Калибровочная теория

Физическая теория с полями, инвариантными относительно действия локальных «калибровочных» групп Ли

В физике калибровочная теория — это тип теории поля , в которой лагранжиан , а следовательно, и динамика самой системы не меняются при локальных преобразованиях в соответствии с некоторыми гладкими семействами операций ( группами Ли ). Формально лагранжиан инвариантен относительно этих преобразований.

Термин калибровка относится к любому конкретному математическому формализму для регулирования избыточных степеней свободы в лагранжиане физической системы. Преобразования между возможными калибровками, называемые калибровочными преобразованиями , образуют группу Ли, называемую группой симметрии или калибровочной группой теории. С любой группой Ли связана алгебра Ли групповых генераторов . Для каждого группового генератора обязательно возникает соответствующее поле (обычно векторное поле ), называемое калибровочным полем . Калибровочные поля включаются в лагранжиан, чтобы гарантировать его инвариантность относительно локальных групповых преобразований (называемое калибровочной инвариантностью ). Когда такая теория квантуется , кванты калибровочных полей называются калибровочными бозонами . Если группа симметрии некоммутативна, то калибровочная теория называется неабелевой калибровочной теорией , обычным примером является теория Янга–Миллса .

Многие мощные теории в физике описываются лагранжианами , которые инвариантны относительно некоторых групп преобразований симметрии. Когда они инвариантны относительно преобразования, одинаково выполняемого в каждой точке пространства -времени , в которой происходят физические процессы, говорят, что они имеют глобальную симметрию . Локальная симметрия , краеугольный камень калибровочных теорий, является более сильным ограничением. Фактически, глобальная симметрия — это просто локальная симметрия, параметры группы которой фиксированы в пространстве-времени (так же, как постоянное значение можно понимать как функцию определенного параметра, выход которого всегда одинаков).

Калибровочные теории важны как успешные полевые теории, объясняющие динамику элементарных частиц . Квантовая электродинамика является абелевой калибровочной теорией с группой симметрии U(1) и имеет одно калибровочное поле, электромагнитный четырехпотенциал , причем фотон является калибровочным бозоном. Стандартная модель является неабелевой калибровочной теорией с группой симметрии U(1) × SU(2) × SU(3) и имеет в общей сложности двенадцать калибровочных бозонов: фотон , три слабых бозона и восемь глюонов .

Калибровочные теории также важны для объяснения гравитации в общей теории относительности . Ее случай несколько необычен тем, что калибровочное поле является тензором, тензором Ланцоша . Теории квантовой гравитации , начиная с теории калибровочной гравитации , также постулируют существование калибровочного бозона, известного как гравитон . Калибровочные симметрии можно рассматривать как аналоги принципа общей ковариантности общей теории относительности, в котором система координат может быть выбрана свободно при произвольных диффеоморфизмах пространства-времени. Как калибровочная инвариантность, так и инвариантность диффеоморфизмов отражают избыточность в описании системы. Альтернативная теория гравитации, калибровочная теория гравитации , заменяет принцип общей ковариантности истинным принципом калибровки с новыми калибровочными полями.

Исторически эти идеи были впервые сформулированы в контексте классического электромагнетизма , а затем в общей теории относительности . Однако современное значение калибровочных симметрий впервые проявилось в релятивистской квантовой механике электронов  – квантовой электродинамике , подробно описанной ниже. Сегодня калибровочные теории полезны в конденсированном состоянии , ядерной физике и физике высоких энергий среди других подобластей.

История

Концепция и название калибровочной теории происходят из работы Германа Вейля 1918 года. ^[1] Вейль, пытаясь обобщить геометрические идеи общей теории относительности , включив в них электромагнетизм , предположил, что эйхинвариантность или инвариантность относительно изменения масштаба (или «калибровки») также может быть локальной симметрией общей теории относительности. После разработки квантовой механики Вейль, Владимир Фок ^[2] и Фриц Лондон заменили простой масштабный фактор комплексной величиной и превратили масштабное преобразование в изменение фазы , которое является калибровочной симметрией U(1) . Это объяснило влияние электромагнитного поля на волновую функцию заряженной квантово - механической частицы . Статья Вейля 1929 года представила современную концепцию калибровочной инвариантности ^[3], впоследствии популяризированную Вольфгангом Паули в его обзоре 1941 года. ^[4] Оглядываясь назад, Джеймс Кларк Максвелл в своей формулировке электродинамики в 1864–65 годах в « Динамической теории электромагнитного поля » предположил возможность инвариантности, заявив, что любое векторное поле, ротор которого равен нулю — и, следовательно, может быть обычно записан как градиент функции — может быть добавлено к векторному потенциалу, не влияя на магнитное поле . Аналогично, Дэвид Гильберт, оставаясь незамеченным, вывел уравнения поля Эйнштейна , постулируя инвариантность действия относительно общего преобразования координат. Важность этих инвариантностей симметрии оставалась незамеченной до работы Вейля.

Вдохновленный описаниями Паули связи между сохранением заряда и теорией поля, основанной на инвариантности, Чэнь Нин Ян искал полевую теорию для связывания атомных ядер , основанную на сохранении ядерного изоспина . ^{[5] : 202} В 1954 году Янг и Роберт Миллс обобщили калибровочную инвариантность электромагнетизма, построив теорию, основанную на действии (неабелевой) группы симметрии SU(2) на изоспиновый дублет протонов и нейтронов . ^[6] Это похоже на действие группы U(1) на спинорные поля квантовой электродинамики .

Теория Янга-Миллса стала прототипом теории, которая разрешила некоторые из великих путаниц в физике элементарных частиц . Эта идея позже нашла применение в квантовой теории поля слабого взаимодействия и ее объединении с электромагнетизмом в электрослабой теории. Калибровочные теории стали еще более привлекательными, когда было осознано, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят свойство, называемое асимптотической свободой . Считалось, что асимптотическая свобода является важной характеристикой сильных взаимодействий. Это мотивировало поиск калибровочной теории сильного взаимодействия. Эта теория, теперь известная как квантовая хромодинамика , является калибровочной теорией с действием группы SU(3) на цветовой триплет кварков . Стандартная модель объединяет описание электромагнетизма, слабых взаимодействий и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-х годах Майкл Атья начал изучать математику решений классических уравнений Янга–Миллса . В 1983 году ученик Атьи Саймон Дональдсон развил эту работу, чтобы показать, что дифференцируемая классификация гладких 4- многообразий сильно отличается от их классификации с точностью до гомеоморфизма . ^[7] Майкл Фридман использовал работу Дональдсона, чтобы продемонстрировать экзотические R ⁴ s , то есть экзотические дифференцируемые структуры на евклидовом 4-мерном пространстве. Это привело к росту интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от ее успехов в фундаментальной физике. В 1994 году Эдвард Виттен и Натан Зайберг изобрели калибровочно-теоретические методы, основанные на суперсимметрии , которые позволили вычислить определенные топологические инварианты ^{[8] [9]} ( инварианты Зайберга–Виттена ). Этот вклад в математику из калибровочной теории привел к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике подтверждается колоссальным успехом математического формализма в предоставлении единой структуры для описания квантовых теорий поля электромагнетизма , слабого взаимодействия и сильного взаимодействия . Эта теория, известная как Стандартная модель , точно описывает экспериментальные предсказания относительно трех из четырех фундаментальных сил природы и является калибровочной теорией с калибровочной группой SU(3) × SU(2) × U(1) . Современные теории, такие как теория струн , а также общая теория относительности , являются, в той или иной степени, калибровочными теориями.

Более подробную информацию об истории калибровочных и квантовых теорий поля см. в работах Джексона и Окуна ^[10] и Пикеринга ^{[11] .}

Описание

Глобальные и локальные симметрии

Глобальная симметрия

В физике математическое описание любой физической ситуации обычно содержит избыточные степени свободы ; одна и та же физическая ситуация одинаково хорошо описывается многими эквивалентными математическими конфигурациями. Например, в ньютоновской динамике , если две конфигурации связаны преобразованием Галилея ( инерциальной сменой системы отсчета), они представляют одну и ту же физическую ситуацию. Эти преобразования образуют группу « симметрий » теории, и физическая ситуация соответствует не отдельной математической конфигурации, а классу конфигураций, связанных друг с другом этой группой симметрии.

Эту идею можно обобщить, включив в нее как локальные, так и глобальные симметрии, аналогичные гораздо более абстрактным «изменениям координат» в ситуации, когда нет предпочтительной « инерциальной » системы координат, охватывающей всю физическую систему. Калибровочная теория — это математическая модель, которая имеет симметрии такого рода, вместе с набором методов для создания физических предсказаний, согласующихся с симметриями модели.

Пример глобальной симметрии

Когда величина, встречающаяся в математической конфигурации, является не просто числом, а имеет некоторое геометрическое значение, например, скорость или ось вращения, ее представление в виде чисел, расположенных в векторе или матрице, также изменяется с помощью преобразования координат. Например, если одно описание картины потока жидкости гласит, что скорость жидкости в окрестности ( x =1, y =0) составляет 1 м/с в положительном направлении x , то описание той же ситуации, в которой система координат была повернута по часовой стрелке на 90 градусов, утверждает, что скорость жидкости в окрестности ( x = 0 , y = −1 ) составляет 1 м/с в отрицательном направлении y . Преобразование координат повлияло как на систему координат, используемую для определения местоположения измерения, так и на основу, в которой выражается ее значение . Пока это преобразование выполняется глобально (влияя на базис координат одинаковым образом в каждой точке), эффект на значения, представляющие скорость изменения некоторой величины вдоль некоторого пути в пространстве и времени при прохождении через точку P, такой же, как эффект на значения, которые действительно локальны по отношению к P.

Локальная симметрия

Использование пучков волокон для описания локальных симметрий

Для адекватного описания физических ситуаций в более сложных теориях часто необходимо ввести «координатный базис» для некоторых объектов теории, которые не имеют такой простой связи с координатами, используемыми для обозначения точек в пространстве и времени. (В математических терминах теория включает в себя расслоение волокон , в котором волокно в каждой точке базового пространства состоит из возможных координатных базисов для использования при описании значений объектов в этой точке.) Для того чтобы изложить математическую конфигурацию, необходимо выбрать конкретный координатный базис в каждой точке ( локальное сечение расслоения волокон) и выразить значения объектов теории (обычно « полей » в физическом смысле) с помощью этого базиса. Две такие математические конфигурации эквивалентны (описывают одну и ту же физическую ситуацию), если они связаны преобразованием этого абстрактного координатного базиса (изменением локального сечения или калибровочным преобразованием ).

В большинстве калибровочных теорий набор возможных преобразований абстрактного калибровочного базиса в отдельной точке пространства и времени представляет собой конечномерную группу Ли. Простейшей такой группой является U(1) , которая появляется в современной формулировке квантовой электродинамики (КЭД) через ее использование комплексных чисел . КЭД обычно рассматривается как первая и самая простая физическая калибровочная теория. Набор возможных калибровочных преобразований всей конфигурации данной калибровочной теории также образует группу, калибровочную группу теории. Элемент калибровочной группы может быть параметризован плавно изменяющейся функцией из точек пространства-времени в (конечномерную) группу Ли, так что значение функции и ее производных в каждой точке представляет действие калибровочного преобразования на волокно над этой точкой.

Калибровочное преобразование с постоянным параметром в каждой точке пространства и времени аналогично жесткому повороту геометрической системы координат; оно представляет собой глобальную симметрию калибровочного представления. Как и в случае жесткого поворота, это калибровочное преобразование влияет на выражения, которые представляют скорость изменения вдоль пути некоторой зависящей от калибровки величины, таким же образом, как и те, которые представляют истинно локальную величину. Калибровочное преобразование, параметр которого не является постоянной функцией, называется локальной симметрией ; его влияние на выражения, которые включают производную, качественно отличается от влияния на выражения, которые ее не включают. (Это аналогично неинерциальному изменению системы отсчета, которое может вызывать эффект Кориолиса .)

Калибровочные поля

«Калибровочно-ковариантная» версия калибровочной теории учитывает этот эффект, вводя калибровочное поле (на математическом языке — связность Эресмана ) и формулируя все скорости изменения в терминах ковариантной производной относительно этой связи. Калибровочное поле становится неотъемлемой частью описания математической конфигурации. Конфигурация, в которой калибровочное поле может быть устранено калибровочным преобразованием, обладает тем свойством, что ее напряженность поля (на математическом языке — ее кривизна ) везде равна нулю; калибровочная теория не ограничивается этими конфигурациями. Другими словами, отличительной характеристикой калибровочной теории является то, что калибровочное поле не просто компенсирует плохой выбор системы координат; обычно не существует калибровочного преобразования, которое заставляет калибровочное поле исчезнуть.

При анализе динамики калибровочной теории калибровочное поле должно рассматриваться как динамическая переменная, подобная другим объектам в описании физической ситуации. В дополнение к его взаимодействию с другими объектами через ковариантную производную, калибровочное поле обычно вносит вклад в энергию в форме "собственно-энергетического" члена. Можно получить уравнения для калибровочной теории следующим образом:

• начиная с наивного анзаца без калибровочного поля (в котором производные появляются в «голом» виде);
• перечисление тех глобальных симметрий теории, которые можно охарактеризовать непрерывным параметром (обычно абстрактным эквивалентом угла поворота);
• вычисление поправочных членов, которые возникают в результате изменения параметра симметрии от места к месту; и
• переосмысливая эти поправочные члены как связи с одним или несколькими калибровочными полями и придавая этим полям соответствующие собственные энергетические члены и динамическое поведение.

В этом смысле калибровочная теория «распространяет» глобальную симметрию на локальную симметрию и очень напоминает историческое развитие калибровочной теории гравитации, известной как общая теория относительности .

Физические эксперименты

Калибровочные теории, используемые для моделирования результатов физических экспериментов, занимаются:

• ограничение вселенной возможных конфигураций теми, которые соответствуют информации, использованной для постановки эксперимента, а затем
• вычисление распределения вероятностей возможных результатов, для измерения которых предназначен эксперимент.

Мы не можем выразить математические описания «информации об установке» и «возможных результатов измерений» или «граничных условий» эксперимента без ссылки на конкретную систему координат, включая выбор калибра. Предполагается адекватный эксперимент, изолированный от «внешнего» влияния, которое само по себе является зависимым от калибра утверждением. Неправильное обращение с вычислениями зависимости калибра в граничных условиях является частым источником аномалий , и подходы к избежанию аномалий классифицируют теории калибровок ^{[ необходимо разъяснение ]} .

Теории континуума

Две упомянутые выше калибровочные теории, континуальная электродинамика и общая теория относительности, являются континуальными теориями поля. Методы расчета в континуальной теории неявно предполагают, что:

• при полностью фиксированном выборе калибровки граничные условия индивидуальной конфигурации полностью описаны
• при полностью фиксированной калибровке и полном наборе граничных условий наименьшее действие определяет уникальную математическую конфигурацию и, следовательно, уникальную физическую ситуацию, согласующуюся с этими границами
• Фиксация калибровки не вносит никаких аномалий в расчеты, обусловленных как зависимостью от калибровки при описании частичной информации о граничных условиях, так и неполнотой теории.

Определение вероятности возможных результатов измерений осуществляется путем:

• установление распределения вероятностей по всем физическим ситуациям, определяемым граничными условиями, соответствующими установочной информации
• установление распределения вероятностей результатов измерений для каждой возможной физической ситуации
• свертка этих двух распределений вероятностей для получения распределения возможных результатов измерений, согласующихся с информацией о настройке

Эти предположения достаточно обоснованы в широком диапазоне энергетических масштабов и экспериментальных условий, чтобы позволить этим теориям делать точные прогнозы относительно почти всех явлений, встречающихся в повседневной жизни: света, тепла и электричества, затмений, космических полетов и т. д. Они не оправдывают ожиданий только в самых малых и самых больших масштабах из-за упущений в самих теориях, а также когда сами математические методы перестают работать, особенно в случае турбулентности и других хаотических явлений.

Квантовые теории поля

Помимо этих классических теорий континуума поля, наиболее широко известными калибровочными теориями являются квантовые теории поля , включая квантовую электродинамику и Стандартную модель физики элементарных частиц. Начальная точка квантовой теории поля во многом похожа на отправную точку ее континуума: калибровочно-ковариантный интеграл действия , который характеризует «допустимые» физические ситуации в соответствии с принципом наименьшего действия . Однако континуумные и квантовые теории существенно различаются в том, как они обрабатывают избыточные степени свободы, представленные калибровочными преобразованиями. Континуумные теории и большинство педагогических трактовок простейших квантовых теорий поля используют предписание фиксации калибровки для сведения орбиты математических конфигураций, которые представляют данную физическую ситуацию, к меньшей орбите, связанной с меньшей калибровочной группой (глобальной группой симметрии или, возможно, даже тривиальной группой).

Более сложные квантовые теории поля, в частности те, которые включают неабелеву калибровочную группу, нарушают калибровочную симметрию в рамках методов теории возмущений, вводя дополнительные поля ( духи Фаддеева–Попова ) и контрчлены, мотивированные отменой аномалий , в подходе, известном как BRST-квантование . Хотя эти проблемы в каком-то смысле являются весьма техническими, они также тесно связаны с природой измерения, ограничениями на знание физической ситуации и взаимодействиями между не полностью определенными экспериментальными условиями и не полностью понятой физической теорией. ^{[ необходима цитата ]} Математические методы, которые были разработаны для того, чтобы сделать калибровочные теории читаемыми, нашли множество других приложений, от физики твердого тела и кристаллографии до низкоразмерной топологии .

Классическая калибровочная теория

Классический электромагнетизм

В электростатике можно обсуждать либо электрическое поле, E , либо его соответствующий электрический потенциал , V. Знание одного позволяет найти другой, за исключением того, что потенциалы, отличающиеся на константу, соответствуют одному и тому же электрическому полю. Это происходит потому, что электрическое поле относится к изменениям потенциала от одной точки пространства к другой, и константа C сокращается при вычитании для нахождения изменения потенциала. В терминах векторного исчисления электрическое поле является градиентом потенциала, . Обобщая статическое электричество на электромагнетизм, мы имеем второй потенциал, векторный потенциал A , с ${\displaystyle V\mapsto V+C}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Общие калибровочные преобразования теперь становятся не просто, а ${\displaystyle V\mapsto V+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}$

где f — любая дважды непрерывно дифференцируемая функция, зависящая от положения и времени. Электромагнитные поля остаются прежними при калибровочном преобразовании.

Пример: Скалярный O(н) калибровочная теория

Оставшаяся часть этого раздела требует некоторого знакомства с классической или квантовой теорией поля и использованием лагранжианов .

Определения в этом разделе: калибровочная группа , калибровочное поле , лагранжиан взаимодействия , калибровочный бозон .

Ниже показано, как локальная калибровочная инвариантность может быть эвристически «мотивирована», исходя из свойств глобальной симметрии, и как это приводит к взаимодействию между изначально невзаимодействующими полями.

Рассмотрим набор невзаимодействующих реальных скалярных полей с равными массами m . Эта система описывается действием , которое является суммой (обычного) действия для каждого скалярного поля ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

Лагранжиан (плотность) можно компактно записать как

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

путем введения вектора полей

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

Этот член является частной производной от вдоль измерения . ${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mu }$

Теперь очевидно, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

всякий раз, когда G — постоянная матрица, принадлежащая ортогональной группе O( n ) размером n на n . Видно, что это сохраняет лагранжиан, поскольку производная преобразуется тождественно и обе величины появляются внутри скалярных произведений в лагранжиане (ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение). ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

Это характеризует глобальную симметрию этого конкретного лагранжиана, и группа симметрии часто называется калибровочной группой ; математический термин — структурная группа , особенно в теории G-структур . Между прочим, теорема Нётер подразумевает, что инвариантность относительно этой группы преобразований приводит к сохранению токов

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

где матрицы T ^a являются генераторами группы SO( n ). Для каждого генератора существует один сохраняющийся ток.

Теперь, требуя, чтобы этот лагранжиан имел локальную O( n )-инвариантность, необходимо, чтобы матрицы G (которые ранее были постоянными) могли стать функциями пространственно-временных координат x .

В этом случае матрицы G не «проходят» через производные, когда G = G ( x ),

${\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

Неспособность производной коммутировать с "G" вводит дополнительный член (в соответствии с правилом произведения), который портит инвариантность лагранжиана. Чтобы исправить это, мы определяем новый оператор производной, такой, что производная снова преобразуется тождественно с ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

Эта новая «производная» называется (калибровочно) ковариантной производной и имеет вид

${\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$

где g называется константой связи; величина, определяющая силу взаимодействия. После простого вычисления мы можем увидеть, что калибровочное поле A ( x ) должно преобразовываться следующим образом

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

Калибровочное поле является элементом алгебры Ли и поэтому может быть расширено как

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

Следовательно, существует столько же калибровочных полей, сколько и генераторов алгебры Ли.

Наконец, теперь у нас есть локально калибровочно-инвариантный лагранжиан

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

Паули использует термин калибровочное преобразование первого типа для обозначения преобразования , тогда как компенсирующее преобразование в называется калибровочным преобразованием второго типа . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$

Диаграмма Фейнмана скалярных бозонов, взаимодействующих через калибровочный бозон

Видно, что разница между этим лагранжианом и исходным глобально калибровочно-инвариантным лагранжианом заключается в лагранжиане взаимодействия

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

Этот член вводит взаимодействия между n скалярными полями просто как следствие требования локальной калибровочной инвариантности. Однако, чтобы сделать это взаимодействие физическим и не полностью произвольным, медиатор A ( x ) должен распространяться в пространстве. Это рассматривается в следующем разделе путем добавления еще одного члена, , к лагранжиану. В квантованной версии полученной классической теории поля кванты калибровочного поля A ( x ) называются калибровочными бозонами . Интерпретация лагранжиана взаимодействия в квантовой теории поля заключается в том, что скалярные бозоны взаимодействуют путем обмена этими калибровочными бозонами. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$

Лагранжиан Янга–Миллса для калибровочного поля

Картина классической калибровочной теории, разработанная в предыдущем разделе, почти полна, за исключением того факта, что для определения ковариантных производных D необходимо знать значение калибровочного поля во всех точках пространства-времени. Вместо того, чтобы вручную указывать значения этого поля, его можно задать как решение уравнения поля. Далее, требуя, чтобы лагранжиан, который генерирует это уравнение поля, был также локально калибровочно-инвариантным, одной из возможных форм для лагранжиана калибровочного поля является ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

где получены из потенциалов , являющихся компонентами , по ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

и являются структурными константами алгебры Ли генераторов калибровочной группы. Эта формулировка лагранжиана называется действием Янга–Миллса . Существуют также другие калибровочно-инвариантные действия (например, нелинейная электродинамика , действие Борна–Инфельда , модель Черна–Саймонса , тета-член и т. д.). ${\displaystyle f^{abc}}$

В этом лагранжевом члене нет поля, преобразование которого уравновешивает преобразование . Инвариантность этого члена относительно калибровочных преобразований является частным случаем априорной классической (геометрической) симметрии. Эта симметрия должна быть ограничена для выполнения квантования, процедура называется фиксацией калибровки , но даже после ограничения калибровочные преобразования могут быть возможны. ^[12] ${\displaystyle A}$

Полный лагранжиан для калибровочной теории теперь имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

Пример: Электродинамика

В качестве простого применения формализма, разработанного в предыдущих разделах, рассмотрим случай электродинамики , где есть только электронное поле. Простейшее действие, которое порождает уравнение Дирака электронного поля, имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

Глобальная симметрия для этой системы:

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

Калибровочная группа здесь — U(1) , просто вращения фазового угла поля, причем конкретное вращение определяется константой θ .

«Локализация» этой симметрии подразумевает замену θ на θ ( x ) . Соответствующая ковариантная производная тогда

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

Отождествление «заряда» e (не путать с математической константой e в описании симметрии) с обычным электрическим зарядом (отсюда и происхождение использования этого термина в калибровочных теориях), а калибровочного поля A ( x ) с четырехвекторным потенциалом электромагнитного поля приводит к лагранжиану взаимодействия

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

где - электрический ток 4-вектор в поле Дирака . Таким образом, калибровочный принцип естественным образом вводит так называемую минимальную связь электромагнитного поля с электронным полем. ${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$

Добавляя лагранжиан для калибровочного поля в терминах тензора напряженности поля точно так же, как в электродинамике, получаем лагранжиан, используемый в качестве отправной точки в квантовой электродинамике . ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

Математический формализм

Калибровочные теории обычно обсуждаются на языке дифференциальной геометрии . Математически калибровка — это просто выбор (локального) сечения некоторого главного расслоения . Калибровочное преобразование — это просто преобразование между двумя такими сечениями.

Хотя калибровочная теория доминирует над изучением связей (в первую очередь потому, что ее в основном изучают физики высоких энергий ), идея связи не является центральной для калибровочной теории в целом. Фактически, результат в общей калибровочной теории показывает, что аффинные представления (т. е. аффинные модули ) калибровочных преобразований могут быть классифицированы как секции струйного расслоения, удовлетворяющие определенным свойствам. Существуют представления, которые преобразуются ковариантно поточечно (называемые физиками калибровочными преобразованиями первого рода), представления, которые преобразуются как форма связи (называемые физиками калибровочными преобразованиями второго рода, аффинным представлением) — и другие более общие представления, такие как поле B в теории BF . Существуют более общие нелинейные представления (реализации), но они чрезвычайно сложны. Тем не менее, нелинейные сигма-модели преобразуются нелинейно, поэтому существуют приложения.

Если существует главное расслоение P , базовым пространством которого является пространство или пространство-время , а структурная группа является группой Ли, то сечения P образуют главное однородное пространство группы калибровочных преобразований.

Связи (калибровочная связность) определяют это главное расслоение, давая ковариантную производную ∇ в каждом ассоциированном векторном расслоении . Если выбран локальный фрейм (локальный базис сечений), то эта ковариантная производная представлена ​​формой связности A , 1-формой со значениями в алгебре Ли , которая в физике называется калибровочным потенциалом . Очевидно, что это не внутренняя, а зависящая от фрейма величина. Форма кривизны F , 2-форма со значениями в алгебре Ли , которая является внутренней величиной, строится из формы связности с помощью

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

где d обозначает внешнюю производную , а обозначает произведение клина . ( является элементом векторного пространства, охватываемого генераторами , и поэтому компоненты не коммутируют друг с другом. Следовательно, произведение клина не обращается в нуль.) ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

Бесконечно малые калибровочные преобразования образуют алгебру Ли, которая характеризуется гладким скаляром со значением в алгебре Ли , ε. При таком бесконечно малом калибровочном преобразовании,

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }$

где находится скобка Ли. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Приятно то, что если , то где D — ковариантная производная ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X}$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX}$

${\displaystyle DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X}$

Кроме того, , что означает ковариантное преобразование. ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =[\varepsilon ,\mathbf {F} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Не все калибровочные преобразования могут быть сгенерированы бесконечно малыми калибровочными преобразованиями в общем случае. Примером является случай, когда базовое многообразие является компактным многообразием без границы , таким, что гомотопический класс отображений из этого многообразия в группу Ли нетривиален. См. пример инстантона .

Действие Янга–Миллса теперь задается выражением

${\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}$

где * обозначает дуальный оператор Ходжа , а интеграл определяется как в дифференциальной геометрии .

Величина, которая является калибровочно-инвариантной (т.е. инвариантной относительно калибровочных преобразований), — это петля Вильсона , которая определяется по любому замкнутому пути γ следующим образом:

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)}$

где χ — характер комплексного представления ρ и представляет собой упорядоченный по пути оператор. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Формализм калибровочной теории переносится на общую постановку. Например, достаточно спросить, чтобы векторное расслоение имело метрическую связь ; когда это делаешь, обнаруживаешь, что метрическая связь удовлетворяет уравнениям движения Янга–Миллса.

Квантование калибровочных теорий

Калибровочные теории могут быть квантованы путем специализации методов, которые применимы к любой квантовой теории поля . Однако из-за тонкостей, налагаемых калибровочными ограничениями (см. раздел «Математический формализм» выше), существует множество технических проблем, которые необходимо решить, и которые не возникают в других теориях поля. В то же время более богатая структура калибровочных теорий позволяет упростить некоторые вычисления: например, тождества Уорда связывают различные константы перенормировки .

Методы и цели

Первой квантованной калибровочной теорией была квантовая электродинамика (КЭД). Первые методы, разработанные для этого, включали фиксацию калибровки и последующее применение канонического квантования . Метод Гупты–Блейлера также был разработан для решения этой проблемы. Неабелевы калибровочные теории теперь обрабатываются различными способами. Методы квантования рассматриваются в статье о квантовании .

Основная цель квантования — вычислить квантовые амплитуды для различных процессов, допускаемых теорией. Технически они сводятся к вычислениям определенных корреляционных функций в вакуумном состоянии . Это подразумевает перенормировку теории.

Когда текущая связь теории достаточно мала, то все требуемые величины могут быть вычислены в теории возмущений . Схемы квантования, предназначенные для упрощения таких вычислений (такие как каноническое квантование ), можно назвать схемами пертурбативного квантования . В настоящее время некоторые из этих методов приводят к наиболее точным экспериментальным проверкам калибровочных теорий.

Однако в большинстве калибровочных теорий есть много интересных вопросов, которые являются непертурбативными. Схемы квантования, подходящие для этих проблем (например, решеточная калибровочная теория ), можно назвать непертурбативными схемами квантования . Точные вычисления в таких схемах часто требуют суперкомпьютеров и поэтому в настоящее время менее развиты, чем другие схемы.

Аномалии

Некоторые из симметрий классической теории затем не выполняются в квантовой теории; явление, называемое аномалией . Среди наиболее известных:

• Аномалия масштаба , которая приводит к появлению бегущей константы связи . В КЭД это приводит к явлению полюса Ландау . В квантовой хромодинамике (КХД) это приводит к асимптотической свободе .
• Киральная аномалия в киральных или векторных теориях поля с фермионами. Она тесно связана с топологией через понятие инстантонов . В КХД эта аномалия вызывает распад пиона на два фотона .
• Калибровочная аномалия , которая должна сокращаться в любой последовательной физической теории. В электрослабой теории это сокращение требует равного числа кварков и лептонов .

Чистый калибр

Чистая калибровка — это набор конфигураций поля, полученных калибровочным преобразованием конфигурации нулевого поля, т. е. калибровочным преобразованием нуля. Таким образом, это конкретная «калибровочная орбита» в пространстве конфигурации поля.

Таким образом, в абелевом случае, когда , чистая калибровка — это просто набор конфигураций полей для всех f ( x ) . ${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)}$ ${\displaystyle A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)}$

Смотрите также

• Принцип калибра
• Эффект Ааронова-Бома
• Калибровка Кулона
• Теория электрослабого взаимодействия
• Калибровочная ковариантная производная
• Крепление датчика
• Калибровочная теория гравитации
• Группа калибровок (математика)
• Теория Калуцы–Клейна
• калибр Лоренца
• Квантовая хромодинамика
• Глюонное поле
• Тензор напряженности глюонного поля
• Квантовая электродинамика
• Электромагнитный четырехпотенциальный
• Электромагнитный тензор
• Квантовая теория поля
• Стандартная модель
• Стандартная модель (математическая формулировка)
• Нарушение симметрии
• Симметрия в физике
• Заряд (физика)
• Симметрия в квантовой механике
• симметрия Фока
• Идентификации подопечных
• Теория Янга-Миллса
• Существование Янга-Миллса и разрыв масс
• 1964 PRL статьи о нарушении симметрии
• Калибровочная теория (математика)

Ссылки

1. Брэдинг, Кэтрин (март 2002 г.). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Bibcode : 2002SHPMP..33....3B. doi : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8.
2. Джексон, Дж. Д.; Окун, Л. Б. (2001-09-14). "Исторические корни калибровочной инвариантности". Reviews of Modern Physics . 73 (3): 663–680. arXiv : hep-ph/0012061 . doi :10.1103/RevModPhys.73.663. ISSN  0034-6861. Открытие симметрии относительно калибровочных преобразований (1 a, b, c) квантово-механической системы заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями, принадлежит Фоку (1926b)
3. O'Raifeartaigh, Lochlainn; Straumann, Norbert (2000-01-01). «Калибровочная теория: историческое происхождение и некоторые современные разработки». Reviews of Modern Physics . 72 (1): 1–23. doi :10.1103/RevModPhys.72.1. ISSN  0034-6861.
4. Паули, Вольфганг (1941). «Релятивистские полевые теории элементарных частиц». Rev. Mod. Phys . 13 (3): 203–32. Bibcode :1941RvMP...13..203P. doi :10.1103/revmodphys.13.203.
5. Багготт, Дж. Э. (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Впечатление: 3-е изд.). Оксфорд: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-956684-6.
6. Yang CN, Mills RL (1954). «Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность». Phys. Rev. 96 (1): 191–195. Bibcode :1954PhRv...96..191Y. doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
7. Дональдсон, Саймон К. (1983). «Самодвойственные связности и топология гладких 4-многообразий». Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1): 81–83. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 . MR  0682827.
8. Seiberg, N. ; Witten, E. (1994a), "Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и ограничение в N=2 суперсимметричной теории Янга-Миллса", Nuclear Physics B , 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th/9407087 , Bibcode :1994NuPhB.426...19S, doi :10.1016/0550-3213(94)90124-4, MR  1293681, S2CID  14361074; "Erratum", Ядерная физика B , 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode : 1994NuPhB.430..485., doi : 10.1016/0550-3213(94)00449-8, MR  1303306
9. Seiberg, N. ; Witten, E. (1994b), "Монополи, дуальность и нарушение киральной симметрии в N=2 суперсимметричной КХД", Nuclear Physics B , 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th/9408099 , Bibcode :1994NuPhB.431..484S, doi :10.1016/0550-3213(94)90214-3, MR  1306869, S2CID  17584951
10. Джексон, Дж. Д.; Окун, Л. Б. (2001). «Исторические корни калибровочной инвариантности». Reviews of Modern Physics . 73 (3): 663. arXiv : hep-ph/0012061 . Bibcode : 2001RvMP...73..663J. doi : 10.1103/RevModPhys.73.663. S2CID  8285663.
11. Пикеринг, А. (1984). Построение кварков . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-66799-5.
12. Дж. Дж. Сакурай, Advanced Quantum Mechanics , Addison-Wesley, 1967, разделы 1–4.

Библиография

Обычные читатели

• Шумм, Брюс (2004) Глубокие вещи . Издательство Университета Джонса Хопкинса. В особенности гл. 8. Серьёзная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартную модель с небольшим количеством формальной математики.

Тексты

• Грейнер, Вальтер; Мюллер, Берндт (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Springer . ISBN 3-540-67672-4.
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория элементарной физики частиц . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3.
• Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Wiley-VCH .
• Кейн, Г. Л. (1987). Современная физика элементарных частиц . Книги Персея. ISBN 0-201-11749-5.

Статьи

• Бекки, К. (1997). «Введение в калибровочные теории». arXiv : hep-ph/9705211 .
• Гросс, Д. (1992). "Калибровочная теория – прошлое, настоящее и будущее" . Получено 23.04.2009 .
• Джексон, Дж. Д. (2002). «От Лоренца к Кулону и другие явные калибровочные преобразования». Am. J. Phys . 70 (9): 917–928. arXiv : physics/0204034 . Bibcode :2002AmJPh..70..917J. doi :10.1119/1.1491265. S2CID  119652556.
• Светличный, Джордж (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv : math-ph/9902027 .

Внешние ссылки

• «Калибровочное преобразование», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения Янга–Миллса на DispersiveWiki
• Калибровочные теории на Scholarpedia