Мера (математика)

Обобщение массы, длины, площади и объема.

Неформально мера обладает свойством быть монотонной в том смысле, что если подмножество меры меньше или равно мере Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) как мера. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространённых понятий, таких как величина , масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.

Определение

Счетная аддитивность меры : Мера счетного непересекающегося объединения равна сумме всех мер каждого подмножества. ${\displaystyle \mu }$

Пусть - множество и -алгебра над . Функция множества из до расширенной прямой действительных чисел называется мерой , если выполняются следующие условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• Негативность : для всех ${\displaystyle E\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Счетная аддитивность (или -аддитивность ): для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств в Σ, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$$

Если хотя бы одно множество имеет конечную меру, то требование автоматически выполняется благодаря счетной аддитивности: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

$${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Если условие неотрицательности опускается и принимает не более одного из значений, то мера называется знаковой . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

Пара называется измеримым пространством , а члены — измеримыми множествами . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Тройка называется пространством с мерой . Вероятностная мера — это мера с полной мерой единица, то есть вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

Для пространств с мерой, которые также являются топологическими пространствами, для меры и топологии могут быть наложены различные условия совместимости. Большинство мер, встречающихся на практике в анализе (а во многих случаях и в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Меры Радона имеют альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклом топологическом векторном пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход принят Бурбаки (2004) и рядом других источников. Подробнее читайте в статье о радоновых мерах .

Экземпляры

Здесь перечислены некоторые важные меры.

• Мера подсчета определяется = количеством элементов в ${\displaystyle \mu (S)}$ ${\displaystyle S.}$
• Мера Лебега на является полной трансляционно-инвариантной мерой на σ -алгебре, содержащей интервалы из таких, что ; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также считающей меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества нецелой размерности, в частности на фрактальные множества.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 во всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной мерой или распределением . Примеры см. в списке распределений вероятностей .
• Мера Дирака δ _a (ср. дельта-функция Дирака ) задается формулой δ _a ( S ) = χ _S (a), где χ _S — индикаторная функция . Мера множества равна 1, если оно содержит точку , и 0 в противном случае. . ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle a}$

Другие «именованные» меры, используемые в различных теориях, включают: меру Бореля , меру Жордана , эргодическую меру , меру Гаусса , меру Бэра , меру Радона , меру Янга и меру Леба .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., например, гравитационный потенциал ) или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняющееся ( список из них см. в законе сохранения ) или нет. Отрицательные значения приводят к знаковым показателям, см. «Обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонический ансамбль .

Теория меры используется в машинном обучении. Одним из примеров является мера вероятности, индуцированная потоком, в GFlowNet. ^[1]

Основные свойства

Пусть будет мерой. ${\displaystyle \mu }$

Монотонность

Если и являются измеримыми множествами с то ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$

$${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

Мера счетных объединений и пересечений

Счетная субаддитивность

Для любой счетной последовательности (не обязательно непересекающихся) измеримых множеств в ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma :}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

Непрерывность снизу

Если измеримые множества возрастают (это означает, что ), то объединение множеств измеримо и ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Непрерывность сверху

Если измеримые множества уменьшаются (это означает, что ), то пересечение множеств измеримо; при этом, если хотя бы одно из них имеет конечную меру, то ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Это свойство неверно без предположения, что хотя бы одно из них имеет конечную меру. Например, для каждого пусть все имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

Другие объекты недвижимости

Полнота

Измеримое множество называется нулевым множеством , если подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной, если каждое ничтожное множество измеримо. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств , которые незначительно отличаются от измеримого множества , то есть таких, что симметричная разность и содержится в нулевом множестве. Один определяет , что он равен ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu (Y)}$ ${\displaystyle \mu (X).}$

«Отбрасывая край»

Если -измеримо , то ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$

почти всех ^[2]интегралом Лебега ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

Доказательство

Обе функции и являются монотонно невозрастающими функциями, поэтому обе они имеют не более счетного числа разрывов и, следовательно, непрерывны почти всюду относительно меры Лебега. Если то так то как хотелось. ${\displaystyle F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},}$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$

Если таково, что из монотонности следует ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,}$$

так что как надо. Если для всех , то мы закончили, поэтому предположим обратное. Тогда существует единственный такой, который бесконечен слева от (что может произойти только при ) и конечен справа. Рассуждая так же, как и выше, когда Аналогично, если и тогда ${\displaystyle F(t)=G(t),}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t<t_{0}.}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=+\infty }$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).}$

Действительно , пусть – монотонно неубывающая последовательность, сходящаяся к Монотонно невозрастающая последовательность членов имеет хотя бы одну конечно -измеримую компоненту, и ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>t_{n}\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$

Непрерывность сверху гарантирует, что

$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$

Правая часть тогда равна, если является точкой непрерывности. Поскольку непрерывна почти всюду, это завершает доказательство. ${\displaystyle \lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)}$ ${\displaystyle F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Аддитивность

Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако это условие можно усилить следующим образом. Для любого множества и любого множества неотрицательных определим: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i},i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$

${\displaystyle r_{i}}$

Мера на является -аддитивной, если для любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$

$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$

идеал ${\displaystyle \kappa }$

Сигма-конечные меры

Пространство с мерой называется конечным, если является конечным вещественным числом (а не ). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера пропорциональна вероятностной мере. Мера называется σ-конечной, если ее можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ-конечную меру, если оно представляет собой счетное объединение множеств с конечной мерой. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим замкнутые интервалы для всех целых чисел . Таких интервалов счетное множество, каждый имеет меру 1, а их объединение представляет собой всю вещественную прямую. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая присваивает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное количество таких множеств. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделефа топологических пространств. ^{[ оригинальное исследование? ]} Их также можно рассматривать как смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру». ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

Строго локализуемые меры

Полуконечные меры

Пусть - множество, пусть - сигма-алгебра на и пусть - мера на. Мы говорим, что является полуконечной , имея в виду, что для всех ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории меры, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть с небольшими изменениями расширены и для полуконечных мер. (Задание: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)

Основные примеры

• Любая сигма-конечная мера полуконечная.
• Предположим и предположим для всех ${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Мы имеем, что сигма-конечно тогда и только тогда, когда для всех и счетно. Мы имеем, что полуконечно тогда и только тогда, когда для всех ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$
  • Принимая во внимание вышеизложенное (т.е. считая меру на ), мы видим, что считающая мера на есть ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • сигма-конечная тогда и только тогда, когда счетна; и ${\displaystyle X}$
    • полуконечный (независимо от того, счетен ли). (Таким образом, считающая мера на множестве степеней произвольного несчетного множества дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Пусть – полная сепарабельная метрика на пусть – борелевская сигма-алгебра, индуцированная и пусть Тогда мера Хаусдорфа полуконечная. ^[5] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• Пусть – полная сепарабельная метрика на пусть – борелевская сигма-алгебра, индуцированная и пусть Тогда мера упаковки полуконечная. ^[6] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

Задействованный пример

Нулевая мера сигма-конечная и, следовательно, полуконечная. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна. Можно показать, что существует наибольшая мера с этими двумя свойствами: ${\displaystyle \mu .}$

Теорема (полуконечная часть) ^[7]  —  Для любой меры существует среди полуконечных мер, которые меньше или равны наибольшему элементу . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}.}$

Мы говорим « полуконечная часть », имея в виду полуконечную меру , определенную в приведенной выше теореме. Мы даем несколько хороших явных формул для полуконечной части, которые некоторые авторы могут принять за определение: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[7]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[8]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[9]

Поскольку полуконечно, отсюда следует, что if then полуконечно. Очевидно также, что если полуконечно, то ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

Непримеры

Всякая мера , не являющаяся нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим «мера» для обозначения меры, диапазон которой лежит в : ) Ниже мы приводим примеры мер, которые не являются нулевыми мерами. ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle 0-\infty }$

• Пусть непусто, пусть -алгебра на ней, пусть не нулевая функция, и пусть Можно показать, что это мера. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[10]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[11]
• Пусть несчетна, пусть - -алгебра, пусть - счетные элементы , и пусть Можно показать, что это мера. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$ ${\displaystyle \mu }$

Вовлеченный не пример

Меры, которые не являются полуконечными, становятся очень дикими, если ограничиваться определенными множествами. ^{[Примечание 1]} Каждая мера в некотором смысле является полуконечной, если отнять ее часть (дикую часть). ${\displaystyle 0-\infty }$

-  А. Мухерджа и К. Потовен, Реальный и функциональный анализ, Часть A: Реальный анализ (1985)

Теорема (разложение Лютера) ^{[12] [13]}  —  Для любой меры на существует мера на такая, что для некоторой полуконечной меры на Фактически, среди таких мер существует наименьшая мера . Кроме того, мы имеем ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu +\xi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \xi ,}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }.}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.}$

Мы говорим, что часть имеет в виду меру , определенную в приведенной выше теореме. Вот явная формула для : ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

Результаты относительно полуконечных мер

• Пусть будет или и пусть Тогда полуконечно тогда и только тогда, когда инъективно. ^{[14] [15]} (Этот результат важен при изучении двойственного пространства .) ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• Пусть или и пусть быть топологией сходимости по мере на Тогда полуконечная тогда и только тогда, когда хаусдорфова. ^{[16] [17]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (Джонсон) Пусть будет множество, пусть будет сигма-алгебра на, пусть будет мера на , пусть будет множество, пусть будет сигма-алгебра на и пусть будет мера на Если оба не являются мерой, то оба и полуконечные тогда и только тогда, когда для всех и (Здесь — мера, определенная в теореме 39.1 в Berberian '65. ^[18] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$ ${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$ ${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

Локализуемые меры

Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.

Пусть — множество, пусть — сигма-алгебра на и пусть — мера на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• Позвольте быть или и пусть Тогда локализуется тогда и только тогда, когда является биективным (тогда и только если «есть» ). ^{[19] [15]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной, если она представляет собой счетную сумму конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества

Если предположить, что выбранная аксиома верна, можно доказать, что не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу ; примеры таких наборов включают набор Витали и неизмеримые наборы, постулируемые парадоксом Хаусдорфа и парадоксом Банаха-Тарского .

Обобщения

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, следовательно, комплексные меры включают в себя конечные меры со знаком , но не, например, меру Лебега .

Меры, принимающие значения в банаховом пространстве, широко изучались. ^[20] Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций в гильбертовом пространстве, называется проекционнозначной мерой ; они используются в функциональном анализе спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используют термин «положительная мера» . Положительные меры замыкаются при конической комбинации , но не при общей линейной комбинации , а знаковые меры представляют собой линейное замыкание положительных мер.

Другое обобщение — это конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как банаховы пределы , двойственные и компактификация Стоуна-Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в некоторых технических проблемах геометрической теории меры ; это теория банаховых мер . ${\displaystyle L^{\infty }}$

Заряд — это обобщение в обе стороны: это конечно-аддитивная знаковая мера. ^[21] ( Информацию об ограниченных зарядах см. в пространстве ba , где мы говорим, что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

Смотрите также

• Математический портал

• Абелева алгебра фон Неймана
• Почти везде
• Теорема Каратеодори о продолжении
• Содержание (теория меры)
• Теорема Фубини
• Лемма Фату
• Теория нечеткой меры
• Геометрическая теория меры
• мера Хаусдорфа
• Внутренняя мера
• Интеграция Лебега
• Мера Лебега
• Лоренцево пространство
• Теория подъема
• Измеримый кардинал
• Измеримая функция
• Содержание Минковского
• Внешняя мера
• Мера продукта
• Прогрессивная мера
• Регулярная мера
• Векторная мера
• Оценка (теория меры)
• Форма объёма

Примечания

1. Один из способов перефразировать наше определение: оно является полуконечным тогда и только тогда, когда Отрицая эту перефразировку, мы находим, что оно не является полуконечным тогда и только тогда, когда для каждого такого множества мера подпространства, индуцированная сигма-алгеброй подпространства, индуцированная, т.е. ограничением на упомянутое подпространство сигма-алгебры является мерой, не являющейся нулевой мерой. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\forall A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\exists B\subseteq A)(0<\mu (B)<+\infty ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\exists A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\forall B\subseteq A)(\mu (B)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$

Библиография

• Роберт Г. Бартл (1995) Элементы интеграции и мера Лебега , Wiley Interscience.
• Бауэр, Х. (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
• Медведь, HS (2001), Учебник по интеграции Лебега , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0120839711
• Бербериан, Стерлинг К. (1965). Измерение и интегрирование . Макмиллан.
• Богачев В.И. (2006), Теория меры , Берлин: Springer, ISBN. 978-3540345138
• Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1Глава III.
• Р. М. Дадли, 2002. Реальный анализ и вероятность . Издательство Кембриджского университета.
• Эдгар, Джеральд А. (1998). Интегральные, вероятностные и фрактальные меры . Спрингер. ISBN 978-1-4419-3112-2.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Уайли. ISBN 0-471-31716-0.
• Федерер, Герберт. Геометрическая теория меры. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк, 1969 xiv+676 стр.
• Фремлин, Д.Х. (2016). Теория меры, Том 2: Широкие основы (изд. В твердом переплете). Торрес Фремлин.Вторая печать.
• Хьюитт, Эдвард; Стромберг, Карл (1965). Реальный и абстрактный анализ: современная трактовка теории функций действительной переменной . Спрингер. ISBN 0-387-90138-8.
• Джех, Томас (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное , Springer Verlag , ISBN 3-540-44085-2
• Р. Дункан Люс и Луи Наренс (1987). «измерение, теория», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , т. 3, стр. 428–32.
• Лютер, Норман Ю. (1967). «Декомпозиция мер». Канадский математический журнал . 20 : 953–959. дои : 10.4153/CJM-1968-092-0 . S2CID  124262782.
• Мухерджа, А; Потховен, К. (1985). Реальный и функциональный анализ, Часть А: Реальный анализ (второе изд.). Пленум Пресс.
  • Первое издание было опубликовано вместе с Частью B: Функциональный анализ в виде одного тома: Мукерджа, А.; Потховен, К. (1978). Реальный и функциональный анализ (Первое изд.). Пленум Пресс. дои : 10.1007/978-1-4684-2331-0. ISBN 978-1-4684-2333-4.
• М. Е. Манро, 1953. Введение в измерение и интегрирование . Эддисон Уэсли.
• Нильсен, Оле А (1997). Введение в интегрирование и теорию меры . Уайли. ISBN 0-471-59518-7.
• КПС Бхаскара Рао и М. Бхаскара Рао (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. x + 315, ISBN 0-12-095780-9
• Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (Четвертое изд.). Прентис Холл. п. 342, Упражнение 17.8.Первая печать. Имеется более позднее (2017 г.) второе издание. Хотя обычно разница между первым и последующими изданиями незначительна, в этом случае второе издание не только удаляет со страницы 53 упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2, но также предлагает (немного, но все же существенно) другое издание. презентация части (ii) упражнения 17.8. (Изложение части (ii) упражнения 17.8 во втором издании (о разложении Лютера ^[12] ) согласуется с обычными изложениями, ^{[3] [22]} , тогда как изложение в первом издании дает свежий взгляд.)
• Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN 0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля . 
• Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа (конспекты лекций)
• Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 9780821869192.
• Уивер, Ник (2013). Теория меры и функциональный анализ . Всемирная научная . ISBN 9789814508568.

Рекомендации

1. Фонды GFlowNet
2. Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры , том. 2 (Второе изд.), с. 221
3. Мухерджа 1985, с. 90. sfn error: no target: CITEREFMukherjea1985 (help)
4. Фолланд 1999, с. 25.
5. Эдгар 1998, Теорема 1.5.2, с. 42.
6. Эдгар 1998, Теорема 1.5.3, с. 42.
7. Nielsen 1997, упражнение 11.30, с. 159.
8. Фремлин 2016, раздел 213X, часть (c).
9. Ройден 2010, упражнение 17.8, стр. 342. sfn error: no target: CITEREFRoyden2010 (help)
10. Hewitt 1965, часть (b) примера 10.4, с. 127. sfn error: no target: CITEREFHewitt1965 (help)
11. Фремлин 2016, раздел 211O, с. 15.
12. Лютер 1967, Теорема 1.
13. Мухерджа 1985, часть (b) предложения 2.3, с. 90. sfn error: no target: CITEREFMukherjea1985 (help)
14. Фремлин 2016, часть (а) теоремы 243G, с. 159.
15. Fremlin 2016, раздел 243K, с. 162.
16. Фремлин 2016, часть (а) теоремы в разделе 245E, стр. 182.
17. Фремлин 2016, раздел 245М, с. 188.
18. Бербериан 1965, Теорема 39.1, с. 129.
19. Фремлин 2016, часть (b) теоремы 243G, с. 159.
20. Рао, М.М. (2012), Случайные и векторные меры , Серия по многомерному анализу, том. 9, Всемирный научный журнал , ISBN 978-981-4350-81-5, МР  2840012.
21. Бхаскара Рао, КПС (1983). Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер. М. Бхаскара Рао. Лондон: Академическая пресса. п. 35. ISBN 0-12-095780-9. ОСЛК  21196971.
22. Фолланд 1999, с. 27, Упражнение 1.15.а.

Внешние ссылки

• «Мера», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие: Теория меры для чайников