Твин-прайм

Простое число на 2 больше или меньше другого простого числа

Простое число-близнец — это простое число , которое на 2 меньше или на 2 больше другого простого числа, например, члена пары простых чисел-близнецов (17, 19) или (41, 43) . Другими словами, простое число-близнец — это простое число, которое имеет простой промежуток в два. Иногда термин простой близнец используется для пары простых чисел-близнецов; альтернативное название для этого — простой близнец или простая пара .

Простые числа-близнецы становятся все более редкими по мере того, как мы изучаем более широкие диапазоны, в соответствии с общей тенденцией увеличения промежутков между соседними простыми числами по мере увеличения самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов (так называемая гипотеза простых чисел-близнецов ) или существует самая большая пара. Прорывная работа ^[1] Итана Чжана в 2013 году, а также работа Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и других, значительно продвинулась в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, но в настоящее время это остается нерешенным. ^[2]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Характеристики

Обычно пара (2, 3) не считается парой простых чисел-близнецов. ^[3] Поскольку 2 — единственное четное простое число, эта пара — единственная пара простых чисел, отличающихся на единицу; таким образом, простые числа-близнецы расположены настолько близко друг к другу, насколько это возможно для любых двух других простых чисел.

Первые несколько пар простых чисел-близнецов:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), ... OEIS : A077800 .

Пять — единственное простое число, которое принадлежит двум парам, так как каждая пара простых чисел-близнецов, большая, чем (3, 5), имеет вид для некоторого натурального числа n ; то есть число между двумя простыми числами кратно 6. ^[4] В результате сумма любой пары простых чисел-близнецов (кроме 3 и 5) делится на 12. ${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$

Теорема Бруна

В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных чисел простых чисел-близнецов сходится . ^[5] Этот знаменитый результат, называемый теоремой Бруна , был первым применением решета Бруна и помог инициировать развитие современной теории решета . Современную версию аргумента Бруна можно использовать для того, чтобы показать, что количество простых чисел-близнецов, меньших N, не превышает

${\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}$

для некоторой абсолютной константы C > 0. ^[6] Фактически, она ограничена сверху величиной , где — константа-близнец (немного меньше 2/3), указанная ниже. ^[7] $${\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle C_{2}}$

Гипотеза о простых числах-близнецах

Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел-близнецов, был одним из великих открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет. Это содержание гипотезы о простых числах-близнецах , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел p, таких что p + 2 также является простым числом. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу, что для каждого натурального числа k существует бесконечно много простых чисел p, таких что p + 2 k также является простым числом. ^[8] Случай k = 1 гипотезы де Полиньяка является гипотезой о простых числах-близнецах.

Более сильная форма гипотезы о простых числах-близнецах, гипотеза Харди–Литтлвуда (см. ниже), постулирует закон распределения для простых чисел-близнецов, аналогичный теореме о простых числах .

17 апреля 2013 года Итан Чжан объявил о доказательстве того, что существует целое число N , которое меньше 70 миллионов, где существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются на  N. ^[9] Статья Чжана была принята в начале мая 2013 года. [ ^10] Впоследствии Теренс Тао предложил совместную работу в рамках проекта Polymath Project по оптимизации границы Чжана. ^[11]

По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана, граница была снижена до 246. ^[12] Эти улучшенные границы были обнаружены с использованием другого подхода, который был проще подхода Чжана и был открыт независимо Джеймсом Мейнардом и Теренсом Тао . Этот второй подход также дал границы для наименьшего f ( m ), необходимого для гарантии того, что бесконечно много интервалов ширины f ( m ) содержат по крайней мере m простых чисел. Более того (см. также следующий раздел), предполагая гипотезу Эллиотта–Халберстама и ее обобщенную форму, вики-проект Polymath утверждает, что граница составляет 12 и 6 соответственно. ^[12]

Усиление гипотезы Гольдбаха , если оно будет доказано, также докажет существование бесконечного числа простых чисел-близнецов, как и существование нулей Зигеля .

Другие теоремы, более слабые, чем гипотеза о простых числах-близнецах

В 1940 году Пол Эрдёш показал, что существует константа c < 1 и бесконечно много простых чисел p, таких что p ′ − p < c ln p , где p′ обозначает следующее простое число после p . Это означает, что мы можем найти бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа ( p , p ′), если только мы позволим этим интервалам медленно расти по мере того, как мы переходим к все большим и большим простым числам. Здесь «расти медленно» означает, что длина этих интервалов может расти логарифмически . Этот результат был последовательно улучшен; в 1986 году Хельмут Майер показал, что можно использовать константу c < 0,25 . В 2004 году Дэниел Голдстон и Джем Йылдырым показали, что константу можно улучшить до c = 0,085786... . В 2005 году Голдстон , Пинц и Йылдырым установили, что c может быть выбрано произвольно малым, ^{[13] [14]} , т.е.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}$

С другой стороны, этот результат не исключает того, что не может быть бесконечно много интервалов, содержащих два простых числа, если мы позволим интервалам увеличиваться в размерах, например, c ln ln p .

Предположив гипотезу Эллиотта–Халберстама или ее немного более слабую версию, они смогли показать, что существует бесконечно много таких n , что по крайней мере два из n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 или n + 20 являются простыми. При более сильной гипотезе они показали, что для бесконечно многих n по крайней мере два из n , n + 2 , n + 4 и n + 6 являются простыми.

Результат Итана Чжана ,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},}$

является значительным улучшением результата Голдстона–Грэхема–Пинца–Йылдырыма. Оптимизация границы Чжана в рамках Polymath Project и работа Мейнарда снизили границу: нижний предел не превышает 246. ^{[15] [16]}

Догадки

Первая гипотеза Харди–Литтлвуда

Первая гипотеза Харди–Литтлвуда (названная в честь Г. Х. Харди и Джона Литтлвуда ) является обобщением гипотезы о простых числах-близнецах. Она касается распределения простых созвездий , включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах . Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ обозначает количество простых чисел p ≤ x, таких что p + 2 также является простым числом. Определим константу простых чисел-близнецов C ₂ как ^[17] (Здесь произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3 .) Тогда особый случай первой гипотезы Харди–Литтлвуда заключается в том, что в том смысле, что частное двух выражений стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. ^[6] (Второе ~ не является частью гипотезы и доказывается интегрированием по частям .) $${\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .}$$ $${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}}$$

Гипотеза может быть обоснована (но не доказана), если предположить, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}$ описывает функцию плотности распределения простых чисел. Это предположение, которое предлагается теоремой о простых числах, подразумевает гипотезу о близнецах простых чисел, как показано в формуле для ⁠ ⁠ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ выше.

Полностью общая первая гипотеза Харди–Литтлвуда о простых k -кортежах (здесь не приведена) подразумевает, что вторая гипотеза Харди–Литтлвуда ложна.

Эта гипотеза была расширена гипотезой Диксона .

Гипотеза Полиньяка

Гипотеза Полиньяка от 1849 года утверждает, что для каждого положительного четного целого числа k существует бесконечно много последовательных простых пар p и p′ таких, что p ′ − p = k (т. е. существует бесконечно много простых промежутков размера k ). Случай k = 2 является гипотезой о близнецах простых чисел . Гипотеза еще не была доказана или опровергнута для какого-либо конкретного значения k , но результат Чжана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (в настоящее время неизвестного) значения k . Действительно, если бы такого k не существовало, то для любого положительного четного натурального числа N существовало бы не более конечного числа n таких, что для всех m < N и, следовательно, для достаточно большого n мы имеем , что противоречило бы результату Чжана. ^[8] ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}$ ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}$

Большие близнецы-простые числа

Начиная с 2007 года, два проекта распределенных вычислений , Twin Prime Search и PrimeGrid , создали несколько рекордно больших простых чисел-близнецов. По состоянию на август 2022 года ^{[обновлять]}, текущая самая большая известная пара простых чисел-близнецов составляет 2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1 ^[18] с 388 342 десятичными цифрами. Она была обнаружена в сентябре 2016 года. ^[19]

Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов ниже 10.¹⁸ . ^{[20] [21]}

Эмпирический анализ всех простых пар до 4,35 × 10¹⁵ показывает, что если число таких пар, меньших x, равно f  ( x ) · x  /(log x ) ^{2 ,} то f  ( x ) составляет около 1,7 для малых x и уменьшается до около 1,3, когда x стремится к бесконечности. Предельное значение f  ( x ) предположительно равно удвоенной константе простых чисел-близнецов ( OEIS : A114907 ) (не путать с константой Бруна ), согласно гипотезе Харди–Литтлвуда.

Другие элементарные свойства

Каждое третье нечетное число делится на 3, и поэтому никакие три последовательных нечетных числа не могут быть простыми, если одно из них не равно 3. Поэтому 5 — единственное простое число, которое является частью двух пар простых чисел-близнецов. Нижний член пары по определению является простым числом Чэня .

Если m  − 4 или m  + 6 также являются простыми числами, то эти три простых числа называются простой тройкой .

Было доказано ^[22] , что пара ( m ,  m  + 2) является простым числом-близнецом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}$

Для пары простых чисел-близнецов вида (6 n − 1, 6 n + 1) для некоторого натурального числа n > 1, n должно заканчиваться на цифру 0, 2, 3, 5, 7 или 8 ( OEIS : A002822 ). Если бы n заканчивалось на 1 или 6, 6 n заканчивалось бы на 6, а 6 n  −1 было бы кратно 5. Аналогично, если бы n заканчивалось на 4 или 9, 6 n заканчивалось бы на 4, а 6 n  +1 было бы кратно 5. То же правило применяется по модулю любого простого числа p ≥ 5: если n ≡ ±6 ⁻¹ (mod p ), то одно из чисел пары будет делиться на p и не будет парой простых чисел-близнецов, если только 6 n = p  ±1. p = 5 просто создает особенно простые шаблоны в основании 10.

Изолированный премьер

Изолированное простое число (также известное как простое число или не-близнецовое простое число ) — это простое число p , такое что ни p  − 2, ни p  + 2 не являются простыми. Другими словами, p не является частью пары близнецовых простых чисел. Например, 23 — изолированное простое число, поскольку 21 и 25 оба являются составными .

Первые несколько изолированных простых чисел — это

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... OEIS : A007510 .

Из теоремы Бруна следует , что почти все простые числа являются изолированными в том смысле, что отношение числа изолированных простых чисел, меньших заданного порога n , к числу всех простых чисел, меньших n, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности.

Смотрите также

• Кузен премьер
• Основной разрыв
• Простой k -кортеж
• Простая четверка
• Первичный триплет
• Сексуальный премьер

Ссылки

1. Томас, Келли Девайн (лето 2014 г.). «Потрясающее математическое путешествие Итана Чжана». Письмо Института . Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований – через ias.edu.
2. Тао, Терри, доктор философии (докладчик) (7 октября 2014 г.). Малые и большие промежутки между простыми числами (видеолекция). Кафедра математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе – через YouTube.
3. "Первые 100 000 простых чисел-близнецов (только первый член пары)" (обычный текст) . Списки. The Prime Pages (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
4. Колдуэлл, Крис К. «Все ли простые числа (после 2 и 3) имеют вид 6n+1 и 6n−1?». The Prime Pages (primes.utm.edu) . Мартин, Теннесси: UT Мартин . Получено 27.09.2018 .
5. Брун, В. (1915). «Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare» [О правиле Гольдбаха и количестве пар простых чисел]. Архив Mathematik og Naturvidenskab (на немецком языке). 34 (8): 3–19. ISSN  0365-4524. ЯФМ  45.0330.16.
6. Bateman, Paul T. ; Diamond, Harold G. (2004). Аналитическая теория чисел . World Scientific. стр. 313 и 334–335. ISBN 981-256-080-7. Збл  1074.11001.
7. Хальберштам, Хейни; Рихерт, Ханс-Эгон (2010). Ситовые методы . Дуврские публикации. п. 117.
8. де Полиньяк, А. (1849). «Recherches nouvelles sur les nombres premiers» [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском языке). 29 : 397–401. [Из стр. 400] «1 ^er Théorème. Tout nombre пары est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ...» (1-я теорема. Каждое четное число равно разнице двух последовательных простых чисел в бесконечном несколько способов...)
9. Макки, Мэгги (14 мая 2013 г.). «Первое доказательство того, что бесконечно много простых чисел образуют пары». Nature . doi :10.1038/nature.2013.12989. ISSN  0028-0836.
10. Чжан, Итан (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . 179 (3): 1121–1174. doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 . MR  3171761.
11. Тао, Теренс (4 июня 2013 г.). «Предложение полимата: ограниченные промежутки между простыми числами».
12. "Ограниченные промежутки между простыми числами". Polymath (michaelnielsen.org) . Получено 27.03.2014 .
13. Голдстон, Дэниел Алан ; Мотохаши, Йоичи; Пинц, Янош ; Йылдырым, Джем Ялчин (2006). «Небольшие промежутки между простыми числами существуют». Японская академия. Труды . Серия A. Математические науки. 82 (4): 61–65. arXiv : math.NT/0505300 . doi :10.3792/pjaa.82.61. MR  2222213. S2CID  18847478.
14. Goldston, DA ; Graham, SW; Pintz, J. ; Yıldırım, CY (2009). «Маленькие промежутки между простыми числами или почти простыми числами». Transactions of the American Mathematical Society . 361 (10): 5285–5330. arXiv : math.NT/0506067 . doi :10.1090/S0002-9947-09-04788-6. MR  2515812. S2CID  12127823.
15. Мейнард, Джеймс (2015). «Маленькие промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . Вторая серия. 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007/annals.2015.181.1.7. MR  3272929. S2CID  55175056.
16. Polymath, DHJ (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук . 1. artc. 12, 83. arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR  3373710.
17. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005597 (Десятичное разложение константы-близнеца)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 01.11.2019 .
18. Колдуэлл, Крис К. " 2996863034895 × 21290000 − 1 ". База данных Prime . Мартин, Теннесси: UT Мартин .
19. "Найдены мировые рекорды по простым числам-близнецам!". primegrid.com . 20 сентября 2016 г.
20. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A007508 (Число пар простых чисел-близнецов ниже 10n)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 01.11.2019 .
21. Оливейра и Силва, Томас (7 апреля 2008 г.). «Таблицы значений π(x) и π2(x)». Университет Авейру . Проверено 7 января 2011 г.
22. PA Clement (1949). «Сравнения для множеств простых чисел». American Mathematical Monthly . 56 : 23–25. doi :10.2307/2305816. JSTOR  2305816.

Дальнейшее чтение

• Слоан, Нил ; Плуфф, Саймон (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.

Внешние ссылки

• «Близнецы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Топ-20 близнецов-простых чисел на страницах Криса Колдуэлла Prime Pages
• Ксавье Гурдон, Паскаль Себа: Введение в простые числа-близнецы и константу Бруна
• «Официальный пресс-релиз» 58711-значной записи двойного простого числа
• Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы». MathWorld .
• 20 000 первых простых чисел-близнецов
• Полимат: Ограниченные промежутки между простыми числами
• Внезапный прогресс в решении проблемы простых чисел взбудоражил математиков