Компактная группа

Топологическая группа с компактной топологией

Окружность с центром 0 и радиусом 1 в комплексной плоскости представляет собой компактную группу Ли с комплексным умножением.

В математике компактная ( топологическая ) группа — это топологическая группа , топология которой реализует ее как компактное топологическое пространство (когда элемент группы подвергается действию, результат также находится внутри группы). Компактные группы являются естественным обобщением конечных групп с дискретной топологией и обладают свойствами, которые переносятся существенным образом. Компактные группы имеют хорошо понятную теорию, связанную с действиями групп и теорией представлений .

Далее мы будем предполагать, что все группы являются хаусдорфовыми пространствами .

Компактные группы Ли

Группы Ли образуют класс топологических групп, а компактные группы Ли имеют особенно хорошо развитую теорию. Основные примеры компактных групп Ли включают ^[1]

• группа окружности T и группы тора T ⁿ ,
• ортогональная группа O( n ), специальная ортогональная группа SO( n ) и ее накрывающая спиновая группа Spin( n ),
• унитарная группа U( n ) и специальная унитарная группа SU( n ),
• компактные формы исключительных групп Ли : G 2 , F 4 , E 6 , E 7 и E 8 .

Теорема классификации компактных групп Ли утверждает, что с точностью до конечных расширений и конечных покрытий это исчерпывает список примеров (который уже включает некоторые избыточности). Эта классификация более подробно описана в следующем подразделе.

Классификация

Для любой компактной группы Ли G можно взять ее единичную компоненту G ₀ , которая связна . Фактор-группа G / G ₀ — это группа компонент π ₀ ( G ), которая должна быть конечной, поскольку G компактна. Поэтому мы имеем конечное расширение

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

Между тем, для связных компактных групп Ли мы имеем следующий результат: ^[2]

Теорема : Каждая связная компактная группа Ли является фактором по конечной центральной подгруппе произведения односвязной компактной группы Ли и тора.

Таким образом, классификация связных компактных групп Ли в принципе может быть сведена к знанию односвязных компактных групп Ли вместе с информацией об их центрах. (Информацию о центре см. ниже в разделе о фундаментальной группе и центре.)

Наконец, каждая компактная, связная, односвязная группа Ли K является произведением конечного числа компактных, связных, односвязных простых групп Ли K _{i ,} каждая из которых изоморфна ровно одной из следующих:

• Компактная симплектическая группа ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• Специальная унитарная группа ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• Спиновая группа ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

или одна из пяти исключительных групп G 2 , F 4 , E 6 , E 7 и E 8 . Ограничения на n заключаются в том, чтобы избежать специальных изоморфизмов среди различных семейств для малых значений n . Для каждой из этих групп центр известен явно. Классификация осуществляется через связанную корневую систему (для фиксированного максимального тора), которые, в свою очередь, классифицируются по их диаграммам Дынкина .

Классификация компактных односвязных групп Ли совпадает с классификацией комплексных полупростых алгебр Ли . Действительно, если K — односвязная компактная группа Ли, то комплексификация алгебры Ли K является полупростой. Обратно, каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму, изоморфную алгебре Ли компактной односвязной группы Ли.

Максимальные торы и корневые системы

Ключевой идеей в изучении связной компактной группы Ли K является понятие максимального тора , то есть подгруппы T группы K , которая изоморфна произведению нескольких копий и не содержится ни в какой большей подгруппе этого типа. Базовым примером является случай , в этом случае мы можем взять группу диагональных элементов в . Базовым результатом является теорема о торе , которая утверждает, что каждый элемент из принадлежит максимальному тору и что все максимальные торы сопряжены. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Максимальный тор в компактной группе играет роль, аналогичную роли подалгебры Картана в комплексной полупростой алгебре Ли. В частности, как только максимальный тор выбран, можно определить корневую систему и группу Вейля, аналогичные тем, что имеются для полупростых алгебр Ли . ^[3] Эти структуры затем играют существенную роль как в классификации связных компактных групп (описанной выше), так и в теории представлений фиксированной такой группы (описанной ниже). ${\displaystyle T\subset K}$

Корневые системы, связанные с простыми компактными группами, появляющимися в классификации односвязных компактных групп, следующие: ^[4]

• Специальные унитарные группы соответствуют корневой системе ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$
• Нечетные спиновые группы соответствуют корневой системе ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Компактные симплектические группы соответствуют корневой системе ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle C_{n}}$
• Четные спиновые группы соответствуют корневой системе ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$ ${\displaystyle D_{n}}$
• Исключительные компактные группы Ли соответствуют пяти исключительным корневым системам G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ или E ₈

Основная группа и центр

Важно знать, является ли связная компактная группа Ли односвязной, и если нет, то определить ее фундаментальную группу . Для компактных групп Ли существует два основных подхода к вычислению фундаментальной группы. Первый подход применяется к классическим компактным группам , , и и осуществляется индукцией по . Второй подход использует корневую систему и применяется ко всем связным компактным группам Ли. ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle n}$

Также важно знать центр связной компактной группы Ли. Центр классической группы можно легко вычислить «вручную», и в большинстве случаев он состоит просто из любых корней тождества, которые находятся в . (Группа SO(2) является исключением — центр — это вся группа, хотя большинство элементов не являются корнями тождества.) Так, например, центр состоит из n- х корней единицы, умноженных на тождество, циклической группы порядка . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle n}$

В общем случае центр может быть выражен через решетку корней и ядро ​​экспоненциального отображения для максимального тора. ^[5] Общий метод показывает, например, что односвязная компактная группа, соответствующая исключительной системе корней, имеет тривиальный центр. Таким образом, компактная группа является одной из очень немногих простых компактных групп, которые одновременно односвязны и не имеют центра. (Другие — и .) ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

Дополнительные примеры

Среди групп, которые не являются группами Ли и, таким образом, не несут структуру многообразия , примерами являются аддитивная группа Z _p целых p-адических чисел и конструкции из нее. Фактически любая проконечная группа является компактной группой. Это означает, что группы Галуа являются компактными группами, что является основным фактом для теории алгебраических расширений в случае бесконечной степени.

Двойственность Понтрягина дает большой запас примеров компактных коммутативных групп. Они находятся в двойственности с абелевыми дискретными группами .

мера Хаара

Все компактные группы несут меру Хаара , ^[6] , которая будет инвариантна как относительно левого, так и правого переноса ( модульная функция должна быть непрерывным гомоморфизмом к положительным действительным числам ( R ⁺ , ×), и поэтому 1). Другими словами, эти группы унимодулярны . Мера Хаара легко нормализуется, чтобы стать вероятностной мерой , аналогичной dθ/2π на окружности.

Такая мера Хаара во многих случаях легко вычисляется; например, для ортогональных групп она была известна Адольфу Гурвицу , а в случаях групп Ли всегда может быть задана инвариантной дифференциальной формой . В проконечном случае имеется много подгрупп конечного индекса , и мера Хаара смежного класса будет обратной величиной индекса. Поэтому интегралы часто вычисляются довольно напрямую, факт, постоянно применяемый в теории чисел .

Если — компактная группа, а — ассоциированная мера Хаара, то теорема Петера–Вейля дает разложение в виде ортогональной прямой суммы конечномерных подпространств матричных элементов для неприводимых представлений . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$ ${\displaystyle K}$

Теория представления

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была основана теоремой Петера–Вейля . ^[7] Герман Вейль продолжил разработку подробной теории характеров компактных связных групп Ли, основанной на теории максимального тора . ^[8] Полученная формула характеров Вейля стала одним из влиятельных результатов математики двадцатого века. Сочетание теоремы Петера–Вейля и формулы характеров Вейля привело Вейля к полной классификации представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе.

Объединение работы Вейля и теоремы Картана дает обзор всей теории представлений компактных групп G. То есть, по теореме Петера–Вейля неприводимые унитарные представления ρ группы G входят в унитарную группу (конечной размерности), а образ будет замкнутой подгруппой унитарной группы по компактности. Теорема Картана утверждает, что Im(ρ) сама должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если G сама по себе не является группой Ли, должно быть ядро ​​для ρ. Кроме того, можно сформировать обратную систему для ядра ρ все меньшего и меньшего конечномерных унитарных представлений, которая идентифицирует G как обратный предел компактных групп Ли. Здесь тот факт, что в пределе найдено точное представление G , является еще одним следствием теоремы Петера–Вейля.

Неизвестная часть теории представлений компактных групп, таким образом, грубо говоря, отбрасывается на комплексные представления конечных групп . Эта теория довольно богата деталями, но качественно хорошо изучена.

Теория представлений связной компактной группы Ли

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли можно разработать вручную, например, представления группы вращений SO(3) , специальной унитарной группы SU(2) , и специальной унитарной группы SU(3) . Мы сосредоточимся здесь на общей теории. См. также параллельную теорию представлений полупростой алгебры Ли .

В этом разделе мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор T в K.

Теория представленияТ

Поскольку T коммутативен, лемма Шура гласит, что каждое неприводимое представление T является одномерным: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

Поскольку T также компактен, он должен фактически отображаться в . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

Чтобы конкретно описать эти представления, пусть будет алгеброй Ли T и мы запишем точки как ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

В таких координатах будет иметь вид ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

для некоторого линейного функционала на . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Теперь, поскольку экспоненциальное отображение не является инъективным, не каждый такой линейный функционал приводит к хорошо определенному отображению T в . Вместо этого обозначим ядро ​​экспоненциального отображения: ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

где — единичный элемент T . (Мы масштабируем экспоненциальное отображение здесь с коэффициентом , чтобы избежать таких коэффициентов в других местах.) Тогда для того, чтобы дать хорошо определенное отображение , должно удовлетворять ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

где — множество целых чисел. ^[9] Линейный функционал , удовлетворяющий этому условию, называется аналитически целым элементом . Это условие целостности связано, но не идентично, понятию целостного элемента в контексте полупростых алгебр Ли. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Предположим, например, что T — это просто группа комплексных чисел с абсолютным значением 1. Алгебра Ли — это множество чисто мнимых чисел, а ядро ​​(масштабированного) экспоненциального отображения — это множество чисел вида , где — целое число. Линейный функционал принимает целые значения на всех таких числах тогда и только тогда, когда он имеет вид для некоторого целого числа . Неприводимые представления T в этом случае одномерны и имеют вид ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Теория представленияК

Пример весов представления группы SU(3)

« Восьмеричное » представление SU(3), используемое в физике элементарных частиц

Черные точки обозначают доминирующие целые элементы для группы SU(3)

Теперь обозначим конечномерное неприводимое представление K (над ). Затем рассмотрим ограничение на T . Это ограничение не является неприводимым, если оно одномерно. Тем не менее, ограничение разлагается в прямую сумму неприводимых представлений T . (Заметим, что данное неприводимое представление T может встречаться более одного раза.) Теперь каждое неприводимое представление T описывается линейным функционалом, как в предыдущем подразделе. Если заданное встречается хотя бы один раз в разложении ограничения на T , мы называем весом . Стратегия теории представлений K состоит в классификации неприводимых представлений в терминах их весов . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Теперь мы кратко опишем структуры, необходимые для формулировки теоремы; более подробную информацию можно найти в статье о весах в теории представлений . Нам понадобится понятие корневой системы для K (относительно заданного максимального тора T ). Конструкция этой корневой системы очень похожа на конструкцию для комплексных полупростых алгебр Ли . В частности, веса являются ненулевыми весами для присоединенного действия T на комплексифицированной алгебре Ли K . Корневая система R обладает всеми обычными свойствами корневой системы , за исключением того, что элементы R могут не охватывать . ^[11] Затем мы выбираем базу для R и говорим, что целый элемент является доминирующим, если для всех . Наконец, мы говорим, что один вес выше другого, если их разность может быть выражена как линейная комбинация элементов с неотрицательными коэффициентами. ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Неприводимые конечномерные представления K затем классифицируются теоремой о наивысшем весе , ^[12] , которая тесно связана с аналогичной теоремой, классифицирующей представления полупростой алгебры Ли . Результат гласит, что:

1. каждое неприводимое представление имеет наибольший вес,
2. наибольший вес всегда имеет доминирующий, аналитически целостный элемент,
3. два неприводимых представления с одинаковым наибольшим весом изоморфны, и
4. каждый доминирующий, аналитически целостный элемент возникает как наивысший вес неприводимого представления.

Теорема о наибольшем весе для представлений K тогда почти такая же, как и для полупростых алгебр Ли, с одним заметным исключением: понятие целого элемента отличается. Веса представления являются аналитически целыми в смысле, описанном в предыдущем подразделе. Каждый аналитически целочисленный элемент является целым в смысле алгебры Ли, но не наоборот. ^[13] (Это явление отражает то, что, в общем, не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы K. ) С другой стороны, если K односвязна, множество возможных наибольших весов в групповом смысле совпадает с множеством возможных наибольших весов в смысле алгебры Ли. ^[14] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Формула характера Вейля

Если — представление K , то мы определяем характер как функцию, заданную формулой ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Легко видеть, что эта функция является функцией класса, т. е. для всех и в K. Таким образом, определяется ее ограничением на T. ${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$

Изучение характеров является важной частью теории представлений компактных групп. Один из важнейших результатов, который является следствием теоремы Петера–Вейля , заключается в том, что характеры образуют ортонормированный базис для множества квадратично-интегрируемых функций класса в K. Вторым ключевым результатом является формула Вейля для характера , которая дает явную формулу для характера — или, скорее, ограничения характера до T — в терминах наибольшего веса представления.

В тесно связанной теории представлений полупростых алгебр Ли формула характера Вейля является дополнительным результатом, установленным после классификации представлений. Однако в анализе Вейлем случая компактной группы формула характера Вейля на самом деле является важнейшей частью самой классификации. В частности, в анализе Вейлем представлений K самая сложная часть теоремы — показ того, что каждый доминирующий аналитически целочисленный элемент на самом деле является наибольшим весом некоторого представления — доказывается совершенно иным способом, чем обычное построение алгебры Ли с использованием модулей Верма . В подходе Вейля построение основано на теореме Петера–Вейля и аналитическом доказательстве формулы характера Вейля . ^[15] В конечном итоге неприводимые представления K реализуются внутри пространства непрерывных функций на K.

Дело SU(2)

Теперь рассмотрим случай компактной группы SU(2). Представления часто рассматриваются с точки зрения алгебры Ли , но здесь мы рассмотрим их с точки зрения группы. Мы принимаем максимальный тор как множество матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Согласно примеру, рассмотренному выше в разделе о представлениях T , аналитически целые элементы помечены целыми числами, так что доминирующие аналитически целые элементы являются неотрицательными целыми числами . Общая теория тогда говорит нам, что для каждого , существует единственное неприводимое представление SU(2) с наибольшим весом . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Большая часть информации о представлении, соответствующем данному, закодирована в его характере. Теперь формула характера Вейля говорит, в этом случае , что характер задается ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

Мы также можем записать символ в виде суммы экспонент следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(Если мы применим формулу суммы конечной геометрической прогрессии к приведенному выше выражению и упростим его, то получим предыдущее выражение.)

Из этого последнего выражения и стандартной формулы для характера в терминах весов представления мы можем заключить, что веса представления равны

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

каждый с кратностью один. (Веса — это целые числа, появляющиеся в показателях экспонент, а кратности — это коэффициенты экспонент.) Поскольку есть веса, каждый с кратностью 1, размерность представления равна . Таким образом, мы восстанавливаем большую часть информации о представлениях, которая обычно получается из вычислений алгебры Ли. ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Краткое изложение доказательства

Теперь мы изложим доказательство теоремы о наибольшем весе, следуя первоначальному аргументу Германа Вейля . Мы продолжаем, пусть будет связной компактной группой Ли и фиксированным максимальным тором в . Мы сосредоточимся на самой сложной части теоремы, показывая, что каждый доминирующий, аналитически целочисленный элемент является наибольшим весом некоторого (конечномерного) неприводимого представления. ^[16] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Инструменты доказательства следующие:

• Теорема о торе .
• Интегральная формула Вейля .
• Теорема Петера–Вейля для функций класса , которая утверждает, что характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства квадратично интегрируемых функций класса на . ${\displaystyle K}$

Имея эти инструменты в руках, мы приступаем к доказательству. Первым важным шагом в аргументации является доказательство формулы характера Вейля . Формула утверждает, что если является неприводимым представлением с наибольшим весом , то характер удовлетворяет : ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

для всех в алгебре Ли . Здесь — половина суммы положительных корней. (В обозначениях используется соглашение о «действительных весах»; это соглашение требует явного множителя в показателе степени.) Доказательство Вейлем формулы характера носит аналитический характер и основано на том факте, что норма характера равна 1. В частности, если бы в числителе были какие-либо дополнительные члены, интегральная формула Вейля заставила бы норму характера быть больше 1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Далее, обозначим функцию в правой части формулы характера. Мы показываем, что даже если неизвестно, является ли она наибольшим весом представления , является хорошо определенной, инвариантной относительно Вейля функцией на , которая, следовательно, продолжается до функции класса на . Затем, используя интегральную формулу Вейля, можно показать, что при пробеге по множеству доминирующих, аналитически целых элементов функции образуют ортонормированное семейство функций класса. Мы подчеркиваем, что в настоящее время мы не знаем, что каждое такое является наибольшим весом представления; тем не менее, выражения в правой части формулы характера дают хорошо определенный набор функций , и эти функции являются ортонормированными. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$

Теперь следует вывод. Множество всех — со пробегом по доминирующим, аналитически целым элементам — образует ортонормированное множество в пространстве квадратично интегрируемых функций класса. Но по формуле характера Вейля характеры неприводимых представлений образуют подмножество ' s. А по теореме Петера–Вейля характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства квадратично интегрируемых функций класса. Если бы были некоторые , которые не являются наивысшим весом представления, то соответствующее не было бы характером представления. Таким образом, характеры были бы собственным подмножеством множества ' s. Но тогда мы имеем невозможную ситуацию: ортонормированный базис (множество характеров неприводимых представлений) содержался бы в строго большем ортонормированном множестве (множестве ' s). Таким образом, каждое должно фактически быть наивысшим весом представления. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Двойственность

Тема восстановления компактной группы из ее теории представлений является предметом двойственности Таннаки–Крейна , которая теперь часто переосмысливается в терминах теории категорий Таннаки .

От компактных к некомпактным группам

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его унитарном приеме . Внутри общей полупростой группы Ли имеется максимальная компактная подгруппа , и теория представлений таких групп, в значительной степени разработанная Хариш-Чандрой , интенсивно использует ограничение представления на такую ​​подгруппу, а также модель теории характеров Вейля.

Смотрите также

• Теорема Петера–Вейля
• Максимальный тор
• Корневая система
• Локально компактная группа
• p -компактная группа
• Проторус
• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Ссылки

1. Холл 2015 Раздел 1.2
2. Брёкер и Том Дик 1985, Глава V, разделы 7 и 8.
3. Холл 2015 Глава 11
4. Холл 2015 Раздел 7.7
5. Холл 2015 Раздел 13.8
6. Вейль, Андре (1940), L'Intégration dans les groupes topologiques et ses application , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, Париж: Германн
7. Питер, Ф.; Вейль, Х. (1927), "Die Vollständigkeit der примитивный Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Энн. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
8. Холл 2015 Часть III
9. Холл 2015 Предложение 12.9
10. Холл 2015 Раздел 12.2
11. Холл 2015 Раздел 11.7
12. Холл 2015 Глава 12
13. Холл 2015 Раздел 12.2
14. Холл 2015 Следствие 13.20
15. Зал 2015 Разделы 12.4 и 12.5
16. Зал 2015 Разделы 12.4 и 12.5

Библиография

• Брёкер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 98, Springer
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хофманн, Карл Х.; Моррис, Сидней А. (1998), Структура компактных групп , Берлин: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1