Группа 3D-вращения

Группа вращений в 3 измерениях

В механике и геометрии группа трехмерных вращений , часто обозначаемая SO (3) , представляет собой группу всех вращений вокруг начала трехмерного евклидова пространства под действием операции композиции . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

По определению, вращение вокруг начала координат — это преобразование, которое сохраняет начало координат, евклидово расстояние (поэтому это изометрия ) и ориентацию (т. е. направленность пространства). Объединение двух вращений приводит к еще одному вращению, каждое вращение имеет уникальное обратное вращение, а карта идентичности удовлетворяет определению вращения. Благодаря вышеуказанным свойствам (вдоль ассоциативного свойства составных вращений ) множество всех вращений представляет собой группу в композиции.

Каждое нетривиальное вращение определяется его осью вращения (линией, проходящей через начало координат) и углом поворота. Вращения не являются коммутативными (например, поворот R на 90° в плоскости xy с последующим поворотом S на 90° в плоскости yz — это не то же самое, что S с последующим R ), что делает группу 3D-вращения неабелевой группой . Более того, группа вращений имеет естественную структуру многообразия, для которого групповые операции гладко дифференцируемы , поэтому на самом деле это группа Ли . Он компактен и имеет размерность 3.

Вращения представляют собой линейные преобразования и поэтому могут быть представлены матрицами после выбора основы . В частности, если мы выбираем ортонормированный базис , каждое вращение описывается ортогональной матрицей 3 × 3 (т. е. матрицей 3 × 3 с действительными элементами, которая при умножении на ее транспонирование дает единичную матрицу ) с определителем 1. Поэтому группу SO(3) можно отождествить с группой этих матриц при умножении матриц . Эти матрицы известны как «специальные ортогональные матрицы», что объясняет обозначение SO (3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Группа SO(3) используется для описания возможных вращательных симметрий объекта, а также возможных ориентаций объекта в пространстве. Его представления важны в физике, где они порождают элементарные частицы целого спина .

Длина и угол

Помимо сохранения длины, повороты также сохраняют углы между векторами. Это следует из того факта, что стандартное скалярное произведение двух векторов u и v можно записать исключительно через длину:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

Отсюда следует, что каждое линейное преобразование, сохраняющее длину, сохраняет скалярное произведение и, следовательно, угол между векторами. Вращения часто определяются как линейные преобразования, которые сохраняют скалярное произведение на , что эквивалентно требованию сохранения длины. См. классическую группу для рассмотрения этого более общего подхода, где SO(3) является частным случаем. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ортогональные матрицы и матрицы вращения

Каждое вращение отображает ортонормированный базис в другой ортонормированный базис. Как и любое линейное преобразование конечномерных векторных пространств, вращение всегда можно представить матрицей . Пусть R — заданное вращение. По отношению к стандартному базису e ₁ , e ₂ , e ₃ столбцов R определяются как ( Re 1 _, Re 2 , Re _{3 )} . Поскольку стандартный базис ортонормирован и поскольку R сохраняет углы и длину, столбцы R образуют другой ортонормированный базис. Это условие ортонормированности можно выразить в виде ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

где RT обозначает транспонирование R ^, а I — единичная матрица 3 × 3 . Матрицы, для которых выполняется это свойство, называются ортогональными . Группа всех ортогональных матриц размера 3 × 3 обозначается O(3) и состоит из всех правильных и неправильных вращений.

Помимо сохранения длины, правильное вращение должно также сохранять ориентацию. Матрица сохранит или изменит ориентацию в зависимости от того, является ли определитель матрицы положительным или отрицательным. Для ортогональной матрицы R обратите внимание, что det R ^T = det R подразумевает (det R ) ² = 1 , так что det R = ±1 . Подгруппа ортогональных матриц с определителем +1 называется специальной ортогональной группой и обозначается SO(3) .

Таким образом, каждое вращение может быть однозначно представлено ортогональной матрицей с единичным определителем. Более того, поскольку композиция вращений соответствует умножению матриц , группа вращений изоморфна специальной ортогональной группе SO(3) .

Неправильные вращения соответствуют ортогональным матрицам с определителем −1 и не образуют группу, поскольку произведение двух неправильных вращений является правильным вращением.

Структура группы

Группа вращения — это группа функциональной композиции (или, что то же самое, продукт линейных преобразований ). Это подгруппа общей линейной группы , состоящей из всех обратимых линейных преобразований реального трехмерного пространства . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Более того, группа вращения неабелева . То есть порядок составления ротаций имеет значение. Например, четверть оборота вокруг положительной оси x , за которой следует четверть оборота вокруг положительной оси y , представляет собой вращение, отличное от вращения, полученного при первом вращении вокруг y , а затем вокруг x .

Ортогональная группа, состоящая из всех правильных и несобственных вращений, порождается отражениями. Каждое собственное вращение представляет собой композицию двух отражений, что является частным случаем теоремы Картана-Дьедонне .

Полная классификация конечных подгрупп

Конечные подгруппы полностью классифицированы . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

Каждая конечная подгруппа изоморфна либо элементу одного из двух счетных семейств плоских изометрий: циклических групп или диэдральных групп , либо одной из трех других групп: тетраэдрической группы , октаэдрической группы или икосаэдрической группы . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong A_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{4}}$ ${\displaystyle \cong A_{5}}$

Ось вращения

Каждое нетривиальное собственное вращение в 3-х измерениях фиксирует уникальное 1-мерное линейное подпространство , которое называется осью вращения (это теорема Эйлера о вращении ). Каждое такое вращение действует как обычное двумерное вращение в плоскости, ортогональной этой оси. Поскольку каждое двумерное вращение может быть представлено углом φ , произвольное трехмерное вращение может быть задано осью вращения вместе с углом поворота вокруг этой оси. (Технически необходимо указать ориентацию оси и указать, будет ли вращение осуществляться по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно этой ориентации). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Например, вращение против часовой стрелки вокруг положительной оси z на угол φ определяется выражением

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Учитывая единичный вектор n in и угол φ , пусть R ( φ ,  n ) представляет вращение против часовой стрелки вокруг оси через n (с ориентацией, определяемой n ). Затем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n ) — тождественное преобразование для любого n
• р ( φ , п ) знак равно р (- φ , - п )
• р ( π  +  φ , п ) знак равно р ( π  -  φ , - п ).

Используя эти свойства, можно показать, что любое вращение может быть представлено уникальным углом φ в диапазоне 0 ≤ φ ≤ π и единичным вектором n таким, что

• n произвольно, если φ = 0
• n единственен, если 0 < φ < π
• n уникально с точностью до знака , если φ = π (т. е. вращения R ( π , ± n ) идентичны).

В следующем разделе это представление вращений используется для топологической идентификации SO (3) с трехмерным реальным проективным пространством.

Топология

Группа Ли SO(3) диффеоморфна вещественному проективному пространству ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

Рассмотрим сплошной шар радиуса π (то есть все точки на расстоянии π или меньше от начала координат). Учитывая вышесказанное, для каждой точки в этом шаре существует вращение с осью, проходящей через точку и начало координат, а угол поворота равен расстоянию точки от начала координат. Тождественное вращение соответствует точке в центре шара. Вращение на угол 𝜃 между 0 и π (не считая ни того, ни другого) происходит на одной оси и на одном и том же расстоянии. Поворот на углы от 0 до — π соответствует точке на той же оси и расстоянии от начала координат, но на противоположной стороне начала координат. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что два вращения на π и на − π одинаковы. Так мы идентифицируем (или «склеиваем») противоположные точки на поверхности шара. После этого отождествления мы приходим к топологическому пространству, гомеоморфному группе вращений. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Действительно, шар с отождествленными точками антиподальной поверхности является гладким многообразием и это многообразие диффеоморфно группе вращений. Оно также диффеоморфно реальному трехмерному проективному пространству , поэтому последнее также может служить топологической моделью группы вращения. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

Эти идентификации показывают, что SO(3) связан , но не просто связан . Что касается последнего, то в шаре с выявленными противоположными точками поверхности рассмотрим путь, идущий от «северного полюса» прямо через внутреннюю часть вниз к южному полюсу. Это замкнутый цикл, поскольку северный и южный полюсы идентифицированы. Эту петлю нельзя сжать до точки, так как как бы она ни деформировалась, начальная и конечная точка должны оставаться противоположными, иначе петля «разорвется». С точки зрения вращений, эта петля представляет собой непрерывную последовательность вращений вокруг оси z , начиная (например) с идентичности (центра шара), через южный полюс, прыгая к северному полюсу и снова заканчивая тождественным вращением. (т. е. серия поворотов на угол φ , где φ изменяется от 0 до 2 π ).

Удивительно, но пробежав путь дважды, т. е. пробежав от северного полюса вниз к южному полюсу, прыгнув обратно к северному полюсу (используя тот факт, что северный и южный полюса идентифицированы), а затем снова пробежав от северного полюса вниз к южный полюс, так что φ изменяется от 0 до 4 π , дает замкнутый контур, который можно сжать до одной точки: сначала непрерывно перемещайте пути к поверхности шара, по-прежнему дважды соединяя северный полюс с южным полюсом. Затем второй путь можно отразить на противоположную сторону, вообще не меняя путь. Теперь у нас есть обычная замкнутая петля на поверхности шара, соединяющая северный полюс сам с собой по большому кругу. Этот круг без проблем можно сжать до северного полюса. Фокус с тарелкой и подобные трюки демонстрируют это на практике.

В целом можно провести тот же аргумент, и он показывает, что фундаментальная группа SO (3) является циклической группой порядка 2 (фундаментальной группой с двумя элементами). В физических приложениях нетривиальность (более одного элемента) фундаментальной группы допускает существование объектов, известных как спиноры , и является важным инструментом в разработке теоремы спин-статистики .

Универсальным накрытием SO(3) является группа Ли под названием Spin(3) . Группа Spin(3) изоморфна специальной унитарной группе SU(2); он также диффеоморфен единичной 3-сфере S ³ и может пониматься как группа версоров ( кватернионов с абсолютным значением 1). Связь между кватернионами и вращениями, обычно используемая в компьютерной графике , объясняется в кватернионах и пространственных вращениях . Отображение S ³ на SO(3), которое идентифицирует антиподальные точки S ³ , является сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {±1}. Топологически это отображение является покрывающим отображением два к одному . (См. трюк с тарелкой .)

Соединение между SO(3) и SU(2)

В этом разделе мы даем две различные конструкции двукратного и сюръективного гомоморфизма SU(2) на SO(3).

Использование кватернионов единичной нормы

Группа SU(2) изоморфна кватернионам единичной нормы посредством отображения, заданного формулой [ 5 ^]

$${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U}$$

${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$ ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

Давайте теперь определимся с диапазоном . Затем можно проверить, что если находится в единичном кватернионе и является единичным кватернионом, то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

Кроме того, карта представляет собой вращение Более того, это то же самое, что и . Это означает, что существует гомоморфизм 2:1 кватернионов единичной нормы в трехмерную группу вращения SO(3) . ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$

Этот гомоморфизм можно определить явно: единичный кватернион q с

$${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

Это поворот вокруг вектора ( x , y , z ) на угол 2 θ , где cos θ = w и |sin θ | знак равно ‖ ( Икс , y , z ) ‖ . Правильный знак для sin θ подразумевается, как только знаки компонентов оси фиксированы. Природа 2:1 очевидна, поскольку и q , и −q отображаются в один и тот же Q.

Использование преобразований Мёбиуса

Стереографическая проекция из сферы радиуса1/2от северного полюса ( x , y , z ) = (0, 0,1/2) на плоскость M , заданную формулой z = −1/2координируется ( ξ , η ) , здесь показано в поперечном сечении.

Общая ссылка для этого раздела – Гельфанд, Минлос и Шапиро (1963). Точки P на сфере

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}}$

может, за исключением северного полюса N , быть помещено во взаимно однозначную биекцию с точками S ( P ) = P' на плоскости M , определяемой z = -1/2, см. рисунок. Карта S называется стереографической проекцией .

Пусть координаты на M будут ( ξ , η ) . Линия L , проходящая через N и P , может быть параметризована как

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Требуя, чтобы координата z равнялась — ${\displaystyle L(t_{0})}$1/2, можно найти

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

У нас есть Отсюда карта ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

где для дальнейшего удобства плоскость М отождествляется с комплексной плоскостью ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Для обратного процесса запишите L как

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

и требовать x ² + y ² + z ² =1/4найти s =1/1 + ξ ² + η ²и поэтому

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Если g ∈ SO(3) является вращением, то оно переводит точки на S в точки на S посредством своего стандартного действия Π _s ( g ) на пространстве вложения . Комбинируя это действие с S , получаем преобразование S ∘ Π _s ( г ) ∘ S ⁻¹ из M , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Таким образом, Π _u ( g ) является преобразованием , связанным с преобразованием Π _s ( g ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Оказывается, что g ∈ SO(3) , представленный таким образом как Π _u ( g ) , может быть выражен как матрица Π _u ( g ) ∈ SU (2) (где обозначения переработаны, чтобы использовать то же имя для матрицы что касается трансформации, которую он представляет). Чтобы идентифицировать эту матрицу, сначала рассмотрим поворот g _φ вокруг оси z на угол φ , ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

что, что неудивительно, представляет собой вращение в комплексной плоскости. Аналогичным образом, если g _θ — поворот вокруг оси x на угол θ , то

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

который после небольшой алгебры становится

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Таким образом , эти два вращения соответствуют билинейным преобразованиям R 2 ^≃ C ≃ M , а именно, являются примерами преобразований Мёбиуса . ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

Вращения порождают все SO(3) , а правила композиции преобразований Мёбиуса показывают, что любая композиция преобразуется в соответствующую композицию преобразований Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса можно представить матрицами ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

поскольку общий множитель α , β , γ , δ сокращается.

По той же причине матрица не определена однозначно, поскольку умножение на – I не влияет ни на определитель, ни на преобразование Мёбиуса. Законы композиции преобразований Мёбиуса следуют законам композиции соответствующих матриц. Вывод состоит в том, что каждому преобразованию Мёбиуса соответствуют две матрицы g , − g ∈ SL(2, C ) .

Используя эту переписку, можно написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Эти матрицы унитарны и, следовательно, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . В терминах углов Эйлера ^{[nb 1]} для общего вращения находим

есть ^[6]

Обратно, рассмотрим общую матрицу

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

Сделайте замены

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

С заменами Π( g _{α , β} ) принимает форму правой части ( RHS ) ( 2 ), что соответствует под Π _u матрице в форме правой части ( 1 ) с тем же φ , θ , ψ . В терминах комплексных параметров α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Чтобы убедиться в этом, замените α . β элементы матрицы на правой части ( 2 ). После некоторых манипуляций матрица принимает форму правой части ( 1 ).

Из явной формы в терминах углов Эйлера ясно, что отображение

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\Pi _{u}(\pm g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

только что описанный является гладким гомоморфизмом группы 2:1 и сюръективным . Следовательно, это явное описание универсального накрывающего пространства SO (3) из универсальной накрывающей группы SU(2) .

Алгебра Ли

С каждой группой Ли связана ее алгебра Ли — линейное пространство той же размерности, что и группа Ли, замкнутое относительно билинейного знакопеременного произведения, называемого скобкой Ли . Алгебра Ли SO(3) обозначается и состоит из всех кососимметричных матриц размера 3 × 3 . ^[7] В этом можно убедиться, дифференцируя условие ортогональности AT ^A = I , A ∈ SO(3) . ^{[nb 2]} Скобка Ли двух элементов , как и для алгебры Ли каждой группы матриц, задается матричным коммутатором , [ A 1 _, A 2 _] = A ₁ A ₂ − A ₂ A ₁ , что снова кососимметричная матрица. Скобка алгебры Ли отражает суть произведения группы Ли в смысле, уточненном формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Элементы являются «бесконечно малыми генераторами» вращений, т. е. являются элементами касательного пространства многообразия SO(3) в единичном элементе. If обозначает вращение против часовой стрелки на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Это можно использовать, чтобы показать, что алгебра Ли (с коммутатором) изоморфна алгебре Ли (с векторным произведением ). При этом изоморфизме вектор Эйлера соответствует линейному отображению, определенному формулой ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Более подробно, чаще всего подходящей основой для трехмерного векторного пространства является ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Коммутационные отношения этих базисных элементов таковы:

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

которые согласуются с отношениями трех стандартных единичных векторов векторного произведения . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Как было объявлено выше, любую матрицу в этой алгебре Ли можно отождествить с вектором Эйлера ^[8] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

Эту идентификацию иногда называют шляпной картой . ^[9] При этой идентификации скобка соответствует векторному произведению , ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

Матрица, отождествляемая с вектором, обладает тем свойством, что ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

где в левой части мы имеем обычное умножение матриц. Это означает , что он находится в нулевом пространстве кососимметричной матрицы, с которой он отождествляется, потому что ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Замечание об алгебрах Ли

В представлениях алгебры Ли группа SO(3) компактна и проста ранга 1, поэтому она имеет единственный независимый элемент Казимира — квадратичную инвариантную функцию трех образующих, которая коммутирует со всеми ними. Форма Киллинга для группы вращения — это просто дельта Кронекера , и поэтому этот инвариант Казимира — это просто сумма квадратов образующих алгебры ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

То есть инвариант Казимира определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

Для унитарных неприводимых представлений D ^j собственные значения этого инварианта вещественны и дискретны и характеризуют каждое конечномерное представление размерности . То есть собственные значения этого оператора Казимира равны ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

где j — целое или полуцелое число и называется спином или угловым моментом .

Таким образом, генераторы 3 × 3 L , показанные выше, действуют на триплетное (спин 1) представление, а генераторы 2 × 2 ниже, t , действуют на дублетное представление ( спин-1/2 ). Многократно взяв произведение Кронекера D ^1/2 само на себя, можно построить все высшие неприводимые представления D ^j . То есть результирующие генераторы для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях при сколь угодно большом j могут быть рассчитаны с использованием этих операторов спина и лестничных операторов .

Для каждого унитарного неприводимого представления D ^j существует эквивалентное D ^{− j −1} . Все бесконечномерные неприводимые представления должны быть неунитарными, поскольку группа компактна.

В квантовой механике инвариант Казимира — это оператор «квадрата углового момента»; целые значения спина j характеризуют бозонные представления , а полуцелые значения — фермионные представления . Используемые выше антиэрмитовые матрицы используются в качестве операторов вращения после умножения на i , поэтому теперь они являются эрмитовыми ( как и матрицы Паули). Таким образом, на этом языке

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

и поэтому

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

Явные выражения для этих D ^j :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

где j произвольно и . ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

Например, результирующие спиновые матрицы для спина 1 ( ) имеют вид ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Однако обратите внимание, что они находятся в эквивалентном, но другом базисе, сферическом базисе , чем приведенный выше i L в декартовом базисе. ^{[номер 3]}

Для более высоких вращений, таких как вращение3/2( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Для вращения5/2( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Изоморфизм с 𝖘𝖚(2)

Алгебры Ли и изоморфны. Одним из оснований для этого является ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

Они связаны с матрицами Паули соотношением

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

Матрицы Паули соответствуют соглашению физиков для алгебр Ли. В этом соглашении элементы алгебры Ли умножаются на i , экспоненциальное отображение (ниже) определяется с дополнительным коэффициентом i в экспоненте, а структурные константы остаются прежними, но их определение приобретает коэффициент i . Аналогично, коммутационные отношения приобретают коэффициент i . Коммутационные соотношения для ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

где ε _ijk — полностью антисимметричный символ с ε ₁₂₃ = 1 . Изоморфизм между и можно установить несколькими способами. Для дальнейшего удобства и идентифицируются путем сопоставления ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

и продолжая по линейности.

Экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для SO(3) , поскольку SO(3) является матричной группой Ли, определенной с использованием стандартного матричного экспоненциального ряда,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

Для любой кососимметричной матрицы A ∈ 𝖘𝖔(3) e A ^всегда находится в SO(3) . В доказательстве используются элементарные свойства матричной экспоненты

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

^{поскольку} матрицы A и AT коммутируют, это легко доказать с помощью условия кососимметричности матрицы. Этого недостаточно, чтобы показать, что 𝖘𝖔(3) является соответствующей алгеброй Ли для SO(3) и это должно быть доказано отдельно.

Уровень сложности доказательства зависит от того, как определяется матричная групповая алгебра Ли. Холл (2003) определяет алгебру Ли как набор матриц

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

в этом случае это тривиально. Россманн (2002) использует для определения производные гладких сегментов кривой в SO(3) через тождество, взятое в тождестве, и в этом случае это сложнее. ^[11]

При фиксированном A ≠ 0 e ^tA , −∞ < t < ∞ является однопараметрической подгруппой вдоль геодезической в ​​SO(3) . То, что это дает однопараметрическую подгруппу, следует непосредственно из свойств экспоненциального отображения. ^[12]

Экспоненциальное отображение обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью начала координат в 𝖘𝖔(3) и окрестностью единицы в SO(3) . ^[13] Доказательство см. в Теореме о замкнутой подгруппе .

Экспоненциальное отображение сюръективно . Это следует из того факта, что каждый R ∈ SO(3) , поскольку каждое вращение оставляет неподвижной ось ( теорема Эйлера о вращении ), и сопряжено с блочно-диагональной матрицей вида

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

такой, что A = BDB ⁻¹ и что

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

вместе с тем фактом, что 𝖘𝖔(3) замкнуто относительно присоединенного действия SO (3) , а это означает, что BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Так, например, легко проверить популярное тождество

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Как показано выше, каждому элементу A ∈ 𝖘𝖔(3) соответствует вектор ω = θ u , где u = ( x , y , z ) — вектор единичной величины. Поскольку u находится в нулевом пространстве A , если теперь перейти к новому базису через некоторую другую ортогональную матрицу O с u в качестве оси z , последний столбец и строка матрицы вращения в новом базисе будут равны нулю.

Таким образом, из формулы для экспоненты мы заранее знаем, что exp( OAO ^T ) должно оставить u фиксированным. Математически невозможно дать прямую формулу для такого базиса как функции от u , потому что его существование нарушило бы теорему о волосатом клубке ; но возможно прямое возведение в степень и дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где и . Это воспринимается как матрица вращения вокруг оси u на угол θ : ср. Формула вращения Родригеса . ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Логарифмическая карта

Для данного R ∈ SO(3) обозначим антисимметричную часть и пусть Тогда логарифм R определяется формулой ^[9] ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$ ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Это видно из рассмотрения формы смешанной симметрии формулы Родригеса:

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

где первый и последний члены в правой части симметричны.

Равномерная случайная выборка

${\displaystyle SO(3)}$дважды покрыта группой единичных кватернионов, изоморфной 3-сфере. Поскольку мера Хаара для единичных кватернионов представляет собой всего лишь трехмерную меру в четырех измерениях, мера Хаара является просто продолжением трехмерной меры. ${\displaystyle SO(3)}$

Следовательно, создание равномерно случайного вращения эквивалентно созданию равномерно случайной точки на трехмерной сфере. Это может быть достигнуто с помощью следующих ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

где — равномерно случайные выборки . ^[14] ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Предположим, что X и Y в алгебре Ли заданы. Их экспоненты exp( X ) и exp( Y ) представляют собой матрицы вращения, которые можно умножать. Поскольку экспоненциальное отображение является сюръекцией, для некоторого Z в алгебре Ли exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , и можно предварительно записать

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

для C некоторое выражение в X и Y . Когда exp( X ) и exp( Y ) коммутируют, тогда Z = X + Y , имитируя поведение комплексного возведения в степень.

Общий случай дается более сложной формулой БЧХ , представляющей собой разложение в ряд вложенных скобок Ли. ^[15] Для матриц скобка Ли — это та же операция, что и коммутатор , который контролирует отсутствие коммутативности при умножении. Это общее расширение разворачивается следующим образом: ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

Бесконечное разложение в формуле БЧХ для SO(3) сводится к компактной форме:

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции ( α , β , γ ) .

Тригонометрические коэффициенты

( α , β , γ ) определяются формулами

${\displaystyle \alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}}$

для

${\displaystyle \theta =\|X\|,\quad \phi =\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.}$

Внутренний продукт — это внутренний продукт Гильберта–Шмидта , а норма — это ассоциированная норма. При шляпном изоморфизме

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,}$

что объясняет факторы для θ и φ . Это выпадает из выражения для угла.

Этот составной генератор вращения имеет смысл записать как

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

чтобы подчеркнуть, что это тождество алгебры Ли .

Приведенное выше тождество справедливо для всех точных представлений 𝖘𝖔 (3) . Ядро гомоморфизма алгебры Ли является идеалом , но 𝖘𝖔(3) , будучи простым , не имеет нетривиальных идеалов, и, следовательно, все нетривиальные представления являются точными . Это справедливо, в частности, в дублетном или спинорном представлении. Таким образом, та же явная формула в более простом виде следует через матрицы Паули, ср. вывод 2×2 для SU(2) .

Случай SU(2)

Векторная версия Паули той же формулы BCH представляет собой несколько более простой закон состава группы SU (2):

${\displaystyle e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),}$

где

${\displaystyle \cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',}$

сферический закон косинусов . (Обратите внимание, что a', b', c' — это углы, а не a , b , c, указанные выше.)

Это явно тот же формат, что и выше,

${\displaystyle Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],}$

с

${\displaystyle X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}}$

Для равномерной нормализации генераторов в рассматриваемой алгебре Ли выразим матрицы Паули через t -матрицы, σ → 2 i t , так что

${\displaystyle a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.}$

Чтобы убедиться, что это те же коэффициенты, что и выше, вычислите отношения коэффициентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}}$

Наконец, γ = γ' с учетом тождества d = sin 2 c' .

Для общего случая n × n можно использовать Ref. ^[16]

Случай кватерниона

Кватернионная формулировка композиции двух вращений RB _и RA _также непосредственно дает ось вращения и угол составного вращения _RC = _RB R _A .

Пусть кватернион, связанный с пространственным вращением R, построен из его оси вращения S и угла поворота φ этой оси. Соответствующий кватернион имеет вид:

${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$

Тогда композиция вращения R _R с R _A представляет собой вращение R _C = R _B R _A с осью и углом вращения, определяемыми произведением кватернионов.

${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$

то есть

${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$

Разверните этот продукт, чтобы получить

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$

Разделим обе части этого уравнения на тождество, которое представляет собой закон косинусов на сфере :

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$

и вычислить

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.}$

Это формула Родригеса для оси составного вращения, определенной через оси двух вращений. Эту формулу он вывел в 1840 г. (см. стр. 408). ^[17]

Три оси вращения A , B и C образуют сферический треугольник, а двугранные углы между плоскостями, образованными сторонами этого треугольника, определяются углами поворота.

Бесконечно малые вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица , представляющая бесконечно малое вращение .

В то время как матрица вращения — это ортогональная матрица , представляющая элемент ( специальной ортогональной группы ), дифференциал вращения — это кососимметричная матрица в касательном пространстве ( специальная ортогональная алгебра Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

где – единичная матрица, исчезающе мала, а ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Например, если представляет собой бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , базовый элемент ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Правила вычисления бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые матрицы второго порядка обычно отбрасываются. Согласно этим правилам, эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном подходе к бесконечно малым числам. ^[18] Оказывается, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения .

Реализации вращений

Мы видели, что существует множество способов представления вращения:

• как ортогональные матрицы с определителем 1,
• по оси и углу поворота
• в алгебре кватернионов с версорами и отображением 3-сферы S ³ → SO(3) (см. кватернионы и пространственные вращения )
• в геометрической алгебре как ротор
• как последовательность трех вращений вокруг трех неподвижных осей; см. углы Эйлера .

Сферические гармоники

Группа SO(3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве.

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},}$

где сферические гармоники . Ее элементами являются интегрируемые с квадратом комплексные функции ^{[nb 5]} на сфере. Внутренний продукт в этом пространстве определяется выражением ${\displaystyle Y_{m}^{\ell }}$

Если f — произвольная интегрируемая с квадратом функция, определенная на единичной сфере S ² , то ее можно выразить как ^[19]

где коэффициенты расширения определяются выражением

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO(3) и выражается как

Это действие унитарно, то есть

D ^{( ℓ )} можно получить из D ^{( m ,  n )} выше, используя разложение Клебша – Гордана , но их легче напрямую выразить как экспоненту нечетномерного su ( 2 ) -представления (3-мерного представления один точно 𝖘𝖔(3) ). ^{[20] [21]} В этом случае пространство L ² ( S ² ) аккуратно разлагается в бесконечную прямую сумму неприводимых нечетных конечномерных представлений V _{2 i + 1} , i = 0, 1, ... согласно ^{[22] ]}

Это характерно для бесконечномерных унитарных представлений SO(3) . Если П — бесконечномерное унитарное представление в сепарабельном ^{[nb 6]} гильбертовом пространстве, то оно распадается в прямую сумму конечномерных унитарных представлений. ^[19] Таким образом, такое представление никогда не является неприводимым. Все неприводимые конечномерные представления (Π, V ) можно сделать унитарными путем соответствующего выбора скалярного произведения, ^[19]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

где интеграл представляет собой уникальный инвариантный интеграл по SO(3) , нормированный на 1 , здесь выраженный с использованием параметризации углов Эйлера . Внутренний продукт внутри интеграла — это любой внутренний продукт на V .

Обобщения

Группа вращения вполне естественным образом обобщается на n -мерное евклидово пространство с его стандартной евклидовой структурой. Группа всех собственных и несобственных вращений в n измерениях называется ортогональной группой O( n ), а подгруппа собственных вращений называется специальной ортогональной группой SO( n ), которая является группой Ли размерности n ( n - 1). )/2 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В специальной теории относительности человек работает в 4-мерном векторном пространстве, известном как пространство Минковского , а не в 3-мерном евклидовом пространстве. В отличие от евклидова пространства, пространство Минковского имеет внутренний продукт с неопределенной сигнатурой . Однако все же можно определить обобщенные вращения , сохраняющие этот внутренний продукт. Такие обобщенные вращения известны как преобразования Лоренца , а группа всех таких преобразований называется группой Лоренца .

Группу вращений SO(3) можно описать как подгруппу E ⁺ (3) — евклидовой группы прямых изометрий евклидова . Эта большая группа представляет собой группу всех движений твердого тела : каждое из них представляет собой комбинацию вращение вокруг произвольной оси и перемещение, или, другими словами, сочетание элемента SO(3) и произвольного перемещения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

В общем, группа вращения объекта — это группа симметрии внутри группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• Угловой момент
• Координатное вращение
• Графики SO(3)
• Представления SO (3)
• углы Эйлера
• Формула вращения Родригеса
• Бесконечно малое вращение
• Группа контактов
• Кватернионы и пространственные вращения
• Жесткое тело
• Сферические гармоники
• Плоскость вращения
• Группа лжи
• матрица Паули
• Трюк с тарелкой
• Оператор трехмерного вращения

Сноски

1. Это достигается путем первого применения поворота через ${\displaystyle g_{\theta }}$φ оось z , чтобы взятьось x к линииL , пересечение плоскостейху иx'y , причем последняя представляет собой повернутую плоскость xy . Затем поверните на угол θ вокруг L , чтобы получить новую ось z из старой, и, наконец, поверните на угол ψ вокруг новой оси z , где ψ — угол между L и новой осью x . В уравнении и выражены во временном вращающемся базисе на каждом шаге, что видно из их простой формы. Чтобы преобразовать их обратно в исходную основу, обратите внимание: здесь жирный шрифт означает, что вращение выражено в исходной основе. Так же, ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{\theta }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}.}$

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}.}$

   Таким образом

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }\mathbf {g} _{\theta }\mathbf {g} _{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}*g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}*g_{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }.}$

2. Альтернативное происхождение см. Классическая группа . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$
3. В частности, для ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {J}}_{\alpha }{\boldsymbol {U}}^{\dagger }=i{\boldsymbol {L}}_{\alpha }}$

   ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&i&0\\\end{array}}\right).}$

4. Полное доказательство см. в разделе «Производная экспоненциального отображения» . Вопросы сходимости этого ряда к правильному элементу алгебры Ли здесь оставлены под ковром. Сходимость гарантирована, когда и Ряд все еще может сходиться, даже если эти условия не выполняются. Решение всегда существует, поскольку в рассматриваемых случаях используется exp . ${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<\log 2}$ ${\displaystyle \|Z\|<\log 2.}$
5. Элементы L ² ( S ² ) на самом деле являются классами эквивалентности функций. две функции объявляются эквивалентными, если они различаются только на множестве нулевой меры . Интеграл представляет собой интеграл Лебега для получения полного пространства внутреннего произведения.
6. Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу. Все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны.

Рекомендации

1. Джейкобсон (2009), с. 34, упр. 14.
2. n  ×  n вещественные матрицы идентичны линейным преобразованиям, выраженным в стандартном базисе . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Нью-Йорк. п. 53. ИСБН 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Зал 2015 г., Предложение 1.17.
5. Россманн 2002 с. 95.
6. Эти выражения фактически сыграли важную роль в развитии квантовой механики в 1930-х годах, ср. Глава III, § 16, Б.Л. ван дер Варден, 1932/1932 г.
7. Зал 2015 г., Предложение 3.24.
8. Россманн 2002
9. Энгё, 2001 г.
10. Холл, 2015 г. Пример 3.27.
11. См. Россманн 2002, теорема 3, раздел 2.2.
12. Россманн, 2002 г., раздел 1.1.
13. Холл, 2003 г. Теорема 2.27.
14. Шумейк, Кен (1992-01-01), Кирк, ДЭВИД (ред.), «III.6 - Равномерное случайное вращение», Graphics Gems III (версия IBM) , Сан-Франциско: Морган Кауфманн, стр. 124–132, ISBN 978-0-12-409673-8, получено 29 июля 2022 г.
15. Холл 2003, гл. 3; Варадараджан 1984, §2.15
16. Curtright, Fairlie & Zachos 2014 Элементы группы SU (2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращения.
17. Родригес, О. (1840), Des lois géométriques qui regissent les déplacements d'un système Solide dans l'espace, et lavariation des coordonnées provenant de ses déplacements considérés qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
18. (Гольдштейн, Пул и Сафко 2002, §4.8)
19. Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963
20. В квантовой механике - нерелятивистской теории Ландау и Лифшица низший порядок D рассчитывается аналитически.
21. Куртрайт, Фэрли и Зачос, 2014 г. Дана формула для D ^{( ℓ )} , действительная для всех ℓ .
22. Холл 2003 г. Раздел 4.3.5.

Библиография

• Боас, Мэри Л. (2006), Математические методы в физических науках (3-е изд.), John Wiley & sons, стр. 120, 127, 129, 155 и 535, ISBN 978-0471198260
• Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Зачос, К.К. (2014), «Компактная формула для вращений как многочленов спиновой матрицы», SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C, doi : 10.3842/SIGMA.2014.084, S2CID  18776942
• Энгё, Кент (2001), «О формуле BCH в 𝖘𝖔(3)», BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023/A: 1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191[1]
• Гельфанд, ИМ ; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press.
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Аддисон Уэсли , ISBN 978-0-201-65702-9
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Холл, Брайан С. (2003). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-40122-9.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Джоши, AW (2007), Элементы теории групп для физиков , New Age International, стр. 111 и далее, ISBN 978-81-224-0975-8
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• ван дер Варден, Б.Л. (1952), Теория групп и квантовая механика , Springer Publishing, ISBN 978-3642658624(перевод оригинального издания 1932 года « Die Gruppentheoretische Methode in Der Quantenmechanik »).
• Варадараджан, В.С. (1984). Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90969-1.
• Вельтман, М .; 'т Хоофт, Г .; де Вит, Б. (2007). «Группы Ли в физике (онлайн-лекция)» (PDF) . Проверено 24 октября 2016 г..