruences". Coalgebraic Methods in Computer Science. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 8446. p. 118. doi:10.1007/978-3-662-44124-4_7. ISBN 978-3-662-44123-7.
43. J. Riguet (1951) "Les relations de Ferrers", Comptes Rendus 232: 1729,30
44. Georg Aumann (1971). "Kontakt-Relationen". Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften München. 1970 (II): 67–77.
45. Anne K. Steiner (1970) Review:Kontakt-Relationen from Mathematical Reviews
46. Gunther Schmidt (2011) Relational Mathematics, pages 211−15, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7
47. In this context, the symbol ${\displaystyle \,\backslash \,}$ does not mean "set difference".
48. Viktor Wagner (1953) "The theory of generalised heaps and generalised groups", Matematicheskii Sbornik 32(74): 545 to 632 MR0059267
49. C.D. Hollings & M.V. Lawson (2017) Wagner's Theory of Generalised Heaps, Springer books ISBN 978-3-319-63620-7 MR3729305
50. Кристофер Холлингс (2014) Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , страница 265, История математики 41, ISBN Американского математического общества 978-1-4704-1493-1 

Библиография

• Шмидт, Гюнтер ; Стрёляйн, Томас (2012). «Глава 3: Гетерогенные отношения». Отношения и графы: дискретная математика для компьютерщиков . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-77968-8.
• Эрнст Шредер (1895) Algebra der Logik, Band III, через Интернет-архив
• Кодд, Эдгар Франк (1990). Реляционная модель управления базами данных: версия 2 (PDF) . Бостон: Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0201141924. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Бостон: Академическая пресса . ISBN 978-0-12-238440-0.
• Килп, Мати; Кнауэр, Ульрих; Михалев, Александр (2000). Моноиды, акты и категории: с приложениями к сплетенным произведениям и графам . Берлин: Де Грюйтер . ISBN 978-3-11-015248-7.
• Пирс, Чарльз Сандерс (1873). «Описание обозначений логики родственников, возникающее в результате расширения концепций логического исчисления Буля». Мемуары Американской академии искусств и наук . 9 (2): 317–178. Бибкод : 1873MAAAS...9..317P. дои : 10.2307/25058006. hdl : 2027/hvd.32044019561034 . JSTOR  25058006 . Проверено 5 мая 2020 г.
• Шмидт, Гюнтер (2010). Реляционная математика. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-76268-7.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с бинарными отношениями, на Викискладе?
• «Бинарное отношение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]