Математические финансы , также известные как количественные финансы и финансовая математика , представляют собой область прикладной математики , занимающуюся математическим моделированием в финансовой сфере.
В целом, существуют две отдельные отрасли финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов, с одной стороны, и управление рисками и портфелями , с другой. [1] Математические финансы в значительной степени пересекаются с областями вычислительных финансов и финансовой инженерии . Последняя фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастических моделей активов , в то время как первая фокусируется, в дополнение к анализу, на создании инструментов реализации для моделей. Также связано количественное инвестирование , которое опирается на статистические и числовые модели (и в последнее время на машинное обучение ) в отличие от традиционного фундаментального анализа при управлении портфелями .
Докторская диссертация французского математика Луи Башелье , защищенная в 1900 году, считается первой научной работой по математическим финансам. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах, после работ Фишера Блэка , Майрона Шоулза и Роберта Мертона по теории ценообразования опционов. Математическое инвестирование возникло из исследований математика Эдварда Торпа , который использовал статистические методы, чтобы впервые изобрести подсчет карт в блэкджеке , а затем применил его принципы к современному систематическому инвестированию. [2]
Предмет тесно связан с дисциплиной финансовой экономики , которая касается большей части базовой теории, которая задействована в финансовой математике. В то время как обученные экономисты используют сложные экономические модели , которые построены на наблюдаемых эмпирических отношениях, в отличие от этого, математический финансовый анализ выводит и расширяет математические или числовые модели без обязательного установления связи с финансовой теорией, принимая наблюдаемые рыночные цены в качестве входных данных. См.: Оценка опционов ; Финансовое моделирование ; Ценообразование активов . Фундаментальная теорема о ценообразовании без арбитража является одной из ключевых теорем в математических финансах, в то время как уравнение и формула Блэка-Шоулза являются одними из ключевых результатов. [3]
Сегодня многие университеты предлагают программы обучения и исследовательские программы в области финансовой математики.
Существуют две отдельные отрасли финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелями. Одно из главных отличий заключается в том, что они используют разные вероятности, такие как нейтральная к риску вероятность (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначаемая как «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначаемая как «P».
Целью ценообразования деривативов является определение справедливой цены данной ценной бумаги в терминах более ликвидных ценных бумаг , цена которых определяется законом спроса и предложения . Значение слова «справедливый» зависит, конечно, от того, рассматриваете ли вы покупку или продажу ценной бумаги. Примерами ценных бумаг, по которым производится оценка, являются простые ванильные и экзотические опционы , конвертируемые облигации и т. д.
После определения справедливой цены трейдер на стороне продавца может сделать рынок ценных бумаг. Таким образом, ценообразование деривативов представляет собой сложное упражнение «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в «Теории спекуляции» («Théorie de la spéculation», опубликовано в 1900 году) с введением самого базового и самого влиятельного из процессов, броуновского движения , и его приложений к ценообразованию опционов. [4] [5] Броуновское движение выводится с использованием уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания . [6] Башелье смоделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание , в котором краткосрочные изменения имели конечную дисперсию . Это приводит к тому, что долгосрочные изменения следуют гауссовскому распределению . [7]
Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Шоулз , наряду с фундаментальными вкладами Роберта К. Мертона , не применили второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение , к ценообразованию опционов . За это М. Шоулз и Р. Мертон были награждены Нобелевской премией по экономике 1997 года . Блэк не имел права на премию, поскольку умер в 1995 году. [8]
Следующим важным шагом стала фундаментальная теорема ценообразования активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которой соответствующим образом нормализованная текущая цена P 0 ценной бумаги является безарбитражной и, таким образом, действительно справедливой только в том случае, если существует стохастический процесс P t с постоянным ожидаемым значением , который описывает ее будущую эволюцию: [9]
Процесс, удовлетворяющий ( 1 ), называется « мартингейлом ». Мартингал не вознаграждает риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется «нейтральной к риску» и обычно обозначается буквой шрифта на доске « ».
Соотношение ( 1 ) должно сохраняться для всех моментов времени t: поэтому процессы, используемые для ценообразования деривативов, естественным образом устанавливаются в непрерывном времени.
Квантисты , работающие в сфере Q-ценообразования деривативов, являются специалистами с глубокими знаниями конкретных продуктов, которые они моделируют.
Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и поэтому проблемы в мире Q имеют низкоразмерную природу. Калибровка является одной из основных проблем мира Q: как только параметрический процесс непрерывного времени был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг посредством отношения, такого как ( 1 ), аналогичное отношение используется для определения цены новых производных инструментов.
Основными количественными инструментами, необходимыми для обработки непрерывных во времени Q-процессов, являются стохастическое исчисление Ито , моделирование и уравнения в частных производных (УЧП). [10]
Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на заданном будущем инвестиционном горизонте. Это «реальное» распределение вероятностей рыночных цен обычно обозначается буквой шрифта на доске « », в отличие от «нейтральной к риску» вероятности « », используемой в ценообразовании деривативов. На основе распределения P сообщество покупателей принимает решения о том, какие ценные бумаги покупать, чтобы улучшить перспективный профиль прибылей и убытков своих позиций, рассматриваемых как портфель. Все больше элементов этого процесса автоматизируются; см. Очерк финансов § Количественное инвестирование для списка соответствующих статей.
За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп , а также Мертон Миллер разделили в 1990 году Нобелевскую премию по экономике , впервые присужденную за работу в области финансов.
Работа Марковица и Шарпа по выбору портфеля ввела математику в управление инвестициями . Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону, модели с одним периодом были заменены моделями с непрерывным временем, моделями броуновского движения , а квадратичная функция полезности, подразумеваемая в оптимизации среднего–дисперсии, была заменена более общими возрастающими, вогнутыми функциями полезности. [11] Кроме того, в последние годы фокус сместился в сторону риска оценки, т. е. опасности неправильного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить абсолютно точные оценки параметров рынка. [12] См. Управление финансовыми рисками § Управление инвестициями .
Много усилий было вложено в изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу , один из основателей Dow Jones & Company и The Wall Street Journal , сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые теперь называются теорией Доу . Это основа так называемого метода технического анализа , который пытается предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» заключается в том, что рыночные тенденции дают представление о будущем, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Утверждения технических аналитиков оспариваются многими учеными. [ необходима цитата ]
Последствия финансового кризиса 2009 года, а также множественные внезапные обвалы начала 2010-х годов привели к социальным волнениям среди населения в целом и этическим недомоганиям в научном сообществе, что вызвало заметные изменения в количественных финансах (QF). В частности, математическим финансам было поручено измениться и стать более реалистичными, а не более удобными. Одновременный рост Больших данных и Науки о данных способствовал этим изменениям. В частности, с точки зрения определения новых моделей, мы увидели значительный рост использования Машинного обучения , обогнавшего традиционные модели Математических финансов. [13]
На протяжении многих лет разрабатывались все более сложные математические модели и стратегии ценообразования производных инструментов, но их авторитет был подорван финансовым кризисом 2007–2010 годов . Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, в частности Пола Уилмотта и Нассима Николаса Талеба в его книге «Черный лебедь» . [14] Талеб утверждает, что цены финансовых активов не могут быть охарактеризованы простыми моделями, которые используются в настоящее время, что делает большую часть текущей практики в лучшем случае нерелевантной, а в худшем — опасно вводящей в заблуждение. Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали Манифест финансовых моделеров в январе 2009 года [15] , в котором рассматриваются некоторые из наиболее серьезных проблем. Такие организации, как Институт нового экономического мышления , сейчас пытаются разработать новые теории и методы. [16]
В целом, моделирование изменений с помощью распределений с конечной дисперсией все чаще считается нецелесообразным. [17] В 1960-х годах Бенуа Мандельброт обнаружил , что изменения цен не следуют гауссовскому распределению , а лучше моделируются альфа- стабильными распределениями Леви . [18] Масштаб изменения, или волатильность, зависит от длины временного интервала в степени , немного большей, чем 1/2. Большие изменения вверх или вниз более вероятны, чем те, которые можно было бы рассчитать с помощью гауссовского распределения с оценочным стандартным отклонением . Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и делает контроль риска менее надежным. [14]
Возможно, более фундаментально: хотя математические финансовые модели могут приносить прибыль в краткосрочной перспективе, этот тип моделирования часто противоречит центральному принципу современной макроэкономики, критике Лукаса - или рациональным ожиданиям - который утверждает, что наблюдаемые взаимосвязи могут не быть структурными по своей природе и, таким образом, их невозможно использовать для государственной политики или получения прибыли, если мы не идентифицировали взаимосвязи с помощью причинно-следственного анализа и эконометрики . [19] Таким образом, математические финансовые модели не включают в себя сложные элементы человеческой психологии, которые имеют решающее значение для моделирования современных макроэкономических движений, таких как самореализующаяся паника, мотивирующая банковские набеги .
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)