Карл Густав Якоб Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; [2] нем.: [jaˈkoːbi] ; 10 декабря 1804 — 18 февраля 1851) [a] — немецкий математик , внёсший фундаментальный вклад в эллиптические функции , динамику , дифференциальные уравнения , определители и теорию чисел .
Якоби родился в семье евреев-ашкенази в Потсдаме 10 декабря 1804 года. Он был вторым из четырех детей банкира Симона Якоби. Его старший брат Мориц также стал известен позже как инженер и физик. Первоначально он обучался дома у своего дяди Лемана, который обучал его классическим языкам и основам математики. В 1816 году двенадцатилетний Якоби пошел в Потсдамскую гимназию , где ученикам преподавали все стандартные предметы: классические языки, историю, филологию, математику, естественные науки и т. д. Благодаря хорошему образованию, полученному им от дяди, а также собственным выдающимся способностям, менее чем через полгода Якоби был переведен в последний класс, несмотря на свой юный возраст. Однако, поскольку университет не принимал студентов моложе 16 лет, ему пришлось остаться в выпускном классе до 1821 года. Он использовал это время, чтобы углубить свои знания, проявляя интерес ко всем предметам, включая латынь, греческий, филологию, историю и математику. В этот период он также предпринял свои первые попытки исследования, пытаясь решить уравнение пятой степени с помощью радикалов . [4] [5]
В 1821 году Якоби отправился учиться в Берлинский университет , где он изначально разделил свое внимание между своими увлечениями филологией и математикой . На филологических занятиях он участвовал в семинарах Бёкха , привлекая внимание профессора своим талантом. В то время Якоби не посещал много занятий по математике, считая уровень математики, преподаваемой в Берлинском университете, слишком элементарным. Вместо этого он продолжил свое личное изучение более продвинутых работ Эйлера , Лагранжа и Лапласа . К 1823 году он понял, что ему нужно сделать выбор между своими конкурирующими интересами, и решил посвятить все свое внимание математике. [6] В том же году он получил квалификацию учителя средней школы и ему предложили должность в гимназии Иоахимсталя в Берлине. Вместо этого Якоби решил продолжить работу над университетской должностью. В 1825 году он получил степень доктора философии, защитив диссертацию о разложении рациональных дробей на частичные дроби перед комиссией во главе с Энно Дирксеном . Он немедленно последовал за своей хабилитацией и в то же время обратился в христианство. Теперь, получив право преподавать в университете, 21-летний Якоби читал лекции в 1825/26 годах по теории кривых и поверхностей в Берлинском университете. [6] [7]
В 1826 году Якоби стал приват-доцентом , в следующем году — экстраординарным профессором , и, наконец, в 1829 году — штатным профессором математики в Кенигсбергском университете и занимал кафедру до 1842 года. В 1843 году у него случился срыв от переутомления. Затем он посетил Италию на несколько месяцев, чтобы восстановить здоровье. По возвращении он переехал в Берлин, где жил как королевский пенсионер, за исключением очень короткого промежутка времени, до самой смерти. [3] Во время революции 1848 года Якоби был вовлечен в политику и безуспешно представил свою кандидатуру в парламент от имени либерального клуба. Это привело к тому, что после подавления революции его королевский грант был урезан — но его слава и репутация были таковы, что они вскоре были возобновлены благодаря личному вмешательству Александра фон Гумбольдта .
Якоби умер в 1851 году от заражения оспой . Его могила сохранилась на кладбище в районе Кройцберг в Берлине, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (61 Baruther Street). Его могила находится недалеко от могилы астронома Иоганна Энке . Кратер Якоби на Луне назван в его честь.
Одним из величайших достижений Якоби была его теория эллиптических функций и их связь с эллиптической тета-функцией . Она была развита в его великом трактате Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) и в более поздних статьях в журнале Crelle's Journal . Тета-функции имеют большое значение в математической физике из-за их роли в обратной задаче для периодических и квазипериодических потоков. Уравнения движения интегрируются в терминах эллиптических функций Якоби в известных случаях маятника , волчка Эйлера , симметричного волчка Лагранжа в гравитационном поле и задачи Кеплера ( движение планет в центральном гравитационном поле).
Он также внес фундаментальный вклад в изучение дифференциальных уравнений и классической механики , в частности, в теорию Гамильтона–Якоби .
Особая сила Якоби заключалась в развитии алгебры, и он внес важный вклад такого рода во многие области математики, как показывает длинный список его статей в журнале Крелле и в других местах с 1826 года. [3] Говорят, что он говорил своим ученикам, что при поиске темы для исследования следует «Обратить, всегда переворачивать» (в немецком оригинале: «man muss immer umkehren» ), отражая его веру в то, что обращение известных результатов может открыть новые области для исследований, например, обращение эллиптических интегралов и сосредоточение внимания на природе эллиптических и тета-функций. [8]
В своей работе 1835 года Якоби доказал следующий основной результат, классифицирующий периодические (включая эллиптические) функции:
Если одномерная однозначная функция является кратно периодической , то такая функция не может иметь более двух периодов, а отношение периодов не может быть действительным числом.
Он открыл многие фундаментальные свойства тета-функций, включая функциональное уравнение и формулу тройного произведения Якоби , а также множество других результатов о q-рядах и гипергеометрических рядах .
Решение проблемы обращения Якоби для гиперэллиптического отображения Абеля Вейерштрассом в 1854 году потребовало введения гиперэллиптической тета-функции, а затем и общей тета-функции Римана для алгебраических кривых произвольного рода . Комплексный тор, связанный с алгебраической кривой рода, полученный путем факторизации по решетке периодов, называется якобиевым многообразием . Этот метод обращения и его последующее расширение Вейерштрассом и Риманом на произвольные алгебраические кривые можно рассматривать как обобщение на более высокий род связи между эллиптическими интегралами и эллиптическими функциями Якоби или Вейерштрасса.
Якоби был первым, кто применил эллиптические функции в теории чисел , например, доказав теорему Ферма о двух квадратах и теорему Лагранжа о четырех квадратах , а также аналогичные результаты для 6 и 8 квадратов.
Другие его работы по теории чисел продолжили работу Гаусса : новые доказательства квадратичного закона взаимности и введение символа Якоби ; вклад в высшие законы взаимности, исследования цепных дробей и изобретение сумм Якоби .
Он также был одним из первых основателей теории определителей. [9] В частности, он изобрёл определитель Якоби, образованный из n2 частных производных n заданных функций n независимых переменных, который играет важную роль в замене переменных в кратных интегралах и во многих аналитических исследованиях. [3] В 1841 году он вновь ввёл обозначение частной производной ∂ Лежандра , которое должно было стать стандартным.
Он был одним из первых, кто ввел и изучил симметричные многочлены, которые сейчас известны как многочлены Шура , дав для них так называемую формулу биальтернанта , которая является частным случаем формулы характера Вейля , и выведя тождества Якоби–Труди . Он также открыл формулу Деснано–Якоби для определителей , которые лежат в основе соотношений Плюккера для грассманианов .
Студенты, изучающие векторные поля , теорию Ли , гамильтонову механику и операторные алгебры, часто сталкиваются с тождеством Якоби — аналогом ассоциативности для операции скобки Ли .
Планетарная теория и другие частные динамические проблемы также время от времени занимали его внимание. Внося вклад в небесную механику , он ввел интеграл Якоби (1836) для звездной системы координат . Его теория последнего множителя рассматривается в Vorlesungen über Dynamik под редакцией Альфреда Клебша (1866). [3]
Он оставил много рукописей, части которых были опубликованы с интервалами в журнале Крелле. Среди его других работ — Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839) и Opuscula mathematica (1846–1857). Его Gesammelte Werke (1881–1891) были опубликованы Берлинской академией . [ 3]
