История тригонометрии

Раннее изучение треугольников можно отнести ко 2-му тысячелетию до нашей эры , в египетской математике ( Риндский математический папирус ) и вавилонской математике . Тригонометрия также была распространена в кушитской математике. ^[1] Систематическое изучение тригонометрических функций началось в эллинистической математике , достигнув Индии как часть эллинистической астрономии . ^[2] В индийской астрономии изучение тригонометрических функций процветало в период Гуптов , особенно благодаря Арьябхате (шестой век нашей эры), открывшему функцию синуса . В средние века изучение тригонометрии продолжалось в исламской математике такими математиками, как Аль-Хорезми и Абу аль-Вафа . Она стала самостоятельной дисциплиной в исламском мире , где были известны все шесть тригонометрических функций . Переводы арабских и греческих текстов привели к тому, что тригонометрия была принята в качестве предмета на Латинском Западе , начиная с эпохи Возрождения с Региомонтаном . Развитие современной тригонометрии изменилось в западную эпоху Просвещения , начиная с математики 17-го века ( Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг ) и достигая своей современной формы с Леонардом Эйлером (1748).

Этимология

Термин «тригонометрия» произошел от греческого τρίγωνον trigōnon — «треугольник» и μέτρον Metron — «мера». ^[3]

Современные слова «синус» и «косинус» произошли от латинского слова sinus в результате неправильного перевода с арабского языка (см. Синус и косинус#Этимология ). В частности, влияние на создание этого термина оказала прямая пазуха Фибоначчи . ^[4]

Слово «тангенс» происходит от латинского tangens , означающего «касание», поскольку линия касается круга единичного радиуса, тогда как секанс происходит от латинского secans «разрез», поскольку линия пересекает круг. ^[5]

Префикс « co- » (в «косинусе», «котангенсе», «косекансе») встречается в « Каноне треугольника» Эдмунда Гюнтера (1620 г.), в котором косинус определяется как сокращение от sinus Complimenti (синус дополнительного угла) . ) и аналогичным образом определяет котангены . ^{[6] [7]}

Слова «минута» и «секунда» произошли от латинских фраз partes minutae primae и partes minutae secundae . ^[8] Это примерно переводится как «первые мелкие детали» и «вторые мелкие детали».

Разработка

Древний Ближний Восток

Древним египтянам и вавилонянам на протяжении многих столетий были известны теоремы о соотношениях сторон подобных треугольников. Однако, поскольку в доэллинских обществах не было понятия меры угла, вместо этого они ограничивались изучением сторон треугольников. ^[9]

Вавилонские астрономы вели подробные записи о восходе и заходе звезд , движении планет , солнечных и лунных затмениях , и все это требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере . ^[10] Основываясь на одной из интерпретаций клинописной таблички Плимптона 322 (ок. 1900 г. до н.э.), некоторые даже утверждали, что у древних вавилонян была таблица секущих, но она не работает в этом контексте, поскольку без использования кругов и углов в современной ситуации тригонометрические обозначения неприменимы. ^[11] Однако существует много споров о том, является ли это таблицей троек Пифагора , решением квадратных уравнений или тригонометрической таблицей .

С другой стороны, египтяне использовали примитивную форму тригонометрии для строительства пирамид во 2-м тысячелетии до нашей эры. ^[10] Математический папирус Ринда , написанный египетским писцом Ахмесом (ок. 1680–1620 до н. э.), содержит следующую задачу, связанную с тригонометрией: ^[10]

«Если высота пирамиды 250 локтей, а длина стороны ее основания 360 локтей, каков ее секек ?»

Решение проблемы Ахмесом - это отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте, или отношение высоты к высоте ее грани. Другими словами, найденная им величина для секека — это котангенс угла основания пирамиды и ее грани. ^[10]

Классическая античность

Хорда угла стягивает дугу угла.

Древнегреческие и эллинистические математики использовали аккорд . Учитывая окружность и дугу на окружности, хорда — это линия, стягивающая дугу. Биссектриса хорды проходит через центр окружности и делит угол пополам. Одна половина биссектрисы представляет собой синус половины биссектрисы угла, то есть ^[12]

${\displaystyle \mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}$

и, следовательно, функция синуса также известна как полухорда . Благодаря этой связи ряд тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны эллинистическим математикам, но в их эквивалентной хордовой форме. ^{[13] [14]}

Хотя в трудах Евклида и Архимеда нет тригонометрии , в строгом смысле этого слова есть теоремы, изложенные геометрическим (а не тригонометрическим) способом, эквивалентные конкретным тригонометрическим законам или формулам. ^[9] Например, двенадцатое и тринадцатое положения второй книги « Начал» представляют собой законы косинусов для тупых и острых углов соответственно. Теоремы о длинах хорд являются приложениями закона синусов . А теорема Архимеда о разорванных хордах эквивалентна формулам синусов сумм и разностей углов. ^[9] Чтобы компенсировать отсутствие таблицы аккордов , математики времен Аристарха иногда использовали утверждение, что в современных обозначениях sin  α /sin  β  <  α / β  < tan  α /tan  β всякий раз, когда 0° < β. < α < 90°, теперь известное как неравенство Аристарха . ^[15]

Первая тригонометрическая таблица, по-видимому, была составлена ​​Гиппархом Никейским (180–125 гг. до н. э.), который теперь известен как «отец тригонометрии» . ^[16] Гиппарх был первым, кто составил таблицу соответствующих значений дуги и хорды для ряда углов. ^{[4] [16]}

Хотя неизвестно, когда систематическое использование круга в 360° пришло в математику, известно, что систематическое введение круга в 360° произошло вскоре после того, как Аристарх Самосский сочинил «О размерах и расстояниях Солнца и Луны» (ок. 260 г. до н.э.), так как он измерял угол в долях квадранта. ^[15] Кажется, что систематическое использование круга в 360° во многом связано с Гиппархом и его таблицей аккордов . Гиппарх, возможно, позаимствовал идею этого деления у Гипсикла , который ранее разделил сутки на 360 частей, деление суток, возможно, было предложено вавилонской астрономией. ^[17] В древней астрономии зодиак был разделен на двенадцать «знаков» или тридцать шесть «деканов». Сезонный цикл продолжительностью примерно 360 дней мог бы соответствовать знакам и деканам зодиака, если разделить каждый знак на тридцать частей, а каждый декан — на десять частей. ^[8] Из-за вавилонской шестидесятеричной системы счисления каждая степень делится на шестьдесят минут, а каждая минута — на шестьдесят секунд. ^[8]

Теорема Менелая

Менелай Александрийский (ок. 100 г. н. э.) написал в трёх книгах свою «Сферику» . В книге I он установил основу сферических треугольников, аналогичную евклидовой основе плоских треугольников. ^[14] Он установил теорему, не имеющую евклидова аналога, о том, что два сферических треугольника равны, если соответствующие углы равны, но он не различал конгруэнтные и симметричные сферические треугольники. ^[14] Другая теорема, которую он устанавливает, заключается в том, что сумма углов сферического треугольника больше 180 °. ^[14] Книга II «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. А в третьей книге содержится «теорема Менелая». ^[14] Далее он дал свое знаменитое «правило шести величин». ^[18]

Позже Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 168 г. н.э.) расширил тему « Аккорды в круге» Гиппарха в своем «Альмагесте », или « Математическом синтаксисе ». «Альмагест» — это прежде всего работа по астрономии, а астрономия опирается на тригонометрию. Таблица хорд Птолемея дает длины хорд круга диаметром 120 в зависимости от количества градусов  n в соответствующей дуге круга для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. ^[19] Тринадцать книг Альмагеста являются наиболее влиятельным и значительным тригонометрическим трудом всей древности. ^[20] Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемеем, была тем, что до сих пор известно как теорема Птолемея , что сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей. Частный случай теоремы Птолемея появился как предложение 93 в « Данных» Евклида . Теорема Птолемея приводит к эквиваленту четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса, которые сегодня известны как формулы Птолемея, хотя сам Птолемей использовал хорды вместо синуса и косинуса. ^[20] Птолемей далее вывел эквивалент формулы половинного угла.

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}$^[20]

Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, но невозможно определить, были ли эти таблицы получены на основе работы Гиппарха. ^[20]

Ни таблицы Гиппарха, ни таблицы Птолемея до наших дней не сохранились, хотя описания других античных авторов не оставляют сомнений в их существовании. ^[21]

Индийская математика

Некоторые из первых и очень значительных разработок тригонометрии произошли в Индии . Влиятельные работы IV–V веков нашей эры, известные как « Сиддханты » (их было пять, самая важная из которых — « Сурья Сиддханта» ^[22] ), впервые определили синус как современное соотношение между половиной угла и половиной хорды. , а также определяет косинус, версинус и обратный синус . ^[23] Вскоре после этого другой индийский математик и астроном , Арьябхата (476–550 гг. н.э.), собрал и расширил разработки Сиддхантов в важной работе под названием «Арьябхатия » . ^[24] Сиддханты и Арьябхатия содержат самые ранние из сохранившихся таблиц значений синуса и версинуса (1 - косинус) с интервалами 3,75 ° от 0 ° до 90 ° с точностью до 4 десятичных знаков. ^[25] Они использовали слова джья для обозначения синуса, коджья для косинуса, уткрама-джья для версины и открам джья для обратного синуса. Слова jya и kojya в конечном итоге стали синусом и косинусом соответственно после неправильного перевода, описанного выше.

В VII веке Бхаскара I вывел формулу для вычисления синуса острого угла без использования таблицы. Он также дал следующую аппроксимирующую формулу для sin( x ), относительная погрешность которой составляла менее 1,9%:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}$

Позже, в VII веке, Брахмагупта переработал формулу.

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

(также полученная ранее, как упоминалось выше) и интерполяционная формула Брахмагупты для вычисления значений синуса. ^[11]

Другим более поздним индийским автором тригонометрии был Бхаскара II, живший в XII веке. Бхаскара II разработал сферическую тригонометрию и обнаружил множество тригонометрических результатов.

Бхаскара II был одним из первых, кто открыл такие тригонометрические результаты, как: ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

• ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$

Мадхава (ок. 1400 г.) добился первых успехов в анализе тригонометрических функций и их разложении в бесконечные ряды . Он разработал концепции степенного ряда и ряда Тейлора , а также разложил степенные ряды синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. ^{[26] [27]} Используя аппроксимации синуса и косинуса рядами Тейлора, он создал таблицу синусов с точностью до 12 десятичных знаков и таблицу косинусов с точностью до 9 десятичных знаков. Он также дал степенной ряд π и угла , радиуса , диаметра и длины окружности через тригонометрические функции. Его работы были расширены его последователями в школе Кералы до 16 века. ^{[26] [27]}

Индийский текст Юктибхаша содержит доказательство расширения функций синуса и косинуса , а также вывод и доказательство степенного ряда для обратного тангенса , открытого Мадхавой. Юктибхаша также содержит правила нахождения синусов и косинусов суммы и разности двух углов.

Китайская математика

Го Шоуцзин (1231–1316)

В Китае таблица синусов Арьябхаты была переведена в китайскую математическую книгу Кайюань Чжаньцзин , составленную в 718 году нашей эры во времена династии Тан . ^[29] Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как твердотельная геометрия, биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не получили такого широкого признания, как в более ранних греческих, эллинистических, индийских и исламских мирах. ^[30] Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чунг ча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии при использовании синуса, тангенса и секанса было известно. ^[29] Однако это зачаточное состояние тригонометрии в Китае начало медленно меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. ^[29] Китайский учёный -эрудит , математик и чиновник Шэнь Го (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач о хордах и дугах. ^[29] Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шена «техника пересекающихся кругов» он создал аппроксимацию дуг s круга,  учитывая диаметр  d , сагитту  v и длину  c хорды, стягивающей дугу, длину из которых он аппроксимировал как ^[31]

${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}$

Сал Рестиво пишет, что работы Шена по длинам дуг окружностей легли в основу сферической тригонометрии , разработанной в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). ^[32] Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих расчетах для совершенствования календарной системы и китайской астрономии . ^{[29] [33]} Наряду с более поздней китайской иллюстрацией математических доказательств Го 17-го века, Нидхэм утверждает, что:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя дугами меридиана , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... Такими методами он смог получить ду люй. (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), джи ча (значения хорд для заданных дуг эклиптики) и ча лю (разница между хордами дуг, отличающихся на 1 градус). ^[34]

Несмотря на достижения работ Шэня и Го в области тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не будет опубликована снова до 1607 года, когда « Начала Евклида» будут опубликованы одновременно китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи. (1552–1610). ^[35]

Средневековый исламский мир

Страница из «Сборника вычислений путем завершения и балансирования» Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (ок. 820 г. н.э.)

Предыдущие работы были позже переведены и расширены в средневековом исламском мире мусульманскими математиками преимущественно персидского и арабского происхождения , которые сформулировали большое количество теорем, которые освободили предмет тригонометрии от зависимости от полного четырехугольника , как это было в эллинистической математике благодаря к применению теоремы Менелая . По мнению Э.С. Кеннеди, именно после этого развития исламской математики «появилась первая настоящая тригонометрия, в том смысле, что только тогда объектом изучения стал сферический или плоский треугольник , его стороны и углы ». ^[36]

Были также известны методы работы со сферическими треугольниками, в частности метод Менелая Александрийского , который разработал «теорему Менелая» для решения сферических задач. ^{[14] [37]} Однако Э.С. Кеннеди отмечает, что, хотя в доисламской математике было возможно вычислить величины сферической фигуры, в принципе, с помощью таблицы хорд и теоремы Менелая, применение теорема для сферических задач была очень сложной на практике. ^[38] Чтобы соблюдать святые дни по исламскому календарю , в котором время определялось фазами луны , астрономы первоначально использовали метод Менелая для расчета места луны и звезд , хотя этот метод оказался неуклюжим и трудным. Это включало в себя создание двух пересекающихся прямоугольных треугольников ; применив теорему Менелая, можно было решить одну из шести сторон, но только если были известны остальные пять сторон. Например, чтобы определить время по высоте Солнца , требовалось неоднократное применение теоремы Менелая. Перед средневековыми исламскими астрономами стояла очевидная задача найти более простой тригонометрический метод. ^[39]

В начале 9 века нашей эры Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми создал точные таблицы синусов и косинусов, а также первую таблицу тангенсов. Он также был пионером сферической тригонометрии . В 830 году нашей эры Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. ^{[40] [41]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (Албатениус) (853-929 гг. н.э.) обнаружил взаимные функции секущего и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. ^[41]

К 10 веку нашей эры в работах Абу аль-Вафа аль-Бузджани использовались все шесть тригонометрических функций . ^[42] У Абу аль-Вафа были таблицы синусов с шагом 0,25 °, до 8 десятичных знаков точности, а также точные таблицы значений тангенсов. ^[42] Он также разработал следующую тригонометрическую формулу: ^[43]

${\displaystyle \ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$(частный случай формулы сложения углов Птолемея; см. выше)

В своем оригинальном тексте Абу аль-Вафа утверждает: «Если мы хотим этого, мы умножим данный синус на косинус минут , и результат будет половиной синуса двойного числа». ^[43] Абу аль-Вафа также установил тождества сложения и разности углов, представленные с полными доказательствами: ^[43]

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

Для второго в тексте говорится: «Мы умножаем синус каждой из двух дуг на косинус остальных минут . Если нам нужен синус суммы, мы складываем произведения, если мы хотим синус разности , мы берем их разницу». ^[43]

Он также открыл закон синусов для сферической тригонометрии: ^[40]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Также в конце 10-го и начале 11-го веков нашей эры египетский астроном Ибн Юнус выполнил множество тщательных тригонометрических расчетов и продемонстрировал следующее тригонометрическое тождество : ^[44]

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

Аль-Джайани (989–1079) из Аль-Андалуса написал «Книгу неизвестных дуг сферы» , которую считают «первым трактатом по сферической тригонометрии ». ^[45] Он «содержит формулы для правосторонних треугольников , общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника». Этот трактат позже оказал «сильное влияние на европейскую математику», а его «определение отношений как чисел» и «метод решения сферического треугольника, когда все стороны неизвестны», вероятно, повлияли на Региомонтануса . ^[45]

Метод триангуляции был впервые разработан мусульманскими математиками, которые применили его для практических целей, таких как геодезия ^[46] и исламская география , как описано Абу Райханом Бируни в начале 11 века. Сам Бируни представил методы триангуляции для измерения размеров Земли и расстояний между различными местами. ^[47] В конце 11 века Омар Хайям (1048–1131) решал кубические уравнения , используя приближенные численные решения, найденные путем интерполяции в тригонометрических таблицах. В 13 веке Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешнюю форму. ^[41] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе « О фигуре сектора» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон тангенсов для сферических треугольников и предоставил доказательства обоих этих законов. ^[48] ​​Насир ад-Дин ат-Туси считается создателем тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. ^{[49] [50] [51]}

В 15 веке Джамшид аль-Каши предоставил первое явное изложение закона косинусов в форме, подходящей для триангуляции . ^{[ нужна цитата ]} Во Франции закон косинусов до сих пор называют теоремой Аль-Каши . Он также дал тригонометрические таблицы значений функции синуса для четырех шестидесятеричных цифр (что эквивалентно 8 десятичным знакам) для каждого 1 градуса аргумента с разностями, которые необходимо прибавлять для каждой 1/60 1 градуса. ^{[ нужна цитата ]} Улугбек также дает точные таблицы синусов и тангенсов с точностью до 8 знаков после запятой примерно в то же время. ^{[ нужна цитата ]}

Европейский ренессанс и после него

В 1342 году Леви бен Гершон, известный как Герсонид , написал «О синусах, хордах и дугах» , в частности доказав закон синуса для плоских треугольников и приведя пятизначные таблицы синусов . ^[52]

Упрощенная тригонометрическая таблица « toleta de marteloio » использовалась моряками в Средиземном море в XIV-XV веках для расчета навигационных курсов. Он описан Рамоном Луллием Майорки в 1295 году и изложен в атласе венецианского капитана Андреа Бьянко 1436 года .

Региомонтан был, возможно, первым математиком в Европе, который рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину ^[53] в своей работе «De triangulis omnimodis» , написанной в 1464 году, а также в своей более поздней работе «Tabulae Directionum» , которая включала неназванную функцию тангенса. Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса , ученика Коперника , был, вероятно, первым в Европе, который определил тригонометрические функции непосредственно в терминах прямоугольных треугольников вместо кругов, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.

В 17 веке Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг разработали общую интерполяционную формулу Ньютона – Стирлинга для тригонометрических функций.

В XVIII веке «Введение в анализ бесконечного анализа» Леонарда Эйлера ( 1748 г.) в основном способствовало установлению аналитической трактовки тригонометрических функций в Европе, получению их бесконечных рядов и представлению « формулы Эйлера »  e ^ix  = cos  x  +  i  sin  x . Эйлер использовал почти современные сокращения греха. , потому что. , Тан. , детская кроватка. , сек. , и косек. До этого Роджер Коутс вычислил производную синуса в своей «Harmonia Mensurarum» (1722). ^[54] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора и дал разложение и приближение ряда для всех шести тригонометрических функций. Работы Джеймса Грегори в 17 веке и Колена Маклорена в 18 веке также оказали большое влияние на развитие тригонометрических рядов.

Смотрите также

• Греческая математика
• История математики
• Тригонометрические функции
• Тригонометрия
• Таблица аккордов Птолемея
• Таблица синусов Арьябхаты
• Рациональная тригонометрия

Цитаты и сноски

1. Отто Нойгебауэр (1975). История древней математической астрономии. 1. Шпрингер-Верлаг. п. 744. ИСБН 978-3-540-06995-9.
2. Кац 1998, с. 212.
3. «Тригонометрия». Интернет-словарь этимологии .
4. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. (1996). «Тригонометрические функции». MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 4 июня 2007 г.
5. Оксфордский словарь английского языка
6. Гюнтер, Эдмунд (1620). Канон треугольный .
7. Рогель, Денис, изд. (6 декабря 2010 г.). «Реконструкция Треугольного канона Гюнтера (1620 г.)» (отчет об исследовании). ХЭЛ. инрия-00543938. Архивировано из оригинала 28 июля 2017 года . Проверено 28 июля 2017 г.
8. Boyer 1991, стр. 166–167, Греческая тригонометрия и измерение: «Следует напомнить, что со времен Гиппарха до наших дней не было таких вещей, как тригонометрические отношения . Греки, а после них индусы и арабы , использовали тригонометрические линии . Они сначала приняли форму, как мы видели, хорд в круге, и Птолемею пришлось связать числовые значения (или приближения) с хордами. [...] Это вполне вероятно что мера в 260 градусов была перенесена из астрономии, где зодиак был разделен на двенадцать «знаков» или 36 «деканов». Цикл времен года продолжительностью примерно в 360 дней можно было легко привести в соответствие с системой зодиакальных знаков. и деканы путем разделения каждого знака на тридцать частей и каждого декана на десять частей. Наша общая система измерения углов может возникнуть из этого соответствия. Кроме того, поскольку вавилонская система расположения дробей была настолько очевидно превосходящей египетскую систему дробей и греческие простые дроби. , для Птолемея было естественным подразделить свои степени на шестьдесят partes minutae primae , каждую из этих последних на шестьдесят partes minutae secundae и так далее. Именно от латинских словосочетаний, которые употребляли в связи с этим переводчики, произошли наши слова «минута» и «секунда». Несомненно, именно шестидесятеричная система побудила Птолемея разделить диаметр своего тригонометрического круга на 120 частей; каждую из них он разделил на шестьдесят минут и каждую минуту продолжительностью в шестьдесят секунд».
9. Boyer 1991, стр. 158–159, Греческая тригонометрия и измерение: «Тригонометрия, как и другие разделы математики, не была работой какого-либо одного человека или нации. Теоремы о соотношениях сторон подобных треугольников были известны , и использовался древними египтянами и вавилонянами. Ввиду отсутствия доэллинской концепции меры угла, такое исследование лучше было бы назвать «трилатерометрией», или мерой трехсторонних многоугольников (трехсторонних), чем « тригонометрия», мера частей треугольника. У греков мы впервые находим систематическое изучение отношений между углами (или дугами) в круге и длинами стягивающих их хорд. Свойства хорд как мер центральных и вписанных углов. в кругах были знакомы грекам во времена Гиппократа, и вполне вероятно, что Евдокс использовал пропорции и угловые меры при определении размера Земли и относительных расстояний до Солнца и Луны. нет тригонометрии в строгом смысле слова, но есть теоремы, эквивалентные конкретным тригонометрическим законам или формулам. Предложения II.12 и 13 «Начал » , например, представляют собой законы косинусов для тупых и острых углов соответственно, изложенные на геометрическом, а не тригонометрическом языке и доказанные методом, аналогичным тому, который использовал Евклид в связи с теоремой Пифагора. Теоремы о длинах хорд по сути являются применением современного закона синусов. Мы видели, что теорема Архимеда о разорванной хорде легко переводится на тригонометрический язык, аналогичный формулам для синусов сумм и разностей углов».
10. Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20. ISBN 978-0-691-09541-7.
11. Джозеф 2000, стр. 383–384.
12. Кац 1998, с. 143.
13. Поскольку в этих исторических расчетах не использовался единичный круг, в формуле была необходима длина радиуса. Сравните это с современным использованием функции crd , которая предполагает в своем определении единичный круг.
14. Boyer 1991, с. 163, Греческая тригонометрия и измерение: «В книге I этого трактата Менелай устанавливает основу сферических треугольников, аналогичную основанию Евклида I для плоских треугольников. Включена теорема без евклидова аналога - что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны. (Менелай не различал конгруэнтные и симметричные сферические треугольники); и  установлена ​​теорема A  +  B  +  C > 180°. Вторая книга «Сферики» описывает применение сферической геометрии к астрономическим явлениям и не представляет большого математического интереса. Книга III, последний, содержит известную «теорему Менелая» как часть того, что по сути является сферической тригонометрией в типичной греческой форме – геометрией или тригонометрией хорд в круге. В круге на рис. 10.4 следует написать, что хорда АВ — это двойной синус половины центрального угла АОВ (умноженного на радиус круга). Менелай и его греческие преемники вместо этого называли АВ просто хордой, соответствующей дуге АВ. Если BOB' — диаметр круга, то хорда A' равна удвоенному косинусу половины угла AOB (умноженному на радиус круга)».
15. Бойер 1991, с. 159, Греческая тригонометрия и измерения: «Вместо этого у нас есть трактат, возможно, написанный ранее (ок. 260 г. до н.э.), « О размерах и расстояниях Солнца и Луны» , который предполагает геоцентрическую Вселенную. В этой работе Аристарх сделал наблюдение, что когда Луна наполовину полная, угол между лучами зрения на Солнце и Луну меньше прямого угла на одну тридцатую квадранта.(Систематическое введение круга в 360° произошло несколько позже. В тригонометрии На современном языке это означало бы, что отношение расстояний Луны к расстоянию Солнца (отношение ME к SE на рис. 10.1) равно sin(3°). Поскольку тригонометрические таблицы еще не были разработаны, Аристарх прибегнул к известная геометрическая теорема того времени, которая теперь была бы выражена в неравенствах sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, для 0° < β < α < 90°.)»
16. Бойер 1991, с. 162, Греческая тригонометрия и измерение: «На протяжении примерно двух с половиной столетий, от Гиппократа до Эратосфена, греческие математики изучали отношения между линиями и окружностями и применяли их в различных астрономических задачах, но систематической тригонометрии не получилось. Затем, предположительно во второй половине II века до н. э. первую тригонометрическую таблицу, по-видимому, составил астроном Гиппарх Никейский (ок. 180–ок. 125 до н. э.), заслуживший таким образом право называться «отцом тригонометрии». Аристарх знал, что в данном круге отношение дуги к хорде уменьшается по мере уменьшения дуги от 180° до 0°, стремясь к пределу, равному 1. Однако оказывается, что только после того, как Гиппарх приступил к выполнению этой задачи, кто-либо составил таблицу соответствующих значений. дуги и хорды для целого ряда углов».
17. Бойер 1991, с. 162, Греческая тригонометрия и измерение: «Неизвестно, когда именно систематическое использование круга в 360° вошло в математику, но, по-видимому, это произошло во многом благодаря Гиппарху в связи с его таблицей хорд. Вполне возможно, что он взял на себя это дело. от Гипсикла, который ранее разделил день на части, такое деление, возможно, было предложено вавилонской астрономией».
18. Нидхэм 1986, с. 108.
19. Тумер, Джеральд Дж. (1998). Альмагест Птолемея . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00260-6.
20. Boyer 1991, стр. 164–166, Греческая тригонометрия и измерение: «Теорема Менелая сыграла фундаментальную роль в сферической тригонометрии и астрономии, но, безусловно, самая влиятельная и значительная тригонометрическая работа всей древности была написана Птолемеем Александрийским. примерно через полвека после Менелая. [...] О жизни автора мы знаем так же мало, как и о жизни автора "Начал". Мы не знаем, когда и где родились Евклид и Птолемей. Мы знаем что Птолемей проводил наблюдения в Александрии со 127 по 151 год нашей эры и, следовательно, можно предположить, что он родился в конце I века.Суидас, писатель, живший в X веке, сообщил, что Птолемей жил при Марке Аврелии (императоре от 161 до 180 гг. н.э.). Предполагается, что " Альмагест
    " Птолемея своими методами во многом обязан "Хордам в круге Гиппарха", но степень этой задолженности не может быть надежно оценена. Ясно, что в астрономии Птолемей использовал каталог положений звезд, завещанных Гиппархом, но невозможно определить, были ли тригонометрические таблицы Птолемея в значительной степени заимствованы из его выдающегося предшественника. [...] Центральное место в расчете хорд Птолемея занимало геометрическое утверждение, до сих пор известное как «теорема Птолемея»: [...] то есть сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей. [...] Частный случай теоремы Птолемея появился в « Данных Евклида » (предложение 93): [...] Теорема Птолемея, следовательно, приводит к результату sin ( α  -  β ) = sin  α  cos  β  - cos  α  sin  Б. _ Подобные рассуждения приводят к формуле [...] Эти четыре формулы суммы и разности, следовательно, сегодня часто известны как формулы Птолемея. Именно формулу синуса разности – или, точнее, хорды разности – Птолемей нашел особенно полезной при построении своих таблиц. Другая формула, которая ему эффективно послужила, была эквивалентом нашей формулы половинного угла».
    
21. Бойер 1991, стр. 158–168.
22. Бойер 1991, с. 208.
23. Бойер 1991, с. 209.
24. Бойер 1991, с. 210.
25. Бойер 1991, с. 215.
26. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. (2000). «Мадхава Сангамаграммы». MacTutor Архив истории математики .
27. Пирс, Ян Г. (2002). «Мадхава Сангамаграммы». MacTutor Архив истории математики .
28. Чарльз Генри Эдвардс (1994). Историческое развитие исчисления . Серия Springer Study Edition (3-е изд.). Спрингер. п. 205. ИСБН 978-0-387-94313-8.
29. Needham 1986, стр. 109.
30. Нидхэм 1986, стр. 108–109.
31. Кац 2007, с. 308.
32. Рестиво 1992, с. 32.
33. Гоше, Л. (1917). Обратите внимание на Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King . п. 151.
34. Нидхэм 1986, стр. 109–110.
35. Нидхэм 1986, с. 110.
36. Кеннеди, ES (1969). «История тригонометрии». 31-й ежегодник . Вашингтон, округ Колумбия: Национальный совет учителей математики.( ср. Хак, Сайед Номанул (1996). «Индийское и персидское происхождение». В Сейеде Хоссейне Насре ; Оливере Лимане (ред.). История исламской философии . Routledge . стр. 52–70 [60–63]. ISBN 978-0-415-13159-9.)
37. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Менелай Александрийский», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс«Книга 3 посвящена сферической тригонометрии и включает теорему Менелая».
38. Кеннеди, ES (1969). «История тригонометрии». 31-й ежегодник . Вашингтон, округ Колумбия: Национальный совет учителей математики: 337.( ср. Хак, Сайед Номанул (1996). «Индийское и персидское происхождение». В Сейеде Хоссейне Насре ; Оливере Лимане (ред.). История исламской философии . Routledge . стр. 52–70 [68]. ISBN 978-0-415-13159-9.)
39. Джинджерич, Оуэн (апрель 1986 г.). «Исламская астрономия». Научный американец . 254 (10): 74. Бибкод : 1986SciAm.254d..74G. doi : 10.1038/scientificamerican0486-74. Архивировано из оригинала 1 января 2011 г. Проверено 18 мая 2008 г.
40. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 157, в Селине, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
41. "тригонометрия". Британская энциклопедия . Проверено 21 июля 2008 г.
42. Бойер 1991, с. 238.
43. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определениях Киблы». Арабские науки и философия . Издательство Кембриджского университета . 21 (1): 1–56. дои : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.
44. Уильям Чарльз Брайс, «Исторический атлас ислама», стр.413.
45. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муаз Аль-Джайани», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
46. Дональд Рутледж Хилл (1996), «Инженерное дело», в Рошди Рашид, Энциклопедия истории арабской науки , Vol. 3, с. 751–795 [769].
47. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Аррайхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Бируни», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
48. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9.
49. "Биография Аль-Туси_Насира" . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 05 августа 2018 г. Одним из наиболее важных математических вкладов ат-Туси было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В «Трактате о четырехугольнике» ат-Туси дал первое дошедшее до нас изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно является первой в истории тригонометрии как самостоятельного раздела чистой математики и первой, в которой изложены все шесть случаев прямоугольного сферического треугольника.
50. Берггрен, JL (октябрь 2013 г.). «Исламская математика» . Кембриджская история науки . Издательство Кембриджского университета. стр. 62–83. дои : 10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 978-0-511-97400-7.
51. electricpulp.com. «ṬUSI, НАЦИР-АД-ДИН i. Биография - Иранская энциклопедия». www.iranicaonline.org . Проверено 05 августа 2018 г. Говорят, что его главный вклад в математику (Наср, 1996, стр. 208-214) относится к тригонометрии, которая впервые была составлена ​​им как отдельная новая дисциплина. Его усилиям также обязана своим развитием сферическая тригонометрия, в том числе концепция шести основных формул решения сферических прямоугольных треугольников.
52. Чарльз Г. Симонсон (зима 2000 г.). «Математика Леви бен Гершона, Ралбага» (PDF) . Бехол Дерахеха Даеху . Издательство Университета Бар-Илан. 10 :5–21.
53. Бойер 1991, с. 274.
54. Кац, Виктор Дж. (ноябрь 1987 г.). «Исчисление тригонометрических функций». История математики . 14 (4): 311–324. дои : 10.1016/0315-0860(87)90064-4 .. Доказательство Котеса упомянуто на стр. 315.

Рекомендации

• Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Герб павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Лондон: Книги Пингвинов . ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-321-01618-8.
• Кац, Виктор Дж. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле . Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• Рестиво, Сал (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-0039-1.

дальнейшее чтение

• Браунмюль, Антон фон (1900–1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер.
• Кеннеди, Эдвард С. (1969). «История тригонометрии» . Исторические темы для урока математики . Ежегодники NCTM. Том. 31. Национальный совет учителей математики. стр. 333–375.
• Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения. Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9780691202204. ISBN 0691057540. Архивировано из оригинала 11 июля 2003 г.
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). «Тригонометрия». Геометрия в ее истории . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. стр. 113–155. дои : 10.1007/978-3-642-29163-0. ISBN 978-3-642-29162-3.
• Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета.
• Ван Браммелен, Глен (2021). Учение о треугольниках: история современной тригонометрии . Издательство Принстонского университета.