Скалярная кривизна

Мера кривизны в дифференциальной геометрии

В математической области римановой геометрии скалярная кривизна (или скаляр Риччи ) является мерой кривизны риманова многообразия . Каждой точке риманова многообразия он сопоставляет одно действительное число , определяемое геометрией метрики вблизи этой точки. Он определяется сложной явной формулой в терминах частных производных метрических компонент, хотя он также характеризуется объемом бесконечно малых геодезических шаров. В контексте дифференциальной геометрии поверхностей скалярная кривизна в два раза больше гауссовой кривизны и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако в более высоких измерениях скалярная кривизна представляет собой только одну конкретную часть тензора кривизны Римана .

Определение скалярной кривизны через частные производные также справедливо в более общей ситуации псевдоримановых многообразий . Это важно в общей теории относительности , где скалярная кривизна лоренцевой метрики является одним из ключевых членов в уравнениях поля Эйнштейна . Более того, эта скалярная кривизна является плотностью Лагранжа для действия Эйнштейна–Гильберта , уравнения Эйлера–Лагранжа которого являются уравнениями поля Эйнштейна в вакууме .

Геометрия римановых метрик с положительной скалярной кривизной широко изучалась. На некомпактных пространствах это контекст теоремы о положительной массе, доказанной Ричардом Шоеном и Шинг-Тунгом Яу в 1970-х годах и вскоре повторно доказанной Эдвардом Виттеном с использованием других методов. Шоен и Яу, а также независимо Михаил Громов и Блейн Лоусон разработали ряд фундаментальных результатов по топологии замкнутых многообразий, поддерживающих метрики положительной скалярной кривизны. В сочетании с их результатами конструкция потока Риччи с хирургией Григория Перельмана в 2003 году дала полную характеристику этих топологий в трехмерном случае.

Определение

Для заданной римановой метрики g скалярная кривизна Scal определяется как след тензора кривизны Риччи относительно метрики: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

Скалярная кривизна не может быть вычислена напрямую из кривизны Риччи, поскольку последняя является (0,2)-тензорным полем; метрика должна использоваться для повышения индекса , чтобы получить (1,1)-тензорное поле для взятия следа. В терминах локальных координат можно записать, используя соглашение об обозначениях Эйнштейна , что: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{ij}R_{ij}}$

где R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j ) — компоненты тензора Риччи в координатном базисе, а g ^ij — компоненты обратной метрики , т.е. компоненты обратной матрицы метрических компонент g _ij = g (∂ _i , ∂ _j ) . Исходя из того, что кривизна Риччи является суммой секционных кривизн , можно также выразить скалярную кривизну как ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Scal} (p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {Sec} (e_{i},e_{j})}$

где Sec обозначает секционную кривизну, а e ₁ , ..., e _n — любая ортонормальная рамка в точке p . По аналогичным соображениям скалярная кривизна равна удвоенному следу оператора кривизны . ^[4] В качестве альтернативы, учитывая определение кривизны Риччи на основе координат в терминах символов Кристоффеля , можно выразить скалярную кривизну как

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)}$

где — символы Кристоффеля метрики, а — частная производная по направлению σ-координаты. ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

Приведенные выше определения в равной степени справедливы и для псевдоримановой метрики . ^[5] Частный случай лоренцевой метрики имеет важное значение в математической теории общей теории относительности , где скалярная кривизна и кривизна Риччи являются фундаментальными членами в уравнении поля Эйнштейна .

Однако, в отличие от тензора кривизны Римана или тензора Риччи, скалярная кривизна не может быть определена для произвольной аффинной связности , по той причине, что след (0,2)-тензорного поля плохо определен. Однако существуют и другие обобщения скалярной кривизны, в том числе в геометрии Финслера . ^[6]

Традиционная нотация

В контексте обозначения индекса тензора буква R обычно используется для обозначения трех различных вещей: ^[7]

1. тензор кривизны Римана: R _ijk ^l или R _ijkl
2. тензор Риччи: R _ij
3. скалярная кривизна: R

Эти три затем отличаются друг от друга по количеству индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Другие обозначения, используемые для скалярной кривизны, включают scal , ^[8] κ , ^[9] K , ^[10] r , ^[11] s или S , ^[12] и τ . ^[13]

Те, кто не использует индексную нотацию, обычно резервируют R для полного тензора кривизны Римана. В качестве альтернативы, в безкоординатной нотации можно использовать Riem для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и R для скалярной кривизны.

Некоторые авторы вместо этого определяют кривизну Риччи и скалярную кривизну с помощью нормировочного коэффициента, так что ^[10]

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.}$

Цель такого выбора состоит в том, чтобы кривизны Риччи и скалярные кривизны стали средними значениями (а не суммами) секционных кривизн. ^[14]

Основные свойства

Фундаментальным фактом является то, что скалярная кривизна инвариантна относительно изометрий . Точнее, если f является диффеоморфизмом из пространства M в пространство N , причем последнее снабжено (псевдо-)римановой метрикой g , то скалярная кривизна метрики обратного проецирования на M равна композиции скалярной кривизны g с отображением f . Это равносильно утверждению, что скалярная кривизна геометрически хорошо определена, независимо от выбора координатной карты или локальной системы отсчета. ^[15] В более общем смысле, как можно выразиться на языке гомотетий , эффект масштабирования метрики на постоянный множитель c заключается в масштабировании скалярной кривизны на обратный множитель c ⁻¹ . ^[16]

Более того, скалярная кривизна является (с точностью до произвольного выбора коэффициента нормализации) единственной независимой от координат функцией метрики, которая, будучи оценена в центре нормальной координатной карты , является полиномом по производным метрики и обладает указанным выше свойством масштабирования. ^[17] Это одна из формулировок теоремы Вермейля .

Идентичность Бьянки

Как прямое следствие тождеств Бианки , любая (псевдо)риманова метрика обладает свойством ^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.}$

Это тождество называется сокращенным тождеством Бьянки . Оно имеет, как почти немедленное следствие, лемму Шура, утверждающую, что если тензор Риччи является точечно кратным метрике, то метрика должна быть эйнштейновой (если только размерность не равна двум). Более того, это говорит, что (за исключением двух измерений) метрика является эйнштейновой тогда и только тогда, когда тензор Риччи и скалярная кривизна связаны соотношением

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},}$

где n обозначает размерность. ^[18] Сокращенное тождество Бьянки также является фундаментальным в математике общей теории относительности, поскольку оно определяет тензор Эйнштейна как фундаментальную величину. ^[19]

Разложение Риччи

Если задана (псевдо)риманова метрика g на пространстве размерности n , то скалярная часть кривизны тензора кривизны Римана представляет собой (0,4)-тензорное поле

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

(Это следует соглашению, что R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − ... .) Этот тензор важен как часть разложения Риччи ; он ортогонален разности между тензором Римана и самим собой. Две другие части разложения Риччи соответствуют компонентам кривизны Риччи, которые не вносят вклад в скалярную кривизну, и тензору Вейля , который является частью тензора Римана, которая не вносит вклад в кривизну Риччи. Иными словами, указанное выше тензорное поле является единственной частью тензора кривизны Римана, которая вносит вклад в скалярную кривизну; другие части ортогональны ему и не вносят такого вклада. ^[20] Существует также разложение Риччи для кривизны метрики Кэхлера . ^[21]

Основные формулы

Скалярную кривизну конформно измененной метрики можно вычислить: ^[22]

${\displaystyle R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},}$

используя соглашение Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j для оператора Лапласа–Бельтрами . В качестве альтернативы, ^[22]

${\displaystyle R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R(g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

При бесконечно малом изменении базовой метрики имеем ^[23]

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

Это показывает, в частности, что главный символ дифференциального оператора , который переводит метрику в ее скалярную кривизну, задается формулой

${\displaystyle (\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j}.}$

Кроме того, сопряженный оператор линеаризованной скалярной кривизны имеет вид

${\displaystyle f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},}$

и это переопределенный эллиптический оператор в случае римановой метрики. Это прямое следствие формул первой вариации, что, в первом порядке, риччи-плоская риманова метрика на замкнутом многообразии не может быть деформирована так, чтобы иметь либо положительную, либо отрицательную скалярную кривизну. Также, в первом порядке, эйнштейновская метрика на замкнутом многообразии не может быть деформирована при нормализации объема так, чтобы увеличить или уменьшить скалярную кривизну. ^[23]

Связь между объемом и римановой скалярной кривизной

Когда скалярная кривизна положительна в точке, объем малого геодезического шара вокруг этой точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна отрицательна в точке, объем малого шара больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.

Это можно сделать более количественным, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны S в точке p риманова n -многообразия . А именно, отношение n -мерного объема шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве для малых ε определяется как ^[24] ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Таким образом, вторая производная этого отношения, вычисленная при радиусе ε  = 0, равна в точности минус скалярная кривизна, деленная на 3( n  + 2).

Границы этих шаров представляют собой ( n  − 1)-мерные сферы радиуса ; их гиперповерхностные меры («площади») удовлетворяют следующему уравнению: ^[25] ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Эти расширения обобщают некоторые характеристики гауссовой кривизны от размерности два до более высоких размерностей.

Особые случаи

Поверхности

В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза больше гауссовой кривизны. Для вложенной поверхности в евклидовом пространстве R ³ это означает, что

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

где — главные радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса r равна 2/ r ² . ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$

Двумерный тензор кривизны Римана имеет только один независимый компонент, и его можно выразить через скалярную кривизну и метрическую форму площади. А именно, в любой системе координат имеем

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

Формы пространства

Пространственная форма по определению является римановым многообразием с постоянной секционной кривизной. Пространственные формы локально изометричны одному из следующих типов:

Евклидово пространство

Тензор Римана n -мерного евклидова пространства тождественно равен нулю, поэтому скалярная кривизна тоже равна нулю.

n -сферы

Кривизна сечения n -сферы радиуса r равна K  = 1/ r ^2. Следовательно, скалярная кривизна равна S  =  n ( n  − 1)/ r ² .

Гиперболическое пространство

Согласно модели гиперболоида , n -мерное гиперболическое пространство можно отождествить с подмножеством ( n  + 1)-мерного пространства Минковского

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

Параметр r является геометрическим инвариантом гиперболического пространства, а секционная кривизна равна K  = −1/ r ² . Таким образом, скалярная кривизна равна S  = − n ( n  − 1)/ r ² .

Скалярная кривизна также постоянна, если задана метрика Кэлера постоянной голоморфной секционной кривизны . ^[21]

Продукция

Скалярная кривизна произведения M × N римановых многообразий является суммой скалярных кривизн M и N . Например, для любого гладкого замкнутого многообразия M , M × S ² имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто считая 2-сферу малой по сравнению с M (так что ее кривизна велика). Этот пример может означать, что скалярная кривизна имеет мало отношения к глобальной геометрии многообразия. На самом деле, она имеет некоторое глобальное значение, как обсуждается ниже.

И в математике, и в общей теории относительности метрики искривленного произведения являются важным источником примеров. Например, общее пространство-время Робертсона-Уокера , важное для космологии , является метрикой Лоренца

${\displaystyle -dt^{2}+f(t)^{2}g}$

на ( a , b ) × M , где g — риманова метрика постоянной кривизны на трехмерном многообразии M . Скалярная кривизна метрики Робертсона–Уокера задается выражением

${\displaystyle 6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},}$

где k — постоянная кривизна g . ^[26]

Скалярно-плоские пространства

Автоматически любое риччи-плоское многообразие имеет нулевую скалярную кривизну; наиболее известные пространства в этом классе — многообразия Калаби–Яу . В псевдоримановом контексте это также включает пространство-время Шварцшильда и пространство-время Керра .

Существуют метрики с нулевой скалярной кривизной, но неисчезающей кривизной Риччи. Например, существует полная риманова метрика на тавтологическом линейном расслоении над вещественным проективным пространством , построенная как искривленная метрика произведения , которая имеет нулевую скалярную кривизну, но ненулевую кривизну Риччи. Это также можно рассматривать как вращательно-симметричную риманову метрику нулевой скалярной кривизны на цилиндре R × S ⁿ . ^[27]

проблема Ямабэ

Проблема Ямабэ была решена в 1984 году путем объединения результатов, полученных Хидехико Ямабэ , Нилом Трудингером , Тьерри Обеном и Ричардом Шоеном . ^[28] Они доказали, что каждую гладкую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая риманова метрика на замкнутом многообразии конформна метрике с постоянной скалярной кривизной.

Римановы метрики положительной скалярной кривизны

Для замкнутого риманова 2-многообразия M скалярная кривизна имеет ясную связь с топологией M , выраженную теоремой Гаусса–Бонне : полная скалярная кривизна M равна 4π, умноженным на эйлерову характеристику M. Например, единственными замкнутыми поверхностями с ^{метрикой} положительной скалярной кривизны являются поверхности с положительной эйлеровой характеристикой: сфера S2 и RP2 . Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.

Результаты несуществования

В 1960-х годах Андре Лихнерович обнаружил, что на спиновом многообразии разница между квадратом оператора Дирака и тензорным лапласианом (определенным на спинорных полях) дается ровно одной четвертью скалярной кривизны. Это фундаментальный пример формулы Вейценбека . Как следствие, если риманова метрика на замкнутом многообразии имеет положительную скалярную кривизну, то не может существовать гармонических спиноров . Тогда следствием теоремы Атьи–Зингера об индексе является то, что для любого замкнутого спинового многообразия с размерностью, делящейся на четыре, и положительной скалярной кривизной род Â должен исчезать. Это чисто топологическое препятствие к существованию римановых метрик с положительной скалярной кривизной. ^[29]

Аргумент Лихнеровича, использующий оператор Дирака , может быть «скручен» вспомогательным векторным расслоением , с эффектом введения только одного дополнительного члена в формулу Лихнеровича. ^[30] Затем, следуя тому же анализу, что и выше, за исключением использования версии семейств теоремы об индексе и уточненной версии рода Â, известной как α-род , Найджел Хитчин доказал, что в определенных измерениях существуют экзотические сферы , которые не имеют никаких римановых метрик положительной скалярной кривизны. Громов и Лоусон позже широко использовали эти варианты работы Лихнеровича. Одна из их результирующих теорем вводит гомотопически-теоретическое понятие расширяемости и утверждает, что расширяемое спиновое многообразие не может иметь римановой метрики положительной скалярной кривизны. Как следствие, замкнутое многообразие с римановой метрикой неположительной кривизны, такое как тор , не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. Различные результаты Громова и Лоусона о несуществовании римановых метрик с положительной скалярной кривизной поддерживают гипотезу об исчезновении широкого спектра топологических инвариантов любого замкнутого спинового многообразия с положительной скалярной кривизной. Это (в точной формулировке), в свою очередь, было бы частным случаем сильной гипотезы Новикова для фундаментальной группы , которая имеет дело с K-теорией C*-алгебр . ^[31] Это, в свою очередь, является частным случаем гипотезы Баума–Конна для фундаментальной группы. ^[32]

В частном случае четырехмерных многообразий уравнения Зайберга–Виттена были с пользой применены для изучения скалярной кривизны. Подобно анализу Лихнеровича, ключом является применение принципа максимума для доказательства того, что решения уравнений Зайберга–Виттена должны быть тривиальными, когда скалярная кривизна положительна. Также по аналогии с работой Лихнеровича, теоремы об индексе могут гарантировать существование нетривиальных решений уравнений. Такой анализ дает новые критерии несуществования метрик положительной скалярной кривизны. Клод Лебрен развивал такие идеи в ряде статей. ^[33]

Результаты существования

В отличие от приведенных выше результатов об отсутствии, Лоусон и Яу построили римановы метрики положительной скалярной кривизны из широкого класса неабелевых эффективных групповых действий. ^[30]

Позднее Шен–Яу и Громов–Лоусон (используя разные методы) доказали фундаментальный результат, что существование римановых метрик положительной скалярной кривизны сохраняется топологической хирургией в коразмерности по крайней мере три и, в частности, сохраняется связной суммой . Это устанавливает существование таких метрик на самых разных многообразиях. Например, это немедленно показывает, что связная сумма произвольного числа копий сферических пространственных форм и обобщенных цилиндров S ^m × S ⁿ имеет риманову метрику положительной скалярной кривизны. Конструкция потока Риччи с хирургией Григория Перельмана имеет, как непосредственное следствие, обратное в трехмерном случае: замкнутое ориентируемое 3-многообразие с римановой метрикой положительной скалярной кривизны должно быть такой связной суммой. ^[34]

Основываясь на хирургии, допускаемой конструкцией Громова–Лоусона и Шёна–Яу, Громов и Лоусон заметили, что теорема о h-кобордизме и анализ кольца кобордизма могут быть применены напрямую. Они доказали, что в размерности больше четырёх любое неспиновое односвязное замкнутое многообразие имеет риманову метрику положительной скалярной кривизны. ^[35] Стефан Штольц завершил теорию существования односвязных замкнутых многообразий в размерности больше четырёх, показав, что пока α-род равен нулю, существует риманова метрика положительной скалярной кривизны. ^[36]

Согласно этим результатам, для замкнутых многообразий существование римановых метрик положительной скалярной кривизны полностью доказано в трехмерном случае и в случае односвязных многообразий размерности больше четырех.

Теорема трихотомии Каздана и Уорнера

Знак скалярной кривизны имеет более слабую связь с топологией в высших измерениях. Для заданного гладкого замкнутого многообразия M размерности не менее 3 Каздан и Уорнер решили задачу заданной скалярной кривизны , описав, какие гладкие функции на M возникают как скалярная кривизна некоторой римановой метрики на M. А именно, M должно быть ровно одного из следующих трех типов: ^[37]

1. Каждая функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M.
2. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она либо тождественно равна нулю, либо отрицательна где-то.
3. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она где-то отрицательна.

Таким образом, каждое многообразие размерности не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, фактически постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана–Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) можно описать как класс многообразий с сильно скалярно-плоской метрикой , то есть метрикой со скалярной кривизной, равной нулю, такой, что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Акито Футаки показал, что строго скалярно-плоские метрики (как определено выше) являются чрезвычайно специальными. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, которое является строго скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с группой голономии SU( n ) ( многообразия Калаби–Яу ), Sp( n ) ( гиперкэлеровы многообразия ) или Spin(7). ^[38] В частности, эти метрики являются Риччи-плоскими, а не просто скалярно-плоскими. Наоборот, существуют примеры многообразий с этими группами голономии, такие как поверхность K3 , которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, строго скалярно-плоские.

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Инвариант Ямабэ
• скаляр Кречмана

Примечания

1. Галло, Хулин и Лафонтен, 2004, Определение 3.19; Лоусон и Майкельсон 1989, с. 160; Петерсен 2016, раздел 1.5.2.
2. Обин 1998, Раздел 1.2.3; Петерсен 2016, Раздел 1.5.2.
3. Галло, Хулин и Лафонтен, 2004, Определение 3.19; Петерсен 2016, раздел 3.1.5.
4. Петерсен 2016, Раздел 3.1.5.
5. Besse 1987, раздел 1F; О'Нил 1983, с. 88.
6. Бао, Черн и Шен 2000.
7. Aubin 1998, Определение 1.22; Jost 2017, стр. 200; Petersen 2016, Замечание 3.1.7.
8. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, с. 135; Петерсен 2016, с. 30.
9. Лоусон и Михельсон 1989, стр. 160.
10. do Carmo 1992, Раздел 4.4.
11. Берлин, Гетцлер и Вернь 2004, с. 34.
12. Бесс 1987, с. 10; Галло, Хулин и Лафонтен 2004, с. 135; О'Нил 1983, с. 88.
13. Джилки 1995, стр. 144.
14. ду Кармо 1992, стр. 107–108.
15. О'Нил 1983, стр. 90–91.
16. О'Нил 1983, стр. 92.
17. Джилки 1995, Пример 2.4.3.
18. Обин 1998, раздел 1.2.3; Галло, Хулин и Лафонтен, 2004 г., раздел 3.K.3; Петерсен 2016, раздел 3.1.5.
19. Бесс 1987, Раздел 3C; О'Нил 1983, с. 336.
20. Бесс 1987, разделы 1G и 1H.
21. Besse 1987, Раздел 2D.
22. Обин 1998, с. 146; Бесс 1987, раздел 1J.
23. Besse 1987, Раздел 1K.
24. Чавел 1984, Раздел XII.8; Галло, Хулин и Лафонтен, 2004 г., раздел 3.H.4.
25. Чавель 1984, Раздел XII.8.
26. О'Нил 1983, стр. 345.
27. Петерсен 2016, Раздел 4.2.3.
28. Ли и Паркер, 1987.
29. Besse 1987, Раздел 1I; Gilkey 1995, Раздел 4.1; Jost 2017, Разделы 4.4 и 4.5; Lawson & Michelsohn 1989, Раздел II.8.
30. Lawson & Michelsohn 1989, разделы II.8 и IV.3.
31. Блэкадар 1998, Раздел 24.3; Лоусон и Михельсон 1989, Раздел IV.5.
32. Блэкадар 1998, Раздел 24.4.
33. Йост 2017, Раздел 11.2.
34. Перельман 2003, Раздел 6.1; Цао и Чжу 2006, Следствие 7.4.4; Кляйнер и Лотт 2008, Леммы 81.1 и 81.2.
35. Лоусон и Михельсон 1989, Раздел IV.4.
36. Бергер 2003, Раздел 12.3.3.
37. Бесс 1987, Теорема 4.35.
38. Петерсен 2016, Следствие C.4.4.

Ссылки

• Обен, Тьерри (1998). Некоторые нелинейные проблемы римановой геометрии . Springer Monographs in Mathematics. Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR  1636569. Zbl  0896.53003.
• Bao, D.; Chern, S.-S .; Shen, Z. (2000). Введение в геометрию Римана–Финслера . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 200. New York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. MR  1747675. Zbl  0954.53001.
• Бергер, Марсель (2003). Панорамный вид римановой геометрии . Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18245-7. ISBN 3-540-65317-1. MR  2002701. Zbl  1038.53002.
• Берлин, Николь ; Гетцлер, Эзра ; Вернь, Мишель (2004). Тепловые ядра и операторы Дирака . Grundlehren Text Editions (исправленная перепечатка оригинального издания 1992 года). Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-58088-8. ISBN 978-3-540-20062-8. MR  2273508. Zbl  1037.58015.
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Том. 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. MR  0867684. Zbl  0613.53001.
• Блэкадар, Брюс (1998). K-теория для операторных алгебр . Публикации Института исследований математических наук. Том 5 (Второе издание оригинального издания 1986 года). Кембридж: Cambridge University Press . doi :10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 0-521-63532-2. MR  1656031. Zbl  0913.46054.
• Cao, Huai-Dong ; Zhu, Xi-Ping (2006). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — применение теории Гамильтона–Перельмана потока Риччи». Asian Journal of Mathematics . 10 (2): 165–492. doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . MR  2233789. Zbl  1200.53057. (Исправление:  doi :10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2) – – (2006). «Доказательство Гамильтона–Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math/0612069 .
  
• ду Карму, Манфреду Пердигау (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8. MR  1138207. Zbl  0752.53001.
• Chavel, Isaac (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Т. 115. Орландо, Флорида: Academic Press . doi :10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. MR  0768584. Zbl  0551.53001.
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. MR  2088027. Zbl  1068.53001.
• Джилки, Питер Б. (1995). Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема об индексе Атьи–Зингера . Исследования по высшей математике (Второе издание оригинального издания 1984 г.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . doi :10.1201/9780203749791. ISBN 0-8493-7874-5. MR  1396308. Zbl  0856.58001.
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинального издания 1995 года). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR  3726907. Zbl  1380.53001.
• Кляйнер, Брюс ; Лотт, Джон (2008). «Заметки о работах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5). Обновлено для исправлений в 2011 и 2013 годах: 2587–2855. arXiv : math/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR  2460872. Zbl  1204.53033.
• Лоусон, Х. Блейн-младший ; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton Mathematical Series. Том 38. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 0-691-08542-0. MR  1031992. Zbl  0688.57001.
• Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. (1987). «Проблема Ямабэ». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (1): 37–91. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15514-5 . MR  0888880. Zbl  0633.53062.
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Т. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. MR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Перельман, Гриша (март 2003 г.). "Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях". arXiv : math/0303109 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (Третье издание 1998 г., оригинальное издание). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Риччи, Г. (1903–1904), «Direzioni e Invarianti Principal in una varietà qualunque», Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239, JFM  35.0145.01

Дальнейшее чтение

• Громов, Миша (2023). «Четыре лекции о скалярной кривизне». В Громов, Михаил Л .; Лоусон, Х. Блейн-младший (ред.). Перспективы скалярной кривизны. Том 1. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing . стр. 1–514. arXiv : 1908.10612 . doi :10.1142/12644-vol1. ISBN 978-981-124-998-3. MR  4577903. Zbl  1532.53003.
• Розенберг, Джонатан ; Штольц, Стефан (2001). «Метрики положительной скалярной кривизны и связи с хирургией». В Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (ред.). Обзоры по теории хирургии. Том 2. Annals of Mathematics Studies. Том 149. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. 353–386. CiteSeerX  10.1.1.725.8156 . doi :10.1515/9781400865215-010. ISBN 0-691-08814-4. МР  1818778.
• Яу, С.-Т. (2000). «Обзор геометрии и анализа». Азиатский журнал математики . 4 (1): 235–278. doi : 10.4310/AJM.2000.v4.n1.a16 . MR  1803723. Zbl  1031.53004.