В геометрии символ Шлефли — это обозначение формы , определяющей правильные многогранники и мозаики .
Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика XIX века Людвига Шлефли , [1] : 143 который обобщил евклидову геометрию на более чем три измерения и открыл все их выпуклые правильные многогранники, включая шесть, которые встречаются в четырех измерениях.
Символ Шлефли — это рекурсивное описание, [1] : 129, начинающееся с { p } для p -стороннего правильного многоугольника , который является выпуклым . Например, {3} — равносторонний треугольник , {4} — квадрат , {5} — выпуклый правильный пятиугольник и т. д.
Правильные звездчатые многоугольники не являются выпуклыми, и их символы Шлефли { p / q } содержат несократимые дроби p / q , где p — число вершин, а q — число поворотов . Эквивалентно, { p / q } создается из вершин { p }, соединенных через каждые q . Например, { 5 ⁄ 2 } — пентаграмма ; { 5 ⁄ 1 } — пятиугольник .
Правильный многогранник , имеющий q правильных p -сторонних многоугольных граней вокруг каждой вершины , представлен как { p , q }. Например, куб имеет 3 квадрата вокруг каждой вершины и представлен как {4,3}.
Правильный 4-мерный многогранник с r { p , q } правильными многогранными ячейками вокруг каждого ребра представлен как { p , q , r }. Например, тессеракт , {4,3,3}, имеет 3 куба , {4,3}, вокруг ребра.
В общем случае правильный многогранник { p , q , r ,..., y , z } имеет z { p , q , r ,..., y } граней вокруг каждой вершины , где вершина является вершиной в многограннике, ребром в 4-мерном многограннике, гранью в 5-мерном многограннике и ( n -3)-гранью в n- мерном многограннике.
Правильный многогранник имеет правильную вершинную фигуру . Вершинная фигура правильного многогранника { p , q , r ,..., y , z } — это { q , r ,..., y , z }.
Правильные многогранники могут иметь элементы звездчатого многоугольника , например, пентаграмму с символом { 5 ⁄ 2 }, представленную вершинами пятиугольника, но соединенными попеременно.
Символ Шлефли может представлять конечный выпуклый многогранник , бесконечную мозаику евклидова пространства или бесконечную мозаику гиперболического пространства в зависимости от дефекта угла конструкции. Положительный дефект угла позволяет вершинной фигуре сворачиваться в более высокое измерение и замыкаться в себя как многогранник. Нулевой дефект угла замощает пространство той же размерности, что и грани. Отрицательный дефект угла не может существовать в обычном пространстве, но может быть построен в гиперболическом пространстве.
Обычно предполагается, что грань или вершинная фигура является конечным многогранником, но иногда ее можно рассматривать как тесселяцию.
Правильный многогранник также имеет дуальный многогранник, представленный элементами символа Шлефли в обратном порядке. Самодуальный правильный многогранник будет иметь симметричный символ Шлефли.
Помимо описания евклидовых многогранников, символы Шлефли могут быть использованы для описания сферических многогранников или сферических сот. [1] : 138
Работа Шлефли была почти неизвестна при его жизни, и его обозначения для описания многогранников были переоткрыты независимо несколькими другими. В частности, Торольд Госсет переоткрыл символ Шлефли, который он записал как | p | q | r | ... | z |, а не со скобками и запятыми, как это делал Шлефли. [1] : 144
Форма Госсета имеет большую симметрию, поэтому число измерений равно числу вертикальных черт, а символ точно включает в себя подсимволы для фасета и вершинной фигуры. Госсет рассматривал | p как оператор, который может быть применен к | q | ... | z | для создания многогранника с p -угольными гранями, вершинная фигура которого равна | q | ... | z |.
Символы Шлефли тесно связаны с (конечными) группами симметрии отражения , которые в точности соответствуют конечным группам Коксетера и указываются с теми же индексами, но вместо них используются квадратные скобки [ p , q , r ,...]. Такие группы часто называют по правильным многогранникам, которые они генерируют. Например, [3,3] — это группа Коксетера для отражательной тетраэдрической симметрии , [3,4] — отражательная октаэдрическая симметрия , а [3,5] — отражательная икосаэдрическая симметрия .
Символ Шлефли выпуклого правильного многоугольника с p ребрами — { p }. Например, правильный пятиугольник представлен {5}.
Для невыпуклых звездчатых многоугольников используется конструктивная запись { p ⁄ q }, где p — число вершин, а q −1 — число вершин, пропущенных при рисовании каждого ребра звезды. Например, { 5 ⁄ 2 } представляет пентаграмму .
Символ Шлефли правильного многогранника равен { p , q }, если его грани являются p -угольниками, а каждая вершина окружена q гранями ( вершинная фигура является q -угольником).
Например, {5,3} — правильный додекаэдр . Он имеет пятиугольные (5 ребер) грани и 3 пятиугольника вокруг каждой вершины.
См. 5 выпуклых Платоновых тел , 4 невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо .
Топологически регулярную 2-мерную мозаику можно рассматривать как подобную (3-мерному) многограннику, но такую, что угловой дефект равен нулю. Таким образом, символы Шлефли можно также определить для регулярных мозаик евклидова или гиперболического пространства таким же образом, как и для многогранников. Аналогия сохраняется и для более высоких измерений .
Например, шестиугольная мозаика представлена как {6,3}.
Символ Шлефли правильного 4-мерного многогранника имеет вид { p , q , r }. Его (двумерные) грани — правильные p -угольники ({ p }), ячейки — правильные многогранники типа { p , q }, вершинные фигуры — правильные многогранники типа { q , r }, а рёберные фигуры — правильные r -угольники (тип { r }).
См. шесть выпуклых правильных и 10 правильных звездчатых 4-мерных многогранников .
Например, 120-ячейка представлена как {5,3,3}. Она состоит из ячеек додекаэдра {5,3} и имеет 3 ячейки вокруг каждого ребра.
Существует одна правильная мозаика евклидова трехмерного пространства: кубические соты с символом Шлефли {4,3,4}, состоящие из кубических ячеек и 4 кубов по каждому краю.
Существуют также 4 правильных компактных гиперболических мозаики, включая {5,3,4} — гиперболические малые додекаэдрические соты , которые заполняют пространство ячейками додекаэдра .
Если символ 4-мерного многогранника является палиндромным (например, {3,3,3} или {3,4,3}), то его битукроссинг будет иметь только усеченные формы вершинной фигуры в качестве ячеек.
Для правильных многогранников большей размерности символ Шлефли определяется рекурсивно как { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 }, если грани имеют символ Шлефли { p 1 , p 2 , ..., p n − 2 } , а вершинные фигуры имеют символ Шлефли { p 2 , p 3 , ..., p n − 1 } .
Вершинная фигура грани многогранника и грань вершинной фигуры того же многогранника совпадают: { p 2 , p 3 , ..., p n − 2 } .
Существует только 3 правильных многогранника в 5 измерениях и выше: симплекс , {3, 3, 3, ..., 3}; кросс-политоп , {3, 3, ..., 3, 4}; и гиперкуб , {4, 3, 3, ..., 3}. Невыпуклых правильных многогранников выше 4 измерений не существует.
Если многогранник размерности n ≥ 2 имеет символ Шлефли { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 }, то его двойственный многогранник имеет символ Шлефли { p n − 1 , ..., p 2 , p 1 }.
Если последовательность является палиндромной , т.е. одинаковой в прямом и обратном направлении, то многогранник является самодвойственным . Каждый правильный многогранник в 2 измерениях (многоугольник) является самодвойственным.
Однородные призматические многогранники можно определить и назвать как декартово произведение (с оператором «×») правильных многогранников меньшей размерности.
. Его симметрия [ ].
. Его симметрия [2].
. Его симметрия [2, с. ].
. Его симметрия [2, p , q ].. Его симметрия [ p ,2, q ].Призматические двойники, или бипирамиды, можно представить в виде составных символов, но с оператором сложения «+».
. Его симметрия [2].. Его симметрия [2, с. ].. Его симметрия [ p , q ].. Его симметрия [ p ,2, q ].Пирамидальные многогранники, содержащие ортогонально смещенные вершины, могут быть представлены с помощью оператора соединения, "∨". Каждая пара вершин между соединенными фигурами соединена ребрами.
В 2D равнобедренный треугольник можно представить как ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
В 3D:
В 4D:
При смешивании операторов порядок операций от высшего к низшему — ×, +, ∨.
Аксиальные многогранники, содержащие вершины на параллельных смещенных гиперплоскостях, могут быть представлены оператором ‖. Однородная призма — это { n }‖{ n }, а антипризма — { n }‖ r { n }.
Усеченный правильный многоугольник удваивает стороны. Правильный многоугольник с четными сторонами можно разделить пополам. Измененный четный правильный 2n-угольник порождает звездчатую фигуру , 2{n}.
Коксетер расширил использование символа Шлефли до квазирегулярных многогранников , добавив к символу вертикальное измерение. Это стало отправной точкой к более общей диаграмме Коксетера . Норман Джонсон упростил обозначение вертикальных символов с помощью префикса r . t-обозначение является наиболее общим и напрямую соответствует кольцам диаграммы Коксетера. Символы имеют соответствующее чередование , заменяя кольца отверстиями в диаграмме Коксетера и префикс h , обозначающий половину , конструкция ограничена требованием, чтобы соседние ветви были четно упорядочены и разрезали порядок симметрии пополам. Связанный оператор, a для измененного , показан с двумя вложенными отверстиями, представляет собой составные многогранники с обеими чередующимися половинами, сохраняя исходную полную симметрию. Носик является половинной формой усечения, а голосник является обеими половинами чередующегося усечения.
Чередования имеют половину симметрии групп Коксетера и представлены незаполненными кольцами. Возможны два варианта, по которым берутся половины вершин, но символ не подразумевает, какой именно. Формы четвертей показаны здесь со знаком + внутри пустого кольца, что подразумевает, что это два независимых чередования.
Измененные и голообразные формы обладают полной симметрией группы Коксетера и представлены двойными незаполненными кольцами, но могут быть представлены в виде соединений.
Обычный
Полурегулярный
Правильные многогранники.
