Тензор кривизны Римана

Тензорное поле в римановой геометрии

В математической области дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана или тензор Римана–Кристоффеля (в честь Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля ) является наиболее распространенным способом выражения кривизны римановых многообразий . Он назначает тензор каждой точке риманова многообразия (т. е. является тензорным полем ). Это локальный инвариант римановых метрик, который измеряет некоммутативность вторых ковариантных производных . Риманово многообразие имеет нулевую кривизну тогда и только тогда, когда оно плоское , т. е. локально изометрично евклидову пространству . ^[1] Тензор кривизны также может быть определен для любого псевдориманова многообразия или, в действительности, для любого многообразия, снабженного аффинной связностью .

Это центральный математический инструмент в общей теории относительности , современной теории гравитации . Кривизна пространства-времени в принципе может быть обнаружена с помощью уравнения геодезического отклонения . Тензор кривизны представляет собой приливную силу, испытываемую твердым телом, движущимся по геодезической, в смысле, уточненном уравнением Якоби .

Определение

Пусть — риманово или псевдориманово многообразие , а — пространство всех векторных полей на . Определим тензор кривизны Римана как отображение по следующей формуле ^[2] где — связность Леви-Чивиты : ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

или эквивалентно

${\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}}$

где [ X , Y ] — скобка Ли векторных полей , а — коммутатор дифференциальных операторов. Оказывается, что правая часть на самом деле зависит только от значения векторных полей в данной точке, что примечательно, поскольку ковариантная производная векторного поля также зависит от значений поля в окрестности точки. Следовательно, — -тензорное поле. При фиксированном линейное преобразование также называется преобразованием кривизны или эндоморфизмом . Иногда тензор кривизны определяется с противоположным знаком. ${\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (1,3)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z\mapsto R(X,Y)Z}$

Тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной и, как таковой, является препятствием к интегрируемости для существования изометрии с евклидовым пространством (называемым в данном контексте плоским пространством).

Поскольку связность Леви-Чивиты не имеет кручения, ее кривизна также может быть выражена через вторую ковариантную производную ^[3]

${\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}$

которая зависит только от значений в точке. Тогда кривизна может быть записана как ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}}$

Таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность второй ковариантной производной. В абстрактной индексной нотации тензор кривизны Римана также является коммутатором ковариантной производной произвольного ковектора с самим собой: ^{[4] [5]} $${\displaystyle R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.}$$ ${\displaystyle A_{\nu }}$

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }.}$

Эту формулу часто называют тождеством Риччи . ^[6] Это классический метод, используемый Риччи и Леви-Чивитой для получения выражения для тензора кривизны Римана. ^[7] Это тождество можно обобщить, чтобы получить коммутаторы для двух ковариантных производных произвольных тензоров следующим образом ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}}$

Эта формула также применима к тензорным плотностям без изменений, поскольку для связи Леви-Чивиты ( не общей ) получается: ^[6]

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,}$

где

${\displaystyle g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.}$

Иногда удобно также определить чисто ковариантную версию тензора кривизны следующим образом:

${\displaystyle R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.}$

Геометрическое значение

Рисунок, показывающий геометрический смысл тензора кривизны Римана в сферическом искривленном многообразии. Тот факт, что этот перенос может определять две разные стрелки в начальной точке, приводит к тензору кривизны Римана. Ортогональный символ указывает, что скалярное произведение (предоставляемое метрическим тензором) между переданными стрелками (или касательными стрелками на кривой) равно нулю. Угол между двумя стрелками равен нулю, когда пространство плоское, и больше нуля, когда пространство искривлено. Чем более искривлено пространство, тем больше угол.

Неформально

Эффекты искривленного пространства можно увидеть, сравнив теннисный корт и Землю. Начните с нижнего правого угла теннисного корта, держа ракетку в направлении на север. Затем, обходя контур корта, на каждом шагу следите за тем, чтобы теннисная ракетка сохраняла ту же ориентацию, параллельную предыдущим положениям. После завершения петли теннисная ракетка будет параллельна своему начальному положению. Это связано с тем, что теннисные корты построены так, чтобы поверхность была плоской. С другой стороны, поверхность Земли искривлена: мы можем завершить петлю на поверхности Земли. Начиная с экватора, направьте теннисную ракетку на север вдоль поверхности Земли. И снова теннисная ракетка должна всегда оставаться параллельной своему предыдущему положению, используя локальную плоскость горизонта в качестве ориентира. Для этого пути сначала идите к северному полюсу, затем идите боком (т. е. не поворачиваясь), затем вниз к экватору и, наконец, идите назад в исходное положение. Теперь теннисная ракетка будет указывать на запад, хотя когда вы начали свое путешествие, она указывала на север, и вы никогда не поворачивали свое тело. Этот процесс похож на параллельный перенос вектора по траектории, и разница определяет, как линии, которые кажутся «прямыми», являются «прямыми» только локально. Каждый раз, когда цикл завершен, теннисная ракетка будет отклоняться дальше от своего начального положения на величину, зависящую от расстояния и кривизны поверхности. Можно определить пути вдоль искривленной поверхности, где параллельный перенос работает так же, как и на плоском пространстве. Это геодезические пространства , например, любой сегмент большого круга сферы.

Понятие искривленного пространства в математике отличается от разговорного использования. Например, если бы описанный выше процесс был выполнен на цилиндре, то можно было бы обнаружить, что он не искривлен в целом, поскольку кривизна вокруг цилиндра компенсируется плоскостностью вдоль цилиндра, что является следствием гауссовой кривизны и теоремы Гаусса Egregium . Знакомый пример этого — гибкий кусок пиццы, который останется жестким по длине, если его изогнуть по ширине.

Тензор кривизны Римана — это способ зафиксировать меру внутренней кривизны. Когда вы записываете его в терминах его компонентов (как записываете компоненты вектора), он состоит из многомерного массива сумм и произведений частных производных (некоторые из этих частных производных можно рассматривать как нечто похожее на фиксирование кривизны, налагаемой на кого-то, идущего по прямым линиям на искривленной поверхности).

Формально

Когда вектор в евклидовом пространстве параллельно переносится вокруг петли, он снова будет указывать в исходном направлении после возвращения в исходное положение. Однако это свойство не выполняется в общем случае. Тензор кривизны Римана напрямую измеряет нарушение этого в общем римановом многообразии . Это нарушение известно как неголономность многообразия .

Пусть будет кривой в римановом многообразии . Обозначим через отображение параллельного переноса вдоль . Отображения параллельного переноса связаны с ковариантной производной соотношением ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M}$ ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(Y_{x_{0}}-\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}^{-1}(Y_{x_{t}})\right)\right|_{t=0}}$

для каждого векторного поля, определенного вдоль кривой. ${\displaystyle Y}$

Предположим, что и — пара коммутирующих векторных полей. Каждое из этих полей порождает однопараметрическую группу диффеоморфизмов в окрестности . Обозначим через и , соответственно, параллельные переносы вдоль потоков и для времени . Параллельный перенос вектора вокруг четырехугольника со сторонами , , , задается формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{tX}}$ ${\displaystyle \tau _{tY}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Z\in T_{x_{0}}M}$ ${\displaystyle tY}$ ${\displaystyle sX}$ ${\displaystyle -tY}$ ${\displaystyle -sX}$

${\displaystyle \tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.}$

Разница между этим и измеряет неспособность параллельного переноса вернуться в исходное положение в касательном пространстве . Сокращение петли путем отправки дает бесконечно малое описание этого отклонения: ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}M}$ ${\displaystyle s,t\to 0}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z}$

где — тензор кривизны Римана. ${\displaystyle R}$

Координатное выражение

Преобразуя в индексную запись тензора , тензор кривизны Римана определяется выражением

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)}$

где — координатные векторные поля. Вышеприведенное выражение можно записать с использованием символов Кристоффеля : ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }}$

(См. также Список формул римановой геометрии ).

Симметрии и тождества

Тензор кривизны Римана имеет следующие симметрии и тождества:

где скобка относится к внутреннему произведению на касательном пространстве, индуцированному метрическим тензором , а скобки и круглые скобки на индексах обозначают операторы антисимметризации и симметризации соответственно. Если есть ненулевое кручение , тождества Бианки включают тензор кручения . ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

Первое (алгебраическое) тождество Бьянки было открыто Риччи , но его часто называют первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки , поскольку оно похоже на дифференциальное тождество Бьянки . ^{[ необходима ссылка ]}

Первые три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т. е. для любого тензора, удовлетворяющего тождествам выше, можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые вычисления показывают, что такой тензор имеет независимые компоненты. ^[9] Из них следует симметрия взаимозаменяемости. Алгебраические симметрии также эквивалентны утверждению, что R принадлежит образу симметризатора Юнга, соответствующего разбиению 2+2. ${\displaystyle n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12}$

На римановом многообразии имеется ковариантная производная , а тождество Бьянки (часто называемое вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) принимает форму последнего тождества в таблице. ${\displaystyle \nabla _{u}R}$

кривизна Риччи

Тензор кривизны Риччи представляет собой свертку первого и третьего индексов тензора Римана.

${\displaystyle \underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}}$

Особые случаи

Поверхности

Для двумерной поверхности тождества Бианки подразумевают, что тензор Римана имеет только одну независимую компоненту, что означает, что скаляр Риччи полностью определяет тензор Римана. Существует только одно допустимое выражение для тензора Римана, которое соответствует требуемым симметриям:

${\displaystyle R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)}$

и свернув метрику дважды, находим явную форму:

${\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),}$

где — метрический тензор , а — функция, называемая гауссовой кривизной , и , , и принимают значения 1 или 2. Тензор Римана имеет только одну функционально независимую компоненту. Гауссова кривизна совпадает с секционной кривизной поверхности. Она также составляет ровно половину скалярной кривизны 2-многообразия, в то время как тензор кривизны Риччи поверхности просто задается как ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle K=R/2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{ab}=Kg_{ab}.}$

Формы пространства

Риманово многообразие является пространственной формой , если его секционная кривизна равна константе . Тензор Римана пространственной формы задается формулой ${\displaystyle K}$

${\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).}$

Наоборот, за исключением размерности 2, если кривизна риманова многообразия имеет этот вид для некоторой функции , то тождества Бианки подразумевают, что является постоянной и, таким образом, многообразие является (локально) пространственной формой. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности
• Разложение тензора кривизны Римана
• Кривизна римановых многообразий
• Тензор кривизны Риччи

Цитаты

1. Ли 2018, стр. 193.
2. Ли 2018, стр. 196.
3. Лоусон, Х. Блейн младший; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton U Press. стр. 154. ISBN 978-0-691-08542-5.
4. Синг Дж. Л., Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. Первое издание Dover Publications 1978 года. С. 83, 107. ISBN 978-0-486-63612-2.
5. PAM Dirac (1996). Общая теория относительности . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-01146-2.
6. Lovelock, David; Rund, Hanno (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Dover. стр. 84,109. ISBN 978-0-486-65840-7.
7. Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), «Методы дифференцированных абсолютных вычислений и приложений», Mathematische Annalen , 54 (1–2): 125–201, doi : 10.1007/BF01454201, S2CID  120009332
8. Сандберг, Вернон Д. (1978). «Тензорные сферические гармоники на S 2 и S 3 как проблемы собственных значений» (PDF) . Журнал математической физики . 19 (12): 2441–2446. Bibcode :1978JMP....19.2441S. doi :10.1063/1.523649.
9. Бергманн ПГ (1976). Введение в теорию относительности. Довер. С. 172–174. ISBN 978-0-486-63282-7.

Ссылки

• Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.
• Бесс, Алабама (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer, ISBN 0-387-15279-2
• Кобаяси, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии , т. 1, Interscience
• Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0