Трехмерное пространство

Геометрическая модель физического пространства

Представление трехмерной декартовой системы координат с осью x , направленной к наблюдателю.

В геометрии трехмерное пространство ( 3D-пространство , 3-пространство или, реже, трехмерное пространство ) — математическое пространство , в котором для определения положения точки необходимы три значения ( координаты ) . Чаще всего это трехмерное евклидово пространство , то есть евклидово пространство третьего измерения , которое моделирует физическое пространство . Более общие трехмерные пространства называются 3-многообразиями . Этот термин также может в просторечии относиться к подмножеству пространства, трехмерной области (или трехмерной области ), ^[1] твердой фигуре .

Технически кортеж из n чисел можно понимать как декартовы координаты местоположения в n -мерном евклидовом пространстве. Набор этих n -кортежей обычно обозначается и может быть отождествлен с парой, образованной n -мерным евклидовым пространством и декартовой системой координат . Когда n = 3 , это пространство называется ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$трехмерное евклидово пространство (или просто «евклидово пространство», если контекст ясен). ^[2] В классической физике он служит моделью физической вселенной , в которой существует вся известная материя . Когда рассматривается теория относительности , ее можно рассматривать как локальное подпространство пространства-времени . ^[3] Хотя это пространство остается наиболее убедительным и полезным способом моделирования мира в том виде, в каком он воспринимается, ^[4] это лишь один пример большого разнообразия трехмерных пространств, называемых 3-многообразиями . В этом классическом примере, когда три значения относятся к измерениям в разных направлениях ( координатах ), можно выбрать любые три направления при условии, что эти направления не лежат в одной плоскости . Более того, если эти направления попарно перпендикулярны , три значения часто обозначаются терминами ширина /ширина , высота /глубина и длина .

История

Книги с XI по XIII «Начал» Евклида посвящены трехмерной геометрии. Книга XI развивает понятия ортогональности и параллельности линий и плоскостей, а также определяет твердые тела, включая параллелепипеды, пирамиды, призмы, сферы, октаэдры, икосаэдры и додекаэдры. Книга XII развивает представления о подобии твердых тел. Книга XIII описывает построение пяти правильных платоновых тел в сфере.

В 17 веке трехмерное пространство было описано с помощью декартовых координат , с появлением аналитической геометрии , развитой Рене Декартом в его работе «Геометрия» и Пьером де Ферма в рукописи Ad locos planos et Solidos isagoge (Введение в Plane and Solid Loci). ), который не был опубликован при жизни Ферма. Однако только работы Ферма касались трехмерного пространства.

В 19 веке развитие геометрии трехмерного пространства произошло с разработкой кватернионов Уильямом Роуэном Гамильтоном . Фактически, именно Гамильтон придумал термины скаляр и вектор , и они были впервые определены в его геометрической структуре для кватернионов . Тогда трехмерное пространство можно было бы описать кватернионами , имеющими исчезающую скалярную составляющую, то есть . Хотя это и не изучалось Гамильтоном явно, это косвенно ввело понятия базиса, здесь заданные элементами кватернионов , а также скалярным произведением и векторным произведением , которые соответствуют (отрицательному значению) скалярной части и векторной части произведения два векторных кватерниона. ${\displaystyle q=a+ui+vj+wk}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle i,j,k}$

Лишь после того, как Джозайя Уиллард Гиббс эти два произведения были идентифицированы сами по себе, а современные обозначения точечного и векторного произведения были введены в его методических заметках, которые можно найти также в учебнике 1901 года « Векторный анализ» , написанном Эдвином Бидвеллом Уилсоном на основе на лекциях Гиббса.

Также в 19 веке произошло развитие абстрактного формализма векторных пространств благодаря работам Германа Грассмана и Джузеппе Пеано , последний из которых первым дал современное определение векторных пространств как алгебраической структуры.

В евклидовой геометрии

Системы координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку трехмерного пространства с помощью трех координат. Даны три оси координат , каждая из которых перпендикулярна двум другим в начале координат , точке их пересечения. Обычно они обозначаются x , y и z . Относительно этих осей положение любой точки в трехмерном пространстве задается упорядоченной тройкой действительных чисел , каждое число дает расстояние этой точки от начала координат , измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию этой точки от начала координат, измеренному вдоль данной оси. точку из плоскости, определяемой двумя другими осями. ^[5]

Другие популярные методы описания положения точки в трехмерном пространстве включают цилиндрические координаты и сферические координаты , хотя существует бесконечное количество возможных методов. Подробнее см. Евклидово пространство .

Ниже приведены изображения вышеупомянутых систем.

• 
  Декартова система координат
• 
  Цилиндрическая система координат
• 
  Сферическая система координат

Линии и плоскости

Две различные точки всегда определяют (прямую) линию . Три различные точки либо лежат на одной прямой , либо определяют единственную плоскость . С другой стороны, четыре различные точки могут быть коллинеарны, компланарны или определять все пространство.

Две различные прямые могут пересекаться, быть параллельными или скошенными . Две параллельные прямые или две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, поэтому наклонные — это линии, которые не пересекаются и не лежат в общей плоскости.

Две различные плоскости могут либо пересекаться на одной прямой, либо быть параллельными (т. е. не пересекаться). Три различные плоскости, ни одна пара из которых не является параллельной, могут либо пересекаться на одной прямой, либо пересекаться в единственной общей точке, либо не иметь общей точки. В последнем случае три линии пересечения каждой пары плоскостей взаимно параллельны.

Линия может лежать в заданной плоскости, пересекать эту плоскость в единственной точке или быть параллельной плоскости. В последнем случае в плоскости найдутся линии, параллельные данной прямой.

Гиперплоскость — это подпространство, размерность которого на одно меньше размера всего пространства. Гиперплоскости трехмерного пространства — это двумерные подпространства, то есть плоскости. В терминах декартовых координат точки гиперплоскости удовлетворяют одному линейному уравнению , поэтому плоскости в этом трехмерном пространстве описываются линейными уравнениями. Линия может быть описана парой независимых линейных уравнений, каждое из которых представляет плоскость, имеющую эту линию как общее пересечение.

Теорема Вариньона утверждает, что середины любого четырехугольника образуют параллелограмм и , следовательно, компланарны. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Сферы и шары

Перспективная проекция сферы на два измерения.

Сфера в 3-мерном пространстве (также называемая 2-сферой, поскольку это 2-мерный объект) состоит из набора всех точек в 3-мерном пространстве, находящихся на фиксированном расстоянии r от центральной точки P. Твердое тело, заключенное в сферу, называется шаром (или, точнее, 3-шаром ).

Объем шара определяется выражением

$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$

$${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$$

3-сфераR ⁴P ( x , y , z , w )x ² + y ² + z ² + w ² = 1

Эта 3-сфера является примером 3-многообразия: пространство, которое «локально выглядит» как трехмерное пространство. Говоря точными топологическими терминами, каждая точка трехмерной сферы имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству трехмерного пространства.

Многогранники

В трех измерениях существует девять правильных многогранников: пять выпуклых платоновых тел и четыре невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо .

Поверхности революции

Поверхность , образованная вращением плоской кривой вокруг фиксированной линии в ее плоскости как оси, называется поверхностью вращения . Плоская кривая называется образующей поверхности. Участок поверхности, полученный пересечением поверхности плоскостью, перпендикулярной (ортогональной) оси, представляет собой круг.

Простые примеры возникают, когда образующая представляет собой линию. Если образующая линия пересекает линию оси, поверхность вращения представляет собой прямой круговой конус с вершиной (вершиной) в точке пересечения. Однако если образующая и ось параллельны, то поверхность вращения представляет собой круговой цилиндр .

Квадрикические поверхности

По аналогии с коническими сечениями множество точек, декартовы координаты которых удовлетворяют общему уравнению второй степени, а именно:

$${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$

A , B , C , F , G , H , J , K , LMA , B , C , F , GHквадратичной поверхностью^[6]

Существует шесть типов невырожденных квадратичных поверхностей:

1. Эллипсоид
2. Гиперболоид одного листа
3. Гиперболоид из двух листов
4. Эллиптический конус
5. Эллиптический параболоид
6. Гиперболический параболоид

Вырожденные квадратичные поверхности — это пустое множество, отдельная точка, одна прямая, одна плоскость, пара плоскостей или квадратичный цилиндр (поверхность, состоящая из невырожденного конического сечения в плоскости π и всех прямых из R ³ через ту конику, которая нормальна к π ). ^[6] Эллиптические конусы иногда также считаются вырожденными квадратичными поверхностями.

И однолистный гиперболоид, и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями , то есть их можно составить из семейства прямых линий. В действительности в каждом есть два семейства образующих, члены каждого семейства не пересекаются и каждый член одного семейства пересекается, за одним лишь исключением, с каждым членом другого семейства. ^[7] Каждое семейство называется регуляром .

В линейной алгебре

Другой способ рассмотрения трехмерного пространства можно найти в линейной алгебре , где идея независимости имеет решающее значение. Пространство имеет три измерения, поскольку длина коробки не зависит от ее ширины или ширины. На техническом языке линейной алгебры пространство трехмерно, поскольку каждую точку пространства можно описать линейной комбинацией трех независимых векторов .

Скалярное произведение, угол и длина

Вектор можно представить в виде стрелки. Величина вектора — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Вектор в можно представить упорядоченной тройкой действительных чисел. Эти числа называются компонентами вектора. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] и B = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ] определяется как: ^[8]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

Величина вектора A обозначается || А || . Скалярное произведение вектора A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] с самим собой равно

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

формула евклидовой длины вектора.

Без ссылки на компоненты векторов скалярное произведение двух ненулевых евклидовых векторов A и B определяется выражением ^[9]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ — угол между A и B.​

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение или векторное произведение представляет собой бинарную операцию над двумя векторами в трехмерном пространстве и обозначается символом ×. Векторное произведение A × B векторов A и B представляет собой вектор, который перпендикулярен обоим и, следовательно, нормален к плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике и технике .

На языке функций перекрестное произведение — это функция . ${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

Компонентами векторного произведения являются , а также их можно записать в компонентах, используя соглашение Эйнштейна о суммировании, например, где - символ Леви-Чивита . Он обладает тем свойством, что . ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$ ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$

Его величина связана с углом между и тождеством ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

Пространство и произведение образуют алгебру над полем , которая не является ни коммутативной , ни ассоциативной , но является алгеброй Ли , векторное произведение которой является скобкой Ли. В частности , пространство вместе с произведением изоморфно алгебре Ли трехмерных вращений, обозначаемой . Чтобы удовлетворить аксиомам алгебры Ли, вместо ассоциативности векторное произведение удовлетворяет тождеству Якоби . Для любых трех векторов и ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

Можно в n измерениях взять произведение n - 1 векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный всем из них. Но если продукт ограничивается нетривиальными двоичными произведениями с векторными результатами, он существует только в трёх и семи измерениях . ^[10]

Перекрестное произведение относительно правой системы координат

Абстрактное описание

Может быть полезно описать трехмерное пространство как трехмерное векторное пространство над действительными числами. Это отличается от тонкого способа. Основания для этого существуют по определению . Это соответствует изоморфизму между и : конструкция изоморфизма находится здесь . Однако не существует «предпочтительной» или «канонической основы» для . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$

С другой стороны, существует предпочтительное основание для , что связано с его описанием как декартово произведение копий , то есть . Это позволяет определить канонические проекции, , где . Например, . Затем это позволяет определить стандартный базис , определенный формулой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$ ${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$

$${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$

дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{ij}}$

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Поэтому его можно рассматривать как абстрактное векторное пространство вместе с дополнительной структурой выбора базиса. И наоборот, его можно получить, начав и «забыв» о декартовой структуре произведения или, что то же самое, о стандартном выборе базиса. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В отличие от общего векторного пространства , это пространство иногда называют координатным пространством. ^[11] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Физически концептуально желательно использовать абстрактный формализм, чтобы принять как можно меньше структуры, если она не задана параметрами конкретной задачи. Например, в задаче с вращательной симметрией работа с более конкретным описанием трёхмерного пространства предполагает выбор базиса, соответствующего набору осей. Но во вращательной симметрии нет причин, по которым предпочтение отдается одному набору осей, скажем, одному и тому же набору осей, который был повернут произвольно. Другими словами, предпочтительный выбор осей нарушает вращательную симметрию физического пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В вычислительном отношении необходимо работать с более конкретным описанием , чтобы выполнить конкретные вычисления. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Аффинное описание

Более абстрактное описание по-прежнему заключается в моделировании физического пространства как трехмерного аффинного пространства над действительными числами. Это единственное с точностью до аффинного изоморфизма. Его иногда называют трехмерным евклидовым пространством. Точно так же, как описание векторного пространства возникло из-за «забывания предпочтительного базиса» , описание аффинного пространства происходит из-за «забывания происхождения» векторного пространства. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами , чтобы отличить их от евклидовых векторных пространств. ^[12] ${\displaystyle E(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Это физически привлекательно, поскольку демонстрирует трансляционную инвариантность физического пространства. Предпочтительное начало координат нарушает трансляционную инвариантность.

Внутреннее пространство продукта

Вышеприведенное обсуждение не связано со скалярным произведением . Скалярное произведение является примером внутреннего продукта . Физическое пространство можно смоделировать как векторное пространство, которое дополнительно имеет структуру внутреннего продукта. Внутренний продукт определяет понятия длины и угла (и, следовательно, в частности, понятие ортогональности). Для любого внутреннего продукта существуют основания, при которых внутренний продукт согласуется со скалярным произведением, но опять же, существует множество различных возможных оснований, ни одно из которых не является предпочтительным. Они отличаются друг от друга вращением, элементом группы вращений SO(3) .

В исчислении

Градиент, расхождение и завиток

В прямоугольной системе координат градиент (дифференцируемой) функции определяется выражением ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

и в индексных обозначениях пишется

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

Дивергенция (дифференцируемого) векторного поля F = U i + V j + W k , то есть функции , равна скалярной -значной функции: ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

В индексной записи с соблюдением соглашения Эйнштейна о суммировании это:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

Развернутый в декартовых координатах (см. Del в цилиндрических и сферических координатах для сферических и цилиндрических координатных представлений), ротор ∇ × F для F состоит из [ F _x , F _y , F _z ]:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

где i , j и k — единичные векторы для осей x , y и z соответственно. Это расширяется следующим образом: ^[13]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

В индексной записи с соблюдением соглашения Эйнштейна о суммировании это:

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$

символ Леви-Чивита ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

Линейные, поверхностные и объемные интегралы

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ Rn → R линейный интеграл ^по кусочно -гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

где r : [a, b] → C — произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы C и . ${\displaystyle a<b}$

Для векторного поля F  : U ⊆ Rn → Rn линейный интеграл по кусочно-гладкой ^кривой C ⊂ U ^в направлении r определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

где · — скалярное произведение , а r : [a, b] → C — биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) дают конечные точки C.

Поверхностный интеграл — это обобщение кратных интегралов для интегрирования по поверхностям . Его можно рассматривать как двойной интеграл, аналог линейного интеграла. Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла, нам нужно параметризовать интересующую поверхность S , рассматривая систему криволинейных координат на S , например широту и долготу на сфере . Пусть такой параметризацией будет x ( s , t ), где ( s , t ) меняется в некоторой области T на плоскости . Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где выражение между столбцами в правой части представляет собой величину векторного произведения частных производных x ( s , t ) и известно как элемент поверхности . Учитывая векторное поле v на S , которое является функцией, которая присваивает каждому x в S вектор v ( x ), поверхностный интеграл может быть определен покомпонентно в соответствии с определением поверхностного интеграла скалярного поля; результатом является вектор.

Объемный интеграл — это интеграл по трехмерной области или области. Когда подынтегральная функция тривиальна (единица), интеграл объема — это просто объем области . [ ^{14] [1]} Это также может означать тройной интеграл внутри области D в R ³ функции и обычно записывается как: ${\displaystyle f(x,y,z),}$

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Основная теорема о линейных интегралах

Фундаментальная теорема о линейных интегралах гласит, что линейный интеграл через поле градиента может быть вычислен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой.

Позволять . Затем ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Стокса

Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля F над поверхностью Σ в евклидовом трехмерном пространстве с линейным интегралом векторного поля по его границе ∂Σ:

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Теорема о дивергенции

Предположим, что V — подмножество (в случае n = 3 V представляет собой объем в трехмерном пространстве), которое компактно и имеет кусочно- гладкую границу S (также обозначается как ∂ V = S ). Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V , то теорема о дивергенции гласит: ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

Левая часть представляет собой объемный интеграл по объему V , правая часть — поверхностный интеграл по границе объема V. Замкнутое многообразие ∂ V в общем случае представляет собой границу V , ориентированную нормалями, направленными наружу , а n — это направленное наружу единичное нормальное поле границы ∂ V . ( d S может использоваться как сокращение для n dS .)

В топологии

Логотип Википедии в виде глобуса в 3-D

Трехмерное пространство обладает рядом топологических свойств, отличающих его от пространств других размерностей. Например, чтобы завязать узел на веревке, необходимо иметь как минимум три измерения. ^[16]

В дифференциальной геометрии типичными трехмерными пространствами являются 3-многообразия , которые локально напоминают . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

В конечной геометрии

Многие идеи размерности можно проверить с помощью конечной геометрии . Простейшим примером является PG(3,2) , двумерным подпространством которого являются плоскости Фано . Это пример геометрии Галуа , исследования проективной геометрии с использованием конечных полей . Таким образом, для любого поля Галуа GF( q ) существует трехмерное проективное пространство PG(3, q ). Например, любые три косые линии в PG(3, q ) содержатся ровно в одном regulus . ^[17]

Смотрите также

• 3D вращение
  • Формализмы вращения в трех измерениях
• Размерный анализ
• Расстояние от точки до плоскости
• Четырехмерное пространство
• Наклонные линии § Расстояние
• Трехмерный график
• Твердая геометрия
• Условия ориентации

Примечания

1. «IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-39: «трехмерная область»» . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 19 сентября 2023 г.
2. "Евклидово пространство - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 12 августа 2020 г.
3. «Детали для номера ИЭВ 113-01-02: «пространство»» . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 7 ноября 2023 г.
4. «Евклидово пространство | геометрия» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 г.
5. Хьюз-Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г .; Глисон, Эндрю М. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0470-88861-2.
6. Браннан, Эсплен и Грей, 1999, стр. 34–35.
7. Браннан, Эсплен и Грей 1999, стр. 41–42.
8. Антон 1994, с. 133
9. Антон 1994, с. 131
10. Мэсси, WS (1983). «Перекрестные произведения векторов в евклидовых пространствах более высокой размерности». Американский математический ежемесячник . 90 (10): 697–701. дои : 10.2307/2323537. JSTOR  2323537. Если требуются только три основных свойства векторного произведения... оказывается, что векторное произведение векторов существует только в 3-мерном и 7-мерном евклидовом пространстве.
11. Ланг 1987, гл. I.1
12. Бергер 1987, Глава 9.
13. Арфкен, с. 43.
14. «IEC 60050 — Подробности для номера IEV 102-04-40: «объем»» . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 19 сентября 2023 г.
15. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
16. Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и Связи . Беркли, Калифорния: Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-16-0.
17. Альбрехт Бойтельспехер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия , страница 72, ISBN издательства Кембриджского университета 0-521-48277-1 

Рекомендации

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер. Математические методы для физиков , Академическая пресса; 6-е издание (21 июня 2005 г.). ISBN 978-0-12-059876-2 . 
• Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-59787-6
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра (3-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-1949-9, ISBN 978-1-4757-1949-9

Внешние ссылки

• Словарное определение трехмерного в Викисловаре
• Вайсштейн, Эрик В. «Четырехмерная геометрия». Математический мир .
• Элементарная линейная алгебра. Глава 8: Трехмерная геометрия Кейт Мэтьюз из Университета Квинсленда , 1991 г.