stringtranslate.com

Симметрия

Симметрия (слева) и асимметрия (справа)
Группа сферической симметрии с октаэдрической симметрией . Желтая область показывает фундаментальную область .
Фракталоподобная форма , которая имеет отражательную симметрию , вращательную симметрию и самоподобие , три формы симметрии. Эта форма получается с помощью правила конечного подразделения .

Симметрия (от древнегреческого συμμετρία ( summetría )  «согласованность размеров, правильная пропорция, расположение») [1] в повседневной жизни относится к ощущению гармоничной и красивой пропорции и равновесия. [2] [3] [a] В математике этот термин имеет более точное определение и обычно используется для обозначения объекта, который остается неизменным при некоторых преобразованиях , таких как перенос , отражение , вращение или масштабирование . Хотя эти два значения слова иногда можно разделить, они неразрывно связаны и, следовательно, обсуждаются вместе в этой статье.

Математическая симметрия может наблюдаться по отношению к течению времени ; как пространственное отношение ; посредством геометрических преобразований ; посредством других видов функциональных преобразований; и как аспект абстрактных объектов , включая теоретические модели , язык и музыку . [4] [b]

В этой статье симметрия описывается с трех точек зрения: в математике , включая геометрию , наиболее знакомый многим тип симметрии; в науке и природе ; и в искусстве, охватывающем архитектуру , изобразительное искусство и музыку.

Противоположностью симметрии является асимметрия , которая означает отсутствие симметрии.

В математике

В геометрии

Трискелион имеет тройную вращательную симметрию.

Геометрическая форма или объект симметричны, если их можно разделить на две или более одинаковых частей, которые расположены организованным образом. [5] Это означает, что объект симметричен, если существует преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не изменяет общую форму. Тип симметрии определяется тем, как организованы части, или типом преобразования:

В логике

Диадическое отношение R = S × S симметрично, если для всех элементов a , b из S , всякий раз, когда верно, что Rab , верно и то, что Rba . [13] Таким образом, отношение «того же возраста, что и» симметрично, поскольку если Пол того же возраста, что и Мэри, то и Мэри того же возраста, что и Пол.

В пропозициональной логике симметричные бинарные логические связки включают and (∧, или &), или (∨, или |) и если и только если (↔), в то время как связка if (→) не является симметричной. [14] Другие симметричные логические связки включают nand (не-и, или ⊼), xor (не-биусловный, или ⊻) и nor (не-или, или ⊽).

Другие области математики

Обобщая геометрическую симметрию из предыдущего раздела, можно сказать, что математический объект симметричен относительно заданной математической операции , если, будучи примененной к объекту, эта операция сохраняет некоторое свойство объекта. [15] Набор операций, которые сохраняют заданное свойство объекта , образуют группу .

В общем, каждый вид структуры в математике будет иметь свой собственный вид симметрии. Примерами являются четные и нечетные функции в исчислении , симметричные группы в абстрактной алгебре , симметричные матрицы в линейной алгебре и группы Галуа в теории Галуа . В статистике симметрия также проявляется как симметричные распределения вероятностей и как перекос — асимметрия распределений. [16]

В науке и природе

В физике

Симметрия в физике была обобщена, чтобы означать инвариантность — то есть отсутствие изменений — при любом виде преобразования, например, произвольных преобразованиях координат . [17] Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретической физики , поскольку стало очевидно, что практически все законы природы берут начало в симметриях. Фактически, эта роль вдохновила лауреата Нобелевской премии П. У. Андерсона написать в своей широко известной статье 1972 года More is Different , что «было бы лишь небольшим преувеличением сказать, что физика — это изучение симметрии». [18] См. теорему Нётер (которая в сильно упрощенной форме утверждает, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующая сохраняющаяся величина, такая как энергия или импульс; сохраняющийся ток, на оригинальном языке Нётер); [19] а также классификацию Вигнера , которая гласит, что симметрии законов физики определяют свойства частиц, обнаруженных в природе. [20]

Важные симметрии в физике включают непрерывные симметрии и дискретные симметрии пространства -времени ; внутренние симметрии частиц; и суперсимметрию физических теорий.

В биологии

Многие животные приблизительно зеркально симметричны, хотя внутренние органы часто расположены асимметрично.

В биологии понятие симметрии в основном используется явно для описания форм тела. Двусторонние животные , включая людей, более или менее симметричны относительно сагиттальной плоскости , которая делит тело на левую и правую половины. [21] Животные, которые движутся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, головной и хвостовой концы, и, следовательно, левую и правую стороны. Голова становится специализированной с ртом и органами чувств, а тело становится двусторонне симметричным для целей движения, с симметричными парами мышц и скелетных элементов, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными. [22]

Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как морские анемоны , часто имеют радиальную или вращательную симметрию , которая подходит им, поскольку пища или угрозы могут прибывать с любого направления. Пятикратная симметрия обнаружена у иглокожих , группы, которая включает морских звезд , морских ежей и морских лилий . [23]

В биологии понятие симметрии используется также, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействия. Замечательным свойством биологической эволюции являются изменения симметрии, соответствующие появлению новых частей и динамики. [24] [25]

В химии

Симметрия важна для химии, поскольку она по существу поддерживает все специфические взаимодействия между молекулами в природе (т. е. посредством взаимодействия природных и созданных человеком хиральных молекул с изначально хиральными биологическими системами). Контроль симметрии молекул , полученных в современном химическом синтезе, способствует способности ученых предлагать терапевтические вмешательства с минимальными побочными эффектами . Строгое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовой химии и в прикладных областях спектроскопии и кристаллографии . Теория и применение симметрии в этих областях физической науки в значительной степени опираются на математическую область теории групп . [26]

В психологии и нейронауке

Для наблюдателя-человека некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, как у человеческого лица. Эрнст Мах сделал это наблюдение в своей книге «Анализ ощущений» (1897), [27] и это подразумевает, что восприятие симметрии не является общей реакцией на все типы закономерностей. Как поведенческие, так и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражения у людей, а также у других животных. [28] Ранние исследования в рамках гештальт- традиции предполагали, что двусторонняя симметрия была одним из ключевых факторов перцептивной группировки . Это известно как закон симметрии . Роль симметрии в группировке и организации фигуры/фона была подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение отражательной симметрии происходит быстрее, когда это свойство одного объекта. [29] Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к возмущениям. Например, симметрию можно обнаружить при предъявлении от 100 до 150 миллисекунд. [30]

Более поздние исследования нейровизуализации задокументировали, какие области мозга активны во время восприятия симметрии. Сасаки и др. [31] использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения ответов на паттерны с симметричными или случайными точками. Сильная активность присутствовала в экстрастриарных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. Экстрастриарные области включали V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования обнаружили позднюю заднюю негативность, которая исходит из тех же областей. [32] В целом, большая часть зрительной системы, по-видимому, участвует в обработке визуальной симметрии, и эти области включают в себя сети, похожие на те, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов. [33]

В социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричную природу, часто включающую асимметричный баланс, социальных взаимодействий в различных контекстах. Они включают оценки взаимности , эмпатии , симпатии , извинения , диалога , уважения, справедливости и мести . Рефлексивное равновесие - это баланс, который может быть достигнут посредством обдуманного взаимного регулирования общих принципов и конкретных суждений . [34] Симметричные взаимодействия посылают моральное сообщение «мы все одинаковы», в то время как асимметричные взаимодействия могут посылать сообщение «я особенный; лучше, чем ты». Отношения сверстников, такие как могут регулироваться Золотым правилом , основаны на симметрии, тогда как властные отношения основаны на асимметрии. [35] Симметричные отношения могут в некоторой степени поддерживаться простыми ( теория игр ) стратегиями, наблюдаемыми в симметричных играх, таких как око за око . [36]

В искусстве

Существует список журналов и информационных бюллетеней, которые, как известно, хотя бы частично посвящены симметрии и искусству. [37]

В архитектуре

При взгляде сбоку Тадж-Махал имеет двустороннюю симметрию; при взгляде сверху (в плане) — четырехстороннюю симметрию.

Симметрия находит свое применение в архитектуре на всех уровнях: от общих внешних видов зданий, таких как готические соборы и Белый дом , через планировку отдельных этажей и вплоть до дизайна отдельных элементов здания, таких как мозаика из плитки . Исламские здания, такие как Тадж-Махал и мечеть Лотфоллы, тщательно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаментации. [38] [39] Мавританские здания, такие как Альгамбра, украшены сложными узорами, созданными с использованием трансляционной и отражательной симметрии, а также вращений. [40]

Говорят, что только плохие архитекторы полагаются на «симметричное расположение блоков, масс и структур»; [41] Модернистская архитектура , начиная с интернационального стиля , вместо этого полагается на «крылья и баланс масс». [41]

В глиняной посуде и металлических сосудах

Глиняные горшки, обработанные на гончарном круге, приобретают вращательную симметрию.

С самых ранних времен использования гончарных кругов для придания формы глиняным сосудам гончарное дело тесно связано с симметрией. Керамика, созданная с помощью круга, приобретает полную вращательную симметрию в своем поперечном сечении, при этом обеспечивая значительную свободу формы в вертикальном направлении. На этой изначально симметричной отправной точке гончары с древних времен добавляли узоры, которые изменяют вращательную симметрию для достижения визуальных целей.

Литые металлические сосуды не обладали присущей им вращательной симметрией гончарных изделий, изготовленных на круге, но в остальном предоставляли аналогичную возможность украшать свои поверхности узорами, которые нравились тем, кто ими пользовался. Древние китайцы , например, использовали симметричные узоры в своих бронзовых отливках еще в 17 веке до нашей эры. Бронзовые сосуды демонстрировали как двусторонний основной мотив, так и повторяющийся дизайн переведенной границы. [42]

В коврах и паласах

Персидский ковер с прямоугольной симметрией

Давняя традиция использования симметрии в узорах ковров и ковровых покрытий охватывает множество культур. Американские индейцы навахо использовали смелые диагонали и прямоугольные мотивы. Многие восточные ковры имеют сложные отраженные центры и границы, которые передают узор. Неудивительно, что прямоугольные ковры обычно имеют симметрию прямоугольника — то есть мотивы , которые отражаются как по горизонтальной, так и по вертикальной осям (см. Klein four-group § Geometry ). [43] [44]

В одеялах

Кухонный калейдоскоп стеганый блок

Поскольку лоскутные одеяла изготавливаются из квадратных блоков (обычно по 9, 16 или 25 штук в блоке), а каждый меньший кусок обычно состоит из тканевых треугольников, в этом ремесле легко применять симметрию. [45]

В других видах искусства и ремесел

Симметрии появляются в дизайне объектов всех видов. Примерами служат бисерная вышивка , мебель , песчаные картины , узелковая вышивка , маски и музыкальные инструменты . Симметрии занимают центральное место в искусстве М. К. Эшера и во многих приложениях тесселяции в таких видах искусства и ремесла, как обои , керамическая плитка, например, в исламском геометрическом декоре , батик , икат , ковроделие и многие виды текстильных и вышитых узоров. [46]

Симметрия также используется при разработке логотипов. [47] Создавая логотип на сетке и используя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить расстояние между буквами, определить, сколько негативного пространства требуется в дизайне, и как подчеркнуть части логотипа, чтобы он выделялся.

В музыке

Мажорные и минорные трезвучия на белых клавишах фортепиано симметричны ноте D.

Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Ее роль в истории музыки затрагивает многие аспекты создания и восприятия музыки.

Музыкальная форма

Симметрия использовалась в качестве формального ограничения многими композиторами, например, арочная (наплывная) форма (ABCBA), используемая Стивом Райхом , Белой Бартоком и Джеймсом Тенни . В классической музыке Иоганн Себастьян Бах использовал концепции симметрии перестановки и инвариантности. [48]

Структуры питча

Симметрия также является важным фактором при формировании гамм и аккордов , поскольку традиционная или тональная музыка состоит из несимметричных групп высот , таких как диатоническая гамма или мажорный аккорд . Симметричные гаммы или аккорды, такие как целотоновая гамма , увеличенный аккорд или уменьшенный септаккорд (уменьшенный-уменьшенный септаккорд), как говорят, лишены направления или чувства движения вперед, неоднозначны относительно тональности или тонального центра и имеют менее специфическую диатоническую функциональность . Однако такие композиторы, как Альбан Берг , Бела Барток и Джордж Перл использовали оси симметрии и/или интервальные циклы аналогичным образом для тональностей или нетональных тональных центров . [49] Джордж Перл объясняет, что «C–E, D–F♯, [и] Eb–G являются различными примерами одного и того же интервала … другой вид идентичности. … имеет отношение к осям симметрии. C–E принадлежит к семейству симметрично связанных диад следующим образом:» [49]

Таким образом, помимо того, что C–E является частью семейства интервал-4, он также является частью семейства сумма-4 (где C равно 0). [49]

Интервальные циклы симметричны и, таким образом, недиатоничны. Однако сегмент из семи высот C5 (цикл квинт, которые энгармоничны с циклом кварт) создаст диатоническую мажорную гамму. Циклические тональные прогрессии в произведениях композиторов -романтиков, таких как Густав Малер и Рихард Вагнер, образуют связь с циклическими тональными последовательностями в атональной музыке модернистов, таких как Барток, Александр Скрябин , Эдгар Варез и Венская школа. В то же время эти прогрессии сигнализируют об окончании тональности. [49] [50]

Первым расширенным сочинением, последовательно основанным на симметричных отношениях высоты тона, вероятно, был Квартет Альбана Берга , соч. 3 (1910). [50]

Эквивалентность

Ряды тонов или наборы классов высоты тона , которые инвариантны при ретрограде, симметричны по горизонтали, при инверсии — по вертикали. См. также Асимметричный ритм .

В эстетике

Связь симметрии с эстетикой сложна. Люди считают двустороннюю симметрию в лицах физически привлекательной; [51] она указывает на здоровье и генетическую пригодность. [52] [53] Противоположностью этому является тенденция воспринимать чрезмерную симметрию как скучную или неинтересную. Рудольф Арнхейм предположил, что люди предпочитают формы, которые имеют некоторую симметрию и достаточную сложность, чтобы сделать их интересными. [54]

В литературе

Симметрия может быть найдена в различных формах в литературе , простым примером является палиндром , где краткий текст читается одинаково как вперед, так и назад. Истории могут иметь симметричную структуру, например, модель подъема и падения Беовульфа . [55]

Смотрите также

Пояснительные записки

  1. ^ Например, Аристотель приписывал небесным телам сферическую форму, приписывая эту формально определенную геометрическую меру симметрии естественному порядку и совершенству космоса.
  2. ^ Симметричные объекты могут быть материальными, например, человек, кристалл , одеяло , напольная плитка или молекула , или это может быть абстрактная структура, например, математическое уравнение или последовательность тонов (музыка).

Ссылки

  1. ^ Харпер, Дуглас. «симметрия». Онлайн-словарь этимологии .
  2. ^ Zee, A. (2007). Страшная симметрия . Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press . ISBN 978-0-691-13482-6.
  3. ^ Хилл, CT ; Ледерман, LM (2005). Симметрия и прекрасная Вселенная . Книги Прометея .
  4. ^ Майнцер, Клаус (2005). Симметрия и сложность: Дух и красота нелинейной науки . World Scientific . ISBN 981-256-192-7.
  5. ^ EH Lockwood, RH Macmillan, Геометрическая симметрия , Лондон: Cambridge Press, 1978
  6. ^ Weyl, Hermann (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  7. ^ Сингер, Дэвид А. (1998). Геометрия: Плоскость и Воображение . Springer Science & Business Media.
  8. ^ Stenger, Victor J. (2000) и Mahou Shiro (2007). Вневременная реальность . Книги Прометея. Особенно глава 12. Нетехнический.
  9. ^ Bottema, O, и B. Roth, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990 г.)
  10. ^ Тянь Юй Цао Концептуальные основы квантовой теории поля Издательство Кембриджского университета стр.154-155
  11. ^ Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж/Нью-Йорк: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  12. ^ "Ось отражения ротора". TheFreeDictionary.com . Получено 12.11.2019 .
  13. ^ Джозайя Ройс, Игнас К. Скрупскелис (2005) Основные труды Джозайи Ройса: логика, лояльность и сообщество (Google eBook) Fordham Univ Press, стр. 790
  14. ^ Гао, Элис (2019). "Пропозициональная логика: введение и синтаксис" (PDF) . Университет Ватерлоо — Школа компьютерных наук . Получено 12 ноября 2019 г.
  15. ^ Кристофер Г. Моррис (1992) Академический словарь по науке и технике Gulf Professional Publishing
  16. ^ Petitjean, M. (2003). «Меры хиральности и симметрии: трансдисциплинарный обзор». Entropy . 5 (3): 271–312 (см. раздел 2.9). Bibcode :2003Entrp...5..271P. doi : 10.3390/e5030271 .
  17. ^ Коста, Джованни; Фольи, Джанлуиджи (2012). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии . Springer Science & Business Media. стр. 112.
  18. ^ Андерсон, П. В. (1972). «Больше значит другое» (PDF) . Science . 177 (4047): 393–396. Bibcode : 1972Sci...177..393A. doi : 10.1126/science.177.4047.393. PMID  17796623. S2CID  34548824.
  19. ^ Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: Инвариантность и законы сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.
  20. ^ Вигнер, Э. П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W, doi : 10.2307/1968551, JSTOR  1968551, MR  1503456, S2CID  121773411
  21. ^ Valentine, James W. "Bilateria". AccessScience. Архивировано из оригинала 18 января 2008 года . Получено 29 мая 2013 года .
  22. ^ Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). "Animal Diversity (Third Edition)" (PDF) . Глава 8: Acoelomate Bilateral Animals . McGraw-Hill. стр. 139. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2016 г. . Получено 25 октября 2012 г. .
  23. ^ Стюарт, Ян (2001). Какую форму имеет снежинка? Магические числа в природе . Вайденфельд и Николсон. стр. 64–65.
  24. ^ Лонго, Джузеппе; Монтевиль, Маэль (2016). Перспективы организмов: биологическое время, симметрии и особенности. Springer. ISBN 978-3-662-51229-6.
  25. ^ Монтевиль, Маэль; Моссио, Маттео; Пошевиль, Арно; Лонго, Джузеппе (2016). «Теоретические принципы биологии: вариации». Прогресс в биофизике и молекулярной биологии . От века генома к веку организма: новые теоретические подходы. 122 (1): 36–50. doi :10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005. PMID  27530930. S2CID  3671068.
  26. ^ Лоу, Джон П.; Петерсон, Кирк (2005). Квантовая химия (третье изд.). Academic Press. ISBN 0-12-457551-X.
  27. ^ Мах, Эрнст (1897). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: Введение в пространство-время и внутренние симметрии . Издательство Open Court.
  28. ^ Wagemans, J. (1997). «Характеристики и модели обнаружения симметрии человека». Тенденции в когнитивных науках . 1 (9): 346–352. doi :10.1016/S1364-6613(97)01105-4. PMID  21223945. S2CID  2143353.
  29. ^ Бертамини, М. (2010). «Чувствительность к отражению и переводу модулируется объектностью». Восприятие . 39 (1): 27–40. doi :10.1068/p6393. PMID  20301844. S2CID  22451173.
  30. ^ Барлоу, Х. Б.; Ривз, Б. К. (1979). «Универсальность и абсолютная эффективность обнаружения зеркальной симметрии в случайных точечных дисплеях». Vision Research . 19 (7): 783–793. doi :10.1016/0042-6989(79)90154-8. PMID  483597. S2CID  41530752.
  31. ^ Sasaki, Y.; Vanduffel, W.; Knutsen, T.; Tyler, CW; Tootell, R. (2005). «Симметрия активирует экстрастриарную зрительную кору у людей и нечеловекообразных приматов». Труды Национальной академии наук США . 102 (8): 3159–3163. Bibcode : 2005PNAS..102.3159S. doi : 10.1073/pnas.0500319102 . PMC 549500. PMID  15710884 . 
  32. ^ Макин, А. Д. Дж.; Рампоне, Г.; Печкиненда, А.; Бертамини, М. (2013). «Электрофизиологические реакции на зрительно-пространственную регулярность». Психофизиология . 50 (10): 1045–1055. doi :10.1111/psyp.12082. PMID  23941638.
  33. ^ Bertamini, M.; Silvanto, J.; Norcia, AM; Makin, ADJ; Wagemans, J. (2018). «Нейронная основа визуальной симметрии и ее роль в обработке визуальной информации на среднем и высоком уровне». Annals of the New York Academy of Sciences . 132 (1): 280–293. Bibcode : 2018NYASA1426..111B. doi : 10.1111/nyas.13667 . hdl : 11577/3289328 . PMID  29604083.
  34. ^ Дэниелс, Норман (2003-04-28). «Рефлективное равновесие». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
  35. ^ Эмоциональная компетентность: Симметрия
  36. ^ Lutus, P. (2008). "The Symmetry Principle" . Получено 28 сентября 2015 г.
  37. ^ Буиссу, К.; Петижан, М. (2018). «Асимметричные обмены». Журнал междисциплинарных методологий и проблем науки . 4 : 1–18. doi : 10.18713/JIMIS-230718-4-1 .(см. приложение 1)
  38. ^ Уильямс: Симметрия в архитектуре. Members.tripod.com (1998-12-31). Получено 2013-04-16.
  39. ^ Аслаксен: Математика в искусстве и архитектуре. Math.nus.edu.sg. Получено 16.04.2013.
  40. ^ Дерри, Грегори Н. (2002). Что такое наука и как она работает. Princeton University Press. С. 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6.
  41. ^ ab Dunlap, David W. (31 июля 2009 г.). «За кулисами: Эдгар Мартинс говорит». New York Times . Получено 11 ноября 2014 г.«Отправной точкой для этой конструкции послужило простое утверждение, которое я когда-то прочитал (и которое не обязательно отражает мои личные взгляды): «Только плохой архитектор полагается на симметрию; вместо симметричного расположения блоков, масс и конструкций модернистская архитектура полагается на крылья и баланс масс».
  42. ^ Искусство китайской бронзы Архивировано 11 декабря 2003 г. на Wayback Machine . Chinavoc (19 ноября 2007 г.). Получено 16 апреля 2013 г.
  43. ^ Текстиль и восточные ковры Marla Mallett. Музей Метрополитен, Нью-Йорк.
  44. ^ Dilucchio: Navajo Rugs. Navajocentral.org (2003-10-26). Получено 2013-04-16.
  45. ^ Quate: Exploring Geometry Through Quilts Архивировано 31 декабря 2003 г. на Wayback Machine . Its.guilford.k12.nc.us. Получено 16 апреля 2013 г.
  46. ^ Cucker, Felipe (2013). Многообразные зеркала: пересечение путей искусств и математики . Cambridge University Press. стр. 77–78, 83, 89, 103. ISBN 978-0-521-72876-8.
  47. ^ «Как создать идеальный логотип с помощью сетки и симметрии».
  48. ^ см. («Фуга № 21», pdf, архив 2005-09-13 на Wayback Machine или Shockwave, архив 2005-10-26 на Wayback Machine )
  49. ^ abcd Перл, Джордж (1992). «Симметрия, двенадцатитоновая гамма и тональность». Contemporary Music Review . 6 (2): 81–96. doi :10.1080/07494469200640151.
  50. ^ ab Perle, George (1990). Слушающий композитор . Издательство Калифорнийского университета. стр. 21. ISBN 978-0-520-06991-6.
  51. ^ Грэммер, К.; Торнхилл, Р. (1994). «Привлекательность лица человека (Homo sapiens) и половой отбор: роль симметрии и усредненности». Журнал сравнительной психологии . 108 (3). Вашингтон, округ Колумбия: 233–42. doi :10.1037/0735-7036.108.3.233. PMID  7924253. S2CID  1205083.
  52. ^ Родс, Джиллиан; Зебровиц, Лесли А. (2002). Привлекательность лица: эволюционные, когнитивные и социальные перспективы . Ablex . ISBN 1-56750-636-4.
  53. ^ Джонс, BC, Литтл, AC, Тиддеман, BP, Берт, DM, и Перретт, DI (2001). Симметрия лица и суждения о кажущемся здоровье. Поддержка объяснения связи привлекательности и симметрии с помощью «хороших генов», 22, 417–429.
  54. ^ Арнхейм, Рудольф (1969). Визуальное мышление . Издательство Калифорнийского университета.
  55. ^ Дженни Ли Боуман (2009). «Симметричная эстетика Беовульфа». Университет Теннесси, Ноксвилл.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Найдите информацию о симметрии в Викисловаре, бесплатном словаре.
На Викискладе есть медиафайлы по теме Симметрия .
В Викицитатнике есть цитаты, связанные с симметрией .