Интерьер (топология)

Наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества

Точка x является внутренней точкой S. Точка y находится на границе S.

В математике , в частности в топологии , внутренность подмножества S топологического пространства X — это объединение всех подмножеств S , которые открыты в X. Точка , которая находится внутри S , является внутренней точкой S.

Внутренность S является дополнением замыкания дополнения S. В этом смысле внутренность и замыкание являются двойственными понятиями.

Внешняя часть множества S является дополнением замыкания S ; она состоит из точек, которые не принадлежат ни множеству, ни его границе . Внутренняя часть, граница и внешняя часть подмножества вместе делят все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты ).

Внутренняя и внешняя части замкнутой кривой — это немного разные концепции; см. теорему Жордана о кривой .

Определения

Внутренняя точка

Если является подмножеством евклидова пространства , то является внутренней точкой , если существует открытый шар с центром в , который полностью содержится в (Это проиллюстрировано во вводном разделе к этой статье.) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства с метрикой : является внутренней точкой , если существует действительное число такое, что находится в всякий раз, когда расстояние ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)<r.}$

Это определение обобщается на топологические пространства путем замены «открытого шара» на « открытое множество ». Если является подмножеством топологического пространства, то является внутренней точкой в ​​, если содержится в открытом подмножестве , которое полностью содержится в (Эквивалентно, является внутренней точкой , если является окрестностью ) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Интерьер набора

Внутренность подмножества топологического пространства, обозначенного как или , может быть определена любым из следующих эквивалентных способов: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle S^{\circ },}$

1. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$является крупнейшим открытым подмножеством, содержащимся в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$является объединением всех открытых множеств, содержащихся в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$это множество всех внутренних точек ${\displaystyle S.}$

Если пространство понятно из контекста, то обычно предпочтительнее использовать более короткую запись. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}$

Примеры

${\displaystyle a}$является внутренней точкой, поскольку существует ε-окрестность a, которая является подмножеством ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

• В любом пространстве внутренняя часть пустого множества — это пустое множество.
• В любом пространстве, если тогда ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Если — вещественная прямая (со стандартной топологией), то тогда как внутренность множества рациональных чисел пуста: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• Если - комплексная плоскость , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$
• В любом евклидовом пространстве внутренняя часть любого конечного множества является пустым множеством.

На множестве действительных чисел можно задать и другие топологии, отличные от стандартной:

• Если — действительные числа с топологией нижнего предела , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• Если рассмотреть топологию, в которой каждое множество открыто , то ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• Если рассмотреть топологию, в которой единственными открытыми множествами являются пустое множество и он сам, то есть пустое множество. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$

Эти примеры показывают, что внутренность множества зависит от топологии базового пространства. Последние два примера являются частными случаями следующих.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество открыто, каждое множество равно своей внутренней части.
• В любом недискретном пространстве единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само, а для каждого собственного подмножества есть пустое множество. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$

Характеристики

Пусть будет топологическим пространством, а и будут подмножествами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$открыт в​ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто в то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$является открытым подмножеством, если задана топология подпространства . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$является открытым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• Интенсивный : ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Идемпотентность : ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• Сохраняет / распределяет по бинарному пересечению : ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • Однако внутренний оператор не распространяется на объединения, поскольку гарантируется только в общем случае, и равенство может не соблюдаться. ^{[примечание 1]} Например, если и то является собственным подмножеством ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle T=(0,\infty )}$ ${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• Монотонно / не убывающее по отношению к ${\displaystyle \subseteq }$ : Если то ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

Другие свойства включают в себя:

• Если закрыто и тогда ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

Связь с закрытием

Вышеуказанные утверждения останутся верными, если все экземпляры символов/слов

«внутренний», «целый», «открытый», «подмножество» и «самый большой»

соответственно заменяются на

« закрытие », «cl», «закрытый», «надмножество» и «наименьший»

и следующие символы меняются местами:

1. " " поменял местами с " " ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq }$
2. " " поменял местами с " " ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Более подробную информацию по этому вопросу см. в разделе «Внутренний оператор» ниже или в статье « Аксиомы замыкания Куратовского» .

Внутренний оператор

Внутренний оператор является дуальным оператору замыкания , который обозначается или чертой сверху ^— , в том смысле, что и также где — топологическое пространство, содержащее , а обратная косая черта обозначает теоретико-множественную разность . Таким образом, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменив множества их дополнениями в ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$ $${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle X.}$

В общем случае внутренний оператор не коммутирует с объединениями. Однако в полном метрическом пространстве имеет место следующий результат:

Теорема ^[1]  (К. Урсеску)  —  Пусть — последовательность подмножеств полного метрического пространства ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Если каждый из них закрыт, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$
• Если каждый открыт в то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$

Приведенный выше результат подразумевает, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра .

Внешний вид набора

Внешняя часть подмножества топологического пространства обозначается или просто является наибольшим открытым множеством, не пересекающимся с , а именно, это объединение всех открытых множеств в , которые не пересекаются с Внешняя часть является внутренней частью дополнения, которая совпадает с дополнением замыкания; ^[2] в формулах, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

Аналогично, интерьер является экстерьером дополнения: $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

Внутренняя часть, граница и внешняя часть множества вместе делят все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты): где обозначает границу ^[3] Внутренняя часть и внешняя часть всегда открыты , в то время как граница закрыта . ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Некоторые свойства внешнего оператора отличаются от свойств внутреннего оператора:

• Внешний оператор отменяет включения; если то ${\displaystyle S\subseteq T,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• Внешний оператор не является идемпотентным . Он имеет свойство, что ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

Внутренне-непересекающиеся формы

Красные фигуры не являются внутренне-разделенными с синим Треугольником. Зеленые и желтые фигуры являются внутренне-разделенными с синим Треугольником, но только желтая фигура полностью разделяется с синим Треугольником.

Две фигуры и называются внутренне-непересекающимися, если пересечение их внутренностей пусто. Внутренне-непересекающиеся фигуры могут пересекаться или не пересекаться по своей границе. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Смотрите также

• Алгебраическая внутренность  – Обобщение топологической внутренности
• DE-9IM  – Топологическая модель
• Внутренняя алгебра  – Алгебраическая структура
• Теорема Жордана о кривой  – Замкнутая кривая делит плоскость на две области
• Квазиотносительная внутренность  – Обобщение алгебраической внутренности
• Относительная внутренность  – Обобщение топологической внутренности

Ссылки

1. Залинеску, С (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific. стр. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC  285163112.
2. Бурбаки 1989, стр. 24.
3. Бурбаки 1989, стр. 25.

1. Аналогичное тождество для оператора замыкания : Эти тождества можно запомнить с помощью следующей мнемоники. Так же, как пересечение двух открытых множеств открыто, так же и внутренний оператор явно распределяется по пересечениям: И аналогично, так же, как объединение двух закрытых множеств замкнуто, так же и оператор замыкания явно распределяется по объединениям : ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap ;}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup ;}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Бакалаврские тексты по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Джоши, К. Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

Внешние ссылки

• Интерьер PlanetMath .