Энтропия

Свойство термодинамической системы

Энтропия — это научное понятие, которое чаще всего ассоциируется с состоянием беспорядка, случайности или неопределенности. Термин и понятие используются в различных областях, от классической термодинамики , где оно было впервые признано, до микроскопического описания природы в статистической физике и принципов теории информации . Оно нашло широкое применение в химии и физике , в биологических системах и их связи с жизнью, в космологии , экономике , социологии , метеорологии , изменении климата и информационных системах , включая передачу информации в телекоммуникациях . ^[1]

Энтропия является центральной во втором законе термодинамики , который гласит, что энтропия изолированной системы, предоставленной спонтанной эволюции, не может уменьшаться со временем. В результате изолированные системы эволюционируют к термодинамическому равновесию , где энтропия самая высокая. Следствием второго закона термодинамики является то, что некоторые процессы необратимы .

Термодинамическая концепция была упомянута шотландским ученым и инженером Уильямом Ранкином в 1850 году под названиями термодинамическая функция и тепловой потенциал . ^[2] В 1865 году немецкий физик Рудольф Клаузиус , один из ведущих основателей области термодинамики, определил ее как частное от деления бесконечно малого количества тепла на мгновенную температуру. Первоначально он описал ее как содержание преобразования , на немецком языке Verwandlungsinhalt , а позже ввел термин энтропия от греческого слова, обозначающего преобразование . ^[3]

Австрийский физик Людвиг Больцман объяснил энтропию как меру числа возможных микроскопических расположений или состояний отдельных атомов и молекул системы, которые соответствуют макроскопическому состоянию системы. Тем самым он ввел концепцию статистического беспорядка и распределений вероятностей в новую область термодинамики, называемую статистической механикой , и нашел связь между микроскопическими взаимодействиями, которые колеблются вокруг средней конфигурации, и макроскопически наблюдаемым поведением в форме простого логарифмического закона с константой пропорциональности , постоянной Больцмана , которая стала одной из определяющих универсальных констант для современной Международной системы единиц (СИ).

История

Рудольф Клаузиус (1822–1888), создатель концепции энтропии

В своей работе 1803 года « Основные принципы равновесия и движения » французский математик Лазар Карно предположил, что в любой машине ускорения и толчки движущихся частей представляют собой потери момента активности ; в любом естественном процессе существует внутренняя тенденция к рассеиванию полезной энергии. В 1824 году, основываясь на этой работе, сын Лазара, Сади Карно , опубликовал «Размышления о движущей силе огня» , в которых утверждалось, что во всех тепловых двигателях, когда « теплород » (то, что сейчас известно как тепло) падает через разницу температур, работа или движущая сила может быть произведена из действий ее падения с горячего тела на холодное. Он использовал аналогию с тем, как вода падает в водяном колесе . Это было раннее понимание второго закона термодинамики . ^[4] Карно основывал свои взгляды на тепло частично на «ньютоновской гипотезе» начала XVIII века, согласно которой и тепло, и свет являются типами неразрушимых форм материи, которые притягиваются и отталкиваются другой материей, а частично на современных взглядах графа Рамфорда , который в 1789 году показал, что тепло может создаваться трением, как при обработке стволов пушек. ^[5] Карно рассуждал, что если тело рабочего вещества, например, тело пара, возвращается в исходное состояние в конце полного цикла двигателя , «никаких изменений в состоянии рабочего тела не происходит».

Первый закон термодинамики , выведенный из экспериментов Джеймса Джоуля по теплу и трению в 1843 году, выражает концепцию энергии и ее сохранения во всех процессах; однако первый закон не подходит для раздельной количественной оценки эффектов трения и рассеивания . ^{[ необходима ссылка ]}

В 1850-х и 1860-х годах немецкий физик Рудольф Клаузиус возражал против предположения, что в рабочем теле не происходит никаких изменений, и дал этому изменению математическую интерпретацию, поставив под сомнение природу неотъемлемой потери полезного тепла при выполнении работы, например, тепла, производимого трением. ^[6] Он описал свои наблюдения как диссипативное использование энергии, приводящее к трансформационному содержанию ( Verwandlungsinhalt на немецком языке) термодинамической системы или рабочего тела химических видов во время изменения состояния . ^[6] Это противоречило более ранним взглядам, основанным на теориях Исаака Ньютона , что тепло является неразрушимой частицей, имеющей массу. Клаузиус обнаружил, что неиспользуемая энергия увеличивается по мере того, как пар движется от впускного отверстия к выпускному в паровой машине. От префикса en- , как в слове «энергия», и от греческого слова τροπή [тропе], которое в устоявшемся лексиконе переводится как поворот или изменение ^[7] и которое он перевел на немецкий язык как Verwandlung , слово, часто переводимое на английский язык как преобразование , в 1865 году Клаузиус придумал название этого свойства как энтропия . ^[8] Это слово было принято в английском языке в 1868 году.

Позже такие ученые, как Людвиг Больцман , Джозайя Уиллард Гиббс и Джеймс Клерк Максвелл , дали энтропии статистическую основу. В 1877 году Больцман визуализировал вероятностный способ измерения энтропии ансамбля частиц идеального газа , в котором он определил энтропию как пропорциональную натуральному логарифму числа микросостояний, которые мог бы занимать такой газ. Константа пропорциональности в этом определении, называемая константой Больцмана , стала одной из определяющих универсальных констант для современной Международной системы единиц (СИ). С тех пор основной проблемой в статистической термодинамике стало определение распределения заданного количества энергии E по N идентичным системам. Константин Каратеодори , греческий математик, связал энтропию с математическим определением необратимости в терминах траекторий и интегрируемости.

Этимология

В 1865 году Клаузиус назвал концепцию «дифференциала величины, которая зависит от конфигурации системы», энтропией ( Entropie ) в честь греческого слова «преобразование». ^[9] Он дал «трансформационное содержание» ( Verwandlungsinhalt ) в качестве синонима, параллельно своему «тепловому и эргональному содержанию» ( Wärme- und Werkinhalt ) как названию U , но предпочел термин энтропия как близкую параллель слову энергия , поскольку он нашел эти концепции почти «аналогичными по своему физическому значению». ^[9] Этот термин был образован путем замены корня ἔργον ('ergon', 'работа') на корень τροπή ('tropy', 'преобразование'). ^[8]

Более подробно Клаузиус объяснил свой выбор слова «энтропия» следующим образом: ^[10]

Я предпочитаю обращаться к древним языкам за названиями важных научных величин, чтобы они могли означать одно и то же на всех живых языках. Поэтому я предлагаю называть S энтропией тела, по греческому слову «преобразование». Я намеренно ввел слово энтропия , чтобы оно было похоже на энергию, поскольку эти две величины настолько аналогичны по своему физическому значению, что аналогия наименований кажется мне полезной.

Леон Купер добавил, что таким образом «ему удалось создать слово, которое для всех означало одно и то же: ничто» ^{[10] .}

Определения и описания

Любой метод, включающий понятие энтропии, само существование которой зависит от второго закона термодинамики, несомненно, покажется многим надуманным и может оттолкнуть новичков своей непонятностью и трудностью для понимания.

Уиллард Гиббс , Графические методы в термодинамике жидкостей ^[11]

Концепция энтропии описывается двумя основными подходами: макроскопической перспективой классической термодинамики и микроскопическим описанием, центральным для статистической механики . Классический подход определяет энтропию в терминах макроскопически измеримых физических свойств, таких как объемная масса, объем, давление и температура. Статистическое определение энтропии определяет ее в терминах статистики движений микроскопических составляющих системы — моделируемых сначала классически, например, ньютоновские частицы, составляющие газ, а затем квантово-механически (фотоны, фононы , спины и т. д.). Оба подхода формируют последовательное, единое представление об одном и том же явлении, выраженное во втором законе термодинамики, который нашел универсальное применение к физическим процессам.

Переменные состояния и функции состояния

Многие термодинамические свойства определяются физическими переменными, которые определяют состояние термодинамического равновесия , которые по сути являются переменными состояния . Переменные состояния зависят только от состояния равновесия, а не от пути эволюции к этому состоянию. Переменные состояния могут быть функциями состояния, также называемыми функциями состояния , в том смысле, что одна переменная состояния является математической функцией других переменных состояния. Часто, если определены некоторые свойства системы, их достаточно для определения состояния системы и, следовательно, значений других свойств. Например, температура и давление заданного количества газа определяют его состояние, а следовательно, и его объем через закон идеального газа . Система, состоящая из чистого вещества одной фазы при определенной однородной температуре и давлении, определяется и, таким образом, является определенным состоянием и имеет определенный объем. Тот факт, что энтропия является функцией состояния, делает ее полезной. В цикле Карно рабочая жидкость возвращается в то же состояние, которое она имела в начале цикла, следовательно, изменение или линейный интеграл любой функции состояния, такой как энтропия, по этому обратимому циклу равен нулю.

Обратимый процесс

Изменение энтропии системы, исключая ее окружение, можно четко определить как небольшую часть тепла , переданного системе во время обратимого процесса, деленную на температуру системы во время этой теплопередачи : Обратимый процесс является квазистатическим (т. е. он происходит без какой-либо диссипации, отклоняясь лишь на ничтожно малую величину от термодинамического равновесия), и он может сохранять общую энтропию. Например, в цикле Карно , в то время как поток тепла от горячего резервуара к холодному резервуару представляет собой увеличение энтропии в холодном резервуаре, выходная работа, если она обратимо и идеально хранится, представляет собой уменьшение энтропии, которое можно было бы использовать для работы теплового двигателя в обратном направлении, возвращаясь в исходное состояние; таким образом, общее изменение энтропии может по-прежнему быть равным нулю в любое время, если весь процесс обратим. ${\textstyle \mathrm {d} S}$ ${\textstyle \delta Q_{\mathsf {rev}}}$ ${\textstyle T}$ $${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\mathsf {rev}}}{T}}}$$

Напротив, необратимый процесс увеличивает общую энтропию системы и окружающей среды. ^[12] Любой процесс, который происходит достаточно быстро, чтобы отклониться от теплового равновесия, не может быть обратимым, общая энтропия увеличивается, и потенциал для максимальной работы, которая может быть выполнена в ходе процесса, теряется. ^[13]

цикл Карно

Понятие энтропии возникло из исследования Рудольфа Клаузиуса цикла Карно , который представляет собой термодинамический цикл , выполняемый тепловой машиной Карно как обратимой тепловой машиной. ^[14] В цикле Карно тепло передается от горячего резервуара к рабочему газу при постоянной температуре во время стадии изотермического расширения, а тепло передается от рабочего газа к холодному резервуару при постоянной температуре во время стадии изотермического сжатия. Согласно теореме Карно , тепловая машина с двумя тепловыми резервуарами может производить работу тогда и только тогда, когда между резервуарами существует разница температур. Первоначально Карно не различал теплоты и , поскольку он предполагал, что калорическая теория верна и, следовательно, что общее тепло в системе сохраняется. Но на самом деле величина тепла больше величины тепла . ^{[15] [16]} Благодаря усилиям Клаузиуса и Кельвина было обнаружено , что работа, совершаемая обратимой тепловой машиной, является произведением КПД Карно (т. е. КПД всех обратимых тепловых машин с той же парой тепловых резервуаров) и тепла, поглощаемого рабочим телом машины во время изотермического расширения: Чтобы вывести КПД Карно, Кельвину пришлось оценить отношение выходной работы к теплу, поглощаемому во время изотермического расширения с помощью уравнения Карно-Клапейрона, которое содержало неизвестную функцию, называемую функцией Карно. Возможность того, что функция Карно может быть температурой, измеренной от нулевой точки температуры, была предложена Джоулем в письме Кельвину. Это позволило Кельвину установить свою абсолютную температурную шкалу. ^[17] ${\textstyle Q_{\mathsf {H}}}$ ${\textstyle T_{\mathsf {H}}}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {C}}}$ ${\textstyle T_{\mathsf {C}}}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {H}}}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {C}}}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {H}}}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {C}}}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle Q_{\mathsf {H}}}$ $${\displaystyle W={\frac {T_{\mathsf {H}}-T_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {H}}}}\cdot Q_{\mathsf {H}}=\left(1-{\frac {T_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {H}}}}\right)Q_{\mathsf {H}}}$$

Известно, что работа, произведенная двигателем за цикл, равна чистому теплу, поглощенному за цикл. ^[18] Таким образом, с соглашением о знаках для тепла, переданного в термодинамическом процессе ( для поглощения и для рассеивания), мы получаем: Поскольку это равенство выполняется в течение всего цикла Карно, оно дало Клаузиусу намек на то, что на каждой стадии цикла будет сохраняться разница между работой и чистым теплом, а не само чистое тепло. Это означает, что существует функция состояния с изменением . Она называется внутренней энергией и образует центральное понятие для первого закона термодинамики . ^[19] ${\textstyle W>0}$ ${\textstyle Q_{\Sigma }=\left\vert Q_{\mathsf {H}}\right\vert -\left\vert Q_{\mathsf {C}}\right\vert }$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle Q>0}$ ${\textstyle Q<0}$ $${\displaystyle W-Q_{\Sigma }=W-\left\vert Q_{\mathsf {H}}\right\vert +\left\vert Q_{\mathsf {C}}\right\vert =W-Q_{\mathsf {H}}-Q_{\mathsf {C}}=0}$$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle \mathrm {d} U=\delta Q-\mathrm {d} W}$

Наконец, сравнение обоих представлений выходной работы в цикле Карно дает нам: ^{[18] [20]} Подобно выводу внутренней энергии, это равенство подразумевает существование функции состояния с изменением и которая сохраняется в течение всего цикла. Клаузиус назвал эту функцию состояния энтропией . $${\displaystyle {\frac {\left\vert Q_{\mathsf {H}}\right\vert }{T_{\mathsf {H}}}}-{\frac {\left\vert Q_{\mathsf {C}}\right\vert }{T_{\mathsf {C}}}}={\frac {Q_{\mathsf {H}}}{T_{\mathsf {H}}}}+{\frac {Q_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {C}}}}=0}$$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle \mathrm {d} S=\delta Q/T}$

Кроме того, общее изменение энтропии в обоих тепловых резервуарах за цикл Карно также равно нулю, поскольку инверсия направления теплопередачи означает инверсию знака для тепла, передаваемого на изотермических стадиях: Здесь мы обозначаем изменение энтропии для теплового резервуара как , где — либо для горячего резервуара, либо для холодного. $${\displaystyle -{\frac {Q_{\mathsf {H}}}{T_{\mathsf {H}}}}-{\frac {Q_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {C}}}}=\Delta S_{\mathsf {r,H}}+\Delta S_{\mathsf {r,C}}=0}$$ ${\textstyle \Delta S_{{\mathsf {r}},i}=-Q_{i}/T_{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle {\mathsf {H}}}$ ${\textstyle {\mathsf {C}}}$

Если мы рассмотрим тепловой двигатель, который менее эффективен, чем цикл Карно (т. е. работа, производимая этим двигателем, меньше максимума, предсказанного теоремой Карно), его выходная работа ограничена эффективностью Карно как: Подстановка работы как чистого тепла в неравенство выше дает нам: или в терминах изменения энтропии : Цикл Карно и энтропия, как показано выше, оказываются полезными при изучении любого классического термодинамического теплового двигателя: другие циклы, такие как цикл Отто , Дизеля или Брайтона , могут быть проанализированы с той же точки зрения. Примечательно, что любая машина или циклический процесс, преобразующие тепло в работу (т. е. тепловой двигатель), которые, как утверждается, производят эффективность, большую, чем у Карно, нежизнеспособны — из-за нарушения второго закона термодинамики . ${\textstyle W}$ $${\displaystyle W<\left(1-{\frac {T_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {H}}}}\right)Q_{\mathsf {H}}}$$ ${\textstyle W}$ $${\displaystyle {\frac {Q_{\mathsf {H}}}{T_{\mathsf {H}}}}+{\frac {Q_{\mathsf {C}}}{T_{\mathsf {C}}}}<0}$$ ${\textstyle \Delta S_{{\mathsf {r}},i}}$ $${\displaystyle \Delta S_{\mathsf {r,H}}+\Delta S_{\mathsf {r,C}}>0}$$

Для дальнейшего анализа достаточно дискретных систем, таких как совокупность частиц, необходимо использовать статистическую термодинамику . Кроме того, описание устройств, работающих вблизи предела волн де Бройля , например, фотоэлектрических ячеек , должно соответствовать квантовой статистике .

Классическая термодинамика

Термодинамическое определение энтропии было разработано в начале 1850-х годов Рудольфом Клаузиусом и по сути описывает, как измерить энтропию изолированной системы, находящейся в термодинамическом равновесии с ее частями. Клаузиус создал термин энтропия как обширную термодинамическую переменную, которая, как было показано, полезна для характеристики цикла Карно . Было обнаружено, что теплопередача на этапах изотермы (изотермическое расширение и изотермическое сжатие) цикла Карно пропорциональна температуре системы (известной как ее абсолютная температура ). Эта связь была выражена в приращении энтропии, которое равно приращению теплопередачи, деленному на температуру. Было обнаружено, что энтропия изменяется в термодинамическом цикле, но в конечном итоге возвращается к одному и тому же значению в конце каждого цикла. Таким образом, было обнаружено, что она является функцией состояния , в частности термодинамического состояния системы.

Хотя Клаузиус основывал свое определение на обратимом процессе, существуют также необратимые процессы, которые изменяют энтропию. Согласно второму закону термодинамики , энтропия изолированной системы всегда увеличивается для необратимых процессов. Разница между изолированной и закрытой системами заключается в том, что энергия не может течь в изолированную систему и из нее, но поток энергии в закрытую систему и из нее возможен. Тем не менее, как для закрытых, так и для изолированных систем, и, конечно, также и в открытых системах, могут происходить необратимые термодинамические процессы.

Согласно равенству Клаузиуса , для обратимого циклического термодинамического процесса: что означает, что линейный интеграл не зависит от пути . Таким образом, мы можем определить функцию состояния , называемую энтропией : Следовательно, термодинамическая энтропия имеет размерность энергии, деленную на температуру, и единицу джоуль на кельвин (Дж/К) в Международной системе единиц (СИ). $${\displaystyle \oint {\frac {\delta Q_{\mathsf {rev}}}{T}}=0}$$ ${\textstyle \int _{L}{\delta Q_{\mathsf {rev}}/T}}$ ${\textstyle S}$ $${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\mathsf {rev}}}{T}}}$$

Чтобы найти разницу энтропии между любыми двумя состояниями системы, необходимо оценить интеграл для некоторого обратимого пути между начальным и конечным состояниями. ^[21] Поскольку энтропия является функцией состояния, изменение энтропии системы для необратимого пути такое же, как и для обратимого пути между теми же двумя состояниями. ^[22] Однако тепло, передаваемое в окружающую среду или из нее, отличается, как и изменение его энтропии.

Мы можем вычислить изменение энтропии только путем интегрирования приведенной выше формулы. Чтобы получить абсолютное значение энтропии, рассмотрим третий закон термодинамики : идеальные кристаллы при абсолютном нуле имеют энтропию . ${\textstyle S=0}$

С макроскопической точки зрения в классической термодинамике энтропия интерпретируется как функция состояния термодинамической системы : то есть свойство, зависящее только от текущего состояния системы, независимо от того, как это состояние было достигнуто. В любом процессе, где система отдает энергию окружающей среде при температуре , ее энтропия падает на и по крайней мере эта энергия должна быть отдана окружающей среде системы в виде тепла. В противном случае этот процесс не может продолжаться. В классической термодинамике энтропия системы определяется тогда и только тогда, когда она находится в термодинамическом равновесии (хотя химическое равновесие не требуется: например, энтропия смеси двух молей водорода и одного моля кислорода в стандартных условиях хорошо определена). ${\displaystyle \Delta E}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle \Delta S}$ ${\textstyle T\cdot \Delta S}$

Статистическая механика

Статистическое определение было разработано Людвигом Больцманом в 1870-х годах путем анализа статистического поведения микроскопических компонентов системы. Больцман показал, что это определение энтропии эквивалентно термодинамической энтропии с точностью до постоянного множителя, известного как постоянная Больцмана . Короче говоря, термодинамическое определение энтропии обеспечивает экспериментальную проверку энтропии, в то время как статистическое определение энтропии расширяет концепцию, предоставляя объяснение и более глубокое понимание ее природы.

Интерпретация энтропии в статистической механике — это мера неопределенности, беспорядка или смешанности в выражении Гиббса , которая остается в системе после того, как ее наблюдаемые макроскопические свойства, такие как температура, давление и объем, были приняты во внимание. Для заданного набора макроскопических переменных энтропия измеряет степень, в которой вероятность системы распределена по различным возможным микросостояниям . В отличие от макросостояния, которое характеризует явно наблюдаемые средние величины, микросостояние определяет все молекулярные детали о системе, включая положение и импульс каждой молекулы. Чем больше таких состояний доступно системе с заметной вероятностью, тем больше энтропия. В статистической механике энтропия — это мера числа способов, которыми система может быть организована, часто принимаемая за меру «беспорядка» (чем выше энтропия, тем выше беспорядок). ^{[23] [24] [25]} Это определение описывает энтропию как пропорциональную натуральному логарифму числа возможных микроскопических конфигураций отдельных атомов и молекул системы ( микросостояний ), которые могли бы вызвать наблюдаемое макроскопическое состояние ( макросостояние ) системы. Константа пропорциональности — это постоянная Больцмана .

Постоянная Больцмана, а следовательно, и энтропия, имеют размерность энергии, деленной на температуру, которая имеет единицу измерения джоуль на кельвин (Дж⋅К ⁻¹ ) в Международной системе единиц (или кг⋅м2⋅с ⁻ 2⋅К ⁻ 1 ^в терминах основных единиц). Энтропия вещества обычно задается как интенсивное свойство — либо энтропия на единицу массы (единица СИ: Дж⋅К ⁻ 1⋅кг ⁻¹ ), либо энтропия на единицу количества вещества (единица СИ: Дж⋅К ⁻ 1⋅моль ⁻¹ ).

В частности, энтропия является логарифмической мерой для системы с рядом состояний, каждое из которых имеет вероятность быть занятым (обычно задается распределением Больцмана ): где — постоянная Больцмана , а суммирование выполняется по всем возможным микросостояниям системы. ^[26] ${\textstyle p_{i}}$ $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\sum _{i}{p_{i}\ln {p_{i}}}}$$ ${\textstyle k_{\mathsf {B}}}$

В случае, если состояния определены непрерывным образом, суммирование заменяется интегралом по всем возможным состояниям, или, что эквивалентно, мы можем рассмотреть ожидаемое значение логарифма вероятности того, что микросостояние занято: Это определение предполагает, что базисные состояния выбираются таким образом, что нет никакой информации об их относительных фазах. В общем случае выражение имеет вид: где — матрица плотности , — оператор следа , а — матричный логарифм . Формализм матрицы плотности не требуется, если система оказывается в тепловом равновесии, пока базисные состояния выбираются как собственные состояния гамильтониана . Для большинства практических целей его можно принять в качестве фундаментального определения энтропии , поскольку все другие формулы для могут быть выведены из него, но не наоборот. $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\left\langle \ln {p}\right\rangle }$$ $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\ \mathrm {tr} {\left({\hat {\rho }}\times \ln {\hat {\rho }}\right)}}$$ ${\textstyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\textstyle S}$

В том, что было названо фундаментальным постулатом в статистической механике , среди микросостояний системы с одинаковой энергией (т.е. вырожденных микросостояний ) каждое микросостояние предполагается заселенным с равной вероятностью , где — число микросостояний, энергия которых равна энергии системы. Обычно это предположение оправдано для изолированной системы в термодинамическом равновесии. ^[27] Тогда в случае изолированной системы предыдущая формула сводится к: В термодинамике такой системой является система с фиксированным объемом, числом молекул и внутренней энергией, называемая микроканоническим ансамблем . ${\textstyle p_{i}=1/\Omega }$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle S=k_{\mathsf {B}}\ln {\Omega }}$$

Наиболее общая интерпретация энтропии — это мера степени неопределенности системы. Равновесное состояние системы максимизирует энтропию, поскольку оно не отражает всю информацию о начальных условиях, за исключением сохраняющихся переменных. Эта неопределенность не является повседневной субъективной, а скорее неопределенностью, присущей экспериментальному методу и интерпретационной модели. ^[28]

Интерпретативная модель играет центральную роль в определении энтропии. Квалификатор «для заданного набора макроскопических переменных» выше имеет глубокие последствия, когда два наблюдателя используют разные наборы макроскопических переменных. Например, рассмотрим наблюдателя A, использующего переменные , , и наблюдателя B, использующего переменные , , , . Если наблюдатель B изменяет переменную , то наблюдатель A увидит нарушение второго закона термодинамики, поскольку он не обладает информацией о переменной и ее влиянии на систему. Другими словами, необходимо выбрать полный набор макроскопических переменных для описания системы, т. е. каждый независимый параметр, который может измениться в ходе эксперимента. ^[29] ${\textstyle U}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$

Энтропию можно также определить для любых марковских процессов с обратимой динамикой и свойством детального баланса .

В своих «Лекциях по теории газов» 1896 года Больцман показал, что это выражение дает меру энтропии для систем атомов и молекул в газовой фазе, тем самым предоставляя меру энтропии классической термодинамики.

Энтропия системы

Термодинамическая система

Диаграмма зависимости температуры от энтропии для пара. Вертикальная ось представляет постоянную температуру, а горизонтальная ось представляет удельную энтропию. Каждая темная линия на графике представляет постоянное давление, и они образуют сетку со светло-серыми линиями постоянного объема. (Темно-синий цвет — жидкая вода, светло-синий — смесь жидкости и пара, а бледно-синий — пар. Серо-голубой цвет представляет сверхкритическую жидкую воду.)

Энтропия возникает непосредственно из цикла Карно . Ее также можно описать как обратимое тепло, деленное на температуру. Энтропия является фундаментальной функцией состояния.

В термодинамической системе давление и температура имеют тенденцию становиться однородными с течением времени, поскольку состояние равновесия имеет более высокую вероятность (больше возможных комбинаций микросостояний ) , чем любое другое состояние.

Например, для стакана ледяной воды в воздухе при комнатной температуре разница температур между теплой комнатой (окружающей средой) и холодным стаканом льда и воды (системой, а не частью комнаты) уменьшается по мере того, как порции тепловой энергии из теплой среды распространяются в более холодную систему льда и воды. Со временем температура стакана и его содержимого и температура комнаты становятся равными. Другими словами, энтропия комнаты уменьшилась, поскольку часть ее энергии была рассеяна во льду и воде, энтропия которых увеличилась.

Однако, как рассчитано в примере, энтропия системы льда и воды увеличилась больше, чем уменьшилась энтропия окружающей комнаты. В изолированной системе, такой как комната и ледяная вода, взятые вместе, рассеивание энергии от более теплого к более холодному всегда приводит к чистому увеличению энтропии. Таким образом, когда «вселенная» системы комнаты и ледяной воды достигла температурного равновесия, изменение энтропии от начального состояния максимально. Энтропия термодинамической системы является мерой того, насколько далеко продвинулось выравнивание.

Термодинамическая энтропия — это несохраняющаяся функция состояния , которая имеет большое значение в таких науках, как физика и химия . ^{[23] [30]} Исторически концепция энтропии развивалась для объяснения того, почему некоторые процессы (разрешенные законами сохранения) происходят спонтанно, в то время как их обращение во времени (также разрешенное законами сохранения) — нет; системы имеют тенденцию прогрессировать в направлении увеличения энтропии. ^{[31] [32]} Для изолированных систем энтропия никогда не уменьшается. ^[30] Этот факт имеет несколько важных последствий в науке: во-первых, он запрещает машины « вечного движения »; и, во-вторых, он подразумевает, что стрела энтропии имеет то же направление, что и стрела времени . Увеличение общей энтропии системы и ее окружения соответствует необратимым изменениям, поскольку часть энергии расходуется в виде отработанного тепла, ограничивая объем работы, которую может выполнить система. ^{[23] [24] [33] [34]}

В отличие от многих других функций состояния, энтропия не может наблюдаться напрямую, а должна быть рассчитана. Абсолютная стандартная молярная энтропия вещества может быть рассчитана из измеренной температурной зависимости его теплоемкости . Молярная энтропия ионов получается как разность энтропии от эталонного состояния, определяемого как нулевая энтропия. Второй закон термодинамики гласит, что энтропия изолированной системы должна увеличиваться или оставаться постоянной. Поэтому энтропия не является сохраняющейся величиной: например, в изолированной системе с неоднородной температурой тепло может необратимо течь, а температура станет более однородной, так что энтропия увеличится. ^[35] Химические реакции вызывают изменения энтропии, а энтропия системы в сочетании с энтальпией играет важную роль в определении того, в каком направлении спонтанно протекает химическая реакция.

Одно из определений энтропии в словаре гласит, что это «мера тепловой энергии на единицу температуры, которая недоступна для полезной работы» в циклическом процессе. Например, вещество при однородной температуре имеет максимальную энтропию и не может приводить в действие тепловой двигатель. Вещество при неоднородной температуре имеет более низкую энтропию (чем если бы распределение тепла было равномерным), и часть тепловой энергии может приводить в действие тепловой двигатель.

Особый случай увеличения энтропии, энтропия смешивания , происходит, когда смешиваются два или более различных веществ. Если вещества находятся при одинаковой температуре и давлении, нет чистого обмена теплом или работой — изменение энтропии полностью обусловлено смешиванием различных веществ. На статистическом механическом уровне это происходит из-за изменения доступного объема на частицу при смешивании. ^[36]

Эквивалентность определений

Доказательства эквивалентности между энтропией в статистической механике — формулой энтропии Гиббса : и энтропией в классической термодинамике: вместе с фундаментальным термодинамическим соотношением известны для микроканонического ансамбля , канонического ансамбля , большого канонического ансамбля и изотермически-изобарического ансамбля . Эти доказательства основаны на плотности вероятности микросостояний обобщенного распределения Больцмана и идентификации термодинамической внутренней энергии как среднего по ансамблю . ^[37] Термодинамические соотношения затем используются для вывода хорошо известной формулы энтропии Гиббса . Однако эквивалентность между формулой энтропии Гиббса и термодинамическим определением энтропии не является фундаментальным термодинамическим соотношением, а скорее следствием формы обобщенного распределения Больцмана . ^[38] $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\sum _{i}{p_{i}\ln {p_{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\mathsf {rev}}}{T}}}$$ ${\textstyle U=\left\langle E_{i}\right\rangle }$

Более того, было показано, что определения энтропии в статистической механике являются единственными энтропиями, которые эквивалентны энтропии классической термодинамики при следующих постулатах: ^[39]

1. Функция плотности вероятности пропорциональна некоторой функции параметров ансамбля и случайных величин.
2. Термодинамические функции состояния описываются средними значениями ансамбля случайных величин.
3. При бесконечной температуре все микросостояния имеют одинаковую вероятность.

Второй закон термодинамики

Второй закон термодинамики требует, чтобы в общем случае полная энтропия любой системы не уменьшалась, кроме как за счет увеличения энтропии какой-либо другой системы. Следовательно, в системе, изолированной от окружающей среды, энтропия этой системы имеет тенденцию не уменьшаться. Из этого следует, что тепло не может перетекать от более холодного тела к более горячему без приложения работы к более холодному телу. Во-вторых, невозможно, чтобы какое-либо устройство, работающее по циклу, производило чистую работу из одного температурного резервуара; производство чистой работы требует потока тепла из более горячего резервуара в более холодный резервуар или одного расширяющегося резервуара, подвергающегося адиабатическому охлаждению , который выполняет адиабатическую работу . В результате нет возможности создания вечного двигателя. Из этого следует, что уменьшение увеличения энтропии в определенном процессе, таком как химическая реакция , означает, что он энергетически более эффективен.

Из второго закона термодинамики следует, что энтропия системы, которая не изолирована, может уменьшаться. Кондиционер , например, может охлаждать воздух в комнате, тем самым уменьшая энтропию воздуха этой системы. Тепло, выбрасываемое из комнаты (системы), которое кондиционер переносит и выбрасывает в наружный воздух, всегда вносит больший вклад в энтропию окружающей среды, чем уменьшение энтропии воздуха этой системы. Таким образом, сумма энтропии комнаты и энтропии окружающей среды увеличивается, в соответствии со вторым законом термодинамики.

В механике второй закон в сочетании с фундаментальным термодинамическим соотношением накладывает ограничения на способность системы совершать полезную работу . ^[40] Изменение энтропии системы при температуре, поглощающей бесконечно малое количество тепла обратимым образом, определяется выражением . Более конкретно, энергия недоступна для совершения полезной работы, где - температура самого холодного доступного резервуара или радиатора, внешнего по отношению к системе. Для дальнейшего обсуждения см. Эксергия . ${\textstyle T}$ ${\textstyle \delta q}$ ${\textstyle \delta q/T}$ ${\textstyle T_{R}S}$ ${\textstyle T_{R}}$

Статистическая механика показывает, что энтропия управляется вероятностью, что позволяет уменьшить беспорядок даже в изолированной системе. Хотя это возможно, такое событие имеет небольшую вероятность возникновения, что делает его маловероятным. ^[41]

Применимость второго закона термодинамики ограничена системами, находящимися в состоянии равновесия или достаточно близком к нему , так что они имеют определенную энтропию. ^[42] Некоторые неоднородные системы, находящиеся вне термодинамического равновесия, все еще удовлетворяют гипотезе локального термодинамического равновесия , так что плотность энтропии локально определяется как интенсивная величина. Для таких систем может применяться принцип максимальной временной скорости производства энтропии. ^{[43] [44]} Он утверждает, что такая система может эволюционировать к устойчивому состоянию, которое максимизирует ее временную скорость производства энтропии. Это не означает, что такая система обязательно всегда находится в состоянии максимальной временной скорости производства энтропии; это означает, что она может эволюционировать к такому устойчивому состоянию. ^{[45] [46]}

Приложения

Фундаментальное термодинамическое соотношение

Энтропия системы зависит от ее внутренней энергии и внешних параметров, таких как ее объем. В термодинамическом пределе этот факт приводит к уравнению, связывающему изменение внутренней энергии с изменениями энтропии и внешних параметров. Это соотношение известно как фундаментальное термодинамическое соотношение . Если внешнее давление опирается на объем как на единственный внешний параметр, это соотношение имеет вид: Поскольку и внутренняя энергия, и энтропия являются монотонными функциями температуры , подразумевая, что внутренняя энергия фиксирована, когда мы указываем энтропию и объем, это соотношение справедливо, даже если изменение из одного состояния теплового равновесия в другое с бесконечно большими энтропией и объемом происходит неквазистатическим образом (поэтому во время этого изменения система может быть очень далека от теплового равновесия, и тогда энтропия, давление и температура всей системы могут не существовать). ${\textstyle U}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle V}$ $${\displaystyle \mathrm {d} U=T\ \mathrm {d} S-p\ \mathrm {d} V}$$ ${\textstyle T}$

Фундаментальное термодинамическое соотношение подразумевает множество термодинамических тождеств, которые справедливы в целом, независимо от микроскопических деталей системы. Важными примерами являются соотношения Максвелла и соотношения между теплоемкостями .

Энтропия в химической термодинамике

Термодинамическая энтропия занимает центральное место в химической термодинамике , позволяя количественно определять изменения и предсказывать результаты реакций. Второй закон термодинамики гласит, что энтропия в изолированной системе — комбинации изучаемой подсистемы и ее окружения — увеличивается во время всех спонтанных химических и физических процессов. Уравнение Клаузиуса вводит измерение изменения энтропии, которое описывает направление и количественно определяет величину простых изменений, таких как передача тепла между системами — всегда от более горячего тела к более холодному спонтанно.

Термодинамическая энтропия является экстенсивным свойством, то есть она масштабируется с размером или протяженностью системы. Во многих процессах полезно определять энтропию как интенсивное свойство , независимое от размера, как удельную энтропийную характеристику типа изучаемой системы. Удельная энтропия может быть выражена относительно единицы массы, обычно килограмма (единица: Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ ). Альтернативно, в химии ее также относят к одному молю вещества, в этом случае ее называют молярной энтропией с единицей Дж⋅моль ⁻¹ ⋅К ⁻¹ .

Таким образом, когда один моль вещества находится примерно в0 К нагревается окружающей средой до298 К , ​​сумма приращений значений составляет стандартную молярную энтропию каждого элемента или соединения, показатель количества энергии, запасенной веществом при ${\textstyle q_{\mathsf {rev}}/T}$298 К. [ ^{47] [48]} Изменение энтропии также измеряет смешивание веществ как сумму их относительных количеств в конечной смеси. ^[49]

Энтропия одинаково важна для прогнозирования степени и направления сложных химических реакций. Для таких приложений необходимо включить в выражение, которое включает как систему, так и ее окружение: С помощью дополнительных шагов это выражение становится уравнением изменения свободной энергии Гиббса для реагентов и продуктов в системе при постоянном давлении и температуре : где — изменение энтальпии , а — изменение энтропии. ^[47] ${\textstyle \Delta S}$ $${\displaystyle \Delta S_{\mathsf {universe}}=\Delta S_{\mathsf {surroundings}}+\Delta S_{\mathsf {system}}}$$ ${\textstyle \Delta G}$ ${\textstyle T}$ $${\displaystyle \Delta G=\Delta H-T\ \Delta S}$$ ${\textstyle \Delta H}$ ${\textstyle \Delta S}$

Технологические возможности мира по хранению и передаче энтропийной информации

Исследование 2011 года в журнале Science оценило мировые технологические возможности хранения и передачи оптимально сжатой информации, нормализованной по самым эффективным алгоритмам сжатия, доступным в 2007 году, таким образом оценив энтропию технологически доступных источников. ^[50] По оценкам автора, технологические возможности человечества по хранению информации выросли с 2,6 (энтропийно сжатых) эксабайт в 1986 году до 295 (энтропийно сжатых) эксабайт в 2007 году. Мировые технологические возможности получения информации через односторонние вещательные сети составляли 432 эксабайта (энтропийно сжатой) информации в 1986 году до 1,9 зеттабайта в 2007 году. Мировые эффективные возможности обмена информацией через двусторонние телекоммуникационные сети составляли 281 петабайт (энтропийно сжатой) информации в 1986 году до 65 (энтропийно сжатых) эксабайт в 2007 году. ^[50]

Уравнение баланса энтропии для открытых систем

В процессе установившейся непрерывной работы баланс энтропии, применяемый к открытой системе, учитывает изменения энтропии системы, связанные с потоком тепла и массовым потоком через границу системы.

В химической инженерии принципы термодинамики обычно применяются к « открытым системам », то есть к тем, в которых тепло, работа и масса протекают через границу системы. В общем, поток тепла , поток работы вала и работа давления-объема через границы системы вызывают изменения энтропии системы. Передача тепла влечет за собой передачу энтропии , где — абсолютная термодинамическая температура системы в точке теплового потока. Если есть потоки массы через границы системы, они также влияют на общую энтропию системы. Этот счет, в терминах тепла и работы, справедлив только для случаев, в которых работа и теплопередача осуществляются по путям, физически отличным от путей входа и выхода вещества из системы. ^{[51] [52]} ${\textstyle {\dot {Q}}}$ ${\textstyle {\dot {W}}_{\mathsf {S}}}$ ${\textstyle P{\dot {V}}}$ ${\textstyle {\dot {Q}}/T}$ ${\textstyle T}$

Чтобы вывести обобщенное уравнение баланса энтропии, мы начнем с общего уравнения баланса для изменения любой экстенсивной величины в термодинамической системе , величины, которая может быть либо сохраняющейся, например, энергия, либо не сохраняющейся, например, энтропия. Основное выражение общего баланса гласит, что , т. е. скорость изменения в системе, равна скорости, с которой входит в систему на границах, минус скорость, с которой покидает систему через границы системы, плюс скорость, с которой генерируется внутри системы. Для открытой термодинамической системы, в которой тепло и работа переносятся путями, отдельными от путей переноса вещества, используя это общее уравнение баланса, относительно скорости изменения со временем экстенсивной величины энтропии , уравнение баланса энтропии имеет вид: ^{[53] [54] [примечание 1]} где - чистая скорость потока энтропии, обусловленная потоками массы в систему и из нее с энтропией на единицу массы , - скорость потока энтропии, обусловленная потоком тепла через границу системы, и - скорость генерации энтропии внутри системы, например, за счет химических реакций , фазовых переходов , внутренней теплопередачи или эффектов трения, таких как вязкость . ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \mathrm {d} \theta /\mathrm {d} t}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle S}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=\sum _{k=1}^{K}{{\dot {M}}_{k}{\hat {S}}_{k}+{\frac {\dot {Q}}{T}}+{\dot {S}}_{\mathsf {gen}}}}$$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{K}{{\dot {M}}_{k}{\hat {S}}_{k}}}$ ${\textstyle {\dot {M}}_{k}}$ ${\textstyle {\hat {S}}_{k}}$ ${\textstyle {\dot {Q}}/T}$ ${\textstyle {\dot {S}}_{\mathsf {gen}}}$

В случае множественных тепловых потоков термин заменяется на , где — тепловой поток через -й порт в систему, — температура на -м порту. ${\textstyle {\dot {Q}}/T}$ ${\textstyle \sum _{j}{{\dot {Q}}_{j}/T_{j}}}$ ${\textstyle {\dot {Q}}_{j}}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle T_{j}}$ ${\textstyle j}$

Термин «баланс энтропии» вводит в заблуждение и часто считается неподходящим, поскольку энтропия не является сохраняющейся величиной. Другими словами, этот термин никогда не является известной величиной, а всегда выводится на основе приведенного выше выражения. Поэтому версию второго закона для открытой системы правильнее описать как «уравнение генерации энтропии», поскольку она определяет, что: с нулем для обратимого процесса и положительными значениями для необратимого. ${\textstyle {\dot {S}}_{\mathsf {gen}}}$ $${\displaystyle {\dot {S}}_{\mathsf {gen}}\geq 0}$$

Формулы изменения энтропии для простых процессов

Для некоторых простых преобразований в системах постоянного состава изменения энтропии задаются простыми формулами. ^[55]

Изотермическое расширение или сжатие идеального газа

Для расширения (или сжатия) идеального газа от начального объема и давления до конечного объема и давления при любой постоянной температуре изменение энтропии определяется по формуле: Здесь — количество газа (в молях ), а — постоянная идеального газа . Эти уравнения применимы также для расширения в конечный вакуум или процесса дросселирования , где температура, внутренняя энергия и энтальпия идеального газа остаются постоянными. ${\textstyle V_{0}}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle P}$ $${\displaystyle \Delta S=nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}=-nR\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle R}$

Охлаждение и обогрев

При чистом нагревании или охлаждении любой системы (газа, жидкости или твердого тела) при постоянном давлении от начальной температуры до конечной температуры изменение энтропии равно: ${\textstyle T_{0}}$ ${\textstyle T}$

${\textstyle \Delta S=nC_{\mathrm {P} }\ln {\frac {T}{T_{0}}}}$

при условии, что молярная теплоемкость (или удельная теплоемкость) при постоянном давлении постоянна и в этом температурном интервале не происходит фазового перехода . ${\textstyle C_{\mathrm {P} }}$

Аналогично при постоянном объеме изменение энтропии равно: где молярная теплоемкость при постоянном объеме постоянна и фазового перехода нет. $${\displaystyle \Delta S=nC_{\mathrm {V} }\ln {\frac {T}{T_{0}}}}$$ ${\textstyle C_{\mathrm {V} }}$

При низких температурах, близких к абсолютному нулю, теплоемкость твердых тел быстро падает почти до нуля , поэтому предположение о постоянной теплоемкости неприменимо. ^[56]

Поскольку энтропия является функцией состояния , изменение энтропии любого процесса, в котором температура и объем изменяются, такое же, как для пути, разделенного на два этапа – нагревание при постоянном объеме и расширение при постоянной температуре. Для идеального газа полное изменение энтропии равно: ^[57] Аналогично, если температура и давление идеального газа изменяются: $${\displaystyle \Delta S=nC_{\mathrm {V} }\ln {\frac {T}{T_{0}}}+nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}}$$ $${\displaystyle \Delta S=nC_{\mathrm {P} }\ln {\frac {T}{T_{0}}}-nR\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$$

Фазовые переходы

Обратимые фазовые переходы происходят при постоянной температуре и давлении. Обратимое тепло — это изменение энтальпии для перехода, а изменение энтропии — это изменение энтальпии, деленное на термодинамическую температуру. ^[58] Для слияния (т.е. плавления ) твердого тела в жидкость при температуре плавления энтропия плавления равна: Аналогично, для испарения жидкости в газ при температуре кипения энтропия испарения равна: ${\textstyle T_{\mathsf {m}}}$ $${\displaystyle \Delta S_{\mathsf {fus}}={\frac {\Delta H_{\mathsf {fus}}}{T_{\mathsf {m}}}}.}$$ ${\displaystyle T_{\mathsf {b}}}$ $${\displaystyle \Delta S_{\mathsf {vap}}={\frac {\Delta H_{\mathsf {vap}}}{T_{\mathsf {b}}}}}$$

Подходы к пониманию энтропии

Как фундаментальный аспект термодинамики и физики, существуют несколько различных подходов к энтропии, выходящих за рамки Клаузиуса и Больцмана.

Стандартные определения учебников

Ниже приведен список дополнительных определений энтропии из сборника учебников:

• мера рассеивания энергии при определенной температуре.
• мера беспорядка во вселенной или доступности энергии в системе для выполнения работы. ^[59]
• мера тепловой энергии системы на единицу температуры, которая недоступна для выполнения полезной работы . ^[60]

В анализе Больцмана с точки зрения составных частиц энтропия является мерой числа возможных микроскопических состояний (или микросостояний) системы, находящейся в термодинамическом равновесии.

Порядок и беспорядок

Энтропия часто свободно ассоциируется с количеством порядка или беспорядка , или хаоса , в термодинамической системе . Традиционное качественное описание энтропии заключается в том, что она относится к изменениям в состоянии системы и является мерой «молекулярного беспорядка» и количеством потерянной энергии при динамическом преобразовании энергии из одного состояния или формы в другое. В этом направлении несколько недавних авторов вывели точные формулы энтропии для учета и измерения беспорядка и порядка в атомных и молекулярных сборках. ^{[61] [62] [63]} Одна из более простых формул порядка/беспорядка энтропии — это та, которая была выведена в 1984 году физиком-термодинамиком Питером Ландсбергом на основе комбинации аргументов термодинамики и теории информации . Он утверждает, что когда на систему действуют ограничения, так что она не может войти в одно или несколько возможных или разрешенных состояний, в отличие от запрещенных состояний, мера общего количества «беспорядка» в системе определяется по формуле: ^{[62] [63]} Аналогично, общее количество «порядка» в системе определяется по формуле: Где — емкость «беспорядка» системы, которая представляет собой энтропию частей, содержащихся в разрешенном ансамбле, — емкость «информации» системы, выражение, похожее на емкость канала Шеннона , и — емкость «порядка» системы. ^[61] $${\displaystyle {\mathsf {Disorder}}={\frac {C_{\mathsf {D}}}{C_{\mathsf {I}}}}}$$ $${\displaystyle {\mathsf {Order}}=1-{\frac {C_{\mathsf {O}}}{C_{\mathsf {I}}}}}$$ ${\textstyle C_{\mathsf {D}}}$ ${\textstyle C_{\mathsf {I}}}$ ${\textstyle C_{\mathsf {O}}}$

Рассеивание энергии

Замедленная съемка стеклянного стакана, разбивающегося о бетонный пол. За очень короткий промежуток времени процесса разбивания энтропия массы, составляющей стеклянный стакан, резко возрастает, поскольку вещество и энергия стекла рассеиваются.

Понятие энтропии можно качественно описать как меру рассеивания энергии при определенной температуре. ^[64] Подобные термины использовались с самого начала истории классической термодинамики , а с развитием статистической термодинамики и квантовой теории изменения энтропии были описаны в терминах смешивания или «распространения» полной энергии каждого компонента системы по ее конкретным квантованным уровням энергии.

Неоднозначность в терминах беспорядок и хаос , которые обычно имеют значения, прямо противоположные равновесию, способствуют распространенной путанице и затрудняют понимание энтропии большинством студентов. ^[65] Как показывает второй закон термодинамики , в изолированной системе внутренние части при разных температурах имеют тенденцию приспосабливаться к единой однородной температуре и, таким образом, создают равновесие. Недавно разработанный образовательный подход избегает двусмысленных терминов и описывает такое распространение энергии как рассеивание, что приводит к потере дифференциалов, необходимых для работы, даже если общая энергия остается постоянной в соответствии с первым законом термодинамики ^[66] (сравните обсуждение в следующем разделе). Физический химик Питер Аткинс в своем учебнике Физическая химия вводит энтропию утверждением, что «спонтанные изменения всегда сопровождаются рассеиванием энергии или материи, а часто и того, и другого». ^[67]

Связь энтропии с энергиейполезность

Можно (в термическом контексте) рассматривать более низкую энтропию как меру эффективности или полезности определенного количества энергии. ^[68] Энергия, поставляемая при более высокой температуре (т. е. с низкой энтропией), как правило, более полезна, чем то же количество энергии, доступное при более низкой температуре. Смешивание горячей порции жидкости с холодной создает порцию промежуточной температуры, в которой общее увеличение энтропии представляет собой «потерю», которая никогда не может быть восполнена.

Поскольку энтропия Вселенной неуклонно растет, ее полная энергия становится все менее полезной. В конечном итоге, как предполагается, это приведет к тепловой смерти Вселенной . ^[69]

Энтропия и адиабатическая доступность

Определение энтропии, основанное полностью на отношении адиабатической доступности между состояниями равновесия, было дано Э. Х. Либом и Дж. Ингвасоном в 1999 году. ^[70] У этого подхода есть несколько предшественников, включая пионерскую работу Константина Каратеодори 1909 года ^[71] и монографию Р. Джайлса. ^[72] В постановке Либа и Ингвасона начинается с выбора для единичного количества рассматриваемого вещества двух опорных состояний и таких, что последнее адиабатически доступно из первого, но не наоборот. Определяя энтропии опорных состояний как 0 и 1 соответственно, энтропия состояния определяется как наибольшее число, такое, что адиабатически доступно из составного состояния, состоящего из количества в состоянии и дополнительного количества, , в состоянии . Простой, но важный результат в рамках этой установки заключается в том, что энтропия однозначно определяется, помимо выбора единицы измерения и аддитивной константы для каждого химического элемента, следующими свойствами: она монотонна относительно отношения адиабатической доступности, аддитивна для составных систем и экстенсивна при масштабировании. ${\textstyle X_{0}}$ ${\textstyle X_{1}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle X_{1}}$ ${\textstyle (1-\lambda )}$ ${\textstyle X_{0}}$

Энтропия в квантовой механике

В квантовой статистической механике концепция энтропии была разработана Джоном фон Нейманом и обычно называется « энтропией фон Неймана »: где — матрица плотности , — оператор следа , — постоянная Больцмана . $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\ \mathrm {tr} {\left({\hat {\rho }}\times \ln {\hat {\rho }}\right)}}$$ ${\textstyle {\hat {\rho }}}$ ${\textstyle \mathrm {tr} }$ ${\textstyle k_{\mathsf {B}}}$

Это подтверждает принцип соответствия , поскольку в классическом пределе , когда фазы между базисными состояниями являются чисто случайными, это выражение эквивалентно известному классическому определению энтропии для состояний с классическими вероятностями : т.е. в таком базисе матрица плотности диагональна. ${\textstyle p_{i}}$ $${\displaystyle S=-k_{\mathsf {B}}\sum _{i}{p_{i}\ln {p_{i}}}}$$

Фон Нейман создал строгую математическую основу квантовой механики в своей работе Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . В этой работе он представил теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймановское или проективное измерение ). Используя эту концепцию, в сочетании с матрицей плотности он расширил классическую концепцию энтропии в квантовую область.

Теория информации

Я думал назвать это «информацией», но это слово было слишком часто используемым, поэтому я решил назвать это «неопределенностью». [...] Фон Нейман сказал мне: «Вы должны называть это энтропией по двум причинам. Во-первых, ваша функция неопределенности использовалась в статистической механике под этим названием, так что у нее уже есть название. Во-вторых, и это более важно, никто не знает, что такое энтропия на самом деле, поэтому в споре у вас всегда будет преимущество».

Разговор между Клодом Шенноном и Джоном фон Нейманом о том, как назвать затухание сигналов телефонной линии ^[73]

Если рассматривать ее с точки зрения теории информации , то функция состояния энтропии — это количество информации в системе, необходимое для полного определения микросостояния системы. Энтропия — это мера количества недостающей информации перед приемом. ^[74] Часто называемая энтропией Шеннона , она была первоначально разработана Клодом Шенноном в 1948 году для изучения размера информации переданного сообщения. Определение информационной энтропии выражается в терминах дискретного набора вероятностей , так что: где основание логарифма определяет единицы (например, двоичный логарифм соответствует битам ). ${\textstyle p_{i}}$ $${\displaystyle H(X)=-\sum _{i=1}^{n}{p(x_{i})\log {p(x_{i})}}}$$

В случае переданных сообщений эти вероятности были вероятностями того, что конкретное сообщение было фактически передано, а энтропия системы сообщений была мерой среднего размера информации сообщения. Для случая равных вероятностей (т. е. каждое сообщение равновероятно), энтропия Шеннона (в битах) — это просто количество бинарных вопросов, необходимых для определения содержания сообщения. ^[26]

Большинство исследователей считают, что информационная энтропия и термодинамическая энтропия напрямую связаны с одной и той же концепцией, ^{[75] [76] [77] [78] [79],} в то время как другие утверждают, что они различны. ^[80] Оба выражения математически схожи. Если — это число микросостояний, которые могут дать данное макросостояние, и каждое микросостояние имеет одинаковую априорную вероятность, то эта вероятность равна . Энтропия Шеннона (в нат ) равна: и если энтропия измеряется в единицах нат, то энтропия определяется как: что является формулой энтропии Больцмана , где — постоянная Больцмана, которая может быть интерпретирована как термодинамическая энтропия нат. Некоторые авторы выступают за то, чтобы отказаться от слова энтропия для функции теории информации и использовать вместо этого другой термин Шеннона, «неопределенность». ^[81] ${\textstyle W}$ ${\textstyle p=1/W}$ $${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{W}{p_{i}\ln {p_{i}}}=\ln {W}}$$ ${\textstyle k}$ $${\displaystyle H=k\ln {W}}$$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle H}$

Измерение

Энтропия вещества может быть измерена, хотя и косвенным образом. Измерение, известное как энтропиметрия, ^[82] выполняется в замкнутой системе с постоянным числом частиц и постоянным объемом , и оно использует определение температуры ^[83] в терминах энтропии, ограничивая при этом обмен энергией теплом : Полученное соотношение описывает, как изменяется энтропия , когда в систему вводится небольшое количество энергии при определенной температуре . ${\textstyle N}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \mathrm {d} U\rightarrow \mathrm {d} Q}$ $${\displaystyle T:={\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)}_{V,N}\ \Rightarrow \ \cdots \ \Rightarrow \ \mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} Q}{T}}}$$ ${\textstyle \mathrm {d} S}$ ${\textstyle \mathrm {d} Q}$ ${\textstyle T}$

Процесс измерения происходит следующим образом. Сначала образец вещества охлаждается как можно ближе к абсолютному нулю. При таких температурах энтропия приближается к нулю — из-за определения температуры. Затем в образец вводится небольшое количество тепла и регистрируется изменение температуры, пока температура не достигнет желаемого значения (обычно 25 °C). Полученные данные позволяют пользователю интегрировать приведенное выше уравнение, получая абсолютное значение энтропии вещества при конечной температуре. Это значение энтропии называется калориметрической энтропией. ^[84]

Междисциплинарные приложения

Хотя концепция энтропии изначально была термодинамической концепцией, она была адаптирована в других областях исследований, ^[53] включая теорию информации , психодинамику , термоэкономику / экологическую экономику и эволюцию . ^{[61] [85] [86] [87] [88]}

Философия и теоретическая физика

Энтропия — единственная величина в физических науках, которая, по-видимому, подразумевает определенное направление прогресса, иногда называемое стрелой времени . С течением времени второй закон термодинамики гласит, что энтропия изолированной системы никогда не уменьшается в больших системах в течение значительных периодов времени. Следовательно, с этой точки зрения, измерение энтропии рассматривается как часы в этих условиях. ^[89]

Биология

Кьяваццо и др. предположили, что выбор пещерными пауками мест для откладывания яиц можно объяснить с помощью минимизации энтропии. ^[90]

Энтропия оказалась полезной при анализе последовательностей пар оснований в ДНК. Было показано, что многие меры на основе энтропии различают различные структурные области генома, различают кодирующие и некодирующие области ДНК, а также могут применяться для воссоздания эволюционных деревьев путем определения эволюционного расстояния между различными видами. ^[91]

Космология

Если предположить, что конечная вселенная является изолированной системой, то второй закон термодинамики гласит, что ее полная энтропия непрерывно увеличивается. С 19-го века предполагалось, что вселенная обречена на тепловую смерть , в которой вся энергия заканчивается как однородное распределение тепловой энергии, так что больше нельзя извлечь работу из какого-либо источника.

Если можно считать, что Вселенная имеет в целом увеличивающуюся энтропию, то, как указал Роджер Пенроуз , гравитация играет важную роль в увеличении, поскольку гравитация заставляет рассеянную материю накапливаться в звезды, которые в конечном итоге коллапсируют в черные дыры . Энтропия черной дыры пропорциональна площади поверхности горизонта событий черной дыры . ^{[92] [93] [94]} Джейкоб Бекенштейн и Стивен Хокинг показали, что черные дыры имеют максимально возможную энтропию любого объекта равного размера. Это делает их вероятными конечными точками всех процессов увеличения энтропии, если они являются полностью эффективными ловушками материи и энергии. ^[95] Однако выход энергии из черных дыр может быть возможен из-за квантовой активности (см. излучение Хокинга ).

Роль энтропии в космологии остается спорным вопросом со времен Людвига Больцмана . Недавние работы поставили под сомнение гипотезу тепловой смерти и применимость любой простой термодинамической модели к Вселенной в целом. Хотя энтропия действительно увеличивается в модели расширяющейся Вселенной, максимально возможная энтропия растет гораздо быстрее, отодвигая Вселенную со временем дальше от тепловой смерти, а не ближе. ^{[96] [97] [98]} Это приводит к «энтропийному разрыву», отодвигающему систему дальше от постулируемого равновесия тепловой смерти. ^[99] Другие усложняющие факторы, такие как плотность энергии вакуума и макроскопические квантовые эффекты, трудно согласовать с термодинамическими моделями, что делает любые предсказания крупномасштабной термодинамики чрезвычайно трудными. ^[100]

Современные теории предполагают, что разрыв энтропии изначально был открыт в результате раннего быстрого экспоненциального расширения Вселенной. ^[101]

Экономика

Румынско-американский экономист Николас Георгеску-Реген , основоположник экономики и основатель парадигмы экологической экономики , широко использовал концепцию энтропии в своем главном труде « Закон энтропии и экономический процесс» . ^[76] Благодаря работе Георгеску-Регена законы термодинамики являются неотъемлемой частью школы экологической экономики . ^{[102] : 204f  [103] : 29–35} Хотя его работа была несколько испорчена ошибками , целая глава об экономике Георгеску-Регена была одобрена и включена в один элементарный учебник физики по историческому развитию термодинамики. ^{[104] : 95–112}

В экономике работа Джорджеску-Регена породила термин «энтропийный пессимизм» . ^{[105] : 116} Начиная с 1990-х годов ведущий экологический экономист и теоретик устойчивого состояния Герман Дейли – ученик Джорджеску-Регена – был самым влиятельным сторонником позиции энтропийного пессимизма в экономической профессии. ^{[106] : 545f  [107]}

Смотрите также

• энтропия Больцмана
• броуновский храповик
• Конфигурационная энтропия
• Конформационная энтропия
• Энтропийный взрыв
• Энтропийная сила
• Энтропийная ценность под угрозой
• Энтропия и жизнь
• Единица измерения энтропии
• Свободная энтропия
• Гармоническая энтропия
• Инфо-метрики
• Негэнтропия (отрицательная энтропия)
• Фазовое пространство
• Принцип максимальной энтропии
• Остаточная энтропия
• Термодинамический потенциал

Примечания

1. Точки над точками представляют собой производные величин по времени.

Ссылки

1. Wehrl, Alfred (1 апреля 1978 г.). «Общие свойства энтропии». Reviews of Modern Physics . 50 (2): 221–260. Bibcode : 1978RvMP...50..221W. doi : 10.1103/RevModPhys.50.221.
2. Трусделл, К. (1980). Трагикомическая история термодинамики, 1822–1854 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 215. ISBN 0387904034– через Интернет-архив .
3. Браш, С. Г. (1976). Вид движения, который мы называем теплом: история кинетической теории газов в XIX веке, книга 2, Статистическая физика и необратимые процессы , Elsevier, Амстердам, ISBN 0-444-87009-1 , стр. 576–577. 
4. "Carnot, Sadi (1796–1832)". Wolfram Research. 2007. Получено 24 февраля 2010 .
5. Маккалок, Ричард, С. (1876). Трактат о механической теории тепла и ее применении к паровой машине и т. д . Д. Ван Ностранд.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Клаузиус, Рудольф (1850). «Über die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbstableiten lassen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 155 (3): 368–397. Бибкод : 1850АнП...155..368С. дои : 10.1002/andp.18501550306. hdl : 2027/uc1.$b242250 .[О движущей силе теплоты и о законах, которые могут быть выведены из нее для теории теплоты]: Анналы физики и химии Поггендорфа .
7. Лидделл, Х. Г., Скотт, Р. (1843/1978). Греко-английский словарь, исправленное и дополненное издание, Oxford University Press, Oxford UK, ISBN 0198642148 , стр. 1826–1827. 
8. Клаузиус, Рудольф (1865). «Ueber verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie (Vorgetragen in der naturforsch. Gesellschaft zu Zürich den 24 апреля 1865 г.)». Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 125 (7): 353–400. Бибкод : 1865АнП...201..353С. дои : 10.1002/andp.18652010702. п. 390: sucht man für S einen bezeichnenden Namen, so könnte man, ähnlich wie von der Groſse U gesagt ist, sie sey der Wärme- und Werkinhalt des Körpers, von der Gröse S sagen, sie sey der Verwandlungsinhalt des Körpers. Если я буду лучше всего останавливаться, я откажусь от своего имени, чтобы узнать больше о другом разговоре с другими людьми, если это не так, и я не знаю, как это сделать, так что я могу сказать, что это не так. ροπή , умереть Verwandlung, die Entropie des Körpers zu nennen. Das Wort Entropie habei ich absichtlich dem Worte Energie möglichst ähnlich gebildet, denn die beiden Grössen, welche durch diese Worte benannt werden sollen, sind ihren phykalischen Bedeutungen nach einander so nahe verwandt, dass eine gewisse Gleichartigkeit in der Benennung mir zweckmäſsig zu seyn scheint.
9. Gillispie, Charles Coulston (1960). Грань объективности: эссе по истории научных идей . Princeton University Press. стр. 399. ISBN 0-691-02350-6. Клаузиус придумал слово энтропия для : «Я предпочитаю обращаться к древним языкам за названиями важных научных величин, так чтобы они могли означать одно и то же на всех живых языках. Я предлагаю, соответственно, называть энтропию тела по греческому слову «превращение». Я намеренно придумал слово энтропия, похожее на «энергию», поскольку эти две величины настолько аналогичны по своему физическому значению, что аналогия в наименовании показалась мне полезной». ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
10. Купер, Леон Н. (1968). Введение в значение и структуру физики . Харпер. стр. 331.
11. Научные труды Дж. Уилларда Гиббса в двух томах. Том 1. Longmans, Green, and Co. 1906. стр. 11. Получено 26 февраля 2011 г.
12. Лоуэр, Стивен. «Что такое энтропия?». chem1.com . Получено 21 мая 2016 г.
13. "6.5 Необратимость, изменения энтропии и потерянная работа". web.mit.edu . Получено 21 мая 2016 г. .
14. Lavenda, Bernard H. (2010). "2.3.4". Новый взгляд на термодинамику (Online-Ausg. ed.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-1430-9.
15. Карно, Сади Карно (1986). Фокс, Роберт (ред.). Размышления о движущей силе огня . Нью-Йорк: Lilian Barber Press. С. 26. ISBN 978-0-936508-16-0.
16. Трусделл, К. (1980). Трагикомическая история термодинамики 1822–1854 . Нью-Йорк: Springer. С. 78–85. ISBN 978-0-387-90403-0.
17. Клерк Максвелл, Джеймс (2001). Песич, Питер (ред.). Теория тепла . Mineola: Dover Publications. стр. 115–158. ISBN 978-0-486-41735-6.
18. Planck, M. (1945). Трактат по термодинамике . Dover Publications. стр. §90 и §137. уравнения (39), (40), и (65).
19. Рудольф Клаузиус (1867). Механическая теория тепла: с ее приложениями к паровой машине и физическим свойствам тел. J. Van Voorst. стр. 28. ISBN 978-1-4981-6733-8.
20. Ферми, Э. (1956). Термодинамика . Dover Publications (все еще в печати). стр. 48. eq.(64).
21. Аткинс, Питер; Хулио Де Паула (2006). Физическая химия, 8-е изд . Oxford University Press. стр. 79. ISBN 978-0-19-870072-2.
22. Энгель, Томас; Филип Рид (2006). Физическая химия . Пирсон Бенджамин Каммингс. стр. 86. ISBN 978-0-8053-3842-3.
23. Licker, Mark D. (2004). McGraw-Hill concise encyclopedia of chemistry . Нью-Йорк: McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-143953-4.
24. Sethna, James P. (2006). Статистическая механика: энтропия, параметры порядка и сложность ([Online-Ausg.] ed.). Оксфорд: Oxford University Press. стр. 78. ISBN 978-0-19-856677-9.
25. Кларк, Джон О.Е. (2004). Основной словарь науки . Нью-Йорк: Barnes & Noble. ISBN 978-0-7607-4616-5.
26. Frigg, R. и Werndl, C. "Entropy – A Guide for the Perplexed" Архивировано 13 августа 2011 г. в Wayback Machine . В Probabilities in Physics ; Beisbart C. и Hartmann, S. (ред.); Oxford University Press, Оксфорд, 2010.
27. Шредер, Дэниел В. (2000). Введение в тепловую физику . Сан-Франциско, Калифорния: Addison Wesley. стр. 57. ISBN 978-0-201-38027-9.
28. Jaynes, ET (1 мая 1965 г.). «Энтропии Гиббса против Больцмана». American Journal of Physics . 33 (5): 391–398. Bibcode : 1965AmJPh..33..391J. doi : 10.1119/1.1971557. ISSN  0002-9505.
29. Jaynes, ET (1992). «Парадокс Гиббса». В Smith, CR; Erickson, GJ; Neudorfer, PO (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы (PDF) . Kluwer Academic: Dordrecht. стр. 1–22 . Получено 17 августа 2012 г. .
30. Sandler, Stanley I. (2006). Химическая, биохимическая и инженерная термодинамика (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 91. ISBN 978-0-471-66174-0.
31. Саймон, Джон Д.; МакКуорри, Дональд А. (1997). Физическая химия: молекулярный подход (Rev. ed.). Sausalito, Calif.: Univ. Science Books. стр. 817. ISBN 978-0-935702-99-6.
32. Хейни, Дональд Т. (2001). Биологическая термодинамика . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79165-6.
33. Дейнтит, Джон (2005). Научный словарь (5-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280641-3.
34. de Rosnay, Joel (1979). The Macroscope – a New World View (написано биохимиком, окончившим Массачусетский технологический институт) . Harper & Row, Publishers. ISBN 978-0-06-011029-1.
35. McGovern, JA "Heat Capacities". Архивировано из оригинала 19 августа 2012 года . Получено 27 января 2013 года .
36. Бен-Наим, Арье (21 сентября 2007 г.). «О так называемом парадоксе Гиббса и о реальном парадоксе» (PDF) . Энтропия . 9 (3): 132–136. Bibcode :2007Entrp...9..132B. doi : 10.3390/e9030133 .
37. Каллен, Герберт (2001). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.) . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-86256-7.
38. Гао, Сян; Галликкио, Эмилио; Ройтберг, Адриан (2019). «Обобщенное распределение Больцмана — единственное распределение, в котором энтропия Гиббса-Шеннона равна термодинамической энтропии». Журнал химической физики . 151 (3): 034113. arXiv : 1903.02121 . Bibcode : 2019JChPh.151c4113G. doi : 10.1063/1.5111333. PMID  31325924. S2CID  118981017.
39. Гао, Сян (март 2022 г.). «Математика теории ансамбля». Результаты по физике . 34 : 105230. arXiv : 2006.00485 . Bibcode : 2022ResPh..3405230G. doi : 10.1016/j.rinp.2022.105230 . S2CID  221978379.
40. Дейнтит, Джон (2005). Оксфордский словарь физики . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280628-4.
41. Saha, Arnab; Lahiri, Sourabh; Jayannavar, AM (2009). «Теоремы о производстве энтропии и некоторые следствия». Physical Review E. 80 ( 1): 1–10. arXiv : 0903.4147 . Bibcode : 2009PhRvE..80a1117S. doi : 10.1103/PhysRevE.80.011117. PMID  19658663. S2CID  22204063.
42. Мартюшев, Л.М.; Селезнев, В.Д. (2014). «Ограничения принципа максимального производства энтропии». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 410 : 17–21. arXiv : 1311.2068 . Bibcode :2014PhyA..410...17M. doi :10.1016/j.physa.2014.05.014. S2CID  119224112.
43. Циглер, Х. (1983). Введение в термомеханику . Северная Голландия, Амстердам.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
44. Онзагер, Ларс (1931). «Взаимные отношения в необратимых процессах». Phys. Rev. 37 ( 4): 405. Bibcode :1931PhRv...37..405O. doi : 10.1103/PhysRev.37.405 .
45. Клейдон, А. и др. (2005). Неравновесная термодинамика и производство энтропии . Гейдельберг: Springer.
46. Белкин, Андрей и др. (2015). «Самоорганизующиеся шевелящиеся наноструктуры и принцип максимального производства энтропии». Scientific Reports . 5 : 8323. Bibcode :2015NatSR...5E8323B. doi :10.1038/srep08323. PMC 4321171 . PMID  25662746. 
47. Moore, JW; CL Stanistski; PC Jurs (2005). Химия, Молекулярная наука . Brooks Cole. ISBN 978-0-534-42201-1.
48. Юнгерманн, AH (2006). «Энтропия и модель шельфа: квантово-физический подход к физическому свойству». Журнал химического образования . 83 (11): 1686–1694. Bibcode : 2006JChEd..83.1686J. doi : 10.1021/ed083p1686. S2CID  18081336.
49. Левин, ИН (2002). Физическая химия, 5-е изд . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-231808-1.
50. Hilbert, Martin; López, Priscila (11 февраля 2011 г.). «Технологические возможности мира по хранению, передаче и вычислению информации». Science . 332 (6025): 60–65. Bibcode :2011Sci...332...60H. doi : 10.1126/science.1200970 . ISSN  0036-8075. PMID  21310967. S2CID  206531385.
51. Покойный лауреат Нобелевской премии Макс Борн (8 августа 2015 г.). Естественная философия причины и случая. BiblioLife. С. 44, 146–147. ISBN 978-1-298-49740-6.
52. Хаазе, Р. (1971). Термодинамика . Нью-Йорк: Academic Press. С. 1–97. ISBN 978-0-12-245601-5.
53. Покровский, Владимир (2020). Термодинамика сложных систем: принципы и приложения . IOP Publishing, Бристоль, Великобритания. Bibcode :2020tcsp.book.....P.
54. Сандлер, Стэнли, И. (1989). Химическая и инженерная термодинамика . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-83050-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
55. "GRC.nasa.gov". GRC.nasa.gov. 27 марта 2000 г. Архивировано из оригинала 21 августа 2011 г. Получено 17 августа 2012 г.
56. Франзен, Стефан. «Третий закон» (PDF) . ncsu.edu. Архивировано из оригинала (PDF) 9 июля 2017 г.
57. "GRC.nasa.gov". GRC.nasa.gov. 11 июля 2008 г. Получено 17 августа 2012 г.
58. Starzak, Michael E. (2010). "Phase Equilibria & Colligative Properties". Энергия и энтропия: Равновесие к стационарным состояниям . Springer Science+Business Media. стр. 138–140. ISBN 978-1489983671. Получено 5 сентября 2019 г. .
59. Гриббин, Джон (1999). Гриббин, Мэри (ред.). Q — квант: энциклопедия физики элементарных частиц. Нью-Йорк: Free Press. ISBN 978-0-684-85578-3.
60. "Энтропия: определение и уравнение". Encyclopaedia Britannica . Получено 22 мая 2016 г.
61. Брукс, Дэниел Р.; Уайли, EO (1988). Эволюция как энтропия: к единой теории биологии (2-е изд.). Чикаго [и т. д.]: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-07574-7.
62. Ландсберг, ПТ (1984). «Всегда ли равновесие является максимумом энтропии?». J. Stat. Physics . 35 (1–2): 159–169. Bibcode :1984JSP....35..159L. doi :10.1007/bf01017372. S2CID  122424225.
63. Ландсберг, ПТ (1984). «Могут ли энтропия и «порядок» увеличиваться вместе?». Physics Letters . 102A (4): 171–173. Bibcode : 1984PhLA..102..171L. doi : 10.1016/0375-9601(84)90934-4.
64. Ламберт, Фрэнк Л. «Студенческий подход ко второму закону и энтропии».
65. Уотсон, Дж. Р.; Карсон, Э. М. (май 2002 г.). «Понимание студентами энтропии и свободной энергии Гиббса» (PDF) . Университетское химическое образование . 6 (1): 4. ISSN  1369-5614.
66. Ламберт, Фрэнк Л. (февраль 2002 г.). «Беспорядок – треснувший костыль для поддержки дискуссий об энтропии». Журнал химического образования . 79 (2): 187. Bibcode : 2002JChEd..79..187L. doi : 10.1021/ed079p187. S2CID  97102995.
67. Питер Аткинс; Хулио де Паула; Джеймс Килер (2019). Физическая химия Аткинса 11e: Том 3: Молекулярная термодинамика и кинетика. Oxford University Press. стр. 89. ISBN 978-0-19-882336-0.
68. Сандра Саари (23 февраля 1993 г.). «Обзор книги «A Science Miscellany»». Khaleej Times . ОАЭ: Galadari Press: xi.
69. Смит, Кросби; Уайз, М. Нортон (1989). Энергия и империя: биографическое исследование лорда Кельвина . Cambridge University Press. стр. 500–501. ISBN 978-0-521-26173-9.
70. Либ, Эллиотт Х.; Ингвасон, Якоб (март 1999 г.). «Физика и математика второго закона термодинамики». Physics Reports . 310 (1): 1–96. arXiv : cond-mat/9708200 . Bibcode : 1999PhR...310....1L. doi : 10.1016/S0370-1573(98)00082-9. S2CID  119620408.
71. Каратеодори, К. (сентябрь 1909 г.). «Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik». Mathematische Annalen (на немецком языке). 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409. S2CID  118230148.
72. Р. Джайлс (2016). Математические основы термодинамики: Международная серия монографий по чистой и прикладной математике. Elsevier Science. ISBN 978-1-4831-8491-3.
73. Трибус, М.; МакИрвин, Э.К. (1971). «Энергия и информация». Scientific American . 224 (3): 178–184. JSTOR  24923125.
74. Балиан, Роджер (2004). «Энтропия, протеанская концепция». В Dalibard, Jean (ред.). Семинар Пуанкаре 2003: Бозе-Эйнштейновская конденсация – энтропия . Базель: Birkhäuser. стр. 119–144. ISBN 978-3-7643-7116-6.
75. Бриллюэн, Леон (1956). Наука и теория информации . Dover Publications. ISBN 978-0-486-43918-1.
76. Georgescu-Roegen, Nicholas (1971). Закон энтропии и экономический процесс. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-25781-8.
77. Чэнь, Цзин (2005). Физические основы экономики – аналитическая термодинамическая теория . World Scientific. ISBN 978-981-256-323-1.
78. Калинин, МИ; Кононогов, СА (2005). «Постоянная Больцмана». Measurement Techniques . 48 (7): 632–636. doi :10.1007/s11018-005-0195-9. S2CID  118726162.
79. Бен-Наим, Арье (2008). Энтропия демистифицирует второй закон, сведенный к простому здравому смыслу (Расширенное издание). Сингапур: World Scientific. ISBN 9789812832269.
80. Валлино, Джозеф Дж.; Алгар, Кристофер К.; Гонсалес, Нурия Фернандес; Хубер, Джули А. (2013). «Использование оптимального управления с отступающим горизонтом для решения проблем биогеохимии на основе MaxEP (производство максимальной энтропии)». В Dewar, Родерик К.; Лайнуивер, Чарльз Х.; Нивен, Роберт К.; Регенауэр-Либ, Клаус (ред.). За пределами второго закона: производство энтропии и неравновесные системы . Живые системы как катализаторы. Springer. стр. 340. ISBN 978-3642401534. Получено 31 августа 2019 г. . Чернильная страница формирует шаблон с информацией → энтропия страницы < diff страница с рандомизированными буквами. Сниженная энтропия тривиальна по сравнению с энтропией чернильной бумаги. Если бумага сожжена, в термодинамическом контексте едва ли имеет значение, содержит ли текст смысл жизни или только тарабарщину [ sic ].
81. Шнайдер, Том, система DELILA (язык библиотеки дезоксирибонуклеиновых кислот), (теория информации и анализ сайтов связывания), Лаборатория математической биологии, Национальный институт рака, Фредерик, Мэриленд.
82. Ким, Хе Джин; Пак, Ёнгю; Квон, Юнджин; Шин, Джехо; Ким, Ён-Хан; Ан, Хён-Сок; Язами, Рашид; Чхве, Чан Ук (2020). «Энтропиметрия для неразрушающего структурного анализа катодов LiCoO 2». Энергетика и наука об окружающей среде . 13 (1): 286–296. doi :10.1039/C9EE02964H. ISSN  1754-5692. S2CID  212779004.
83. Шредер, Дэниел В. (2000). Введение в теплофизику ([Начдр.] изд.). Сан-Франциско, Калифорния [ua]: Эддисон Уэсли. п. 88. ИСБН 978-0-201-38027-9.
84. «Измерение энтропии». chem.wisc.edu .
85. Эвери, Джон (2003). Теория информации и эволюция . World Scientific. ISBN 978-981-238-399-0.
86. Йоки, Хьюберт, П. (2005). Теория информации, эволюция и происхождение жизни . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80293-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
87. Кьяваццо, Элиодоро; Фазано, Маттео; Азинари, Пьетро (2013). «Вывод аналитических термодинамических моделей для биологических сетей» (PDF) . Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 392 (5): 1122–1132. Bibcode : 2013PhyA..392.1122C. doi : 10.1016/j.physa.2012.11.030. S2CID  12418973.
88. Чэнь, Цзин (2015). Единство науки и экономики: новый фундамент экономической теории. Springer. doi :10.1007/978-1-4939-3466-9. ISBN 978-1-4939-3464-5.
89. Крейн, Лия (май 2021 г.). «Стоимость сохранения времени». New Scientist . 250 (3334): 15. Bibcode : 2021NewSc.250...15C. doi : 10.1016/S0262-4079(21)00816-2.
90. Кьяваццо, Элиодоро; Исайя, Марко; Маммола, Стефано; Лепоре, Эмилиано; Вентола, Луиджи; Азинари, Пьетро; Пуньо, Никола Мария (2015). «Пещерные пауки выбирают оптимальные факторы окружающей среды с учетом генерируемой энтропии при откладывании кокона». Scientific Reports . 5 : 7611. Bibcode :2015NatSR...5E7611C. doi :10.1038/srep07611. PMC 5154591 . PMID  25556697. 
91. Танос, Димитриос; Ли, Вэньтянь; Провата, Астеро (1 марта 2018 г.). «Энтропические флуктуации в последовательностях ДНК». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 493 : 444–457. Bibcode : 2018PhyA..493..444T. doi : 10.1016/j.physa.2017.11.119. ISSN  0378-4371.
92. фон Байер, Кристиан, Х. (2003). Информация – новый язык науки. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-01387-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
93. Srednicki M (август 1993). «Энтропия и площадь». Phys. Rev. Lett . 71 (5): 666–669. arXiv : hep-th/9303048 . Bibcode :1993PhRvL..71..666S. doi :10.1103/PhysRevLett.71.666. PMID  10055336. S2CID  9329564.
94. Callaway DJE (апрель 1996 г.). «Поверхностное натяжение, гидрофобность и черные дыры: энтропийная связь». Phys. Rev. E . 53 (4): 3738–3744. arXiv : cond-mat/9601111 . Bibcode :1996PhRvE..53.3738C. doi :10.1103/PhysRevE.53.3738. PMID  9964684. S2CID  7115890.
95. Саркар, TK; Салазар-Пальма, M.; Моколе, Эрик Л. (2008). «Взгляд на концепцию пропускной способности канала с точки зрения Максвелла». Физика многоантенных систем и широкополосная обработка . Wiley. стр. 162. ISBN 978-0470190401. Получено 31 августа 2019 г. .
96. Лэйзер, Дэвид (1990). Космогенез: рост порядка во Вселенной . Oxford University Press.
97. Chaisson, Eric J. (2001). Космическая эволюция: рост сложности в природе. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-00342-2.
98. Lineweaver, Charles H.; Davies, Paul CW; Ruse, Michael, ред. (2013). Сложность и стрела времени . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02725-1.
99. Стенгер, Виктор Дж. (2007). Бог: Неудачная гипотеза . Книги Прометея. ISBN 978-1-59102-481-1.
100. Бенджамин Гал-Ор (1987). Космология, физика и философия . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-96526-0.
101. Альбрехт, Андреас (2004). "Космическая инфляция и стрела времени" (PDF) . В Барроу, Джон Д .; Дэвис, Пол К. У .; Харпер, Чарльз Л. (ред.). Наука и конечная реальность: от кванта к космосу . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. arXiv : astro-ph/0210527 . Bibcode : 2002astro.ph.10527A . Получено 28 июня 2017 г.. В честь 90-летия Джона Уиллера.
102. Кливленд, Катлер Дж .; Рут, Маттиас (1997). «Когда, где и насколько биофизические ограничения ограничивают экономический процесс? Обзор вклада Николаса Георгеску-Регена в экологическую экономику». Экологическая экономика . 22 (3). Амстердам: Elsevier : 203–223. doi : 10.1016/s0921-8009(97)00079-7 .
103. Дейли, Герман Э .; Фарли, Джошуа (2011). Экологическая экономика. Принципы и приложения (PDF содержит полную книгу) (2-е изд.). Вашингтон: Island Press. ISBN 978-1-59726-681-9.
104. Шмитц, Джон Э.Дж. (2007). Второй закон жизни: энергия, технология и будущее Земли, как мы ее знаем (ссылка на научный блог автора, основанный на его учебнике) . Норвич: William Andrew Publishing. ISBN 978-0-8155-1537-1.
105. Ayres, Robert U. (2007). «О практических пределах замещения» (PDF) . Экологическая экономика . 61. Амстердам: Elsevier : 115–128. doi :10.1016/j.ecolecon.2006.02.011. S2CID  154728333.
106. Кершнер, Кристиан (2010). «Экономический де-рост против устойчивой экономики» (PDF) . Журнал чистого производства . 18 (6). Амстердам: Elsevier : 544–551. Bibcode : 2010JCPro..18..544K. doi : 10.1016/j.jclepro.2009.10.019.
107. Дейли, Герман Э. (2015). «Экономика для полного мира». Scientific American . 293 (3): 100–7. doi :10.1038/scientificamerican0905-100. PMID  16121860. S2CID  13441670. Получено 23 ноября 2016 г.

• Дэвид, Ковер (14 августа 2018 г.). «Энтропия – физическая величина всей жизни и нашей жизни». stejfree.sk . Архивировано из оригинала 27 мая 2022 года . Проверено 13 апреля 2022 г.

Дальнейшее чтение

• Адам, Герхард; Отто Хиттмайр (1992). Теплая теория . Видег, Брауншвейг. ISBN 978-3-528-33311-9.
• Аткинс, Питер; Хулио Де Паула (2006). Физическая химия (8-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-870072-2.
• Байерлейн, Ральф (2003). Теплофизика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-65838-6.
• Бен-Наим , Арье (2007). Энтропия демистифицирована . World Scientific. ISBN 978-981-270-055-1.
• Каллен, Герберт, Б. (2001). Термодинамика и введение в термостатику (2-е изд.). John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-86256-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Чанг, Рэймонд (1998). Химия (6-е изд.). Нью-Йорк: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-115221-1.
• Катнелл, Джон, Д.; Джонсон, Кеннет, Дж. (1998). Физика (4-е изд.). John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-19113-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Дагдейл, Дж. С. (1996). Энтропия и ее физическое значение (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис (Великобритания); CRC (США). ISBN 978-0-7484-0569-5.
• Ферми, Энрико (1937). Термодинамика . Prentice Hall. ISBN 978-0-486-60361-2.
• Голдштейн, Мартин; Инге, Ф. (1993). Холодильник и Вселенная . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-75325-9.
• Gyftopoulos, EP; GP Beretta (2010). Термодинамика. Основы и приложения . Дувр. ISBN 978-0-486-43932-7.
• Хаддад, Вассим М.; Челлабоина, ВиджайСехар; Нерсесов, Сергей Г. (2005). Термодинамика – подход динамических систем . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-12327-1.
• Джонсон, Эрик (2018).Тревога и уравнение: понимание энтропии Больцмана. Издательство MIT. ISBN 978-0-262-03861-4.
• Кремер, Герберт; Чарльз Киттель (1980). Теплофизика (2-е изд.). WH Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Ламберт, Фрэнк Л.; [1]
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2013). Основы статистической физики (2-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-4449-53-3.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной. Нью-Йорк: AA Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
• Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и тепловой физики. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Шредер, Дэниел В. (2000). Введение в теплофизику . Нью-Йорк: Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-38027-9.
• Сервэй, Рэймонд, А. (1992). Физика для ученых и инженеров. Серия Saunders Golden Subburst. ISBN 978-0-03-096026-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Шарп, Ким (2019). Энтропия и дао подсчета: краткое введение в статистическую механику и второй закон термодинамики (SpringerBriefs in Physics). Springer Nature. ISBN 978-3030354596 . 
• Spirax-Sarco Limited, Энтропия – Базовое понимание. Учебник по таблицам энтропии для паровой инженерии.
• фон Байер; Ганс Христиан (1998). Демон Максвелла: Почему тепло рассеивается и время проходит . Random House. ISBN 978-0-679-43342-2.

Внешние ссылки

• «Энтропия» в Scholarpedia
• Энтропия и неравенство Клаузиуса. Лекция MIT OCW, часть курса 5.60 Термодинамика и кинетика, весна 2008 г.
• Энтропия и второй закон термодинамики – лекция по физике для учащихся старших классов с «выводом» энтропии на основе цикла Карно
• Академия Хана: лекции по энтропии, часть плейлиста по химии
  • Энтропия Интуиция
  • Подробнее об энтропии
  • Доказательство: S (или энтропия) является допустимой переменной состояния.
  • Согласование термодинамических и государственных определений энтропии
  • Уточнение определения термодинамической энтропии
• Мориарти, Филипп; Меррифилд, Майкл (2009). «S-энтропия». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Открытие энтропии Адама Шульмана. Часовое видео, январь 2013 г.
• Второй закон термодинамики и энтропия – лекция Йельского университета, часть курса «Основы физики I» (PHYS 200)