В геометрии понятие связи уточняет идею переноса локальных геометрических объектов, таких как касательные векторы или тензоры в касательном пространстве, вдоль кривой или семейства кривых параллельным и последовательным образом. В современной геометрии существуют различные виды связей в зависимости от того, какие данные требуется переносить. Например, аффинная связь , наиболее элементарный тип связи, дает средство для параллельного переноса касательных векторов на многообразии из одной точки в другую вдоль кривой. Аффинная связь обычно задается в форме ковариантной производной , которая дает средство для взятия производных по направлению векторных полей, измеряя отклонение векторного поля от параллельности в заданном направлении.
Связи имеют центральное значение в современной геометрии во многом потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия охватывает несколько вариаций на тему связности, которые делятся на две основные группы: бесконечно малую и локальную теорию. Локальная теория занимается в первую очередь понятиями параллельного переноса и голономии . Бесконечно малые занимаются дифференциацией геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная является способом указания производной векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. Связность Картана является способом формулировки некоторых аспектов теории связности с использованием дифференциальных форм и групп Ли . Связность Эресмана является связностью в расслоении волокон или главном расслоении путем указания разрешенных направлений движения поля. Связность Кошуля является связностью, которая определяет направленную производную для сечений векторного расслоения, более общего, чем касательное расслоение.
Связи также приводят к удобным формулировкам геометрических инвариантов , таких как кривизна (см. также тензор кривизны и форму кривизны ) и тензор кручения .
Рассмотрим следующую задачу. Предположим, что на северном полюсе задан касательный вектор к сфере S , и мы должны определить способ последовательного перемещения этого вектора в другие точки сферы: средство для параллельного переноса . Наивно, это можно сделать с помощью определенной системы координат . Однако, если не проявить должной осторожности, параллельный перенос, определенный в одной системе координат, не будет согласовываться с параллельным переносом в другой системе координат. Более подходящая система параллельного переноса использует симметрию сферы при вращении. Если задан вектор на северном полюсе, можно переместить этот вектор вдоль кривой, вращая сферу таким образом, что северный полюс будет перемещаться вдоль кривой без осевого качения. Это последнее средство параллельного переноса является связью Леви-Чивиты на сфере. Если заданы две разные кривые с одинаковой начальной и конечной точкой, и вектор v жестко перемещается вдоль первой кривой путем поворота, результирующий вектор в конечной точке будет отличаться от вектора, полученного при жестком перемещении v вдоль второй кривой. Это явление отражает кривизну сферы. Простым механическим устройством, которое можно использовать для визуализации параллельного транспорта, является колесница, указывающая на юг .
Например, предположим, что S — сфера, заданная координатами стереографической проекции . Рассматривайте S как состоящую из единичных векторов в R 3 . Тогда S несет пару координатных участков, соответствующих проекциям из северного полюса и южного полюса. Отображения
покрывают окрестность U 0 северного полюса и U 1 южного полюса соответственно. Пусть X , Y , Z будут окружающими координатами в R 3 . Тогда φ 0 и φ 1 имеют обратные
так что функция перехода координат является инверсией в круге :
Давайте теперь представим векторное поле на S (назначение касательного вектора каждой точке в S) в локальных координатах. Если P является точкой U 0 ⊂ S , то векторное поле может быть представлено путем прямого распространения векторного поля v 0 на R 2 следующим образом :
где обозначает матрицу Якоби φ 0 ( ), а v 0 = v 0 ( x , y ) — векторное поле на R 2 , однозначно определяемое v (поскольку прямой прогон локального диффеоморфизма в любой точке обратим). Более того, на пересечении координатных карт U 0 ∩ U 1 можно представить то же самое векторное поле относительно координат φ 1 :
Чтобы связать компоненты v 0 и v 1 , применим цепное правило к тождеству φ 1 = φ 0 o φ 01 :
Применяя обе части этого матричного уравнения к компонентному вектору v 1 (φ 1 −1 ( P )) и используя ( 1 ) и ( 2 ), получаем
Теперь мы переходим к главному вопросу определения того, как переносить векторное поле параллельно вдоль кривой. Предположим, что P ( t ) — это кривая в S . Наивно можно считать векторное поле параллельным, если компоненты координат векторного поля постоянны вдоль кривой. Однако сразу возникает двусмысленность: в какой системе координат эти компоненты должны быть постоянными?
Например, предположим, что v ( P ( t )) имеет постоянные компоненты в системе координат U 1. То есть функции v 1 ( φ 1 −1 ( P ( t ))) постоянны. Однако, применяя правило произведения к ( 3 ) и используя тот факт, что d v 1 / dt = 0, получаем
Но всегда является невырожденной матрицей (при условии, что кривая P ( t ) не является стационарной), поэтому v 1 и v 0 не могут быть одновременно постоянными вдоль кривой.
Проблема, отмеченная выше, заключается в том, что обычная производная по направлению векторного исчисления плохо себя ведет при изменениях в системе координат, когда применяется к компонентам векторных полей. Это делает довольно сложным описание того, как транслировать векторные поля параллельным образом, если такое понятие вообще имеет смысл. Существует два принципиально разных способа решения этой проблемы.
Первый подход заключается в изучении того, что требуется для обобщения производной по направлению, чтобы «вести себя хорошо» при переходах координат. Это тактика, принятая в подходе ковариантной производной к связям: хорошее поведение приравнивается к ковариации . Здесь рассматривается модификация производной по направлению с помощью определенного линейного оператора , компоненты которого называются символами Кристоффеля , который не включает в себя никаких производных по самому векторному полю. Производная по направлению D u v компонентов вектора v в системе координат φ в направлении u заменяется ковариантной производной :
где Γ зависит от системы координат φ и является билинейной по u и v . В частности, Γ не включает никаких производных по u или v . При таком подходе Γ должна преобразовываться предписанным образом, когда система координат φ изменяется на другую систему координат. Это преобразование не является тензорным , поскольку оно включает не только первую производную перехода координат, но и ее вторую производную . Указания закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Необходимо наложить некоторые другие условия нормировки, обычно в зависимости от типа рассматриваемой геометрии. В римановой геометрии связность Леви -Чивиты требует совместимости символов Кристоффеля с метрикой (а также определенного условия симметрии). С этими нормировками связность определяется однозначно.
Второй подход заключается в использовании групп Ли для попытки захватить некоторый остаток симметрии в пространстве. Это подход Картановских связей . Приведенный выше пример использования вращений для указания параллельного переноса векторов на сфере очень в этом ключе.
Исторически связи изучались с бесконечно малой точки зрения в римановой геометрии . Изучение бесконечно малых связей началось в некоторой степени с Элвина Кристоффеля . Позднее это было более подробно продолжено Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (Levi-Civita & Ricci 1900), которые в частности заметили, что связь в бесконечно малом смысле Кристоффеля также допускает понятие параллельного переноса .
Работа Леви-Чивиты была сосредоточена исключительно на рассмотрении связей как разновидности дифференциального оператора , параллельные переносы которого затем были решениями дифференциальных уравнений . В течение двадцатого века Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить методы систем Пфаффа к геометриям программы Феликса Клейна в Эрлангене . В этих исследованиях он обнаружил, что определенное бесконечно малое понятие связи ( связь Картана ) может быть применено к этим геометриям и многим другим: его концепция связи допускала наличие кривизны , которая в противном случае отсутствовала бы в классической геометрии Клейна. (См., например, (Cartan 1926) и (Cartan 1983).) Более того, используя динамику Гастона Дарбу , Картан смог обобщить понятие параллельного переноса для своего класса бесконечно малых связей. Это установило еще одну важную нить в теории связей: связь является определенным видом дифференциальной формы .
Две нити в теории связности сохранились до наших дней: связность как дифференциальный оператор и связность как дифференциальная форма. В 1950 году Жан-Луи Кошуль (Koszul 1950) дал алгебраическую основу для рассмотрения связности как дифференциального оператора с помощью связности Кошуля . Связность Кошуля была и более общей, чем у Леви-Чивиты, и с ней было легче работать, поскольку она наконец смогла устранить (или, по крайней мере, скрыть) неудобные символы Кристоффеля из формализма связности. Сопутствующие параллельные операции смещения также имели естественные алгебраические интерпретации в терминах связности. Определение Кошуля впоследствии было принято большей частью сообщества дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитическое соответствие между ковариантным дифференцированием и параллельным переносом в алгебраическое .
В том же году Чарльз Эхресманн (Ehresmann 1950), ученик Картана, представил вариацию связности как дифференциальной формы в контексте главных расслоений и, в более общем смысле, расслоений волокон . Связности Эхресмана , строго говоря, не были обобщением связностей Картана. Связности Картана были довольно жестко привязаны к базовой дифференциальной топологии многообразия из-за их связи с методом эквивалентности Картана . Связности Эхресмана были довольно прочной основой для просмотра основополагающих работ других геометров того времени, таких как Шиинг-Шен Черн , который уже начал отходить от связностей Картана, чтобы изучать то, что можно было бы назвать калибровочными связями . С точки зрения Эхресмана, связность в главном расслоении состоит из спецификации горизонтальных и вертикальных векторных полей на общем пространстве расслоения. Параллельный перенос тогда является поднятием кривой из основания на кривую в главном расслоении, которая является горизонтальной. Эта точка зрения оказалась особенно ценной при изучении голономии .
Медиа, связанные с Connection (математика) на Wikimedia Commons![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66d37ea7b9a2e1f7a71808a90fbbebef054454d)
![{\displaystyle {\begin{align}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b825d23a2ec8d51523747ea1ae9e9efc678180)
