Эргодичность

Свойство равномерного заполнения пространства.

В математике эргодичность выражает идею о том, что точка движущейся системы, будь то динамическая система или случайный процесс , в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, в равномерном и случайном смысле . Это означает, что среднее поведение системы можно вывести из траектории «типичной» точки. Аналогичным образом, достаточно большая коллекция случайных выборок процесса может представлять собой средние статистические свойства всего процесса. Эргодичность — свойство системы; это утверждение о том, что систему нельзя сократить или разложить на более мелкие компоненты. Эргодическая теория — это изучение систем, обладающих эргодичностью.

Эргодические системы встречаются в широком диапазоне систем в физике и геометрии . Грубо говоря, это можно объяснить общим явлением: движение частиц, то есть геодезические на гиперболическом многообразии, расходятся; когда это многообразие компактно , то есть имеет конечный размер, эти орбиты возвращаются в одну и ту же общую область , в конечном итоге заполняя все пространство.

Эргодические системы отражают общепринятые, повседневные представления о случайности, например, что дым может заполнить всю задымленную комнату, или что металлический блок может в конечном итоге иметь одинаковую температуру повсюду, или что перевороты честная монета в половине случаев может выпасть орелом и решкой. Более сильная концепция, чем эргодичность, — это концепция смешивания , целью которой является математическое описание общепринятых понятий смешивания, таких как смешивание напитков или смешивание ингредиентов для приготовления пищи.

Правильная математическая формулировка эргодичности основана на формальных определениях теории меры и динамических систем , а точнее, на понятии сохраняющей меру динамической системы . Истоки эргодичности лежат в статистической физике , где Людвиг Больцман сформулировал эргодическую гипотезу .

Неофициальное объяснение

Эргодичность встречается в широком контексте физики и математики . Все эти параметры объединены общим математическим описанием динамической системы, сохраняющей меру . Эквивалентно, эргодичность можно понимать в терминах случайных процессов . Это одно и то же, несмотря на совершенно разные обозначения и язык.

Динамические системы, сохраняющие меру

Математическое определение эргодичности направлено на то, чтобы отразить обычные повседневные представления о случайности . Сюда входят идеи о системах, которые движутся таким образом, что (в конечном итоге) заполняют все пространство, такие как диффузия и броуновское движение , а также общепринятые представления о смешивании, такие как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, промышленных процесс смешивания , дым в задымленном помещении, пыль в кольцах Сатурна и так далее. Чтобы обеспечить прочную математическую основу, описания эргодических систем начинаются с определения динамической системы, сохраняющей меру . Это написано как ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$

Под множеством понимается все заполняемое пространство: чаша для смешивания, задымленная комната и т. д. Под мерой понимается естественный объем пространства и его подпространств. Совокупность подпространств обозначается , а размер любого заданного подмножества равен ; размер - это его объем. Наивно можно было бы представить, что это набор мощности ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (известный парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно оно состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения открытых множеств; их всегда можно считать измеримыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эволюция системы во времени описывается картой . Учитывая некоторое подмножество , его карта в целом будет деформированной версией — она сплющена или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , вдохновленные выпечкой хлеба . Набор должен иметь тот же объем, что и ; сжатие/растяжение не меняет объём пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Формальная трудность возникает при попытке совместить объем множеств с необходимостью сохранения их размеров под картой. Проблема возникает потому, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, отдельная точка не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением ; он сопоставит любое заданное подмножество с частями, которые были собраны для его создания: эти части — . У него есть важное свойство: он не теряет следа того, откуда что взялось. Более того, оно обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является инверсией некоторого отображения . Правильное определение карты, сохраняющей объем, — это определение, в котором описываются все возникшие части-части . ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Теперь интересно изучить эволюцию системы во времени. Если набор в конечном итоге заполняет все в течение длительного периода времени (то есть если приближается ко всему для больших ), система называется эргодической . Если каждое множество ведет себя таким образом, система является консервативной системой , противопоставленной диссипативной системе , в которой некоторые подмножества уходят прочь и к ним никогда не возвращаются. Примером может служить вода, текущая вниз по склону: однажды утекшая, она никогда больше не поднимется вверх. Однако озеро, образующееся на дне этой реки, может стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что любую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T^{n}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя множествами , а не только между некоторым множеством и . То есть, учитывая любые два набора , система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число такое, что для всех и одно имеет это . Здесь обозначает пересечение множеств , а – пустое множество . Другие понятия смешивания включают сильное и слабое смешивание, которые описывают представление о том, что смешанные вещества смешиваются повсюду в равных пропорциях. Это может быть нетривиально, как показывает практический опыт смешивания липких, клейких веществ. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Эргодические процессы

Вышеприведенное обсуждение апеллирует к физическому смыслу объема. Объем не обязательно должен быть буквально частью трехмерного пространства ; это может быть какой-то абстрактный том. Обычно это имеет место в статистических системах, где объем (мера) определяется вероятностью. Общий объем соответствует вероятности один. Это соответствие работает, потому что аксиомы теории вероятностей идентичны аксиомам теории меры ; это аксиомы Колмогорова . ^[1]

Идея тома может быть очень абстрактной. Рассмотрим, например, набор всех возможных подбрасываний монеты: набор бесконечных последовательностей орлов и решек. Приписав этому пространству объем 1, становится ясно, что половина всех таких последовательностей начинается с орла, а половина — с решки. Можно разрезать этот том и другими способами: можно сказать: «Меня не волнуют первые подбрасывания монеты; но я хочу, чтобы '-я из них была решкой», и тогда меня не волнует, что будет после этого. ". Это можно записать как набор, где «все равно» и «головы». Объем этого пространства снова равен половине. ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle h}$

Вышеизложенного достаточно, чтобы построить динамическую систему, сохраняющую меру, в целом. Наборы или, встречающиеся на '-м месте, называются множествами цилиндров . Тогда множество всех возможных пересечений, объединений и дополнений множеств цилиндров образует множество Бореля, определенное выше. Формально, наборы цилиндров образуют основу топологии пространства всех возможных подбрасываний монеты бесконечной длины . Эта мера обладает всеми свойствами здравого смысла, на которые можно было бы надеяться: мера цилиндра, установленного с в '-й позиции и в '-й позиции, очевидно, равна 1/4 и так далее. Эти свойства здравого смысла сохраняются для множеств-дополнений и множеств-объединений: все, кроме и в местах, и, очевидно, имеет объем 3/4. Все вместе они образуют аксиомы сигма -аддитивной меры ; Динамические системы, сохраняющие меру, всегда используют сигма-аддитивные меры. Для подбрасывания монеты эта мера называется мерой Бернулли . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Для процесса подбрасывания монеты оператором эволюции во времени является оператор сдвига , который говорит: «Выбросьте первую монету, а остальное сохраните». Формально, если – последовательность подбрасываний монеты, то . Очевидно, что эта мера инвариантна к сдвигу: пока мы говорим о некотором множестве , в котором первое подбрасывание монеты является значением «все равно», то объем не меняется: . Чтобы не говорить о первом подбрасывании монеты, его проще определить как вставку значения «все равно» в первую позицию: . Очевидно, что с этим определением это достигается без ограничений на . Это еще раз пример того, почему используется в формальных определениях. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x_{1}=*}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

Приведенная выше разработка берет случайный процесс, процесс Бернулли, и преобразует его в динамическую систему, сохраняющую меру. То же самое преобразование (эквивалентность, изоморфизм) можно применить к любому случайному процессу . Таким образом, неформальное определение эргодичности состоит в том, что последовательность является эргодической, если она посещает все ; такие последовательности «типичны» для процесса. Другой заключается в том, что его статистические свойства могут быть выведены из одной, достаточно длинной, случайной выборки процесса (таким образом, равномерно выбирая все процессы ), или что любой набор случайных выборок из процесса должен представлять средние статистические свойства всего процесса ( то есть выборки, взятые равномерно, являются репрезентативными в целом.) В данном примере последовательность подбрасываний монеты, где половина — орел, а половина — решка, является «типичной» последовательностью. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В отношении процесса Бернулли следует отметить несколько важных моментов. Если записать 0 для решки и 1 для орла, получится набор всех бесконечных строк двоичных цифр. Они соответствуют разложению действительных чисел по основанию два . Явно, учитывая последовательность , соответствующее действительное число есть ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}$

Утверждение об эргодичности процесса Бернулли эквивалентно утверждению о равномерном распределении действительных чисел. Набор всех таких строк можно записать разными способами: Этот набор представляет собой множество Кантора , иногда называемое пространством Кантора , чтобы избежать путаницы с функцией Кантора. ${\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$

В конце концов, это все «одно и то же».

Множество Кантора играет ключевую роль во многих разделах математики. В развлекательной математике он лежит в основе фракталов удвоения периода ; в анализе оно проявляется в огромном разнообразии теорем. Ключевым для случайных процессов является разложение Уолда , которое утверждает, что любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один из которых детерминирован, а другой представляет собой процесс скользящего среднего .

Теорема Орнштейна об изоморфизме утверждает, что каждый стационарный случайный процесс эквивалентен схеме Бернулли (процессу Бернулли с N -сторонним (и, возможно, нечестным) игровым кубиком ). Другие результаты включают в себя то, что каждая недиссипативная эргодическая система эквивалентна марковскому одометру , который иногда называют «суммирующей машиной», поскольку он выглядит как сложение в начальной школе, то есть берется последовательность цифр по основанию N , добавляется одна и перемножается. носить с собой биты. Доказательство эквивалентности очень абстрактно; понимания результата нет: добавляя единицу на каждом временном шаге, мы посещаем все возможные состояния одометра, пока он не перевернется и не запустится снова. Аналогично, эргодические системы равномерно посещают каждое состояние, переходя к следующему, пока не будут посещены все.

Системы, порождающие (бесконечные) последовательности из N букв, изучаются с помощью символической динамики . Важные частные случаи включают подсдвиги конечного типа и софические системы .

История и этимология

Обычно считается, что термин «эргодический» происходит от греческих слов ἔργον ( эргон : «работа») и ὁδός ( ходос : «путь», «путь»), выбранных Людвигом Больцманом , когда он работал над проблемой статистической механики . ^[2] В то же время утверждается, что оно является производным от слова ergomonode , придуманного Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, по-видимому, оспаривается и по другим причинам. ^[3]

Идея эргодичности родилась в области термодинамики , где необходимо было связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа в целом и его эволюцией во времени. Для этого необходимо было сформулировать, что именно означает хорошее смешивание газов друг с другом, чтобы термодинамическое равновесие можно было определить с математической строгостью . Как только теория получила хорошее развитие в физике , она была быстро формализована и расширена, так что эргодическая теория уже давно стала самостоятельной областью математики. В рамках этого прогресса сосуществуют более чем одно слегка отличающееся определение эргодичности и множество интерпретаций этой концепции в разных областях. ^{[ нужна цитата ]}

Например, в классической физике этот термин подразумевает, что система удовлетворяет эргодической гипотезе термодинамики , ^[4] соответствующее пространство состояний является пространством положения и импульса .

В теории динамических систем пространство состояний обычно рассматривается как более общее фазовое пространство . С другой стороны, в теории кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с менее сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднего по времени и среднего по ансамблю также могут нести дополнительный багаж — как и в случае со многими возможными термодинамически значимыми статистическими суммами , используемыми для определения средних по ансамблю в физике. По существу, теоретико-мерная формализация концепции также служит объединяющей дисциплиной. В 1913 году Мишель Планшерель доказал строгую невозможность эргодичности для чисто механической системы. ^[5]

Эргодичность в физике и геометрии

Далее следует обзор эргодичности в физике и геометрии . Во всех случаях понятие эргодичности точно такое же, как и для динамических систем; нет никакой разницы , кроме мировоззрения, обозначений, стиля мышления и журналов, в которых публикуются результаты.

Физические системы можно разделить на три категории: классическая механика , описывающая машины с конечным числом движущихся частей, квантовая механика , описывающая структуру атомов, и статистическая механика , описывающая газы, жидкости, твердые тела; сюда входит физика конденсированного состояния . Они представлены ниже.

В статистической механике

В этом разделе рассматривается эргодичность в статистической механике. Приведенное выше абстрактное определение объема необходимо как подходящая основа для определений эргодичности в физике . Рассмотрим контейнер с жидкостью , газом , плазмой или другим набором атомов или частиц . Каждая частица имеет трехмерное положение и трехмерную скорость и, таким образом, описывается шестью числами: точка в шестимерном пространстве. Если в системе есть такие частицы, для полного описания требуются числа. Любая система — это всего лишь одна точка. Физическая система , конечно, не вся ; если это прямоугольник ширины, высоты и длины, то точка находится в. Скорости не могут быть бесконечными: они масштабируются с помощью некоторой вероятностной меры, например меры Больцмана – Гиббса для газа. Тем не менее, для числа , близкого к числу Авогадро , это, очевидно, очень большое пространство. Это пространство называется каноническим ансамблем . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 6N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}$ ${\displaystyle W\times H\times L}$ ${\displaystyle \left(W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3}\right)^{N}.}$ ${\displaystyle N}$

Физическая система называется эргодической, если какая-либо репрезентативная точка системы в конечном итоге посещает весь объем системы. В приведенном выше примере это означает, что любой данный атом не только посещает каждую часть ящика с одинаковой вероятностью, но и делает это со всеми возможными скоростями, с вероятностью, определяемой распределением Больцмана для этой скорости (то есть, равномерным по отношению к этой скорости). мера). Эргодическая гипотеза утверждает, что физические системы на самом деле эргодичны. Действуют несколько временных масштабов: газы и жидкости кажутся эргодическими в коротких временных масштабах. Эргодичность твердого тела можно рассматривать с точки зрения колебательных мод или фононов , поскольку очевидно, что атомы в твердом теле не меняются местами. Очки бросают вызов эргодической гипотезе; Предполагается, что временные масштабы исчисляются миллионами лет, но результаты спорны. Особые трудности представляют спиновые стекла . ${\displaystyle W\times H\times L}$

Формальные математические доказательства эргодичности в статистической физике найти трудно; большинство многомерных систем многих тел считаются эргодическими без математического доказательства. Исключения включают динамический бильярд , который моделирует столкновения атомов типа бильярдного шара в идеальном газе или плазме. Первая теорема об эргодичности твердых сфер была сформулирована для бильярда Синая , в котором рассматриваются два шара, один из которых считается неподвижным, в начале координат. Когда второй мяч сталкивается, он удаляется; применяя периодические граничные условия, он затем снова возвращается к столкновению. Если обратиться к однородности, то возвращение «второго» шара можно вместо этого принять за «просто какой-то другой атом», который вошел в зону действия и движется, чтобы столкнуться с атомом в начале координат (что можно считать просто «любой другой атом».) Это одно из немногих существующих формальных доказательств; нет эквивалентных утверждений, например, для атомов в жидкости, взаимодействующих посредством сил Ван-дер-Ваальса , даже если было бы разумно полагать, что такие системы эргодичны (и смешиваются). Однако можно привести и более точные физические аргументы.

Простые динамические системы

К формальному изучению эргодичности можно подойти, рассматривая довольно простые динамические системы. Некоторые из основных из них перечислены здесь.

Иррациональное вращение круга эргодично: орбита точки такова, что в конечном итоге посещаются все остальные точки круга. Такие вращения являются частным случаем карты обмена интервалами . Бета -разложения числа эргодичны: бета-разложения действительного числа выполняются не по основанию- N , а по основанию- для некоторых. Отраженная версия бета-разложения - это палаточная карта ; существует множество других эргодических отображений единичного интервала. Переходя к двум измерениям, арифметический бильярд с иррациональными углами является эргодическим. Можно также взять плоский прямоугольник, раздавить его, разрезать и собрать заново; это уже упомянутая карта пекаря . Его точки можно описать набором бибесконечных строк из двух букв, то есть простирающихся как влево, так и вправо; как таковой он выглядит как две копии процесса Бернулли. Если во время раздавливания кто-то деформируется вбок, получается карта кошки Арнольда . Во многом карта кошки является прототипом любой другой подобной трансформации. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta .}$

В классической механике и геометрии

Эргодичность — широко распространенное явление при изучении симплектических и римановых многообразий . Симплектические многообразия обеспечивают обобщенную основу классической механики , где движение механической системы описывается геодезической . Римановы многообразия представляют собой особый случай: кокасательное расслоение риманова многообразия всегда является симплектическим многообразием. В частности, геодезические на римановом многообразии задаются решением уравнений Гамильтона–Якоби .

Геодезический поток плоского тора, следующий в любом иррациональном направлении, эргодичен; неофициально это означает, что при рисовании прямой линии в квадрате, начинающейся в любой точке и под иррациональным углом по отношению к сторонам, если каждый раз, когда мы встречаем сторону, мы начинаем заново с противоположной стороны с тем же углом, линия будет в конечном итоге соответствуют каждому подмножеству положительных показателей. В более общем смысле на любой плоской поверхности существует множество эргодических направлений геодезического потока.

Для неплоских поверхностей геодезический поток любой компактной римановой поверхности отрицательной кривизны эргодичен. Поверхность «компактна» в том смысле, что она имеет конечную площадь поверхности. Геодезический поток представляет собой обобщение идеи движения по «прямой линии» по искривленной поверхности: такие прямые линии являются геодезическими . Один из самых ранних изученных случаев — бильярд Адамара , описывающий геодезические на поверхности Больца , топологически эквивалентные бублику с двумя дырками. Эргодичность можно продемонстрировать неформально, если у вас есть шулер и какой-нибудь разумный пример бублика с двумя отверстиями: начиная с любого места и в любом направлении, мы пытаемся провести прямую линию; для этого пригодятся линейки. Не требуется много времени, чтобы обнаружить, что человек не возвращается к исходной точке. (Конечно, это может быть объяснено и кривым рисунком; поэтому у нас есть доказательства.)

Эти результаты распространяются на более высокие измерения. Геодезический поток для компактных римановых многообразий отрицательной кривизны эргодичен. Классическим примером этого является поток Аносова , который представляет собой поток орицикла на гиперболическом многообразии . Можно рассматривать это как своего рода расслоение Хопфа . Такие потоки обычно встречаются в классической механике , которая изучает физику конечномерных движущихся механизмов, например двойного маятника и т. д. Классическая механика строится на симплектических многообразиях . Потоки в таких системах можно разложить на устойчивые и неустойчивые многообразия ; как правило, когда это возможно, возникает хаотическое движение. То, что это типичное явление, можно увидеть, заметив, что кокасательное расслоение риманова многообразия ( всегда) является симплектическим многообразием; геодезический поток задается решением уравнений Гамильтона – Якоби для этого многообразия. В терминах канонических координат на кокасательном многообразии гамильтониан или энергия определяется выражением ${\displaystyle (q,p)}$

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

с (обратным) метрическим тензором и импульсом . Сходство с кинетической энергией точечной частицы вряд ли случайно; в этом весь смысл называть такие вещи «энергией». В этом смысле хаотическое поведение эргодических орбит является более или менее общим явлением в больших разделах геометрии. ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Результаты эргодичности были предоставлены в поверхностях перевода , гиперболических группах и систолической геометрии . Методы включают изучение эргодических потоков , разложение Хопфа и теорему Амброуза-Какутани-Кренгеля-Кубо . Важным классом систем являются системы Аксиомы А.

Получен ряд как классификационных, так и «антиклассификационных» результатов. Здесь также применима теорема Орнштейна об изоморфизме ; опять же, там утверждается, что большинство этих систем изоморфны некоторой схеме Бернулли . Это довольно четко связывает эти системы с определением эргодичности, данным для случайного процесса в предыдущем разделе. Результаты антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное бесконечное число неэквивалентных эргодических, сохраняющих меру динамических систем. Возможно, это не совсем удивительно, поскольку можно использовать точки множества Кантора для построения похожих, но разных систем. См. динамическую систему, сохраняющую меру, для краткого обзора некоторых результатов антиклассификации.

В волновой механике

Во всех предыдущих разделах эргодиктика рассматривалась либо с точки зрения измеримой динамической системы, либо с двойственной идеи отслеживания движения траекторий отдельных частиц. Близко связанная концепция встречается в (нелинейной) волновой механике . Там резонансное взаимодействие допускает смешивание нормальных мод , что часто (но не всегда) приводит к возможной термализации системы. Одной из самых ранних систем, подлежащих тщательному изучению в этом контексте, является проблема Ферми-Пасты-Улама-Цингу , цепочка слабосвязанных осцилляторов.

Резонансное взаимодействие возможно тогда, когда дисперсионные соотношения волновых сред допускают суммирование трех или более нормальных мод таким образом, чтобы сохранить как полный импульс, так и полную энергию. Это позволяет энергии, сконцентрированной в одном режиме, проникать в другие режимы, в конечном итоге равномерно распределяя эту энергию по всем взаимодействующим режимам.

Резонансные взаимодействия между волнами помогают понять разницу между многомерным хаосом (то есть турбулентностью ) и термализацией. Когда нормальные моды можно объединить так, чтобы энергия и импульс точно сохранялись, тогда применяется теория резонансных взаимодействий, и энергия распространяется на все взаимодействующие моды. Когда дисперсионные соотношения допускают лишь приблизительный баланс, возникает турбулентность или хаотическое движение. Затем турбулентные моды могут передавать энергию модам, которые смешиваются, что в конечном итоге приводит к термализации, но не раньше предшествующего интервала хаотического движения.

В квантовой механике

Что касается квантовой механики, то не существует универсального квантового определения эргодичности или даже хаоса (см. квантовый хаос ). ^[6] Однако существует квантовая теорема эргодичности , утверждающая, что математическое ожидание оператора сходится к соответствующему микроканоническому классическому среднему в квазиклассическом пределе . Тем не менее, из теоремы не следует, что все собственные состояния гамильтиона, классический аналог которого хаотичен, являются характерными и случайными. Например, квантовая теорема эргодичности не исключает существования неэргодических состояний, таких как квантовые шрамы . Помимо обычного рубцевания ^{[7] [8] [9] [10]} существуют два других типа квантового рубцевания, которые дополнительно иллюстрируют нарушение слабой эргодичности в квантовых хаотических системах: индуцированное возмущением ^{[11] [12] [13] [14] [15]} и квантовые шрамы многих тел. ^[16] ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Определение систем дискретного времени

Эргодические меры являются одним из краеугольных камней, с помощью которых обычно обсуждается эргодичность. Далее следует формальное определение.

Инвариантная мера

Пусть - измеримое пространство . Если – измеримая функция от к себе и вероятностная мера на , то сохраняющая меру динамическая система определяется как динамическая система, для которой при всех . Говорят, что такое a сохраняет эквивалентно, то есть - инвариантно . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu ;}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Эргодическая мера

Измеримая функция называется -эргодической или является эргодической мерой, если сохраняется и выполняется следующее условие: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Для любого такого, что либо или . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

Другими словами, не существует -инвариантных подмножеств вплоть до меры 0 (относительно ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Некоторые авторы ^[17] ослабляют требование сохранения до требования неособости преобразования относительно , ​​что означает, что если является подмножеством нулевой меры, то таковым является и . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(N)}$

Примеры

Самый простой пример: конечное множество и считающая мера . Тогда самоотображение сохраняет тогда и только тогда, когда оно является биекцией, и оно эргодично тогда и только тогда, когда имеет только одну орбиту (то есть для каждого существует такое, что ). Например, если тогда цикл эргодичен, а перестановка — нет (имеет два инвариантных подмножества и ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y=T^{k}(x)}$ ${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$

Эквивалентные составы

Приведенное выше определение допускает следующие непосредственные переформулировки:

• для каждого с имеем или (где обозначает симметричную разность ); ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1\,}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
• для каждого с положительной мерой мы имеем ; ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$
• для каждых двух наборов положительной меры существует такое, что ; ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$
• Всякая измеримая функция с постоянна на подмножестве полной меры. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\circ T=f}$

Что важно для приложений, условие в последней характеристике может быть ограничено только функциями, интегрируемыми с квадратом :

• If и then постоянно почти везде. ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle f\circ T=f}$ ${\displaystyle f}$

Дальнейшие примеры

Сдвиги и подсдвиги Бернулли

Пусть - конечное множество и с мерой произведения (каждый фактор наделен своей считающей мерой). Тогда оператор сдвига , определенный как -эргодический . ^[18] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Есть еще много эргодических мер для карты сдвига на . Периодические последовательности дают меры с конечным носителем. Что еще более интересно, существуют бесконечно поддерживаемые сдвиги конечного типа . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Иррациональные вращения

Пусть – единичная окружность со своей мерой Лебега . Для любого поворота угла определяется выражением . If then не является эргодичным для меры Лебега, поскольку имеет бесконечное число конечных орбит. С другой стороны, если иррационально, то эргодично. ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$

Карта кошек Арнольда

Пусть – 2-тор. Тогда любой элемент определяет собственную карту с тех пор . Когда получается так называемое отображение кота Арнольда, эргодичное для меры Лебега на торе. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)=\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\textstyle g=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$

Эргодические теоремы

Если — вероятностная мера в пространстве , которое является эргодическим для преобразования, то поточечная эргодическая теорема Г. Биркгофа утверждает, что для каждой измеримой функции и почти для каждой точки среднее по времени на орбите сходится к среднему по пространству . Формально это означает, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

Средняя эргодическая теорема Дж. фон Неймана представляет собой аналогичное, более слабое утверждение об усредненных сдвигах функций, интегрируемых с квадратом.

Связанные свойства

Плотные орбиты

Непосредственным следствием определения эргодичности является то, что в топологическом пространстве , и если σ-алгебра борелевских множеств , если -эргодична , то -почти каждая орбита плотна на носителе . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Это не эквивалентность, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует эргодическая мера с полным носителем , для любой другой эргодической меры мера не является эргодической, но ее орбиты плотны в носителе. Явные примеры можно построить с помощью мер, инвариантных к сдвигу. ^[20] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\mu _{0}+\mu _{1})}$ ${\displaystyle T}$

Смешивание

Преобразование пространства вероятностной меры называется перемешивающим для меры, если для любых измеримых множеств справедливо следующее: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B)}$$

Сразу видно, что перемешивающее преобразование также является эргодическим (в качестве -стабильного подмножества и его дополнения). Обратное неверно, например, вращение окружности на иррациональный угол (которое является эргодическим в приведенных выше примерах) не является смешиванием (в течение достаточно малого интервала его последовательные изображения большую часть времени не будут пересекаться). Сдвиги Бернулли смешиваются, как и карта кошек Арнольда. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$

Это понятие смешивания иногда называют сильным перемешиванием, в отличие от слабого перемешивания, что означает, что

$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\mu (T^{-n}A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0}$$

Правильная эргодичность

Преобразование называется собственно эргодическим, если оно не имеет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера не поддерживается на конечной орбите . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Определение динамических систем с непрерывным временем

Определение для динамических систем с непрерывным временем по существу такое же, как и для одиночного преобразования. Пусть - измеримое пространство и для каждого , то такая система задается семейством измеримых функций от до себя, так что для любого выполняется соотношение (обычно спрашивают также, что отображение орбиты из также измеримо). Если является вероятностной мерой, то мы говорим, что она -эргодична или является эргодической мерой, если каждая из них сохраняет и выполняется следующее условие: ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$

Для любого , если для всех, то либо или . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}^{-1}(A)\subset A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

Примеры

Как и в дискретном случае, простейшим примером является транзитивное действие, например, действие на окружности, заданное формулой, является эргодическим для меры Лебега. ${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$

Примером с бесконечным числом орбит является течение по иррациональному наклону тора: пусть и . Позволять ; тогда если это эргодично для меры Лебега. ${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$

Эргодические потоки

Дальнейшие примеры эргодических потоков:

• Бильярд в выпуклых евклидовых областях;
• геодезический поток отрицательно искривленного риманова многообразия конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема);
• поток орицикла на гиперболическом многообразии конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема)

Эргодичность в компактных метрических пространствах

Если — компактное метрическое пространство, то оно естественным образом наделено σ-алгеброй борелевских множеств . Дополнительная структура, исходящая из топологии, позволяет создать гораздо более подробную теорию эргодических преобразований и мер на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Интерпретация функционального анализа

Очень мощное альтернативное определение эргодических мер можно дать, используя теорию банаховых пространств . Меры Радона на образуют банахово пространство, в котором множество вероятностных мер является выпуклым подмножеством. При непрерывном преобразовании подмножества -инвариантных мер есть замкнутое выпуклое подмножество, и мера эргодична тогда и только тогда, когда она является крайней точкой этого выпуклого множества. ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Существование эргодических мер

В приведенном выше случае из теоремы Банаха-Алаоглу следует , что всегда существуют экстремальные точки в . Следовательно, преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$

Эргодическое разложение

В общем, инвариантная мера не обязательно должна быть эргодической, но, как следствие теории Шоке , ее всегда можно выразить как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер. Это называется эргодическим разложением меры. ^[22]

Пример

В случае и считающая мера не эргодична. Эргодические меры для являются равномерными мерами, поддерживаемыми на подмножествах , и каждая -инвариантная вероятностная мера может быть записана в виде для некоторых . В частности , это эргодическое разложение считающей меры. ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T=(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle {\frac {2}{n}}\mu _{1}+{\frac {n-2}{n}}\mu _{2}}$

Непрерывные системы

Все в этом параграфе дословно переносится на непрерывные действия в компактных метрических пространствах или на них. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Уникальная эргодичность

Преобразование называется однозначно эргодическим , если существует единственная борелевская вероятностная мера, на которой эргодична для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

В рассмотренных выше примерах иррациональные вращения окружности однозначно эргодичны; ^[23] карты сдвигов — нет.

Вероятностная интерпретация: эргодические процессы

Если - случайный процесс с дискретным временем в пространстве , он называется эргодическим, если совместное распределение переменных на пространстве инвариантно относительно карты сдвига . Это частный случай рассмотренных выше понятий. ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}\mapsto \left(x_{n+1}\right)_{n\geq 1}}$

Простейшим случаем является случай независимого и одинаково распределенного процесса, который соответствует описанной выше карте сдвига. Другим важным случаем является случай цепи Маркова , который подробно обсуждается ниже.

Аналогичная интерпретация справедлива и для случайных процессов с непрерывным временем, хотя построение измеримой структуры действия более сложное.

Эргодичность цепей Маркова.

Динамическая система, связанная с цепью Маркова

Пусть — конечное множество. Цепь Маркова на определяется матрицей , где вероятность перехода от к , поэтому для каждого имеем . Стационарной мерой для называется вероятностная мера на такой, что  ; это для всех . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$ ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \nu P=\nu }$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$ ${\displaystyle s\in S}$

Используя эти данные, мы можем определить вероятностную меру на множестве с его σ-алгеброй произведения, задав меры цилиндров следующим образом: ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle \mu _{\nu }(\cdots \times S\times \{(s_{n},\ldots ,s_{m})\}\times S\times \cdots )=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

Стационарность означает, что мера инвариантна относительно карты сдвига . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} })\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}$

Критерий эргодичности

Мера всегда эргодична для отображения сдвига, если соответствующая цепь Маркова неприводима ( любое состояние может быть достигнуто с положительной вероятностью из любого другого состояния за конечное число шагов). ^[24] ${\displaystyle \mu _{\nu }}$

Из приведенных выше гипотез следует, что существует единственная стационарная мера цепи Маркова. С точки зрения матрицы достаточным условием для этого является то, что 1 является простым собственным значением матрицы , а все остальные собственные значения (in ) имеют модуль <1. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Обратите внимание, что в теории вероятностей цепь Маркова называется эргодической, если, кроме того, каждое состояние апериодично (моменты времени, когда вероятность возврата положительна, не кратны одному целому числу > 1). Это не обязательно для того, чтобы инвариантная мера была эргодической; следовательно, понятия «эргодичности» для цепи Маркова и связанной с ней меры, инвариантной к сдвигу, различны (то, что для цепи, строго сильнее). ^[25]

Более того, критерием является «тогда и только если», если все взаимодействующие классы в цепочке рекуррентны и мы рассматриваем все стационарные меры.

Примеры

Счетная мера

Если для всех , то стационарная мера есть считающая мера, мера есть произведение счетных мер. Цепь Маркова эргодична, поэтому приведенный выше пример сдвига является частным случаем критерия. ${\displaystyle P(s,s')=1/|S|}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$

Неэргодические цепи Маркова

Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами не являются неприводимыми, не эргодическими, и это сразу видно из следующего. Если имеются два различных рекуррентных взаимодействующих класса, то существуют ненулевые стационарные меры, поддерживаемые соответственно и на подмножествах , и они оба инвариантны к сдвигу и имеют меру 1.2 для инвариантной вероятностной меры . Очень простой пример — цепочка on, заданная матрицей (оба состояния стационарны). ${\displaystyle S_{1}\subsetneq S}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle S_{2}^{\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\nu _{1}+\nu _{2})}$ ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

Периодическая цепочка

Цепь Маркова на заданной матрице неприводима, но периодична. Таким образом, оно не эргодично в смысле цепи Маркова, хотя соответствующая мера на эргодична для отображения сдвига. Однако для этой меры сдвиг не является перемешиванием, как и для множеств ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{1,2\}^{\mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle A=\cdots \times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\cdots }$$

и

$${\displaystyle B=\cdots \times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\cdots }$$

у нас есть, но ${\textstyle \mu (A)={\frac {1}{2}}=\mu (B)}$

$${\displaystyle \mu \left(T^{-n}A\cap B\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\0{\text{ if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$

Обобщения

Определение эргодичности имеет смысл и для групповых действий . Классическая теория (для обратимых преобразований) соответствует действиям или . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для неабелевых групп инвариантных мер может не быть даже на компактных метрических пространствах. Однако определение эргодичности остается неизменным, если заменить инвариантные меры квазиинвариантными мерами .

Важными примерами являются действия полупростой группы Ли (или решетки в ней) на ее границе Фюрстенберга .

Измеримое отношение эквивалентности называется эргодическим, если все насыщенные подмножества либо равны нулю, либо являются пустыми.

Примечания

1. Ахим Кленке, «Теория вероятностей: комплексный курс» (2013) Springer Universitext ISBN 978-1-4471-5360-3 DOI 10.1007/978-1-4471-5361-0 ( см. главу первую )
2. Уолтерс 1982, §0.1, с. 2
3. Галлавотти, Джованни (1995). «Эргодичность, ансамбли, необратимость у Больцмана и за его пределами». Журнал статистической физики . 78 (5–6): 1571–1589. arXiv : чао-дин/9403004 . Бибкод : 1995JSP....78.1571G. дои : 10.1007/BF02180143. S2CID  17605281.
4. Феллер, Уильям (1 августа 2008 г.). Введение в теорию вероятностей и ее приложения (2-е изд.). Wiley India Pvt. Ограниченное. п. 271. ИСБН 978-81-265-1806-7.
5. Планшерель, М. (1913). «Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme». Аннален дер Физик . 42 : 1061–1063. дои : 10.1002/andp.19133471509.
6. Штёкманн, Ханс-Юрген (1999). Квантовый хаос: Введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511524622. ISBN 978-0-521-02715-1.
7. Хеллер, Эрик Дж. (15 октября 1984). «Собственные функции связанных состояний классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит». Письма о физических отзывах . 53 (16): 1515–1518. Бибкод : 1984PhRvL..53.1515H. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1515.
8. Каплан, Л. (1 марта 1999 г.). «Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях». Нелинейность . 12 (2): Р1–Р40. дои : 10.1088/0951-7715/2/12/009. ISSN  0951-7715. S2CID  250793219.
9. Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (апрель 1998 г.). «Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций». Анналы физики . 264 (2): 171–206. arXiv : чао-дин/9809011 . Бибкод : 1998AnPhy.264..171K. дои : 10.1006/aphy.1997.5773. S2CID  120635994.
10. Хеллер, Эрик Джонсон (2018). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-9029-3. ОСЛК  1034625177.
11. Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу». Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K. doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101. PMID  31809168. S2CID  208248295.
12. Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями». Научные отчеты . 6 (1): 37656. arXiv : 1511.04198 . Бибкод : 2016NatSR...637656L. дои : 10.1038/srep37656. ISSN  2045-2322. ПМК 5124902 . ПМИД  27892510. 
13. Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках». Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K. doi : 10.1103/PhysRevB.96.094204. S2CID  119083672.
14. Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах». Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K. дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb. ISSN  0953-8984. PMID  30566927. S2CID  51693305.
15. Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах. Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0.
16. Тернер, CJ; Михаилидис, А.А.; Абанин Д.А.; Сербин, М.; Папич, З. (июль 2018 г.). «Слабая эргодичность, разрушающаяся от квантовых шрамов многих тел». Физика природы . 14 (7): 745–749. arXiv : 1711.03528 . Бибкод : 2018NatPh..14..745T. дои : 10.1038/s41567-018-0137-5. ISSN  1745-2481. S2CID  256706206.
17. Ааронсон, Джон (1997). «Введение в бесконечную эргодическую теорию». Американская математическая общество: 21. ISBN. 9780821804940. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
18. Уолтерс 1982, с. 32.
19. Уолтерс 1982, с. 29.
20. «Пример сохраняющей меру системы с плотными орбитами, которая не является эргодической». MathOverflow . 1 сентября 2011 года . Проверено 16 мая 2020 г.
21. Уолтерс 1982, с. 152.
22. Уолтерс 1982, с. 153.
23. Уолтерс 1982, с. 159.
24. Уолтерс 1982, с. 42.
25. «Различные варианты использования слова «эргодический»» . MathOverflow . 4 сентября 2011 года . Проверено 16 мая 2020 г.

Рекомендации

• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию . Спрингер . ISBN 0-387-95152-0.
• Брин, Майкл; Гаррет, Застрял (2002). Введение в динамические системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80841-3.

Внешние ссылки

• Карма Даджани и Сьерд Дирксин, «Простое введение в эргодическую теорию»