Форма

Форма — это графическое представление формы объекта или его внешней границы, контура или внешней поверхности . Она отличается от других свойств объекта, таких как цвет , текстура или тип материала. В геометрии форма исключает информацию о положении объекта , размере , ориентации и хиральности . ^[1] Фигура — это представление, включающее как форму, так и размер (как, например, фигура Земли ).

Плоская форма или плоская фигура ограничена тем, чтобы лежать на плоскости , в отличие от сплошных 3D-форм. Двумерная форма или двумерная фигура (также: 2D-форма или 2D-фигура ) может лежать на более общей искривленной поверхности ( двумерном пространстве ).

Классификация простых форм

Некоторые простые фигуры можно разделить на широкие категории. Например, многоугольники классифицируются по количеству сторон как треугольники , четырехугольники , пятиугольники и т. д. Каждая из них делится на более мелкие категории; треугольники могут быть равносторонними , равнобедренными , тупоугольными , остроугольными , разносторонними и т. д., а четырехугольники могут быть прямоугольниками , ромбами , трапециями , квадратами и т. д.

Другими распространенными фигурами являются точки , линии , плоскости и конические сечения, такие как эллипсы , окружности и параболы .

Среди наиболее распространенных трехмерных фигур — многогранники , представляющие собой фигуры с плоскими гранями; эллипсоиды , представляющие собой объекты яйцевидной или сферической формы; цилиндры и конусы .

Если объект попадает в одну из этих категорий точно или хотя бы приблизительно, мы можем использовать это для описания формы объекта. Таким образом, мы говорим, что форма крышки люка — это диск , потому что это примерно тот же геометрический объект, что и реальный геометрический диск.

В геометрии

Набор геометрических фигур в 2 измерениях: параллелограмм , треугольник и круг.

Геометрическая форма состоит из геометрической информации, которая остается, когда местоположение , масштаб , ориентация и отражение удаляются из описания геометрического объекта . ^[1] То есть, результатом перемещения формы, ее увеличения, вращения или отражения в зеркале является та же форма, что и оригинал, а не отдельная форма.

Многие двумерные геометрические фигуры могут быть определены набором точек или вершин и линий, соединяющих точки в замкнутую цепь, а также результирующими внутренними точками. Такие фигуры называются многоугольниками и включают треугольники , квадраты и пятиугольники . Другие фигуры могут быть ограничены кривыми, такими как круг или эллипс . Многие трехмерные геометрические фигуры могут быть определены набором вершин, линиями, соединяющими вершины, и двумерными гранями, заключенными между этими линиями, а также результирующими внутренними точками. Такие фигуры называются многогранниками и включают кубы , а также пирамиды , такие как тетраэдры . Другие трехмерные фигуры могут быть ограничены криволинейными поверхностями, такими как эллипсоид и сфера .

Фигура называется выпуклой , если все точки на отрезке прямой между любыми двумя ее точками также являются частью фигуры.

Характеристики

Существует несколько способов сравнить формы двух объектов:

Конгруэнтность : два объекта конгруэнтны , если один из них может быть преобразован в другой посредством последовательности поворотов, перемещений и/или отражений.
Сходство : Два объекта подобны, если один из них можно преобразовать в другой путем равномерного масштабирования, а также последовательности поворотов, перемещений и/или отражений.
Изотопия : Два объекта являются изотопными , если один из них может быть преобразован в другой посредством последовательности деформаций , которые не разрывают объект и не оставляют в нем отверстий.

Фигуры, изображенные одним цветом, имеют одинаковую форму и называются подобными.

Иногда два похожих или конгруэнтных объекта могут рассматриваться как имеющие различную форму, если для преобразования одного в другой требуется отражение. Например, буквы « b » и « d » являются отражением друг друга, и, следовательно, они конгруэнтны и подобны, но в некоторых контекстах они не рассматриваются как имеющие одинаковую форму. Иногда только контур или внешняя граница объекта считаются определяющими его форму. Например, полая сфера может считаться имеющей ту же форму, что и сплошная сфера. Анализ Прокруста используется во многих науках для определения того, имеют ли два объекта одинаковую форму, или для измерения разницы между двумя формами. В высшей математике квазиизометрия может использоваться в качестве критерия для утверждения, что две формы приблизительно одинаковы.

Простые формы часто можно классифицировать как базовые геометрические объекты, такие как линия , кривая , плоскость , плоская фигура (например, квадрат или круг ) или объемная фигура (например, куб или сфера ). Однако большинство форм, встречающихся в физическом мире, являются сложными. Некоторые, такие как растительные структуры и береговые линии, могут быть настолько сложными, что не поддаются традиционному математическому описанию — в этом случае их можно анализировать с помощью дифференциальной геометрии или как фракталы .

Некоторые распространенные формы включают: Круг , Квадрат , Треугольник , Прямоугольник , Овал , Звезда (многоугольник) , Ромб , Полукруг . Правильные многоугольники, начинающиеся с пентагона, следуют соглашению об именовании греческого производного префикса с суффиксом '-гон': Пентагон, Шестиугольник, Семиугольник, Восьмиугольник, Девятиугольник, Десятиугольник... Смотреть многоугольник

Эквивалентность форм

В геометрии два подмножества евклидова пространства имеют одинаковую форму, если одно из них может быть преобразовано в другое с помощью комбинации трансляций , вращений (вместе также называемых жесткими преобразованиями ) и равномерных масштабирований . Другими словами, форма множества точек — это вся геометрическая информация, которая инвариантна к трансляциям, вращениям и изменениям размера. Наличие одинаковой формы является отношением эквивалентности , и, соответственно, точное математическое определение понятия формы может быть дано как класс эквивалентности подмножеств евклидова пространства, имеющих одинаковую форму.

Математик и статистик Дэвид Джордж Кендалл пишет: ^[2]

В этой статье термин «форма» используется в общепринятом смысле и означает то, что обычно от него ожидают. [...] Здесь мы неформально определяем «форму» как «всю геометрическую информацию, которая остается, когда местоположение, масштаб ^[3] и эффекты вращения отфильтровываются от объекта».

Формы физических объектов равны, если подмножества пространства, которые занимают эти объекты, удовлетворяют определению выше. В частности, форма не зависит от размера и расположения в пространстве объекта. Например, « d » и « p » имеют одинаковую форму, поскольку они могут быть идеально наложены друг на друга, если « d » перенести вправо на заданное расстояние, повернуть вверх ногами и увеличить в заданный коэффициент ( подробнее см. в разделе «Прокрустово наложение »). Однако зеркальное отображение можно было бы назвать другой формой. Например, « b » и « p » имеют разную форму, по крайней мере, когда они ограничены перемещением в двухмерном пространстве, таком как страница, на которой они написаны. Несмотря на то, что они имеют одинаковый размер, нет способа идеально наложить их, перемещая и вращая их вдоль страницы. Аналогично, в трехмерном пространстве правая и левая руки имеют разную форму, даже если они являются зеркальными отражениями друг друга. Формы могут измениться, если объект масштабируется неравномерно. Например, сфера становится эллипсоидом при различном масштабировании в вертикальном и горизонтальном направлениях. Другими словами, сохранение осей симметрии (если они существуют) важно для сохранения формы. Кроме того, форма определяется только внешней границей объекта.

Конгруэнтность и сходство

Объекты, которые могут быть преобразованы друг в друга посредством жестких преобразований и зеркального отображения (но не масштабирования), являются конгруэнтными . Таким образом, объект конгруэнтен своему зеркальному отображению (даже если он не симметричен), но не масштабированной версии. Два конгруэнтных объекта всегда имеют либо одинаковую форму, либо формы зеркального отображения и имеют одинаковый размер.

Объекты, имеющие одинаковую форму или зеркальные формы, называются геометрически подобными , независимо от того, имеют ли они одинаковый размер. Таким образом, объекты, которые могут быть преобразованы друг в друга с помощью жестких преобразований, зеркального отображения и равномерного масштабирования, являются подобными. Сходство сохраняется, когда один из объектов равномерно масштабируется, в то время как конгруэнтность — нет. Таким образом, конгруэнтные объекты всегда геометрически подобны, но подобные объекты могут не быть конгруэнтными, так как они могут иметь разный размер.

Гомеоморфизм

Более гибкое определение формы учитывает тот факт, что реалистичные формы часто поддаются деформации, например, человек в разных позах, дерево, гнущееся на ветру, или рука с разным положением пальцев.

Одним из способов моделирования нежестких движений является гомеоморфизм . Грубо говоря, гомеоморфизм — это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и бублик — нет. Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить свою кофейную чашку от своего бублика, ^[4] поскольку достаточно гибкий бублик можно переделать в форму кофейной чашки, создав углубление и постепенно увеличивая его, при этом сохранив отверстие от бублика в ручке чашки.

Описанная форма имеет внешние линии, которые вы можете видеть и которые составляют форму. Если бы вы помещали свои координаты на координатный график, вы могли бы нарисовать линии, чтобы показать, где вы можете видеть форму, однако не каждый раз, когда вы помещаете координаты на график, вы можете создать форму. Эта форма имеет контур и границу, так что вы можете ее видеть, и это не просто обычные точки на обычной бумаге.

Анализ формы

Вышеупомянутые математические определения жесткой и нежесткой формы возникли в области статистического анализа формы . В частности, анализ Прокруста — это метод, используемый для сравнения форм схожих объектов (например, костей разных животных) или измерения деформации деформируемого объекта. Другие методы предназначены для работы с нежесткими (сгибаемыми) объектами, например, для поиска формы, независимой от позы (см., например, Спектральный анализ формы ).

Классы подобия

Все подобные треугольники имеют одинаковую форму. Эти формы можно классифицировать, используя комплексные числа $u$ , $v$ , $w$ для вершин, в методе, разработанном JA Lester ^[5] и Rafael Artzy . Например, равносторонний треугольник можно выразить комплексными числами 0, 1, (1 + i√3)/2 , представляющими его вершины . Лестер и Artzy называют отношение формой треугольника $($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ . Тогда форма равностороннего треугольника равна Для любого аффинного преобразования комплексной плоскости треугольник преобразуется , но не меняет своей формы. Следовательно, форма является инвариантом аффинной геометрии . Форма $p$ $= S($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ зависит от порядка аргументов функции S, но перестановки приводят к связанным значениям. Например, Также Объединение этих перестановок дает Кроме того, Эти отношения являются «правилами преобразования» для формы треугольника. $S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}$ ${\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.$ $z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,$ $1-p=1-{\frac {uw}{uv}}={\frac {wv}{uv}}={\frac {vw}{vu}}=S(v,u,w) .$ $p^{-1}=S(u,w,v).$ $S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.$ $p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {uw}{vw}}=S(w,v,u ).$

Форма четырехугольника связана с двумя комплексными числами $p$ , $q$ . Если четырехугольник имеет вершины $u$ , $v$ , $w$ , $x$ , то $p = S(u, v, w)$ и $q = S(v, w, x)$ . Арци доказывает эти предложения о формах четырехугольников:

Если , то четырехугольник — параллелограмм . $p=(1-q)^{-1},$
Если параллелограмм имеет $| arg p | = | arg q |$ , то он является ромбом .
Когда $p = 1 + i$ и $q = (1 + i)/2$ , то четырехугольник является квадратом .
Если и $sgn$ $r$ $= sgn(Im$ $p$ $)$ , то четырехугольник является трапецией . $p=r(1-q^{-1})$

Многоугольник имеет форму, определяемую n − 2 комплексными числами. Многоугольник ограничивает выпуклое множество , когда все эти компоненты формы имеют мнимые компоненты одного и того же знака. ^[6] $(z_{1},z_{2},...z_{n})$ $S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.$

Человеческое восприятие форм

Человеческое зрение опирается на широкий спектр представлений форм. ^[7]^[8] Некоторые психологи выдвинули теорию, что люди мысленно разбивают изображения на простые геометрические фигуры (например, конусы и сферы), называемые геонами . ^[9] Между тем, другие предположили, что формы разлагаются на характеристики или измерения, которые описывают способ, которым формы имеют тенденцию изменяться, например, их сегментируемость , компактность и остроконечность . ^[10] Однако при сравнении сходства форм необходимо не менее 22 независимых измерений, чтобы учесть способ, которым естественные формы изменяются. ^[7]

Существуют также явные доказательства того, что формы направляют внимание человека . ^[11]

Смотрите также

Ссылки

^ ab Кендалл, Д. Г. (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. doi :10.1112/blms/16.2.81.
^ Кендалл, Д. Г. (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. doi :10.1112/blms/16.2.81.
^ Здесь масштаб означает только равномерное масштабирование , так как неравномерное масштабирование изменило бы форму объекта (например, превратило бы квадрат в прямоугольник).
^ Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Системы более высокого измерения. Тексты по прикладной математике. Т. 18. Springer. С. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ Дж. А. Лестер (1996) «Треугольники I: фигуры», Aequationes Mathematicae 52: 30–54
^ Рафаэль Арци (1994) «Формы многоугольников», Журнал геометрии 50(1–2):11–15
^ аб Моргенштерн, Янив; Хартманн, Фридер; Шмидт, Филипп; Тидеманн, Хеннинг; Прокотт, Ойген; Майелло, Гвидо; Флеминг, Роланд (2021). «Вычислимая по изображению модель визуального сходства форм». PLOS Вычислительная биология . 17 (6): 34. doi : 10.1371/journal.pcbi.1008981 . ПМЦ 8195351 . ПМИД 34061825.
^ Андреопулос, Александр; Цоцос, Джон К. (2013). «50 лет распознавания объектов: направления вперед». Компьютерное зрение и понимание изображений . 117 (8): 827–891. doi :10.1016/j.cviu.2013.04.005.
^ Марр, Д. и Нишихара, Х. (1978). Представление и распознавание пространственной организации трехмерных форм. Труды Лондонского королевского общества, 200, 269–294.
^ Хуан, Лицян (2020). «Пространство преаттентивных признаков формы». Journal of Vision . 20 (4): 10. doi : 10.1167 /jov.20.4.10 . PMC 7405702. PMID 32315405.
^ Александр, РГ; Шмидт, Дж.; Зелинский, ГЗ (2014). «Достаточно ли сводной статистики? Доказательства важности формы в управлении визуальным поиском». Visual Cognition . 22 (3–4): 595–609. doi :10.1080/13506285.2014.890989. PMC 4500174 . PMID 26180505.

Внешние ссылки

Словарное определение слова «форма» в Викисловаре