stringtranslate.com

Сегмент линии

Геометрическое определение замкнутого отрезка прямой: пересечение всех точек, расположенных в точке А или справа от нее, со всеми точками, расположенными в точке В или слева от нее.
историческое изображение – создайте отрезок линии (1699)

В геометрии отрезок прямой — это часть прямой линии , ограниченная двумя различными конечными точками и содержащая каждую точку на прямой, которая находится между ее конечными точками. Это особый случай дуги с нулевой кривизной . Длина отрезка прямой задается евклидовым расстоянием между его конечными точками. Замкнутый отрезок прямой включает обе конечные точки, в то время как открытый отрезок прямой исключает обе конечные точки; полуоткрытый отрезок прямой включает ровно одну из конечных точек. В геометрии отрезок прямой часто обозначается с помощью верхней черты ( винкулума ) над символами двух конечных точек, например, AB . [1]

Примерами отрезков являются стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки отрезка являются вершинами многоугольника или многогранника , отрезок является либо ребром ( этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, окружности ), отрезок называется хордой (этой кривой).

В действительных или комплексных векторных пространствах

Если Vвекторное пространство над ⁠ ⁠ или ⁠ ⁠ и Lподмножество V , то L является отрезком прямой , если L можно параметризовать как

для некоторых векторов , где v не равно нулю. Конечными точками L тогда являются векторы u и u + v .

Иногда необходимо различать «открытые» и «закрытые» сегменты линии. В этом случае можно определить закрытый сегмент линии , как указано выше, а открытый сегмент линии — как подмножество L , которое можно параметризовать как

для некоторых векторов

Эквивалентно, отрезок прямой — это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок прямой может быть выражен как выпуклая комбинация двух конечных точек отрезка.

В геометрии можно определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C , если расстояние | AB |, добавленное к расстоянию | BC |, равно расстоянию | AC | . Таким образом, в ⁠ ⁠ отрезок прямой с конечными точками и представляет собой следующий набор точек:

Характеристики

В доказательствах

В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается удовлетворяющим определенному числу аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, в выпуклом множестве отрезок, соединяющий любые две точки множества, содержится в множестве. Это важно, поскольку это преобразует часть анализа выпуклых множеств в анализ отрезка прямой. Постулат сложения сегментов можно использовать для сложения конгруэнтного сегмента или сегментов с одинаковой длиной и, следовательно, подставлять другие сегменты в другое утверждение, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.

Как вырожденный эллипс

Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса , в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы стремятся к конечным точкам, а эксцентриситет стремится к единице. Стандартное определение эллипса — это множество точек, для которых сумма расстояний точки до двух фокусов является константой; если эта константа равна расстоянию между фокусами, то результатом является отрезок прямой. Полная орбита этого эллипса пересекает отрезок прямой дважды. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .

В других геометрических формах

Помимо того, что отрезки линий появляются в виде рёбер и диагоналей многоугольников и многогранников , они также появляются во многих других местах относительно других геометрических фигур .

Треугольники

Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольнике включают три высоты (каждая перпендикулярно соединяющая сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая соединяющая середину стороны с противоположной вершиной), перпендикулярные серединные линии сторон (перпендикулярно соединяющие середину стороны с одной из других сторон) и внутренние биссектрисы углов (каждая соединяющая вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства, связывающие эти длины сегментов с другими (обсуждаемые в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства .

Другие представляющие интерес сегменты треугольника включают те, которые соединяют различные центры треугольника друг с другом, в частности , центр вписанной окружности , центр описанной окружности , центр девяти точек , центроид и ортоцентр .

Четырехугольники

Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , важными сегментами являются две бимедианы (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре малтиды (каждая перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).

Круги и эллипсы

Любой отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности или эллипсе, называется хордой . Любая хорда в окружности, которая больше не имеет хорды, называется диаметром , а любой отрезок, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .

В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а отрезок от середины большой оси (центра эллипса) до любой из конечных точек большой оси называется большой полуосью . Аналогично, самый короткий диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его середины (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды ​​эллипса, которые перпендикулярны большой оси и проходят через один из его фокусов , называются боковыми прямыми эллипса. Межфокальный отрезок соединяет два фокуса.

Направленный отрезок прямой

Когда сегменту линии придается ориентация ( направление ), он называется направленным сегментом линии или ориентированным сегментом линии . Это предполагает перемещение или смещение (возможно, вызванное силой ). Величина и направление указывают на потенциальное изменение. Расширение направленного сегмента линии до полубесконечности дает направленную полупрямую , а до бесконечности в обоих направлениях дает направленную линию . Это предложение было принято в математической физике через концепцию евклидова вектора . [2] [3] Набор всех направленных сегментов линии обычно сокращается путем того, что любая пара, имеющая одинаковую длину и ориентацию, становится равнозначной . [4] Это применение отношения эквивалентности было введено Джусто Беллавитисом в 1835 году.

Обобщения

По аналогии с прямолинейными сегментами, описанными выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .

В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой.

Ориентированный плоский отрезок или бивектор обобщает направленный отрезок прямой.

За пределами евклидовой геометрии геодезические отрезки играют роль отрезков прямых.

Типы отрезков линии

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Определение отрезка прямой - Math Open Reference". www.mathopenref.com . Получено 01.09.2020 .
  2. ^ Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ , 5-е издание, стр. 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5 
  3. ^ Матиур Рахман и Исаак Мулолани (2001) Прикладной векторный анализ , страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1 
  4. ^ Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ , страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7 

Ссылки

Внешние ссылки

В данной статье использованы материалы из Line segment на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .